Sejarah integerNombor pertamaMaklumat selanjutnya: Sistem angka#Sejarah

Penggunaan nombor buat pertama kali yang diketahui bertarikh sejak sekitar 30000 SM, ketikagundaldigunakan oleh orang-orangPaleolitik. Contoh terawal yang dikenali ialah dari sebuahguadi bahagian selatanAfrika.[1]. Sistem ini tidak mempunyai konsep nilai tempat (seperti dalam notasiperpuluhanyang digunakan sekarang) dan oleh itu, mengehadkan perwakilan nombor yang besar. Sistem pertama yang diketahui mempunyai nilai tempat ialah sistem asas 60Mesopotamia(k.k.3400 SM), dan sistem asas 10 terawal yang dikenali wujud sejak3100 SMMesir.[2]di

Sejarah sifarMaklumat selanjutnya: 0 (nombor)#Sejarah

Penggunaan sifar sebagai satu nombor harus dibezakan daripada penggunaannya sebagai satu angka pemegang tempat dalam sistem-sistem nilai tempat. Banyak teksIndiakuno menggunakan perkataanSanskritshunyauntuk merujuk kepada konseplowong; dalam teksmatematik, perkataan ini sering digunakan untuk merujuk kepada nombor sifar.[3]. Dengan cara yang sama,Pini(abad ke-5 SM) menggunakan pengoperasinol(sifar, iaitupenerbitan lambda) dalamtatabahasa algebranya,Ashtadhyayi, untukbahasa Sanskrit(lihat jugaPingala)Rekod-rekod menunjukkan bahawa orang-orangYunanikelihatan tidak pasti tentang status sifar sebagai satu nombor: mereka tertanya-tanya tentang "bagaimana 'tidak ada apa-apa' boleh merupakan sesuatu?", dan menimbulkan perdebatanfalsafahdan menjelangZaman Pertengahan, juga perdebatanagamayang menarik tentang sifat dan kewujudan sifar sertahampagas.ParadoksZeno dari Eleabergantung sebahagian besar kepada tafsiran sifar yang tidak pasti. (Orang-orang Yunani juga mempersoalkan tentang adakah1merupakan salah satu nombor.)Orang-orangOlmecdariMexicotengah selatan yang lebih lewat memulakan penggunaan sifar benar di dalam Dunia Baru, mungkin sejakabad ke-4 SMtetapi pasti pada40 SM. Sifar benar itu dijadikan oleh mereka sebagai satu angka yang perlu untuk angka-angka Mayadantakwim Maya, tetapi penggunaan mereka ini tidak mempengaruhi sistem-sistem angka Dunia Lama.Menjelang tahun130 Masihi,Ptolemyyang dipengaruhi olehHipparchusdan orang-orangBabylon, menggunakan satu simbol untuk sifar (satu bulatan kecil dengan satu palang yang panjang di atasnya) yang sebelum itu, menggunakan abjad dalam sistem angka perenampuluhan. Disebabkan nombor sifar ini digunakan secara berasingan, dan bukan sahaja sebagai pemegang tempat,sifar keyunanianini merupakan penggunaan sifar benar yang 'didokumenkan' buat pertama kali di dalam Dunia Lama. Untuk manuskrip-manuskripRom Timuryang kemudian bagi karynanya,Syntaxis Mathematica(Almagest), bentuk sifar keyunanian Ptolemy telah diubah menjadihuruf Greek,omikron(sebelum itu bermaksud 70).Menjelang tahun525 Masihi, lagi satu sifar benar telah digunakan di dalam jadual-jadual, bersama-sama denganangka Rom(penggunaan pertama yang diketahui adalah olehDionysius Exiguus), tetapi sebagai perkataan, iaitunullayang bermaksudtidak ada satu pun, dan bukannya sebagai satu simbol. Apabila pembahagian menghasilkan sifar sebagai bakinya,nihiltiada ada satu pun, digunakan. Sifar-sifar Zaman Pertengahan ini digunakan oleh semuakomputus(penghitungEaster) Zaman Pertengahan yang kemudian. Pada sekitar725 Masihi, parap N telah digunakan di dalam jadual angka Rom olehBede, atau teman sekerjanya, dan merupakan satu penggunaan terasing, serta satu simbol sifar yang benar.yang juga bermaksudSatu penggunaan sifar yang awal olehBrahmaguptayang telah didokumenkan di dalamBrahmasphutasiddhantabertarikh sejak tahun628 Masihi. Beliau mengolahkan sifar sebagai satu nombor, dan membincangkan operasi-operasi yang melibatkannya, termasukpembahagian. Pada masa ini, iaituabad ke-7, konsep ini jelas telah tiba diKemboja, dan dokumen-dokumen menunjukkan bahawa idea ini kemudian tersebar keChinadan duniaIslam.

Sejarah nombor negatifMaklumat selanjutnya: Nombor negatif dan bukan negatif#Penggunaan pertama nombor negatif

Konsep abstrak bagi nombor-nombor negatif telah diakui seawal100-50 SM. KaryaCina, "Sembilan Bab mengenai Seni Matematik" (Jiu-zhang Suanshu) mengandungi kaedah-kaedah untuk menentukan keluasan gambar rajah; palang merah digunakan untuk menandakanpekalidunia Timur; rujukan pertama dalam karya Barat adalah padaabad ke-3Greece.Diophantusmerujuk kepada persamaan(penyelesaiannya adalah negatif) di dalam karyanya,Arithmetica, dan mengatakan bahawa persamaan itu memberikan hasil bukan-bukan.positif, dan palang hitam untuk pekali negatif. Ini merupakan sebutan nombor negatif yang pertama diketahui di diSemasa dekad600-an, nombor-nombor negatif telah digunakan diIndiauntuk mewakili hutang. Rujukan-rujukanDiophantusdahulu telah dibincangkan dengan lebih ketara olehBrahmagupta, ahli matematik India, di dalam karyanyaBrahma-Sphuta-Siddhantapada tahun628 Masihi. Beliau menggunakan nombor-nombor negatif untuk menghasilkanrumus kuadratik, satu bentuk am yang masih digunakan pada hari ini. Bagaimanapun padaabad ke-12di India,Bhaskaramemberikan punca kuasa negatif untuk persamaan-persamaan kuadratik, tetapi berkata bahawa nilai negatif "dalam kes ini tidak diambil kerana tidak sempurna; orang-orang tidak akan bersetuju dengan punca-punca kuasa negatif."Ahli-ahli matematikEropahbiasanya menahan konsep nombor-nombor negatif sehinggaabad ke-17, walaupunFibonaccimembenarkan penyelesaian negatif yang ditafsirkannya sebagai debit (bab 13 daripadaLiber Abaci,1202) dan kemudiannya sebagai kerugian (dalamFlos). Pada waktu yang sama, orang-orang Cina menandakan nombor-nombor negatif melalui satu coret serong pada digit bukan sifar yang paling kanan untuk angka nombor positif yang sepadan. Penggunaan pertama nombor negatif dalam karya Eropah adalah olehChuquetpadaabad ke-15. Beliau menggunakannya sebagaieksponen, tetapi merujuk kepadanya sebagai "nombor bukan-bukan"Baru-baru padaabad ke-18, ahli mathematikSwitzerland,Leonhard Euler, mempercayai bahawa nombor negatif adalah lebih besar berbanding denganketakterhinggaan. Adalah amalan biasa pada masa itu untuk tidak mengendahkan sebarang hasil negatif yang dikembalikan oleh persamaan, berdasarkan andaian bahawa angka-angka itu tidak bermakna.

Sejarah nombor rasional, nisbah, dan nombor nyataMaklumat selanjutnya:Sejarah nisbahdanSejarah piSejarah nombor rasionalKonsep nombor-nombor pecahan mungkin wujud sejakzaman prasejarah. Orang-orangMesir Kunojuga menulis teks matematik yang memerihalkan bagaimana mengubahkanpecahannotasi khas. Ahli matematik Greek klasik dan India mengkaji teori nombor rasional sebagai sebahagian kajian am untuk teori nombor. Kajian yang paling terkenal ialahUnsur-unsur Euclidyang wujud sejak kira-kira300 SM. Antara teks-teks India, kajian yang paling berkait ialahSutra Sthanangayang juga merangkumi teori nombor sebagai sebahagian kajian am matematik.menjadiKonseppecahan perpuluhanamat berkait dengan notasi nilai tempat perpuluhan; kedua-dua ini nampaknya berkembang bersama-sama. Umpamanya, sutra-sutra matematik Jain biasanya termasuk penghitungan penghampiran pecahan perpuluhan untukpiataupunca kuasa dua untuk dua. Serupa juga, teks-teks matematik Babylon selalu menggunakan pecahan-pecahan perenam-puluhan dengan amat kerap.

Sejarah nisbahPenggunaan nombor tak nisbah terawal yang diketahui terdapat dalamSulba SutraIndiayang dikarang sekitar800-500 SM. Bukti kewujudan terawal nombor tak nisbah dipercayai berpunca daripadaPythagoras, atau secara lebih khususnya pengiktu beliauHippasus dari Metapontum, yang menghasilkan bukti (paling mungkin secara geometri) ketaknisbahanpunca kuasa dua dari 2. Mengikut kisah, Hippasus menemui nonbor tak nisbah ketika cuba menggambarkan punca kuasa dua 2 sebagai satu pecahan. Namun,Pythagoraspercaya akan kemutlakan nombor, dan tidak dapat menerima kewujudan nombor tak nisbah. Beliau tidak mampu membuktikan ketidakwujudannya melalui logik, namun kepercayaan beliau tidak mampu menerima kewujudan nombor tak nisbah maka beliau menghukum mati Hippasus dengan melemaskannya.Abad ke-16 melihatkan penerimaan muktamad nombornegatif, integer danpecahanoleh orang Eropah. Abad ke-17 melihatkan pecahan perpuluhan dengan notasi moden digunakan secara meluas oleh ahli matematik. Namun, hanya ketika abad-19 barulah nombor tak nisbah dibahagi kepada bahagian algebra dan transendental, dan satu kajian saintifik mengenai teori monbor tak nisbah timbul lagi setelah lama terpendam sejak zamanEuclid. Tahun 1872 menyaksikan penerbitan teori-teoriKarl Weierstrass(oleh anak muridnyaKossak),Heine(Crelle, 74),Georg Cantor(Annalen, 5), danRichard Dedekind. Pada tahun 1869 kajianMraymenyimpang dari titik yang serupa denganHeine, namun teori itu dirujuk secara amnya kepada tahun 1872. Keadah Weierstrass telah dikemukakan sepenuhnya olehPincherle(1880), dan kadeah Dedekind pula menerima makin menonjol melalui kerja-kerja lanjutan pengarang tersebut (1888) dan disusuli dukungan olehPaul Tannery(1894). Weierstrass, Cantor, dan Heine mengasaskan teori masing-masing pada siri tak terhingga, manakala Dedekind mengasaskan teori beliau pada ideapotongan (Schnitt)dalam sistemnombor nyata, maka memisahkan semuanombor nisbahkepada dua kumpulan yang melihatkan ciri-ciri biasa yang tertentu. Subjek ini kemudiannya menerima sumbangan lanjut di tangan Weierstrass,Kronecker(Crelle, 101), dan Mray.Pecahan berlanjaryang berkait rapat dengan nombor tak nisbah (dan oleh sebab Cataldi, 1613), menarik perhatian di tanganEuler, dan pada awal abad ke-19 pula ditonjolkan melalui penulisanJoseph Louis Lagrange. Sumbangan penting lain turut dilakukan olehDruckenmller(1837),Kunze(1857),Lemke(1870), danGnther(1872).Ramus(1855) mula-mula menghubungkaitkan subjek ini denganpenentu, mencetuskan sumbangan seterusnya oleh Heine,Mbius, danGnther, dalam teori Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet juga menokok tambah teori amnya, seperti mana yang dilakukan ramai penyumbang kepada aplikasi subjek ini.

Nombor transenden dan nombor nyataHasil kajian terulung mengenai nombor transenden merupakan bukti yang dikemukakan olehJohann Heinrich Lambertpada tahun 1761 bahawa tidak boleh berbentuk nombor nisbah, dan juga bahawaentidak nisbah jikannisbah (melainkann= 0). (Pemalarepertama kali disentuh dalam kerjaJohn Napiertahun 1618 mengenailogaritma.)Legendrememperkuatkan bukti ini untuk menunjukkan bahawa bukan kuasa dua kepada suatu nombor nisbah. Pencarian kuasa persamaankuintikdan berdarjah lebih tinggi merupakan perkembangan penting,teorem AbelRuffini(Ruffini1799,Abel1824) menunjukkan bahawa ini tidak boleh diselesaikan denganradikal(formula yang hanya melibatkan operasi dan punca aritmatik). Maka, adalah perlu untuk mengambil kira setnombor algebrayang lebih luas (segala penyelesaian kepada persamaan-persamaan polinomial).variste Galois(1832) mengaitkan persamaan-persamaan polinomial kepadateori kelompokyang membangkitkan bidangteori Galois.Set nombor algebra pun tidak mencukupi dan set penuh nombor nyata termasuklahnombor transenden, yang kewujudannya dibutkikan puat julung kalinya olehJoseph Liouville(1844, 1851). Pada tahun 1873,Charles Hermitemembuktikan bahawaeadalah nombor transenden dan pada tahun 1882,Ferdinand von Lindemannmembuktikan bahawa juga transenden. AkhirnyaCantormenunjukkan bahawa set segalanombor nyataadalah tidak berkira dan tidak terhingga tetapi set segalanombor algebraadalah tidak terhingga tetapi berkira, maka terdapatlah bilangan nombor transenden yang tidak berkira dan tidak terhingga.

KetakterhinggaanMaklumat selanjutnya:Sejarah ketakterhinggaan

Tanggapan terawal yang diketahui mengenaiketakterhinggaanmatematik muncul di dalamVeda Yajuryang pada sebahagiannya menyatakan: "jika anda mengeluarkan sebahagian daripada ketakterhinggaan atau menambah sebahagian kepadanya, hasilnya masih merupakan ketakterhinggaan". Ketakterhinggaan merupakan satu topik kajianfalsafahyang popular antara ahli-ahli matematikJainpada kira-kira400 SM. Mereka membezakan antara lima jenis ketakterhinggaan: tak terhingga pada satu atau dua arah, keluasan yang tak terhingga, ketakterhinggaan pada mana-mana satu arah, dan ketakterhinggan sepanjang masa.Di dunia Barat, tanggapan tradisional mengenai ketakterhinggaan matematik ditakrifkan olehAristotleyang membezakanketakterhinggaan sebenardanketakterhinggaan berpotensi; sepersetujuan yang dicapai adalah bahawa hanya ketakterhinggaan berpotensi mempunyai nilai benar. KaryaGalileo,Dua Sains Baru, membincangkan ideakesepadanan satu ke satuantara set-set tak terhingga. Bagaimanapun, kemajuan utama yang berikutnya dibuat olehGeorg Cantorpada tahun1895apabila beliau menerbitkan sebuah buku mengenaiteori setyang baru, dan memperkenalkanhipotesis kontinum, antara lain.Versi geometri moden untuk ketakterhinggaan diberikan olehgeometri unjuranyang memperkenalkan "titik-titik unggul pada ketakterhinggaan," dengan satu titik bagi setiap arah ruang. Setiap keluarga garis-garis selari pada satu arah yang tertentu dipostulatkan akan bertemu di titik unggul yang sepadan. Ini amat berkait dengan idea titik-titik lenyap di dalamlukisan perspektif.

Nombor kompleksMaklumat selanjutnya: Nombor kompleks#Sejarah

Sentuhan sepintas lalu yang terawal mengenai punca kuasa dua nombor negatif didapati dalam kerja ahli matematik dan pencipta Greek,Heron dari Alexandria, padaabad pertamaM, apabila beliau mengambil kira isi padu sesuatufrustummustahil dalampiramid. Perihal punca kuasa dua nombor negatif ini menonjol padaabad ke-16apabila formula-formula tertutup untuk punca-punca polinomial darjah ketiga dan keempat ditemui oleh ahli matematik Itali (lihatNiccolo Fontana Tartaglia,Gerolamo Cardano). Tidak lama kemudian, adalah didapati bahawa formula-formula ini, sungguhpun jika seseorang itu hanya berminat terhadap penyelesaian nyata, namun kadang-kala memerlukan manipulasi punca kuasa dua nombor negatif.Inipun makin membingungkan kerana mereka tidak pun mengamil kira nombor negatif dengan dasar yang kuat pada masa itu. Istilah "hayalan" bagi kuantiti-kuantiti ini dicadangkan olehRen Descartespada tahun1637dan sepatutnya membawa erti penghinaan (lihatnombor hayalanbagi membincangkan "realiti" nombor kompleks). Satu lagi sumber kekeliruan ini adalah bahawa persamaankelihatan tidak konsisten dan tidak menentu dengan identiti algebrayang sah untuk nombor nyata positifadanb, serta juga digunakan dalam pengiraan nombor kompleks dengan mana-mana antaraa,bpositif dan nombor negatif yang lain. Penyalahgunaan identiti ini (dan identitiyang berkaitan) yang mana kedua-duaadanbadalah engatif pun membingungkanEuler. Kesulitan ini kemudiannya membawa beliau kepada kelaziman menggunakan simbol khasiuntuk menggantikanuntuk mencegah kesilapan ini.Abad ke-18melihatkan titik peluhAbraham de MoivredanLeonhard Euler. De Moivre (1730) dihargai dengan formula terkenal yang dinamakan bersempena beliau, iaituformula de Moivre:

dan Euler (1748) pulaformulaanalisa kompleksEuler:

Kewujudan nombor kompleks tidak diterima sepenuhnya sehingga petafsiran geometri telah dihuraikan olehCaspar Wesselpada tahun1799; pentafsiran ini ditemui semula beberapa tahun kemudian dan dipopularkan olehCarl Friedrich Gauss, dan kesannya, teori nombor kompleks mengalami satu pengembangan yang penting. Apa pun, dea gambaran nombor kompleks secara grafik turut timbul seawal tahun 1685, dalamDe Algebra tractatusolehJohn Wallis.Juga pada tahun 1799, Gauss mengemukakan bukti diterima umum pertama bagiteorem asas algebra, untuk menunjukkan bahawa setiap polinomial pada nombor kompleks mempunyai set penuh penyelesaian dalam bidang ini. Penerimaan umum teori nombor kompleks ini tidak sedikit pun merupakan hasilAugustin Louis CauchydanNiels Henrik Abel, khususnya Abel yang merupakan yang pertama untuk berani menggunakan nombor kompleks lalu mencapai kejayaan yang terkenal.Gaussmengkajinombor-nombor kompleks bagi bentuk, yang manaadanbadalah integer atau nisbah (daniialah salah satu daripada dua punca). Anak muridnya,Ferdinand Eisenstein, mengkaji, yang manaialah punca kompleks bagi. Kelas-kelas nombor kompleks sedemikian yang lain (iaitumedan siklotomik) berasal daripadapunca keseanbagi nilai-nilaiyang lebih tinggi. Pengitlakan ini banyak berpunca daripadaKummeryang juga menciptanombor unggulyang diungkapkan sebagai entiti geometri olehFelix Kleinpada tahun 1893. Teori am medan-medan ini direka olehvariste Galoisyang mengkaji medan-medan yang dijana olej akar kepada mana-mana persamaan polinomial

pada tahun1850Victor Alexandre Puiseuxmengambil langkah penting untuk membezakan antara kutub dan titik cabang, dan memperkenalkan konseptitik tunggal asas; ini kemudiannya akan membawa kepada konsepsatah kompleks dilanjutkan.

Nombor perdanaNombor-nombor perdanatelah dikaji pada sepanjang sejarah tercatat. Euclid mengekhaskan sebuah buku dalamUnsur-unsurnya untuk teori nombor perdana; dalam buku itu, beliau membuktikan ketakterhinggaan nombor-nombor perdana sertateorem asas aritmetik, dan menyampaikanalgoritma Eucliduntuk memperolehpembahagi sepunya terbesaruntuk dua nombor.Pada tahun240 SM,EratosthenesmenggunakanSaringan Eratosthenesuntuk mengasingkan nombor-nombor perdana dengan cepat. Bagaimanapun, kebanyakan perkembangan lanjutan bagi teori nombor perdana di Eropah wujud sejakZaman Pembaharuan Renaissancedan zaman-zaman kemudian.Pada tahun1796,Adrien-Marie Legendremenerkateorem nombor perdana, dan memerihalkan taburan asimptot untuk nombor-nombor perdana. Hasil-hasil lain mengenai taburan nombor perdana termasuk bukti Euler yang menyatakan bahawa hasil tambah untuk salingan-salingan mencapah, sertakonjektur Goldbachyang mendakwa bahawa mana-mana satu nombor genap yang cukup besar adalah hasil tambah dua nombor perdana. Lagi satu konjektur yang berkaitan dengan taburan nombor-nombor perdana ialahhipotesis Riemannyang dirumuskan olehBernhard Riemannpada tahun1859. Teorem nombor perdana akhirnya dibuktikan olehJacques HadamarddanCharles de la Vallee-Poussinpada tahun1896.

Tambahan Bombor PerdanaDalammatematik,nombor perdanaadalahnombor asliyang lebih besar daripada1, yang faktorpembahaginyacuma 1 dan bilangan itu sendiri. Sebagai contoh,2dan3adalah nombor perdana. 4 bukan nombor perdana kerana 4 boleh dibahagi 2. Sepuluh nombor perdana yang pertama ialah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.Jika suatu bilangan yang lebih besar daripada satu bukan nombor perdana, maka bilangan itu disebutnombor komposit. Cara termudah untuk menentukan nombor perdana yang lebih kecil daripada bilangan tertentu adalah dengan menggunakansaringan Eratosthenesmanakalasaringan Atkinagak pantas.Nombor perdana terbesar[sunting|sunting sumber]Nombor perdana terbesar yang diketahui setakat ini ialah 243,112,609 1. Bilangan ini mempunyai 12,978,189 digit dan merupakannombor perdana Mersenneyang ke-45. Ditemui oleh Great Internet Mersenne Prime Search pada23 Ogos2008.Nombor perdana terkecil dan satu-satunya nombor perdanagenapialah2.Konjektur penting[sunting|sunting sumber]Terdapat beberapa konjektur (tekaan) yang penting dalam matematik yang melibatkan nombor perdana. Antaranya ialah: Hipotesis Riemann Konjektur perdana kembar Konjektur Goldbach

The history of Numbers (Number Theory)Here are explained the history and development of the number (number theory) from the ancient time until being used now.a.History of Ancient MathematicalAt first, in ancient times, many nations who reside along the major rivers.The Egyptians along the Nile in Africa, the people of Babylonia along the river Tigris and Eufrat, Hindu race along the river Indus and the Ganges, the Chinese people along the Huang Ho and the Yang Tze.Nations is in need of skills to deal with floods, drying the marshes, making irrigation to cultivate the land along the river into the agricultural area for the required practical knowledge, that knowledge and mathematical techniques together.History shows that the initial Math from people who reside along the river flow.They require calculations, removal of which can be used in accordance with the changing seasons.Necessary measuring instruments to measure Persil Persil-owned land.The increase of civilization requires evaluating the trade, finance and tax collection.For practical needs it is needed the numbers.The number was originally used only to remember the number, but in the long himpunanelah treasury specialists add mathematical symbols and the right words to define the number then becomes the subject of mathematics is essential for life and we can not pungkiri that in everyday life we will always meetwith the name of, because the number is always required both in technology, science, economy or the world of music, philosophy and entertainment, and many other aspects of life.Number of previously used as a symbol to replace an object such as pebbles, twigs, each tribe or nation has its own way to describe the number in the form of symbols.In further development, the X ditemukanlah century Spanish manuscript that contains the number of symbols written by ancient Hindu-Arabic nations and style of writing that has been a symbol of the embryo of writing we used so far.b.Development of Number Theory1) Number Theory Babylonia quarterBabylonian mathematics refers to the mathematics developed by the people of Mesopotamia (now Iraq) since the beginning of the Sumerian to the beginning of Hellenistic civilization.Called the "Babylonian Mathematics" because the main role of the area of Babylonia as the place to learn.At the time of Hellenistic civilization, Mathematics Babylonian Mathematics united with Greece and Egypt to raise the Greek Math.Then under Islamic Kekhalifahan, Mesopotamia, specialized Baghdad, once again became an important center of Islamic study Mathematics.Contrary to langkanya resources on Egyptian Mathematics, Babylonian Mathematical knowledge passed down from more than 400 plates of clay excavated since the 1850s.Written in nail plates while still wet clay, and baked in the oven or dried in the sun.Some of them were home-based work.Terdini mathematical proof is the work of the people writing the Sumerians, who developed an ancient civilization in Mesopotamia.They developed complex system of metrology since 3000 BC.From about 2500 BC to the face, the Sumerian people write multiplication tables on clay plates and dealing with geometrical exercises and sharing issues.Terdini Trail system also refers to the number of Babylonia during this period.Most of the clay plates are known to originate from the years 1800 until 1600 BC, and covers the topics of fractions, algebra, quadratic and cubic equations, and calculation of the number of regular, inverse multiplication, and the number of prime twins.Plates also include multiplication tables and linear equation solving methods and quadratic equations.7289 BC Babylonia plates give the approximate to 2 accurate to five decimal places.Babylonian mathematics was written using a system of sexagesimal (base-60).From here down the use of 60 seconds to a minute, 60 minutes to an hour, and 360 (60 x 6) degrees to a circle rotation, the use of seconds and minutes on the arc of a circle represents the fraction of degrees.Also, unlike the Egyptians, Greeks, and Roman, Babylonian people have a system where the true value, where the numbers are written in the left column specifies the value that is larger, as in the decimal system2) Theoretical Number In Ancient Egypt EthnicsEgyptian mathematics refers to mathematics written in the language of Egypt.Since civilization Hellenistic Egyptians melt with math math Greek and Hellenistic Babylonia who raised Math.Continues the study of mathematics in Egypt under the Islamic Caliphate as a part of Islamic mathematics, when Arabic became the written language of Egyptian intellectuals.Egypt's mathematical writings is how long is the Sheet Rhind (sometimes also called "Ahmes Sheet" by the author), is estimated to originate from 1650 BC, but probably the sheet is a copy of older documents from the Central Government, namely the years 2000-1800 BC.User instruction sheet is for students Arithmetic and geometry.In addition to providing extensive formula and methods of multiplication, sharing, and processing breakdown, is also a proof sheet for other mathematical knowledge, including composite and prime numbers; Arithmetic average, geometric, and harmonic and simple understanding of the Sieve of Eratosthenes andtheory of perfect (ie, number 6).The sheet also includes how to solve linear equations of the line order Arithmetic and geometry.Other important Egyptian mathematical manuscripts are sheets Moscow, also from the Middle Kingdom period, dated about 1890 BC.This script contains the word or question about the story, which perhaps is intended as entertainment.3) Theory of Numbers In India EthnicsSulba sutras (about 800-500 BC) is the geometry of the writings of using irrational numbers, prime numbers, the order of three cubic root; calculate the square root of 2 to a portion of one hundred thousand; provide a wide circle construction method approaches the squaregiven, solving linear and quadratic equations; develop Pythagorean triples algebraically, and provide numerical evidence for the statement and the Pythagorean theorem.About the 5th century BC to formulate rules of Sanskrit grammar using the same notation with modern mathematical notation, and using meta rules, transformations, and recursion.Pingala (about the 3rd century until the first century BC) in the pamphlet prosodynya use in accordance with the number of binary systems.Pembahasannya about kombinatorika compatible with a basic version of the binomial theorem.Pingala paper also contains a basic idea of the number of Fibonacci.At about the 6th century BC, Pythagoras developed a group of properties is complete (perfect number), the number bersekawan (amicable number), the number of prime (prime number), the number of triangles (triangular number), the number of squares (square number), the number ofhexagons (pentagonal number) and the numbers of polygon (figurate numbers) to another.One of the features of the famous triangle until now called Pythagorean triple, ie: aa + bb = cc of discovery through the calculation of the broad area of square sides are the sides of the triangular square with sloping sides (hypotenosa) is c,and the other side is a and b.Other findings were very popular until now is the classification of prime and composite numbers.The number of prime is a positive integer greater than one that does not have positive factors except 1 and the number itself.Positive number other than one and the other prime number called a composite number.Historical records show that the problem of prime numbers has attracted the attention of mathematicians for thousands of years, especially with regard to how many prime numbers and how the formula can be used to find and make a list of prime numbers.With the expansion of literacy and numeracy systems, methods and procedures developed are aritmetis for track work, particularly to address the general problem, through specific measures, which clearly referred to the algorithm.First the algorithm worked by Euclid.At around 4 century BC, Euclid developed the concepts of geometry and the theory of policy.Book VII of Euclid to take an algorithm to find the Greatest Federation factor of two positive integers using a technique or procedure that efficiently, through a finite number of steps.Word comes from the algorism algorithm.At the time of Euclid, the term is not known.Algorism said came from the name of a famous Muslim and the author of 825 in M., which is Abu Ja'far Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi.The end of his name (Al-Khowarizmi), inspired the birth of the term Algorism.Algorithm in terms of vocabulary at the beginning of most of the computer revolution, that is the end of 1950.In the 3rd century BC, marked by a number of theoretical development work Erathosthenes, now known as Screening Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes).In the next six centuries, Diopanthus published a book called Arithmetika, which discusses solving the equations in whole numbers and rational number, in the form of a symbol (not the form / up geometrically, as developed by Euclid).With the work of this symbol, referred to as one of Diopanthus founder of algebra.4) Theory of Numbers The History of Time (AD)Early rise of modern number theory pioneered by Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), JL Lagrange (1736-1813), AMLegendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), and Hadamard (1865-1963).As a prince of mathematics, Gauss was so entranced to the theory of beauty and charm, and to melukiskannya, it mentions the theory of numbers as the queen of mathematics.At this time, the theory is not only expanding the extent of the concept, but also much applied in many fields of science and technology.This can be seen on the utilization of the concept of the method of lines code, cryptography, computer, and so forth.c.History of Zero FiguresIntroduced as the number of zeros, and as a symbol to fill the empty space the first time by al-Khwarizmi.Zero (0) is in the English language that could mean zero is empty or blank.Around the year 300 BC the Babylonian had started with two slashes (/ /) to indicate an empty place, an empty column in Abacus.This symbol provides an easy way to determine the place of a symbol.Zero is very useful and is a symbol that describes an empty spot in Abacus, a column with stones placed at the bottom.Its purpose is to ensure that these items are in the right places, the number zero does not have a numeric value of its own.At zero computer can harm the system, because there is no zero mean.Whatever the number multiplied by zero the result is not there.Well this is confusing the calculation operations.Note that this example:0 = 0 (zero equal to zero, true)0 x 3 = 0 x 89 (both zero multiplied by a number, because it will be worth zero)(0 x 3) / 0 = (0 x 89) / 0 (a number divided by the number of the same, will be worth it)3 = 89 (???, these results are confusing)Zero conflict with one of the key principles of western philosophy, a dictum which terhujam roots in the philosophy of numbers and the importance grows Phythagoras of Zeno's paradox.the Cosmos Greek erected on pillars: there is no vacancy.December = Greek cosmos created by Phytagoras, Aristotle and are still enduring Ptolemeus himpunanelah Greek civilization collapse.In this cosmos there is no unavailable.Therefore, most of the two Millennium western people not willing to accept zero.Frightening consequences.The absence of zero inhibits the development of mathematics, science and hinder innovation even more dangerous, demoralize removal system.

Sejarah Teori BilanganTeoriadalah serangkaian bagian atau variabel, definisi, dan dalil yang saling berhubungan yang menghadirkan sebuah pandangan sistematis mengenai fenomena dengan menentukan hubungan antar variabel, dengan menentukan hubungan antar variabel, dengan maksud menjelaskan fenomena alamiah. Labovitz dan Hagedorn mendefinisikan teori sebagai ide pemikiran pemikiran teoritis yang mereka definisikan sebagai menentukan bagaimana dan mengapa variable-variabel dan pernyataan hubungan dapat saling berhubungan.Katateorimemiliki arti yang berbeda-beda pada bidang-bidangpengetahuanyang berbeda pula tergantung padametodologidan konteks diskusi. Secara umum, teori merupakan analisis hubungan antara fakta yang satu dengan fakta yang lain pada sekumpulan fakta-fakta . Selain itu, berbeda denganteorema, pernyataan teori umumnya hanya diterima secara sementara dan bukan merupakan pernyataan akhir yang konklusif. Hal ini mengindikasikan bahwa teori berasal dari penarikan kesimpulan yang memiliki potensi kesalahan, berbeda dengan penarikan kesimpulan pada pembuktian matematika.Dalam ilmu pengetahuan,teoridalam ilmu pengetahuan berartimodelatau kerangka pikiran yang menjelaskan fenomena alami atau fenomena sosial tertentu. Teori dirumuskan, dikembangkan, dan dievaluasi menurutmetode ilmiah. Teori juga merupakan suatuhipotesisyang telah terbuktikebenarannya. Manusia membangun teori untuk menjelaskan, meramalkan, dan menguasai fenomena tertentu (misalnya, benda-benda mati, kejadian-kejadian dialam, atau tingkah lakuhewan). Sering kali, teori dipandang sebagai suatumodelatas kenyataan (misalnya: apabila kucing mengeong berarti minta makan). Sebuah teori membentuk generalisasi atas banyak pengamatan dan terdiri atas kumpulanideyang koheren dan saling berkaitan.Istilahteoritisdapat digunakan untuk menjelaskan sesuatu yang diramalkan oleh suatu teori namun belum pernah terpengamatan. Sebagai contoh, sampai dengan akhir-akhir ini,lubang hitamdikategorikan sebagai teoritis karena diramalkan menurut teorirelativitas umumtetapi belum pernah teramati di alam. Terdapat miskonsepsi yang menyatakan apabila sebuah teori ilmiah telah mendapatkan cukupbuktidan telah teruji oleh para peneliti lain tingkatannya akan menjadihukum ilmiah. Hal ini tidaklah benar karena definisi hukum ilmiah dan teori ilmiah itu berbeda. Teori akan tetap menjadi teori, dan hukum akan tetap menjadi hukum.Sejarah Bilangan (Teori Bilangan)Berikut ini akan dijelaskan mengenai sejarah dan perkembangan bilangan (teori bilangan) dari jaman dahulu sampai yang dipergunakan sekarang ini.a. Sejarah Matematika PurbakalaPada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya himpunanelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.Dalam perkembangan selanjutnya, pada abad ke-X ditemukanlah manuskrip Spanyol yang memuat penulisan simbol bilangan oleh bangsa Hindu-Arab Kuno dan cara penulisan inilah yang menjadi cikal bakal penulisan simbol bilangan yang kita pakai hingga saat ini.b. Perkembangan Teori Bilangan1) Teori Bilangan Pada suku BabiloniaMatematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai Matematika Babilonia karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi 2 yang akurat sampai lima tempat desimal.Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal2) Teori Bilangan Pada Suku Bangsa Mesir KunoMatematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga Lembaran Ahmes berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.3) Teori Bilangan Pada Suku Bangsa IndiaSulba Sutras (kira-kira 800500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.Kira-kira abad ke-5 SM merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit.Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima.Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan oleh Euclid.Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan. Buku Euclid yang ke VII memuat suatu algoritma untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari dua bilangan bulat positif dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang efisien, melalui sejumlah langkah yang terhingga. Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Jafar Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.4) Teori Bilangan Pada Masa Sejarah (Masehi)Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.c. Sejarah Angka NolAngka nol diperkenalkan sebagai bilangan dan sebagai symbol untuk mengisi ruang kosong pertama kali oleh al-Khwarizmi. Nol(0) yang dalam bahasa inggris zero yang dapat diartikan pula empty atau kosong.Sekitar tahun 300 SM orang babilonia telah memulai penggunaan dua buah garis miring( // ) untuk menunjukkan sebuah tempat kosong, sebuah kolom kosong pada Abakus. Simbol ini memudahkan seseorang untuk menentukan letak sebuah symbol. Angka nol sangat berguna dan merupakan simbol yang menggambarkan sebuah tempat kosong dalam Abakus, sebuah kolom dengan batu-batu yang ditempatkan di dasar. Kegunaannya hanya untuk memastikan bahwa butiran-butiran tersebut berada di tempat yang tepat, angka nol tidak memiliki nilai numeric tersendiri.Pada komputer nol ini dapat merusak sistem, karena nol diartikan tidak ada. Berapapun bilangan dikalikan dengan nol hasilnya tidak ada. Nah inilah yang membuat bingung dalam operasi perhitungan. Perhatikan contoh ini :0 = 0 ( nol sama dengan nol, benar)0 x 3 = 0 x 89 (nol sama-sama dikalikan dengan sebuah bilangan, karena juga akan bernilai nol)(0 x 3)/0= (0 x 89)/0 (sebuah bilangan dibagi dengan bilangan yang sama, akan bernilai satu)3 = 89 (???, hasil ini yang membuat bingung)Angka nol berbenturan dengan salah satu prinsip utama filsafat barat, sebuah dictum yang akar-akarnya terhujam dalam filsafat angka Phythagoras dan nilai pentingnya tumbuh dari paradoks Zeno. seluruh cosmos Yunani didirikan di atas pilar: tak ada kekosongan. Kosmos Yunani yang dis=ciptakan oleh Phytagoras, Aristoteles dan Ptolemeus masih lama bertahan himpunanelah keruntuhan peradaban Yunani. Dalam kosmos ini tak ada ketiadaaan. Oleh karena itu, hampir sepanjang dua milinium orang-orang barat tak bersedia menerima angka nol. Konsekuensinya sungguh menakutkan. Ketiadaan angka nol menghambat perkembangan matematika, menghalangi inovasi sains dan yang lebih berbahaya, mengacaukan sistem penanggalan.>> Pengertian teori bilanganSecara tradisional,teori bilanganadalah cabang darimatematikamurni yang mempelajari sifat-sifatbilangan bulatdan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat mudah mengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika.Dalamteori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentangsifat dapat dibagi,algoritma Euklideanuntuk menghitungfaktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalambilangan prima, penelitian tentangbilangan sempurnadankongruensidipelajari di sini.Pernyataan dasarnya adalahteorema kecil Fermatdanteorema Euler. Jugateorema sisa Tiongkokdan hukumkeresiprokalan kuadrat. Sifat darifungsi multiplikatifsepertifungsi Mbiusdanfungsi phi Eulerjuga dipelajari. Demikian pulabarisan bilangan bulatsepertifaktorialdanbilangan Fibonacci.Bilanganadalah suatu konsepmatematikayang digunakan untukpencacahandanpengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagaiangkaatau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangannol,bilangan negatif,bilangan rasional,bilangan irasional, danbilangan kompleks.Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagaioperasinumeris.Operasi unermengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalahoperasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalahpenjumlahan,pengurangan,perkalian,pembagian, danperpangkatan. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagaiaritmetika.]Angka, bilangan, dan nomorDalam penggunaan sehari-hari,angkadanbilangandannomorseringkali disamakan. Secara definisi, angka, bilangan, dan nomor merupakan tiga entitas yang berbeda.Angkaadalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkanbilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan menggunakanangka Hindu-Arab5 (sistem angka berbasis 10), 101 (sistem angka biner), maupun menggunakan angka Romawi V. Lambang 5, 1, 0, dan V yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagaiangka.Nomorbiasanya menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan. Misalnya kata nomor 3 menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, , dst. Kata nomor sangat erat terkait dengan pengertianurutan.Jenis bilangan-bilangan SederhanaAda berbagai jenis bilangan. Bilangan-bilangan yang paling dikenal adalahbilangan bulat0, 1, -1, 2, -2, dan bilangan-bilangan asli1, 2, 3, , keduanya sering digunakan untuk berhitungdalamaritmatika.Bilangan cacahadalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 }. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Himpunan semua bilangan bulat dalam buku-buku teks aljabar biasanya dinyatakan dengan lambangZdan sedangkan himpunan semua bilangan asli biasanya dinyatakan dengan lambangN.Setiap bentuk rasiop/qantara dua bilangan bulatpdan bilangan bulat tak nolqdisebutbilangan rasionalataupecahan. Himpunan semua bilangan rasional ditandai denganQ.Konsep Hingga Terhitung dan Tak TerhitungUnsur-unsur ketiga himpunanN,ZdanQdi atas masih bisa diurutkan (enumerated) tanpa ada satu pun yg tersisa atau tercecer. Himpunan berukuran tak hingga yg bisa diurutkan ini disebut himpunanterhitung(Inggris:countableataudenumerable).Himpunan semua bilangan alami (real numbers), yaitu semua bilangan rasional digabung dengan semua bilangantak rasional(atauirasional), dinyatakan dengan lambangR. Himpunan ini selain berukuran tak hingga, juga himpunan tak terhitung sebab bisa dibuktikan secara matematis, setiap usaha untuk mengurutkannya selalu gagal, karena menyisakan bilangan alami.Silakan bacahttp://planetmath.org/encyclopedia/CantorsDiagonalArgument.htmluntuk contoh pembuktian di atas. Fakta ini menjadi titik awal untuk membedakan dua konseptak hinggadalam matematika: tak hingga terhitung dan tak hingga tak terhitung.Untuk contoh bagaimana matematikawan mendefinisikan bilangan melalui berbagai aksioma, lihatstruktur abstrak,bilangan asliatauuniversal.Benda apakah sebuah bilangan itu?Setiap bilangan, misalnya bilangan yang dilambangkan dengan angka 1, sesungguhnya adalah konsep abstrak yang tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifatuniversal. Misalnya, tulisan atau ketikan1yang terlihat di layar monitor dan Anda baca saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan 1 yang tertangkap oleh indera penglihatan Anda berkat keberadaan unsur-unsur kimia yang peka cahaya dan digunakan untuk menampilkan warna dan gambar di layar monitor.Demikian pula jika Anda melihat lambang yang sama di papan tulis, yang Anda lihat bukanlah bilangan 1, melainkan serbuk dari kapur tulis yang melambangkan bilangan 1.Teori bilangan pada saat ini jauh lebih kompleks daripada sekedararitmatikadan aplikasinya lebih banyak pada berbagai ilmu dan teknologi mutakhir, misalnya padakriptografi. Silakan Anda dapat membaca contoh isi mata kuliah teori bilangan dalam link ini:http://modular.fas.harvard.edu/edu/Fall2001/124/Perlu diketahui, masalah dalam teori bilangan yang dikenal denganTeorema Terakhir Fermatbaru bisa dipecahkan setelah berumur ratusan tahun.