rekayasa gempa

V - 1

BAB V

SISTEM DERAJAT KEBEBASAN TUNGGAL TAK TEREDAM

(UNDAMPED SINGLE DEGREE OF FREEDOM SYSTEM)

V.1. Umum

Dalam dinamika struktur, jumlah koordinat bebas (independent coordinates) diperlukan

untuk menetapkan susunan atau posisi sistem pada setiap saat, yang berhubungan

dengan jumlah derajat kebebasan (degree of fredom). Pada umunya, struktur

berkesinambungan (continuous structure) mempunyai jumlah derajat kebebasan

(number of degree of fredom) tak berhingga. Namun dengan proses idealisasi atau

seleksi, sebuah model matematis yang tepat dapat merduksijumlah derajat kebebasan

menjadi suatu jumlah diskrit dan untuk beberapa keadaan dapat menjadi berderajat

kebebasan tunggal. Pada gambar V.1 terlihat beberapa contoh strukur yang dapat

dianggap sebagai struktur berderajat kebebasan tunggal (Single Degree of Fredom)

dalam analisis dinamis, yaitu struktur yang dimodelisasikan sebagai sistem dengan

koordinat perpindahan tunggal (single displacement coordinate).

Gambar V.1. Contoh Struktur yang Dimodelisasikan se bagai Sistem derajat

Kebebasan Tunggal

Sistem derajat kebebasan tunggal ini dapat dijelaskan secara tepat dengan model

matematis seperti pada Gambar V.2, dimana memiliki elemen-elemen sebagai berikut :

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA

V - 2

(1). Elemen massa (m), menyatakan massa dan sifat inersia struktur

(2). Elemen pegas (k), menyatakan gaya balik elastis (elastic restoring force) dan

kapasitas energi potensial dari struktur

(3). Elemen redaman (c), menyatakan sifat geseran dan kehilangan energi dari

struktur

(4). Gaya (F(t)), menyatakan gaya luar yang bekerja pada sistem struktur

Gambar V.2. Model Matematis Sistem Derajat Kebebasa n Tunggal Teredam

Dengan mengambil model matematis pada Gambar V.2, dianggap bahwa tiap elemen

dalam sistem menyatakan satu sifat khusus, yaitu :

(1). Massa (m), menyatakan sifat khusus inersia (property of inertia), bukan elastisitas

atau kehilangan energi.

(2). Pegas (k), menyatakan elastisitas, bukan inersia atau kehilangan energi

(3). Peredam (c), menyatakan kehilangan energi

V.2. Sistem Tak Teredam (Undamped System)

Analisis sistem dasar yang sederhana dalam pembahasan dinamika stukktur adalah

sistem derajat kebebasan tunggal, dimana gaya geseran atau redaman diabaikan, dan

sebagai tambahan, akan ditinjau sistem yang bebas dari gaya aksi gaya luar selama


V - 3

bergerak atau bergetar. Pada keadaan ini, sistem tersebut hanya dikendalikan oleh

pengaruh atau kondisi yang dinamakan kondisi awal (initial condition), yaitu

perpindahan yang diberikan dalam kecepatan pada saat t=0. Sistem derjat kebebasan

tunggal tak teredam seing dihubungkan dengan osilator sederhana tak teredam

(simple undamped oscillator) yang seperti pada gambar V.3(a) dan V.3 (b).

Gambar V.3. Bentuk Alternatif Model Matematis Siste m Derajat Kebebasan

Tunggal

Kedua gambar di atas merupakan model matematis secara dinamis ekivalen dan

hanya tergantung pada pilihan perorangan saja dalam penggunaannya. Pada model ini

massa (m) dihambat oleh pegas (k) dan bergerak menurut garis lurus sepanjang suatu

sumber koordinat. Karakteristik mekanis dari pegas digambarkan antara besar gaya Fs

yang bekerja pada ujung pegas dengan hasil perpindahan y seperti terlihat pada

Gambar V.4 yang menunjukkan secara grafik dari 3 jenis pegas yang berbeda.

Gambar V.4. Hubungan gaya dan perpindahan (a). Pega s Kuat; (b). Pegas Linear;

(c). Pegas Lemah


V - 4

Berdasarkan gambar V.4, karakteristik lengkungan menyatakan :

(a). Pegas Kuat (hard spring), dimana gaya harus memberikan pengaruh lebih besar

untuk suatu perpindahan yang disyaratkan seiring dengan terdeformasinya pegas

(b). Pegas Linear, karena deformasinya selaras (proportional) dengan gaya dan

gambar grafisnya mempunyai karakteristik garis lurus. Konstanta keselarasan

antara gaya dan perpindahan dari pegas linear disebut konstanta pegas (spring

constant), yang biasa dinyatakan dengan “k”, sehingga persamaan yang

menyatakan hubungan antara gaya dan perpindahan pegas linear adalah sebagai

berikut :

Fs = k y ………………………………………… (V.1)

(c). Pegas lemah, dimana pertambahan gaya untuk memperbesar perpindahan

cenderung mengecil pada saat deformasi pegas menjadi makin besar.

V.3. Pegas Seri dan Paralel

Pemasangan konstanta pegas ekivalen suatu sistem dapat dilakukan melalui 2 cara,

yaitu paralel (gambar V.5(a)) dan seri (gambar V.5(b)).

Gambar V.5. Kombinasi Pegas (a). Pegas Paralel; (b) . Pegas Seri

Untuk 2 pegas paralel, gaya P yang diperlukan untuk membuat perpindahan pada

suatu sistem adalah sebesar perkalian antara perpindahan dengan jumlah kedua

konstanta pegas tersebut, sehingga besar kekakuan pegas tota adalah :

ke = k1 + k2 ………………………………………… (V.2)


V - 5

Atau secara umum, dapat dirumuskan sebagai berikut :

………………………………………… (V.3)

dimana : n adalah jumlah pegas yang dipasang paralel

Sedangkan, untuk 2 pegas terpasang seri, gaya P menghasilkan perpindahan total dari

y dari ujung bebas pada susunan pegas sebesar :

………………………………………… (V.4)

Akibatnya, gaya yang diperlukan untuk membuat satu unit perpindahan (konstanta

pegas ekivalen) diberikan oleh :

………………………………………… (V.5)

Dengan mensubstitusikan y dari persamaan ini ke dalam persamaan V.4, maka

didapatkan nilai kebalikan dari konstanta pegas :

………………………………………… (V.6)

Secara umum, konstanta pegas ekivalen yang terpasang seri

…………………………………………(V.7)

dimana : n adalah jumlah pegas terpasang seri

V.4. Hukum Gerak Newton

Hubungan analisis antara perpindahan y dan waktu t, diberikan oleh Hukum Newton

Kedua untuk gerak sebagai berikut :

F = m a ………………………………………… (V.8)

dimana : F : gaya yang bekerja pada partikel massa (m)

a : resultan percepatan


V - 6

Persamaan V.8 dapat ditulis dalam bentuk ekivalen, dimana besaran komponennya

menurut sumbu koordinat x, y dan z, yaitu :

………………………………………… (V.9a)

………………………………………… (V.9b)

………………………………………… (V.9c)

Percepatan didefinisikan sebagai turunan kedua vektor posisi terhadap waktu; yang

berarti ketiga persamaan adalah persamaan differensial. Persamaan Hukum Newton

dapat digunakan pada benda idealis seperti partikel yang bermassa tetapi tidak

bervolume, tetapi juga dapat digunakan pada benda berdimensi yang bergerak. Benda

kaku yang bergerak pada sebuah bidang adalah simetris terhadap bidang gerak

(bidang x-z), sehingga mengakibatkan Hukum Newton perlu dimodifikasi menjadi

………………………………………… (V.10a)

………………………………………… (V.10b)

………………………………………… (V.10c)

dimana

: komponen percepatan sepanjang sumbu x dan y dari pusat benda

yang bermassa G

α : percepatan sudut

IG : momen inersia massa benda terhadap sumbu melalui pusat massa G

: jumlah momen gaya yang bekerja pada benda terhadap sumbu melalui

pusat massa G yang tegak lurus pada bidang x-y

V.5. Diagram Free Body


V - 7

Diagram Free Body adalah suatu sketsa dari benda yang dipisahkan dari benda

lainnya, dimana semua gaya luar pada benda terlihat jelas. Pada gambar V.6(b)

mengilustrasikan Diagram Free Body dari massa oscilator (m) yang dipindahkan pada

arah positif menurut koordinat y, yang memberikan gaya pada pegas sebesar F = k y

(diasumsikan pegas linear)

Gambar V.6. Diagram Free Body, (a). Sistem Derajat kebebasan Tunggal; (b).

Gaya-gaya luar

Berat dari mg dan reaksi normal N dari permukaan penunjang diperlihatkan juga untuk

pelengkap meskipun gaya-gaya ini bekerja pada arah vertikal dan tidak termasuk

dalam persamaan gerak yang ditulis menurut arah y. Penggunaan Hukum Gerak

Newton memberikan

………………………………………… (V.11)

dimana gaya pegas bekerja pada arah negatif mempunyai tanda minus dan

. Pada notasi ini, 2 titik di atas menyatakan turunan

kedua terhadap waktu dan satu titik menyatakan turunan pertama terhadap waktu,

yaitu kecepatan.

V.6. Prinsip d’Alembert

Sebuah alternatif pendekatan untuk mendapatkan persamaan (V.11) adalah

penggunaan prinsip d’Alembert yang menyatakan bahwa sebuah sistem dapat dibuat

dalam keadaan keseimbangan dinamis dengan menambahkan sebuah gaya fiktif pada

gaya-gaya luar yang biasanya disebut dengan gaya inersia.


V - 8

Gambar V.7. Diagram Free Body, (a). Sistem Derajat Kebebasan Tunggal; (b).

Gaya-gaya Luar dan Inersia

Gambar V.7(b) memperlihatkan Diagram Free Body dengan yang

sama dengan massa dikalikan percepatan dan selalu diberikan arah negatif terhadap

koordinat yang bersangkutan. Penggunaan prinsip d’Alembert memungkinkan

pemakaian persamaan keseimbangan untuk mendapatkan persamaan gerak.

Persamaan V.7(b), jumlah gaya-gaya pada arah y memberikan persamaan sebagai

berikut :

………………………………………… (V.12)

Contoh V.1.

Tunjukkan bahwa persamaan differensial yang sama akan didapat gerak vertikal

benda yang tergantung pada pegas dan benda yang sama bergetar sepanjang sumbu

horisontal, seperti pada Gambar V.8(a) dan V.8(b). Diagram Free Body kedua oscilator

sederhana tersebut terlihat pada Gambar V.8(c) dan V.8(e) termasuk gaya inersianya.


V - 9

Gambar V.8. Dua oscilator Sederhana dan Diagram Fre e Body

saat benda pada gambar

V.8(d) dalam posisi seimbang, pegas tertarik sejauh yo satuan dan mengakibatkan

gaya k yo = W (berat benda) ke atas pada benda terebut. Apabila benda berpindah

sejauh y ke bawah dari posisi seimbang, maka besar gaya pegas diberikan oleh Fs = k

yo + k y = W + k y. Hasil tersebut dipakai pada benda Gambar V.8(e) dan Hukum

Newton Kedua untuk gerak didapat :

V.7. Solusi Persamaan Differensial Gerak

Solusi persamaan differensial pada persamaan V.12, dapat dilakukan melalui

pendekatan sistematis yang dimulai dengan mengklasifikasikan persamaan differensial

tersebut. Karena variabel bebas y dan turunan keduanya (demikian pula k dan m)

adalah konstan dan sisi sebelah kanan adalah sama dengan nol, maka persamaan

tersebut diklasifikaskan sebagai homogen dengan koefisien konstan. Sehingga, untuk

memecahkan persamaan differensial linear (homogen atau nonhomogen) dari setiap

orde, yaitu dengan cara trial-error, yaitu sebagai berikut :

y = A cos ωt ………………………………………… (V.13)

atau

y = B sin ωt ………………………………………… (V.14)


V - 10

dimana: A, B : konstanta yang tergantung pada kondisi awal gerak

ω : besaran yang menyatakan besaran fisik sistem

Hasil substitusi persamaan (V.13) ke persamaan (V.12) menghasilkan :

(-mω2 + k) A cos ωt = 0 ………………………………………… (V.15)

Apabila persamaan (V.15) benar untuk setiap besaran waktu, maka faktor yang

terdapat di dalam kurung sama dengan nol, atau

………………………………………… (V.16)

Sehingga

………………………………………… (V.17)

yang disebut frekuensi natural (natural frequency) dari sistem.

Karena persamaan (V.13) dan (V.14) adalah solusi persamaan (V.12) dan persamaan

differensial adalah linear, maka superposisi kedua solusi tersebut, seperti pada

persamaan (V.18), yang merupakan solusi persamaan differensial orde dua dan

mempunyai 2 konstanta integrasi A dan B

y = A cos ωt + B sin ωt ………………………………………… (V.18)

atau

………………………………………… (V.19)

Selanjutnya, perlu ditentukan konstanta integrasi A dan B. Kedua konstanta ini dapat

ditentukan dari perpindahan yo dan kecepatan vo pada kondisi awal yaitu pada saat

t=0. Kedua kondisi ini disebut kondisi awal (initial conditions) dan masalah pemecahan

persamaan differensial dengan kondisi awal disebut problem harga awal (initial value

problem). Sesudah substitusi harga y = yo dan pada saat t = 0 pada persamaan

(V.18) dan (V.19), maka diperoleh persamaan :


V - 11

yo = A ………………………………………… (V.20a)

vo = B ω ………………………………………… (V.20b)

Akhirnya, substitusi A dan B dari persamaan (V.20) ke dalam persamaan (V.18)

memberikan :

………………………………………… (V.21)

dimana merupakan perpindahan y dari oscilator sederhana sebagai fungsi dari variabel

waktu t, jadi masalah struktur model oscilator sederhana dengan derajat kebebasan

tunggal telah diselesaikan.

V.8. Frekuensi dan Periode

Pengujian persamaan (V.21) memperlihatkan bahwa gerakan menurut persamaan

tersebut adalah harmonis dan oleh karena itu periodik, artinya hal tersebut dapat

dinyatakan dengan fungsi sinus atau cosinus frekuensi yang sama, sebesar ω. Periode

dengan mudah dapat ditemukan karena fungsi sinus dan cosinus mempunyai periode

2π. Periode T dari gerak ditentukan oleh

ωT = 2π ………………………………………… (V.22)

atau

………………………………………… (V.23)

Periode biasanya dinyatakan dalam detik per siklus ataupun detik tetapi dengan

pengertian “tiap siklus”. Kebalikan harga periode adalah frekuensi natural f dari

persamaan (V.22)

………………………………………… (V.24)

Frekuensi natural f selalu dinyatakan dalam siklus per second (sps). Sebab besar ω

berbeda dengan frekuensi natural f karena faktor konstan 2π, maka ω, juga sering

dianggap sebagai frekuensi natural. Untuk membedakan kedua pernyataan frekuensi

natural tersbut, ω dapat dikatakan frekuensi natural sudut atau gerak lingkaran (circle


V - 12

or angular). Hal ini sering dapat diketahui dari satuan/dimensi yang digunakan.

Frekuensi natural f diukur dalam siklus per detik sedangkan frekuensi natural sudut ω

selalu diberikan dalam radian per detik (rad/detik)

Contoh V.2

Tentukan frekuensi natural dari sistem pada gambar di atas yang terdiri dari suatu

berat (W) = 225.5 N terpasang pada sebuah balok kantilever oleh pegas k2. Tebal

balok kantilever t = 6.35 mm, lebar = 25.4 mm, modulus elastisitas 2 x 105 MPa dan

L = 317.5 mm. Pegas dengan kekakuan k2 = 1872 N/mm

Lendutan ∆ pada ujung bebas dari balok kantilever akibat gaya statis P, diberikan oleh

Konstanta pegasnya adalah :

dimana (untuk penampang segi 4). Kantilever dan pegas dihubungkan

sebagai pegas terpasang seri, akibatnya konstanta pegas ekivalen yang diberikan oleh

persamaan (V.6) adalah

Dengan mensubstitusikan harga numeriknya, didapat :


V - 13

dan

ke = 1592.36 N/m

Frekuensi natural diberikan oleh

Atau

V.9. Amplitudo Gerak

Bentuk ekivalen dari persamaan (V.21) yang merupakan solusi gerak getaran bebas

dari oscilator tak teredam adalah

y = C sin (ωt + α) ………………………………………… (V.25)

atau

y = C cos (ωt - β) ………………………………………… (V.26)

dimana

………………………………………… (V.27)


V - 14

………………………………………… (V.28)

………………………………………… (V.29)

Sehingga

………………………(V.30)

Gambar V.9. Definisi Sudut αααα

Berdasarkan gambar V.9 terlihat bahwa

………………………………………… (V.31)

Dan

………………………………………… (V.32)

Substitusikan persamaan (V.31) dan (V.32) ke dalam persamaan (V.30) sehingga

menjadi

………………………………………… (V.33)

Pernyataan dalam tanda kurung pada persamaan (V.33) identik dengan sin (ωt + α)

dari persamaan (V.25). Harga C dari persamaan (V.25) atau (V.26) merupakan


V - 15

hubungan antara amplitudo gerak dan sudut α atau β sebagai sudut fasa. Solusi gerak

oscilator sederhana terlihat pada gambar V.10.

Gambar V.10. Respons Getaran Bebas Tak Teredam

Contoh V.3.

Tinjaulah kerangka pada gambar di atas (a) yang merupakan kerangka baja kaku

dimana bekerja gaya dinamis horisontal di tepi atasnya. Sebagai bagian dari

perencanaan suatu struktur yang menyeluruh, diperlukan frekuensi natural dari

kerangka tersebut. Dibuat 2 anggapan :

1. Massa balok dan dinding diabaikan, dan

2. Balok yang cukup kaku untuk mencegah rotasi pada puncak kolom


V - 16

Anggapan ini bukan untuk menyelesaikan masalah akan tetapi untuk

menyederhanakan analisis. Dengan kondisi yang demikian, kerangka ini dapat

dimodelisasikan sebagai sistem massa-pegas seperti pada gambar di atas (b).

Parameter-parameter dari model ini dapat dihitung sebagai berikut :

W = 2918 x 7620 x 10-3 = 22235.16 N

I = 3.43 x 107 mm4

E = 2 x 105 MPa

k = 1722.73 N/mm

Jadi, frekuensi natural adalah

V.10. Ringkasan

- Model matematis dari struktur adalah idealisasi gambaran untuk analisis

- Jumlah derajat kebebasan dari suatu sistem adalah sama dengan jumlah koordinat

bebas yang diperlukan untuk menentukan posisinya.

- Diagram Free Body dari keseimbangan dinamis (menurut penggunaan prinsip

d’Alembert) adalah diagram sistem yang terpisah dari bagian lainnya, yang

menggambarkan semua gaya luar termasuk juga gaya inersia

- Kekakuan atau konstanta pegas dari sistem linear adalah gaya yang diperlukan untuk

membuat satu satuan perpindahan

- Persamaan differensial oscilator sederhana tak teredam dalam gerak bebas adalah


V - 17

Dan solusi umumnya

y = A cos ωt + B sin ωt

dimana A dan B adalah konstanta integrasi yang ditentukan dari kondisi awal :

yo = A

vo = B ω

adalah frekuensi natural dalam rad/s

adalah periode natural dalam detik

adalah frekuensi natural dalam siklus per second (sps)

Persamaan gerak dapat ditulis dalam beberapa bentuk

y = C sin (ωt + α)

atau

y = C cos (ωt - β)

dimana :


V - 18


rekayasa gempa

Documents