pokok bahasan garis singgung lingkaran · pdf filebuatlah dua lingkaran dengan pusat p dan q...
TRANSCRIPT
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
POKOK BAHASAN
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Oleh:
ZAINUL GUFRON SYAHRONI
NIM. 070210191048
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2010
1
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Nama Sekolah : SMP N 2 JEMBER
Mata Pelajaran : MATEMATIKA
Pokok bahasan :GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Kelas/Semester : VIII / GENAP
Alokasi Waktu : 4 40 menit (2 pertemuan)
A. Standar Kompetensi : Mengidentifikasi unsur, bagian lingkaran serta
ukurannya.
B. Kompetensi Dasar : Menghitung panjang garis singgung lingkaran.
C. Indikator
a. Kognitif
Produk:
1) Menemukan sifat-sifat garis singgung lingkaran.
2) Mampu melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar
lingkaran.
3) Menemukan panjang garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar
lingkaran.
4) Mampu melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.
5) Menemukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.
6) Mampu melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran.
7) Menemukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran.
Proses:
1) Melakukan kegiatan matematis (secara geometri) untuk melukis garis
singgung lingkaran.
2) Melakukan kegiatan matematis untuk menemukan panjang garis
singgung lingkaran.
2
b. Afektif (Keterampilan Sosial)
1) Mengembangkan perilaku berkarakter, meliputi: teliti, tekun, tanggung
jawab, kerjasama, jujur, kesabaran, terbuka dan mendengarkan pendapat
teman.
2) Mengembangkan keterampilan sosial, meliputi: bertanya,
menyumbangkan ide atau berpendapat, menjadi pendengar yang baik,
berlatih berkomunikasi verbal dan tulisan, berpikir kreatif dan
sistematis.
c. Psikomotor
1) Melakukan aktivitas melukis garis singgung lingkaran.
D. Tujuan Pembelajaran
a. Kognitif
Produk:
1) Diberikan gambar garis-garis yang memotong lingkaran, siswa dapat
menemukan sifat-sifat garis singgung lingkaran.
2) Diberikan langkah-langkah untuk melukis garis singgung lingkaran,
siswa dapat melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar
lingkaran.
3) Diberikan dalil phytagoras, siswa dapat menemukan panjang garis
singgung lingkaran melalui satu titik di luar lingkaran.
4) Diberikan langkah-langkah untuk melukis garis singgung lingkaran,
siswa dapat melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
5) Diberikan dalil phytagoras, siswa dapat menemukan panjang garis
singgung persekutuan luar dua lingkaran.
6) Diberikan langkah-langkah untuk melukis garis singgung lingkaran,
siswa dapat melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
7) Diberikan dalil phytagoras, siswa dapat menemukan panjang garis
singgung persekutuan dalam dua lingkaran.
3
Proses:
1) Disediakan penggaris dan jangka, siswa dapat melukis garis singgung
lingkaran.
2) Dari gambar hasil melukis garis singgung lingkaran, dengan
menerapkan dalil phytagoras, siswa dapat menemukan panjang garis
singgung lingkaran.
b. Afektif
1) Terlibat dalam proses pembelajaran yang berpusat pada siswa, sambil
mengembangkan perilaku berkarakter, meliputi: teliti, tekun, tanggung
jawab, jujur, kerjasama, sabar, terbuka dan mendengarkan pendapat
teman.
2) Terlibat dalam proses pembelajaran yang berpusat pada siswa sambil
mengembangkan keterampilan sosial, meliputi: bertanya,
menyumbangkan ide atau pendapat, menjadi pendengar yang baik,
berlatih berkomunikasi verbal dan tulisan, berpikir kreatif dan
sistematis.
c. Psikomotor
Disediakan penggaris, jangka dan kertas millimeterblok, siswa dapat
melakukan aktivitas melukis garis singgung lingkaran pada kertas
millimeterblok.
E. Materi Pembelajaran : Garis Singgung Lingkaran (lampiran).
F. Metode / Model Pendekatan Pembelajaran
Metode : Ceramah, Diskusi Kelompok, Tanya jawab, Penugasan.
4
G. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran
Pertemuan I (2 jam pelajaran)
Langkah pembelajaran Peran/Bimbingan Guru
kegiatan pendahuluan
Membuka KBM.
Membangkitkan motivasi
siswa
Mengucap salam kepada siswa.
kegiatan inti
Memberi gambaran awal
tentang garis singgung lingk.
Memberikan gambaran secara
geometri, tentang garis
singgung lingkaran.
Menjelaskan definisi garis
singgung lingkaran.
Melukis garis singgung lingk.
melalui satu titik di luar lingk.
Menemukan panjang garis
singgung lingk. melalui satu
titik di luar lingkaran.
Latihan soal(LKS)
Memberikan contoh dalam kehidupan
sehari-hari.
Menemukan sifat garis singgung
lingkaran.
Menemukan sifat garis singgung
lingkaran.
Memberikan langkah-langkah melukis
garis singgung lingkaran.
Dgn menggunakan dalil phytagoras,
membimbing siswa menemukan
panjang garis singgung lingkaran.
Memberikan LKS kepada siswa.
kegiatan penutup
Membuat kesimpulan dari
materi yang sdh diajarkan.
Menutup KBM.
Bersama siswa membuat kesimpulan
dari materi yang telah diajarkan.
Mengucapkan salam.
5
Pertemuan II (2 jam pelajaran)
Langkah pembelajaran Peran/Bimbingan Guru
kegiatan pendahuluan
Membuka KBM.
Membangkitkan motivasi
siswa
Mengucap salam kepada siswa.
kegiatan inti
Mengulang kembali ringkasan
materi sebelumnya.
Melukis garis singgung
persekutuan luar dua lingk.
Menemukan panjang garis
singgung persekutuan luar dua
lingkaran.
Melukis garis singgung
persekutuan dalam dua lingk.
Menemukan panjang garis
singgung persekutuan dalam
dua lingkaran.
Latihan soal(LKS)
Memberikan penjelasan ulang tentang
garis singgung lingkaran.
Memberikan langkah-langkah melukis
garis singgung lingk .
Dgn menggunakan dalil phytagoras,
membimbing siswa menemukan
panjang garis singgung lingkaran.
Memberikan langkah-langkah melukis
garis singgung lingk .
Dgn menggunakan dalil phytagoras,
membimbing siswa menemukan
panjang garis singgung lingkaran.
Memberikan LKS kepada siswa.
kegiatan penutup
Membuat kesimpulan dari
materi yang sdh diajarkan.
Menutup KBM.
Bersama siswa membuat kesimpulan
dari materi yang telah diajarkan.
Mengucapkan salam.
H. Alat & Sumber Belajar :
Alat : penggaris, jangka.
Modul Matematika Semester genap kelas VII.
I. Penilaian : Teknik Penilaian : Tes Tulis
Instrumen Penilaian : LKS
6
1) Gambar di samping adalah
lingkaran yang berpusat di P
dengan jari-jari PR .
Jika TQ = 8 ,tunjukkan QR
garis singgung lingkaran.
Jawab:
Untuk menunjukan QR garis singgung lingkaran, akan ditunjukan apakah
berlaku teorema Pythagoras? Jika teorema Pythagoras berlaku, maka QR
adalah garis singgung lingkaran.
(PQ)2 = (PR)
2 + (RQ)
2
(PT + TQ)2 = (PR)
2 + (RQ)
2
(....+ 8)2 = (...)
2 + (...)
2
(...)2 = (...)
2 + (...)
2
(...) = (...) + (...)
(...) = (...)
2) Dari titik P di luar lingkaran yang berpusat di titik O dibuat garis singgung PA
dan PB. Jika panjang OA= 9 cm dan OP = 15 cm, hitunglah:
a. panjang AP;
b. luas ∆OAP;
c. luas layang-layang OAPB
LEMBAR KERJA SISWA Pertemuan I
NAMA :……………..
KELAS :…………….
No.ABSEN :…………….
7
jawab:
a. ∆OAP siku-siku di titik A, sehingga: AP2 = OP
2 – OA
2
AP = … 2 − (… )2 = … cm
b. luas ∆OAP = 1
2× OA × AP =
1
2× … × … = ⋯ cm2
c. luas layang-layang OAPB = 2 × ∆OAP = 2 × … . cm2 = … . cm2
3) Sebuah lingkaran yang berpusat di O
memiliki jari-jari r. Jarak titik pusat
ke titik B yang terletak di
luar lingkaran adalah r + 8.
Jika panjang garis singgung
lingkaran yang melalui titik B adalah 12 cm, tentukan panjang jari-jari r!
jawab:
OB2 = OA
2 + AB
2
(r + …)2 = r
2 + (…)
2
r2 + …r + … = r
2 + …
r2 – r
2 + …r = 144 - 64
…r = 144 – 64
r =144−64
….
8
jawaban lks 1) Untuk menunjukan QR garis singgung lingkaran, akan ditunjukan apakah
berlaku teorema Pythagoras? Jika teorema Pythagoras berlaku, maka QR
adalah garis singgung lingkaran.
(PQ)2 = (PR)
2 + (RQ)
2
(PT + TQ)2 = (PR)
2 + (RQ)
2
(5 + 8)2 = (5)
2 + (12)
2
(13)2 = (5)
2 + (12)
2
(169) = (25) + (144)
(169) = (169) Jadi terbukti bahwa QR adalah garis singgung lingkaran.
2) a. ∆OAP siku-siku di titik A, sehingga: AP2 = OP
2 – OA
2
AP = OP 2 − (OA)2 = 15 2 − (9)2 = 225 − 81 = 144 = 12 cm
d. luas ∆OAP = 1
2× OA × AP =
1
2× 9 × 12 =
1
2× 108 = 54 cm2
e. luas layang-layang OAPB = 2 × ∆OAP = 2 × 54 cm2 = 108 cm2
3) OB2 = OA
2 + AB
2
(r+8)2 = r
2 + (12)
2
r2 + 16r + 64 = r
2 + 144
r2 - r
2 + 16r = 144 - 64
16r = 144 – 64
r =144−64
16=
80
16= 5 , Jadi panjang jari-jari lingkaran= 5 cm.
9
1) Pada gambar di samping, AB adalah garis singgung persekutuan luar dua
lingkaran yang berpusat di P dan Q. Hitunglah panjang AB!
Jawab:
jarak kedua titik pusat lingkaran: k = ... cm,
panjang jari-jari lingkaran pertama: R = ... cm,
panjang jari-jari lingkaran kedua: r = ... cm,
panjang garis singgung persekutuan luar = l.
𝑙 = 𝑘2 − 𝑅 − 𝑟 2
𝑙 = (… )2 − …− … 2
𝑙 = … − …
𝑙 = …
𝑙 = …𝑐𝑚
2) Pada gambar di samping, lingkaran O berjari-jari 7 cm dan lingkaran P berjari-
jari 5 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar AB!
Jawab:
AO = R = ... cm
BP = r = ... cm
Kedua lingkaran bersinggungan di luar
sehingga jarak kedua titik pusat lingkaran adalah
OP = R + r = ... + ... = ... cm maka
𝐴𝐵 = (… )2 − …− … 2
𝐴𝐵 = (… )2 − …− … 2
LEMBAR KERJA SISWA Pertemuan II
NAMA :……………..
KELAS :…………….
No.ABSEN :…………….
10
𝐴𝐵 = (… )2 − … 2
𝐴𝐵 = …− … = … .
𝐴𝐵 = … 𝑐𝑚
3) Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan
kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu
lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain.
Jawab:
Panjang garis singgung persekutuan dalam: d = ... cm.
Jarak kedua titik pusatnya: k = ... cm.
Panjang jari-jari (R) salah satu lingkaran: R = ... cm.
𝑑 = 𝑘2 − 𝑅 + 𝑟 2 = … 2 − (… + 𝑟)2
15 = … 2 − (… + 𝑟)2
152 = … 2 − (… + 𝑟)2
225 = … 2 − (…+ 𝑟)2
(…+ 𝑟)2 = … 2 − 225
(…+ 𝑟) = … 2 − 225
… + 𝑟 = …
𝑟 = …− …
𝑟 = …𝑐𝑚
11
jawaban lks 1) Jarak kedua titik pusat lingkaran, k = 17 cm,
panjang jari-jari lingkaran pertama, R = 25 cm,
panjang jari-jari lingkaran kedua, r = 17 cm,
panjang garis singgung persekutuan luar = l.
𝑙 = 𝑘2 − 𝑅 − 𝑟 2
𝑙 = (17)2 − 25 − 17 2
𝑙 = 289 − 64
𝑙 = 225
𝑙 = 15 𝑐𝑚 2) AO = R = 7 cm
BP = r = 5 cm
Kedua lingkaran bersinggungan di luar sehingga jarak kedua titik pusat
lingkaran adalah
OP = R + r = 7 + 5 = 12 cm maka
𝐴𝐵 = (𝑂𝑃)2 − 𝑅 − 𝑟 2
𝐴𝐵 = (12)2 − 7 − 5 2
𝐴𝐵 = (12)2 − 2 2
𝐴𝐵 = 144 − 4 = 140
𝐴𝐵 = 2 35 𝑐𝑚 3) Panjang garis singgung persekutuan dalam: d = 15 cm. Jarak kedua titik
pusatnya: k = 17 cm. Panjang jari-jari (R) salah satu lingkaran: R = 3 cm.
𝑑 = 𝑘2 − 𝑅 + 𝑟 2 = 17 2 − (3 + 𝑟)2
15 = 17 2 − (3 + 𝑟)2
152 = 17 2 − (3 + 𝑟)2
225 = 289 − (3 + 𝑟)2
(3 + 𝑟)2 = 289 − 225
(3 + 𝑟) = 289 − 225
3 + 𝑟 = 8 𝑟 = 8 − 3
𝑟 = 5
Mengetahui: Guru Mata Pelajaran,
Kepala Sekolah...................,
.............................................. ..................................................
NIP. NIP.
12
Lampiran:
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
1.2 Definisi
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu
titik dan tegak lurus jari-jari di titik singgungnya. Titik tersebut dinamakan titik
singgung lingkaran. Pada gambar dibawah, memperlihatkan bahwa garis g
menyinggung lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata
lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada
lingkaran.
2.2 Garis Singgung Lingkaran
2.1 Melukis Garis Singgung Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran
Langkah-langkah melukis garis singgung melalui titik di luar lingkaran:
1) Langkah 1
Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan titik T yang
terletak di luar lingkaran.
2) Langkah 2
Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan
menempat kan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT.
13
3) Langkah 3
Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga memotong
lingkaran dengan pusat O di titik A dan B.
4) Langkah 4
Hubungkan titik A dengan T dan titik B dengan T sehingga diperoleh AT dan BT,
yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T.
Menghitung Panjang Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar
Lingkaran
Perhatikan gambar berikut:
Garis AB dan BC adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O.
Panjang OA = panjang OC = r = jari-jari lingkaran. Oleh karena garis singgung
selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran maka panjang garis singgung AB
dan BC dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras. ΔOAB
merupakan segitiga siku-siku dengan A=90, berlaku teorema Pythagoras,
yaitu:
14
Pada ΔOCB dengan C=90, juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu:
Ternyata, AB = BC ,uraian tersebut menggambarkan definisi berikut. Kedua garis
singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai
panjang yang sama.
2.2 Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran:
1) Langkah 1
Buatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r (r < R).
Kemudian, hubungkan kedua titik pusatnya.
2) Langkah 2
Buatlah busur lingkaran sebarang yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari yang
sama dan panjangnya harus lebih besar dari PQ, sehingga berpotongan di titik M
dan N.
3) Langkah 3
Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.
15
4) Langkah 4
Gambar lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari PT.
5) Langkah 5
Lukislah busur lingkaran yang berpusat di titik P dengan jari-jari R – r sehingga
memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.
6) Langkah 6
Hubungkan P dengan A dan P dengan B, kemudian perpanjang kedua garis
tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat di P pada titik C dan D.
16
7) Langkah 7
Lukislah busur lingkaran dengan pusat di C dan jari-jari AQ sehingga memotong
lingkaran yang berpusat di Q di titik E. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di
D dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik F.
8) Langkah 8
Langkah terakhir adalah menghubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE
dan DF adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P
dan Q.
Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar dua lingkaran
Perhatikan gambar dibawah ini:
17
Garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang
berpusat di P dan Q.
R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama.
r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua.
l adalah panjang garis singgung persekutuan luar AB.
k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.
SQ merupakan translasi dari AB, sehingga panjang AB = panjang SQ = l.
Panjang SP = AP – BQ = R – r.
AB sejajar SQ sehingga – BAP = – QSP = 90˚ (sehadap).
Sekarang, perhatikan ∆SPQ. Oleh karena – QSP = 90˚ maka kita bisa
meng gunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ.
∆SPQ siku-siku di S sehingga:
Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah:
𝑙 = 𝑘2 − (𝑅 − 𝑟)2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑅 > 𝑟
dengan: l = panjang garis singgung persekutuan luar.
k = jarak kedua titik pusat lingkaran.
R = jari-jari lingkaran pertama.
r = jari-jari lingkaran kedua.
2.3 Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
yaitu:
Langkah 1 sampai dengan langkah 4, sama seperti langkah melukis garis
singgung persekutu luar dua lingkaran.
18
5) Langkah 5
Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari (R + r), sehingga
memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.
6) Langkah 6
Hubungkan titik pusat P dengan A dan P dengan B sehingga memotong lingkaran
dengan pusat P di titik C dan D.
7) Langkah 7
Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari AQ sehingga memotong
lingkaran yang berpusat di Q pada titik E.
Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari AQ sehingga memotong
lingkaran yang berpusat di Q pada titik F.
19
8) Langkah 8
Terakhir, hubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis
singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.
Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam dua lingkaran
Perhatikan gambar dibawah ini!
Garis AB merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang
berpusat di P dan di Q.
R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama
dan r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua.
PS = AS + AP = BQ + AP = r + R = R + r.
d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB.
k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.
SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan panjang SQ =
panjang AB = d.
Oleh karena SQ sejajar AB maka PSQ = PAB = 90˚.
Sekarang perhatikan ΔPSQ! Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku
dengan PSQ = 90˚ maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk
mencari panjang SQ.
20
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah
𝑑 = 𝑘2 − (𝑅 + 𝑟)2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑅 > 𝑟
dengan: d = panjang garis singgung persekutuan dalam.
k = jarak kedua titik pusat lingkaran.
R = jari-jari lingkaran pertama.
r = jari-jari lingkaran kedua.