bab iii lingkaran

Bab III : Lingkaran| 30

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak yang sama

itu disebut jari-jari sedangkan titik tetap dinamakan pusat lingkaran

3.1. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI O(0,0)

P(x,y) searah pada

2OP = OP'2 + 2PP'

x2 + y2 = r2

Contoh :

Persamaan lingkaran yang berpusat O

(0, 0) dan jari jari 5 adalah x2 + y2 =

25

3.2. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI (a,b)

222 ABPBPA

r2 = (x – a)2 + (y – b)2

3.3.PERSAMAAN UMUM LINGKARAN (x – a)2 + (y – b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0

x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0

Persamaan umum lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Karena :

A = - 2a a = A21

B = - 2b b = B21

C = a2 + b2 – r2 r2 = a2 + b2 – C

O

P(x,y)

Sb. X

Sb. Y

x

y r

Sb. Y

Sb. X

r

x

y P(x,y)

M(a,b)

a

b

Persamaan Lngkaran yang berpusat di O

Persamaan Lingkaran yang berpusat di (a,b)

31 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Maka :

Pusat lingkaran P ( A21

, B21

)

Jari-jari lingkaran r = Cba 22

r = CBA

22

21

21

r = CBA 22

41

41

Beberapa kemungkinan untuk jari-jari r :

1. Jika CBA 22

41

41

> 0, maka lingkaran itu real

2. Jika CBA 22

41

41

= 0, maka lingkaran itu berupa titik

3. Jika CBA 22

41

41

< 0, maka lingkaran itu imajiner. artinya pusatnya ada dan nyata, tetapi

lingkaran itu hayal karena r2 negatif sehingga tidak ada titik real

Peninjauan persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 :

1. Jika A = 0 maka persamaan lingkaran menjadi x2 + y2 + By + C = 0, sehingga pusat lingkaran

terletak pada sumbu Y atau P (0, - ½ B)

2. Jika B = 0 maka persamaan lingkaran menjadi x2 + y2 + Ax + C = 0, sehingga pusat lingkaran

terletak pada sumbu X atau P (- ½ A, 0)

3. Jika C = 0 maka persamaan lingkaran menjadi x2 + y2 + Ax + By = 0, sehingga lingkaran melalui

(0, 0)

Contoh 7:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (1,2) dengan r = 10 !

Penyelesaian :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2, pusat (1,2), r = 10

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 102

x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 100

x2 + y2 – 2x – 4y – 5 – 100 = 0

Persamaan lingkaran x2 + y2 – 2x – 4y – 5 – 100 = 0

Koordinat titik Pusat Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Jarr-jari Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0



3.4.PERSAMAAN PARAMETER LINGKARAN 1. Persamaan parameter lingkaran x2 + y2 = r2

= sudut yang dibetuk terhadap sumbu x

OP = r = jari-jari lingkaran x2 + y2 = r2

cosrx x = r cos

sinry y = r sin

x = r cos

y = r sin

2. Persamaan Parameter Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2

PR = x – a

QR = y – b

x – a = r cos

y – b = r sin

x = a + r cos

y = b + r sin

3.5.HUBUNGAN GARIS DAN LINGKARAN Kedudukan sebah garis lingkaran ada 3

kemungkinan :

1. Memotong, D > 0

2. Menyinggung, D = 0

3. Tidak memotong, D < 0

Persamaan umum garis lurus : y = mx + n .......................(i)

Persamaan Lingkaran : x2 + y2 = r2 ................................(ii)

Sb. Y

Sb. X

r

P(-x,y)

y

-x P1

Sb. Y

Sb. X

Q(x,y)

T

P(a,b)

y

x

r cos

r sin

θ

D > 0

D = 0

D < 0

0

Persamaan Parameter lingkaran x2 + y2 = r2

Persamaan Parameter lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2


Subs. (ii) (i)

x2 + (mx + n) 2 = r2

x2 + m2x2 + 2mnx + n2 - r2 = 0

(1 + m2) x2 +2mnx + (n2 - r2) = 0

Sehingga : D = (2mn)2 - 4 (1 + m) (n - r2)

Syarat :

D = 0, garis menyinggung lingkaran

D > 0, garis memotong lingkaran

D < 0, garis tidak memotong lingkaran

3.6.PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN 1. Persamaan Garis Singgung P(x1,y1) pada Lingkaran dengan Pusat O (x2 + y2 = r)

Misal : garis g menyinggung di titik P(x1,y1)

OP g

mOP = tg

mOP = 1

1

xy

y – y1 = mg ( x – x1 )

y – y1 = 1

1

yx

(x – x1 )

yy1 – y12 = – xx1 + x1

2

xx1 + yy1 = x12 + y1

2

xx1 + yy1 = r2

2. Persamaan Garis Singgung di P(x1, y1) pada Berpusat (a, b)

Misalkan g menyinggung di titik P(x, y)

OP g

mOP = axby

1

1

mOP g

1mgmOP

mg =byax

1

1

P(x1y1)

Sb. Y

Sb. X y1

x1 g

P(x1,y1)

x1

y1

a

b

(a,b) x1 - a

y 1 -

b

Sb. X

Sb. Y

Persamaan garis singgung di

titik P(x1, y1) dengan pusat O

syarat mOP g

1mgmOP

mg = -1

1

yx



y = mx r )1( 2m

y – y1 = byax

1

1 (x –x1)

(y – y1) (y1 - b) = (x1 – a) (x – x1) dengan menguraikan sendiri akan diperoleh

xx1 – ax + ax1 + a2 + yy1 – by – by1 + b2 = x12 - 2ax1 + a2 + y1

2 – 2by1 + b2

( x - a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = (x1 – a)2 + (y1 – b)2

(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2 Persamaan garis singgung di P(x1, y1)

pada (x –a)2 + (y - b)2 = r2

Analog :

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0

x1x + y1y + 21 A(x + x1) + 2

1 B(y + y1) + C = 0

3. Persamaan Gari Singgung dengan Gradien m

Misal : persamaan garis singgung dengan gradien m

y = mx + n ……………….….(1)

x2 + y2 = r2 ……………….….(2)

x2 + y2 = r2

x2 + (mx + n)2 = r2

x2 +m2x2 +2mnx + n2 = r2

(1+ m2)x2 + 2mnx + ( n2 – r2) = 0 ….….(3)

syarat menyinggung D = 0

b2 – 4ac = 0

(2mn)2 – 4 (1 + m2) . (n2 – r2) = 0

4m2n2 – 4 (n2 – r2 + m2n2 – m2r2) = 0

2m2n2 – 4n2 + 4r2 – 4m2n2 + 4m2n2 = 0

-4n2 + 4r2 + 4m2r2 = 0 : 4

- n2 + r2 + m2n2 = 0

n2 = r2 + m2r2

n2 = r2 (1 + m2)

n = )1.( 22 mr m = r )1( 2m

Sehingga :

Analog : Persamaan garis singgung pada lingkaran(x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah

y – b = m (x – a) r )1( 2m

Sb. X

Sb. Y

Persamaan garis singgung pada

lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien m


x0x + y0y = r2

Contoh 8 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik yang

a) Ber-absis – 4

b) Ber-ordinat 4

Penyelesaian :

a) Ber-absis – 4

x = – 4 memenuhi x2 + y2 = 25

(– 4)2 + y2 = 25

16 + y2 = 25

y = 9

y = 3

Persamaan garis singgung pada x2 + y2 = 25 adalah xx1 + yy1 = r2 yaitu,

2534 yx dan 2534 yx

b) Ber-ordinat 4

y = 4 memenuhi x2 + y2 = 25

x2 + (4)2 = 25

x2 + 16 = 25

x2 = 9

x = 3

Persamaan garis singgung pada x2 + y2 = 25 adalah xx1 + yy1 = r2 yaitu,

2543 yx dan 2543 yx

3.7. PERSAMAAN GARIS KUTUB (GARIS POLAR) Jika titik P(xo , yo) di luar lingkaran x2 + y2 = 0 , maka dapat ditarik dua garis singgung

melalui titik- titik S1 (x1 , y1) dan S2 (x2 , y2)

Kedua persamaan garis singgung itu adalah

S 1PS : x1x + y1y = r2

S 1PS : x2x +y2y = r2

karena kedua garis singgung tersebut melalui titik P(x0, y0)

maka berlaku bahwa

S 1PS : x1x0 +y1y0 = r2 dan

S 2PS : x2x0 + y2y0 = r2

Dari dua persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik S1 dan S2 memenuhi

persamaan :

Dan berarti juga bahwa persamaan garis itu melalui titik singgung S1 dan S2, hal itu biasa disebut tali

busur singgung dari titik P.

O

S1

S2



Jika diperhatikan persamaan tali busur singgung tersebut bentuknya sama dengan persamaan garis

singgung, jika titik P sebagai titik singgungnya. Tanpa memperhatikan letak titik P, di dalam, di luar,

atau pada lingkaran, maka persamaan x0x+ y0y = r2 dinamakan persamaan garis kutub di P(x0, y0)

terhadap lingkaran x2 + y2 =r2

Analog (dengan cara yang mirip / sama), maka kita dapat menentukan persamaan garis kutub (garis

polar) titik P(x0 ,y0) terhadap lingkaran (x – a)2 (y – b)2 = r2

Yaitu : (x0 – a) ( x - a) + (y0 – b) (y – b) = r2

Sedangkan persamaan garis kutub di titik P(x0, y0) terhadap lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0

yaitu: x0x + y0y +21 A(x + x0) +

21 B(y + y0) + C = 0

Dari penyelesaian dengan menggunakan rumus-rumus di atas, dapat disimpulkan bahwa :

1. Jika titik P diluar , maka garis kutubnya berupa tali busur singgung

2. Jika titik P pada , maka garis kutubnya merupakan garis singgung lingkaran

3. Jika titik P dalam , maka garis kutubnya tidak memotong

Contoh 9 :

1) Buatlah persamaan garis singgung dari titik (–1,–3) pada lingkaran 208422 yxyx !

Penyelesaian:

Dari 208422 yxyx , diperoleh pusatnya

)8(

21,4

21

21,

21 BA

)4,2( dan

Jari-jari :l r = CBA 2412

41

= 40206416 41

41

Kita periksa dulu apakah titik (–1,–3) di luar, di dalam, atau pada lingkaran

20381431 22

0102024491 , berarti titik (–1,–3) diluar lingkaran, ini berakibat ada dua garis

singgung yang dapat ditaksir dari titik (–1,–3) segingga menyinggung lingkaran tersebut.

Persamaan garis kutub dari titik (–1,–3)

40)43)(4()21)(2( yx

(x – 2) 1 + (y – 4) (-7) = 40

x + 2 – 7y + 28 – 40 = 0

x – 7y – 10 = 0 atau x = 7y + 10

x = 7y + 10 memotong pada lingkaran 208422 yxyx

0208)107(4107 22 yyyy

y2 + 49y2 + 140y + 100 + 28y + 40 – 8y – 20 = 0

50y2 + 160y + 120 = 0


5y2 + 16y + 12 = 0

(5y + 6) (y + 2) = 0

y = 56

atau y = – 2

untuk y = 56

x = 7y + 10

= 7

56

+ 10

= 542

+ 10

= 58

S1

58

,

56

Untuk y = – 2 x = 7y + 10

= 7 (-2) + 10

= -14 + 10

= -4 S2 2,4

Jadi persamaan garis singgung yang melalui S1

58 ,

56 adalah

(x – a) ( x1 - a) + (y – b) (y1 – b) = r2

4045642

582

yx

0405

104526

536

518

yx

19x – 26y + 36 + 104 – 200 = 0

9x – 13y – 30 = 0

Persamaan garis singgung yang melalui S2 2,4

(x – a) ( x1 - a) + (y – b) (y1 – b) = r2

(x + 2) (- 4 + 2) + (y – 4) (-2 – 4) = 40

(x + 2) (-2) + (y – 4) (-6) = 40

- 2x – 4 – 6y + 24 – 40 = 0

- 2x – 6y – 20 = 0 x (-1/2)

x + 3y + 10 = 0



2) Tentukanlah persamaan garis singgung dari lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 yang melalui titik (5,1) !

Penyelesaian :

Kita periksa dulu apakah titik (5,1) di luar, di dalam atau pada lingkaran

x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0

52 + 12 – 4 (5) + 6 (1) – 12 = 25 + 1 – 20 + 6 – 12

= 0, berarti titik (5,1) pada

Jadi, garis kutub = garis singgung lingkaran itu sendiri, yaitu ;

x1x + y1y +21

A(x + x1) + 21

B(y + y1) + C = 0

5x + y + 21

(-4)(x+5) + 21

(6) (y +1) – 12 = 0

5x – 2x + y + 3y - 10 + 3 – 12 = 0

3x + 4y – 19 = 0

3) Tentukan persamaan garis kutub titik P(–1,3) terhadap lingkaran

x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 selidiki apakah garis kutub itu memotong, menyinggung atau tidak memotong

!

Penyelesaian:

Persamaan garis kutubnya :

021

21

0000 CyyBxxAyyxx

020)3)(6(21)1)(2(

2131 yxyx

02091)3(3)1(1 yyxx

0282 x

014 x

Untuk menyelidiki apakah garis kutub itu memotong, menyinggung atau tidak memoyong , cukup

dengan

P(–1,3), 20)3(61231 222

0262018291

Titik P(–1,3) di dalam lingkaran, berati garis kutub tidak memotong lingkaran itu


4) Jika diketahui garis kutubnya terhadap lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y + 5 = 0 adalah 0122 yx .

Tentukan titik kutubnya!

Penyelesaian :

Misalkan titik kutubnya 11, yx , maka persamaan garis kutub terhadap lingkaran tersebut adalah :

021

21

1111 CyyBxxAyyxx

0532 1111 yyxxyyxx

053232, 111 yxyyxx

Garis yang diperoleh ini berhimpit dengan garis 0122 yx , sehingga

12532

23

11111

yxyx

atau

5322412342

111

11

yxxyx

2931472

11

11

yx

yx

13

293122136

11

11

yxyx

188 11 xx

72 11 yx 7)1(2 1 y

51 y

Titik kutub yang di cari adalah )5,1(

* KUASA DAN PANJANG GARIS SINGGUNG Harga hasil kali yang tetap disebut kuasa titik P

terhadap M,

Yaitu :2

PA =2

PM – 2

AM

= (x1 – a)2 + (y1 – b )2 – r2

2PA = K

K = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 - r2

Jadi panjang PA = K , atau jika persamaan lingkarannya x2 + y2 +Ax + By + C = 0, maka kuasa titik

P(x1, y1) terhadap itu adalah hasil yang tetap yaitu ; 2

PA = 1PC . 2PC

= )rPM )rPM

Sb. Y

Sb. Y

A

P(x1,y1)

M(a,b)

B2

C2

D2

D1

C1

B1

O

P

A



= 2

PM - r2

= (x1 – a)2 + (y1 – b)2 - r2

Ingat : a = - 21

A

b = - 21

B

2PA K = (x1 +

21

A)2 + (y1 + 21

B)2 – r2

= x12 + y1

2 + Ax1 + By1 + C

Jadi kuasa titik P(x1, y1) pada x2 + y2 +Ax + By + C = 0

adalah x12 + y1

2 + Ax1 + By1 + C dan panjang garis singgungnya PA = K

Catatan :

1. Jika titik P di luar lingkaran, maka harga K positif (K > 0)

2. Jika titik P pada lingkaran, maka K = 0

3. Jika P di dalam lingkaran, maka K < 0 (K negatif)

Contoh 10 :

1) Tentukan garis kuasa dan panjang dari titik P(2,1) pada lingkaran:

x2 + y2 – 2x + 4y + 1= 0

penyelesaian

K = x2 + y2 – 2x + 4y + 1

= 22 + 12 – 2 (2) + 4 (1)+ 1

= 5 – 4 +5

=6

Panjangnya P = 6

2) Tentukan kuasa dan panjangnya dari titik A(–1,4) pada lingkaran yang berpusat (2,–1) dan jari-jari 5!

Penyelesaian

Kuasa titik P(–1,4) terhadap

222 512 yx adalah

K = 2512 22 yx

= 251421 22

= 9 + 25 – 25

= 9

panjangnya = 3

r2 = 41 A2 +

41 B2 – C

Jari-Jari Lingkaran dengan persamaan lingkaran x2 + y2 +Ax + By + C = 0


* GARIS KUASA Garis kuasa adalah tempat kedudukan titik yang berkuasa sama terhadap dua lingkaran. Dengan

demikian ada beberapa kemungkinan :

1. Jika kedua lingkaran itu berpotongan, maka garis kuasanya ialah garis yang melalui kedua

titik potong lingkaran itu

MN = garis sentral

K = garis kuasa terhadap M dan N

MN selalu terhadap garis kuasa K

Definisi :

a) Sudut antara dua lingkaran yang di apit oleh garis-garis pada lingkaran-lingkaran di titik potong kedua

lingkaran itu. Jika 90 atau kedua lingkaran saling , maka berlaku MNA siku-siku di A,

sehingga 2

MN = Mr 2 + Nr 2

b) Suatu lingkaran dapat memotong lingkaran lain sedemikian hingga menjadi dua busur yang sama, M

membagi dua N, maka MNA siku-siku di N, sehingga berlaku 2

MN = 2Mr - 2

Nr

2. Jika lingkaran itu bersinggungan maka garis kuasanya adalah garis singgung persekutuan

antara dua lingkaran itu.

a) MN = MR + NR

MN = Garis sentral

Garis kuasa M dan N adalah garis singgung

persekutuan dua lingkaran M dan lingkaran N

N M

A

K

K

M N

45o

A

K

N M

K

r R



b)

MN = MR - Nr

MN = Garis sentral

Contoh 11

1 Tentukan nilai K, agar x2 + y2 – 4x + 6y – k = 0 membagi dua sama besar !4)1( 22 yx

Penyelesaian :

x2 + y2 – 4x + 6y – k = 0, berpusat di M(2,-3) dengan kr M 13

4)1( 22 yx , berpusat di N(0,1), dengan jari-jari Nr = 2

Sehingga berlaku 222NM rrMN

(2 – 0)2 + (– 3 – 1) 2 = 213 k - 22

4 + 16 = 13 + k – 4

K = - 13 + 4 + 20

= 11

2. Tentukanlah nilai K agar x2 + y2 – 2x + 4y – k = 0 agar saling tegak lurus dengan

92 22 yx dan tentukan pula persamaan garis kedua lingkaran itu !

Penyelesaian :

x2 + y2 – 2x + 4y – k = 0, berpusat di M(1,–2) Krm 5

92 22 yx , berpuast di N(2,0), r = 3

Karena 090 atau kedua itu saling , maka 222NM rrMN

2222 35)02()21( K

1 + 4 = 5 + K + 9

K = 5 – 14

= –9

Persamaan garis sentral 11

2

12

1

xxxx

yyyyMN

42 xy

M r

R

N

K


3.8. PERSAMAAN GARIS KUASA Ambil persamaan M x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0

N x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0

misal P(x1, y1) pada garis kuasa, kuasa P terhadap :

Lingkaran M k1 x12 + y1

2 + A1x1 + B1y1 + C1

Lingkaran N k2 x22 + y2

2 + A2x2 + B2y2 + C2

P pada garis kuasa (berkuasa sama pada lingkaran M dan N)

K1 = K2

K1 – K2 = 0

x12 + A1x1 + B1y1 + C1 – x2

2 + y22 + A2x2 + B2y2 + C2 = 0

(A1 – A2)x1 + (B1 – B2)y1 + (C1 – C2) = 0 atau

(A2 - A1)x + (B2 – B1)y + (C2 – C1) = 0

Secara simbolik lingkaran M kita misalkan L1 = 0, lingkaran N misalkan L2 = 0, maka persamaan garis

kuasa itu : L1 – L2 = 0

Sifat garis kuasa : Garis kuasa tegak lurus terhadap sentral dari dua lingkaran itu.

Contoh 12

Tentukan garis kuasa kedua lingkaran x2 + y2 = 25 dan x2 + y2 – 6x – 8y – 11 = 0

Penyelesaian:

L1 – L2 = 0 L1 = L2

x2 + y2 – 25 = x2 + y2 – 6x – 8y – 11

6x + 8y – 14 = 0

3x + 4y – 7 = 0

TITIK KUASA Titik kuasa adalah titik yang berkuasa sama besar terhadap 3 buah lingkaran, jadi titik kuasa dari 3

buah lingkaran adalah titik potong dari garis-garis kuasa pada pasang-pasangan lingkaran itu.

Cara melukis garis kuasa antara dua lingkaran yang terletak diluar sesamanya :

Ambil sembarang lingkaran P memotong

lingkaran M dititik A dan B dan

memotong lingkaran N dititik C dan D

Tarik garis K1 = lingkaran M dan

lingkaran P

Tarik garis K3 = lingkaran N dan lingkaran

P

K2 dan K3 berpotongsn dititik K( yaitu titik

kuasa ) yang berarti titik K terletak pada garis kuasa

lingkaran M dan N. Garis K1 yang melalui K dan tegak

lurus MN adalah garis kuasa lingkaran N. k3

k1

k2

N M

P

B D

A C



3.9.BERKAS LINGKARAN Seperti halnya garis :

g1 + g2 = 0

berkas lingkaran berlaku demikian,

Misal : L1 x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 …..........................................(i)

L2 x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 .…......................................(ii)

Misal kita ambil sembarang harga

L1 + L2 = 0

x2 + y2 + A1x + B1y + C1+ ( x2 + y2 + A2x + B2y + C2) = 0

L3 = (1 + )x2 + (A1 + A2) x + (B1 + B2)y + C1 + C2 = 0

x2 + y2 + 0111

212121

CCyBBxAA

………..(iii)

L3 x2 + y2 + A3x + B3y + C3 = 0 …….....………....……….........…(iv)

Pada persamaan (iii) setiap harga diperoleh satu harga yang dapat dimisalkan A3, B3, C3 sehingga

diperoleh persamaan (iv). Persamaan (iv) merupakan hasil perpotongan antara L1 (A) = 0, L2(A) = 0 atau

L1(B) = 0, L2(B) = 0. Dengan kata lain, semua lingkaran yang diperoleh bersama-bersama dengan L1 = 0

dan L2 = 0 membentuk berkas lingkaran dengan rumus :

Catatan :

Kemungkinan-kemungkinan untuk titik-titik dasar :

1. Jika titik dasar itu nyata maka semua anggota berkas berpotongan di titik itu. Anggota-berkas

yang terkecil adalah lingkaran yang berdiameter garis hubung kedua titik dasar.

2. Jika kedua titik dasar berimpit tentulah semua anggota dari berkas juga melalui dua titik yang

berimpit itu dengan kata lain semua anggota berkas yang bersinggung di titik dasar berimpit itu

3. Jika titik dasarnya khayal (lingkaran L1 dan L2 tidak bersinggungan) tentu semua anggota berkas

itu tidak berpotongan.

Sifat berkas lingkaran : Semua anggota berkas selalu melalui titik dasar membentuk pusat dari anggota-

anggota berkas terletak pada sentral.

Contoh 13 :

Tentukan persamaan sebuah berkas lingkaran dengan L1 x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dan

L2 x2 + y2 – 16 = 0, yang melalui titik (3,1) !

Penyelesaian :

x2 + y2 + 0111

212121

CCyBBxAA

L1 + L2 = 0


x2 + y2 + 01

)164(1

041

02

yx

x2 + y2 01

)164(1

41

2

yx

Karena melalui (3,1), maka :

(3)2 + (2)2 01

)164(11

431

2

10 + 10 – 6 + 4 – (4 + 16) = 0

10 - 14 – 16 = 0

10 - 12 = 0

1012

56

L3 x2 + y2

56

x + 5

12y

544

= 0

L3 5x2 + 5y2 6 x + 12 y 44 = 0



3.10. LATIHAN III

1. Tentukan persamaan lingkaran yang memenuhi syarat berikut :

a) Berpusat di titik A(-2,3) dan jari-jari 2 !

b) Melalui titik-titik P(1,3) dan Q(3,1) dan berpusat pada garis 3x – y = 2 !

2. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0 !

3. Tentukan persamaan lingkaran melalui ketiga titik sudut segitiga ABC, dengan

a) A(4,5), B(1,-4), dan C(3,-2) !

b) A(1,1), B(2,0), dan C(1,-1) !

4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di M(1,6) mempunyai persamaan garis singgung x - y = 1!

5. Tentukan harga m agar garis y = mx dan lingkaran x2 + y2 – 10x + 16 = 0

a) Berpotongan di dua titik

b) Bersinggungan

c) Tidak berpotongan

6. Tentukan :

a) Kuasa titik A(1,3) terhadap lingkaran x2 + y2 – x = 0 !

b) Letak titik A(1,3) terhadap lingkaran x2 + y2 = x !

7. Tentukan sudut antara dua lingkaran x2 + y2 – 6x – 2y + 2 = 0 dan

x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0 !

8. Tentukan persamaan sebuah garis yang melalui perpotongan lingkaran

L1 x2 + y2 – 2x – 4y – 11 = 0, dan

L2 x2 + y2 - 4x – 2y - 11 = 0 serta :

a) Melalui titik (0,1)

b) Sejajar dengan garis x + 3y + 2 = 0 !

c) Tegak lurus dengan garis y = m – 1 !

d) Berpusat pada garis x + y = 0 !

9. Diketahui A(2,3), B(0,-1), dan C(3,0). Tentukanlah :

a) Persamaan lingkaran luar ABC itu !

b) Titik pusat lingkaran luar ABC itu !

c) Jari-jari lingkaran tersebut !

bab iii lingkaran

Documents