perumusan lbw

8/17/2019 Perumusan LBW

1/3

1. Perumusan LBW

Pada akhir pembahasan pasal 3.1 telah diperlihatkan betapa cepatnya peningkatan kerumitan

dalam penurunan rumus suku koreksi orde lebih tinggi (>2). Kesulitan ini dapat dikurangi dalam

perumusan yang dikenal sebagai cara penjabaran deret Lennard ones !rillouin"#igner

sederhana secara $ormal dan mempunyai si$at kon%ergensi yang lebih baik daripada deret &'.

!erikut ini merupakan uraian singkat dari cara L!# terse but.

ndaikan persamaan nilai eigen yang ditinjau adalah

H ∨ψ m ⟩= Em∨ψ m ⟩

(2)

*an dapat dipisahkan menurut+

H = H (0)+ H (1) (3)

*engan solusi lengkap untuk sebagai berikut+

H (0)

∨ Em(0 )

⟩= Em(0)

∨ Em(0)

⟩

(,)

-aka solusi¿ψ m⟩ dapat dituliskan sebagai superposisi linear basis {¿ Em

(0)⟩ }

¿ψ m ⟩=∑i

C mi∨ E i(0) ⟩

()

'ubtitusi ungkapan ini ke dalam persamaan (/) menghasilkan+

∑i C mi ( Ei

(0)

− Em)∨ Ei(0)

⟩=−∑C mi H

(1)

∨ Ei(0)

⟩

Proyeksi kepada baris ¿ En(0 ) ⟩ memberi hasil

C mn ( En(0)− Em )=−∑

i

C mi H ¿(1)

()

tau+ dengan pertukaran indeks m ↔n + kita dapatkan+

C mn ( En− Em(0))=∑

i

C ¿ H mi(1)=∑

i

H mi(1 )C ¿

(a)

0ntuk nm+

C mm ( Em− Em(0))=¿ ∑i

H mi(1 )C mi

¿ H mm(1)

cmm+∑i≠ m

H mi(1)C mi

'etelah disusun kembali akan diperoleh


2/3

Em= Em(0 )+ H mm

(1)+ 1

C mm∑i

' H mi(1)C mi ()

'uku pertama merupakan suku tak terganggu Em(0 )

dan suku kedua adalah suku koreksi

pertama Em(1 )

seperti yang diperoleh dalam teori &'. 'elanjutnya m dalam suku deret di atas

dapat diganti dengan ungkapan dari rumus (4a)

C mi= 1

Em− Ei(0)∑

j

C mj H ij(1)

*engan ini ungkapan 5m di atas menjadi+

Em= Em(0 )+ Em

(1)+ 1

C mm∑i

' ∑ j

− H mi(1) H ij

(1)

Em− E1(0) C mj (4)

¿ Em(0 )+ Em

(1)+∑i

' − H mi(

1) H ℑ(1)

Em− E1(0)+

1

C mm∑i

' ∑ j

− H mi(1) H ij

(1)

Em− E1(0 ) C mj

¿∑k =0

2

Em(k )+∆m

(2)

(4)

*engan+

∑k =0

2

Em(k )= Em

(0)+ Em(1)+∑

i

' − H mi

(1) H ℑ

(1)

Em− E1(0) (4a)

6ang berbentuk $ormal hamper sama dengan ungkapan dalam teori &'+ kecuali 5 m pada

penyebut yang menggantikan Em(0 )

dalam rumusan &'. 'uku sisa dalam ungkapan

ini adalah

∆(2)=

1

C mm∑i

' ∑ j

− H mi(1) H ij

(1)

Em− E1(0) C mj

(4b)

*engan demikian dapat dituliskan secara umum

Em

(k )={∑i1' ∑

i2

' ..…∑ik

' H mi

(1) H i

1i2

(1)……………………………H i

1i2

(1)

( Em− E i1

(0 )) ( Em− Ei2

(0 ) )…( Em− Eik (0))

, k≥0

Em

(0 ), k =0

Em

(1), k =1

dan


3/3

∆(k )=

1

C mm∑i1

' ∑ j

2

'………∑ik

' − H mi

1

(1) H i

1i2

(1)……………………….H i

k −1ik C mi

( Em− Ei1

(0) ) ( Em− Ei2

(0) )… ( Em− Eik (0 ))

(4c)

&umus ini pada dasarnya bersi$at eksak. Penggunaannya sebagai rumus aproksimasi baru

terjadi bila suku sisa ∆(k )

diabaikan. Ketelitian aproksimasi ditentukan oleh besarnya

∆(k )

tersebut+ yang juga menentukan sejauh berapa suku"suku koreksi harus

diperhitungkan. *isamping itu+ penerapan rumus ini sebagai penjabaran aproksimasi juga

berarti mendekati 5 pada penyebut 5m dengan aproksimasinya. !ila hal ini dilakukan

secara tepat+ kita akan memperoleh kembali hasil teori &'. 7amun uraian L!# tetap

unggul dalam bentuk $ormal yang lebih sistematik dan sederhana serta si$at kon%ergen

yang lebih baik. khirnya+ dengan modi$ikasi tertentu (pemilihan bentuk solusi cobaan

yang lebih tepat)+ ungkapan deret 5m dapat diperbaiki lebih lanjut untuk menghindari

masalah pendekatan 5m tersebut (*.&. !ates+ 8uantum 9heory :).

perumusan lbw

Documents