Bab 4DINAMIKA ELEKTRON DALAM KRISTAL

1.Apabila energi E suatu elektron sebagai fungsi dari vektor propagasi k diketahui untuk suatu pita energi

maka ungkapan tersebut dapat memberi informasi mengenai perilaku gerak elektron di dalam kristal

2.Kecepatan kelompok vg suatu gelombang dalam x-tal dapat diperoleh dari hubungan dispersi

.

1

zyx kkkEE ,,

:k

kv kg

dengan zyx

k kkj

ki

3.Kecepatan elektron di dalam kristal dipresentasikan oleh kecepatan kelompok gelombang deBroglie-nya : kv kg

Hubungan antara energi dan frekuensi gelombang diberikan oleh

Einstein hhE

sehingga diperoleh kE

hv kg

1

4.Perhatikan suatu vektor kAjAiAA zyx

; maka turunan komponen xA

ke variabel t adalah adalah :

dt

dk

k

A

dt

dk

k

A

dt

dk

k

A

dt

dA z

z

zy

y

xx

x

xx

dt

kdAxk

Hubungan serupa berlaku juga untuk setiap komponen vektor ,

A

dt

kdA

dt

Adk

Bentuk singkat di atas merupakan notasi singkat untuk hubungan :

dt

dkdt

dkdt

dk

k

A

k

A

k

A

k

A

k

A

k

A

k

A

k

A

k

A

dt

dAdt

dAdt

dA

z

y

x

z

z

y

z

x

z

z

y

y

y

x

y

z

x

y

x

x

x

z

y

x

5.Apabila hasil butir (4) diterapkan pada ungkapan untuk kEdt

d

hdt

vdk

g

1

maka diperoleh :

dt

kdE

hdt

vdkk

g

1

6.Hubungan antara perubahan energ ∆E dan kerja oleh gaya selama

waktu F

Δt :

tvFE g

Oleh karena kvhkEE gk

maka tFkh

7.Dengan demikian ungkapan butir (5) dt

kdE

hdt

vdkk

g

1 dapat ditulis sebagai

FEhdt

vdkk

g

2

1

Dengan menarik analogi (kesejajaran) dengan hukum II Newton

Menghubungkan percepatan elektron dalam kristal dengan gaya yang berasal dari luar kristal :

dt

vd g

F

Ehm kk

2

11 atau 12 Ehm kk

8.Hukum II Newton memberikan hubungan antara gaya total dan percepatan elektron sebagai berikut :

amF oT

TF

a

Untuk elektron dalam kristal, gaya total yang bekerja pada elektron adalah jumlah dari gaya luar dan gaya-gaya dari medan kristal , jadi :

TF

F

xtalF

xtalT FFF

xtalT FFF

atau

9. Contoh : Kasus elektron bebas.

Energi elektron bebas dari vektor propagasi

2222

2 zyxo

kkkm

hkE

•Aplikasi hasil butir (7) memberikan :

oxoxx mk

E

m

h

m

1

2

12

22

dan 02

1 22

yxoxy kk

E

m

h

m

Karena tensor

m

1 setangkup, maka :

,1111

ozzyyxx mmmm

dan 0...................111

zxyzxy mmm

Dengan demikian

o

o

o

m

m

m

m

100

01

0

001

1

Dan persamaan gerak menjadi :

z

y

x

o

z

y

x

F

F

F

ma

a

a

100

010

0011

10.Contoh : Kasus kristal kubik sederhana dengan a

k1

metode LCAO untuk kristal kubik sederhana kebergantungan kEE

terungkap sebagai :

22226 zyxo kkkaEkE

Penentuan

m

1Menghasilkan tensor yang hanya elemen diagonalnya tidak sama dengan nol :

100

010

00121

2

2

h

a

m

Massa efektifnya isotropik, dan berkenaan dengan itu dapat dipresentasikan dengan skalar 2

2

2 a

hm

11.yang menyangkut elektron bebas, massa effektif sama dengan om

2222

2 zyxo

kkkm

hkE

diperoleh dari ungkapan untuk energi elektron bebas

• Pada kasus butir (10) yang menyangkut elektron dalam kisi kristal kubik sederhana, massa effektif yang diperoleh dari adalah . Karena fungsi setangkup dalam

kEE

22 a

hm

kEE

zyx kkk ,,

maka massa efektif merupakan skalar

12.Pada saat hubungan FEhdt

vdkk

g

2

1

di butir (7) dianalogikan dengan Hukum II Newton Fm

a 1

PERMUKAAN BERENERGI TETAP DALAM RUANG-K

13.Dalam ruang - ujung vektor propagasi gelombang elektron

k

terletak pada permukaan yang mempresentasikan energi yang tetap, .'E

Ungkapan untuk kecepatan elektron kEh

v kg

1

memberikan ciri dalam ruang - .

gv

k

Energi tetap itu berupa bola maka arah dalam ruang - adalah radial.

gv

k

Hal itu ditunjukkan dalam sketsa di bawah.

Figure 3-49 The difference between phase velocity and group velocity directions when constant energy surfaces are warped.

14.harga ekspektasi energi elektron dalam struktur kubik sederhana

dengan sel satuan berusuk a : akakakEkE zyxo coscoscos2

Bilamana , maka 1ak

226 kaEkE o

•, atau

22226 zyxo kkkaEkE

Permukaan dengan energi konstan berupa bola dengan persamaan 'E

tetapa

E

a

Ekkk ozyx

22

222 6'

Harga energi yang maksimum 6 oEE diperoleh apabila

,1coscoscos akakak zyx yaitu untuk a

kkk zyx

‘Contour’ dengan energi konstan dalam ruang- yx kk , untuk kasus gerak elektron

dalam kristal dua dimensi berstruktur segi empat diperoleh dengan mensubstitusikan 0zk

Substitusi menghasilkan akakEkE yxo coscos2

Figure 8.12. Constant energy contours in the Brillouin zone for a two-dimensional square lattice using spherically symmetric wave functions and nearest neighbor interactions only. The same pattern is formed by the traces of the Fermi surfaces of Figure 8. 11 for the three-dimensional lattice upon the kx, ky-plane.

15.untuk elektron dalam kisi kubik sederhana telah diperoleh dengan substitusi dalam 'EkE

akakakEkE zyxo coscoscos2

Apabila suhu kristal T=0 kelvin , maka energi tertinggi elektron adalah FEE '

Permukaan dalam ruang k

dengan FEE ' dinamakan permukaan Fermi.

16.Sebagai ilustrasi dicantumkan di bawah, perubahan konfigurasi permukaan

Fermi dengan energi 'E (energi elektron paling energetik pada T=0 kelvin)

untuk kristal berstruktur kubik sederhana

17. Di bawah ini disertakan beberapa ilustrasi tentang permukaan energi konstan untuk elektron bebas.

Figure 4.2 Curves of constant energy for the free electron model in two dimensions are circles. At some energies they cut the zone boundary-here represented by a square. (b) Surfaces of constant energy for the free electron model in three dimensions are spheres, shown here with a cubic zone. Figure 4.2 (a) may be regarded as asection of this figure with kz = 0

Figure 11. The circle is a surface of constant energy for free electrons; it is the Fermi surface for some value of the electron concentration. The labels within the sections of the second zone refer to Fig. 12.

Figure 12. Mapping of the first, and third Brillouin zones or energy bands in the reduced zone scheme. The section of the second zone in Fig. 11 are put together into a square by translation through an appropriate lattice vektor.

Figure 13. The free electron Fermi surface of Fig. 11, as viewed in the reduced zone scheme. The shaded areas represent occupied states. Parts of the Fermi surface fall in the second, third, and fourth zones. The fourth zone is not shown. The firs zone is shown entirely occupied.

Figure 14. Qualitative impression of the effect of a weak periodic crystal potential on the Fermi surface of Fig. 13. At one point on each Fermi surface we have shown the vector graduce. In the second zone the energy increases toward the interior of the figure, and in the third zone the energy increases toward the exterior. The shaded regions are filled with electrons and are lower in energy than the unshaded regions. We shall see that a Fermi surface like that of the thir zone is electronlike, Whereas one like that of the second zone is holelike.

Figure 24. Fermi surface of copper, after Pippard. The Brillouin zone of the fee structure is the truncated octahedron, as derive in Chapter 2. The Fermi surface makes contact with the boundary at the center of the hexagonal faces of the zone, in the [111] directions in k space. Two “belly” extremal orbits are shown, denoted by B, the extremal “neck” orbit is enoted by A.

Di bawah ini disertakan permukaan Fermi untuk Cu

Permukaan Fermi untuk Cu dan Au

Figure 32. Dog’s bone orbit of an electron on the Fermi surface of copper and gold in a magnetic field. The Fermi surface is also showing in Fig. 24.

SOAL – SOAL DAN PENYELESAIAN

1.Bagaimanakah pengaruhnya pada energi kohesif kristal ionik dan kovalen dari :

a. Gaya van der waals

b. Osilasi titik nol dari ion dan atom disekitar titik kesetimbangannya.

Jawab

a. Gaya van der Waals menaikkan energi kohesif karena tarik menarik

b. Osilasi titik nol menurunkan energi kohesif karena osilasi itu menyatakan suatu

modus pemilikan energi yang ada dalam zat padat, tetapi tidak dalam atom indivi –

dual atau ion individual.

2.Tunjukkan bahwa kelima suku pertama pada deret konstan Madelung untuk NaCl

adalah

Jarak jumlah muatan

r1 = r

r2 = r

r3 = r

r4 = 2r

r5 =

6

12

8

6

24

-

+

-

+

-

Jadi konstanta Madelung

JawabPerhatikan gambar disamping

3. Efek Joule-Thomson mengacu pada penurunan temperatur yang dialami gas ketika gas itu melewati lambat-lambat dari suatu wadah yang terisi penuh ke wadah yang kosong melalui sumbat berpori. Karena ekspansinya ke wadah yang tegar, maka tidak ada kerja mekanis yang dilakukannya. Terangkan efek Joule-Thomson dengan memakai tarikan van der Waals antara molekul.

Jawab

Energi yang diperlukan ketika pemuaian gas sama dengan kerja terhadap gaya tarik van der Waals dengan molekulnya.

4. Jurang energi pada silikon ialah 1,1 eV dan pada intan 6 eV. Bahas kebeningan bahan itu terhadap cahaya yang nampak.

Jawab.

Silikon hanya bening terhadap radiasi λ ≥ 11.300 Å, karena silikon mengabsorb foton cahaya panjang gelombang lebih kecil, sehingga silikon takbening terhadap cahaya tampak. Intan bening untuk radiasi λ ≥ 2.070 Å, sehingga bening untuk cahaya tampak.

5.Jurang energi pada germaniumadalah 0,7 eV. Bagaimanakah konduktivitas germanium dibandingkan dengan silikon pada :

a. Temperatur sangat rendah

b. Temperatur ruang

Jawab.

a. Pada temperatur rendah hampir tidak ada elektron dalam pita konduksi.

Kedua zat itu merupakan isolator dan konduktivitas kedua zat tersebut

hampir sama.

b. Pada temperatur tinggi, jumlah elektron pada pita konduksi ditentukan

oleh faktor

Makin kecil ε, makin banyak elektron pada pita konduksi.

Jadi perbandingan konduktivitas germanium terhadap silikon