ALGEBRA

jmsk@polipd

ALGEBRA

(Persamaan Serentak Linear)

Objektif Am

Mempelajari serta mengetahui cara-cara menyelesaikan persamaan linear menggunakan kaedah-kaedah

tertentu.

Objektif Khusus

Di penghujung unit ini pelajar seharusnya boleh:

♦ Menyelesaikan bentuk persamaan linear 2 pembolehubah.

♦ Menyelesaikan transposisi persamaan.

♦ Menyelesaikan persamaan serentak dengan menggunakan kaedah penggantian.

♦ Menyelesaikan persamaan serentak dengan menggunakan kaedah penghapusan.

5.0 PENGENALAN

Persamaan linear merupakan persamaan dalam satu atau lebih pembolehubah. Di mana kuasa

pembolehubahnya ialah satu (darjah pertama). Manakala persamaan bukan linear pula merupakan

persamaan dalam darjah kedua. Penyelesaian persamaan serentak linear ini, merupakan penyelesaian

sepunya dan dengan itu penyelesaiannya mesti memenuhi setiap persamaan yang diberikan.

Persamaan linear terdapat juga dalam 3 pembolehubah dan 4 pembolehubah. Tetapi dalam topik dan

unit ini hanya persamaan linear 2 pembolehubah saja yang diperbincangkan.

Persamaan linear ini juga melibatkan kaedah penyelesaian iaitu kaedah penggantian dan juga

kaedah penghapusan. Bentuk persamaan linear adalah ax + by = c

ALGEBRA

jmsk@polipd

5.1 PENYELESAIAN PERSAMAAN SERENTAK 2 PEMBOLEHUBA H Sekiranya kedua-dua persamaan tersebut persamaan linear. Penyelesaian persamaan boleh dilakukan dengan menggunakan kaedah:

i. Kaedah Penggantian ii. Kaedah Penghapusan

5.1.1 Penyelesaian Persamaan Dengan Kaedah Penggantian

Kaedah penggantian ini merupakan satu kaedah di mana satu pembolehubah yang dipilih dijadikan sebagai tajuk rumus. Kemudian tajuk rumus tersebut digantikan semula dalam persamaan yang satu lagi.

Contoh 5.1 : Selesaikan persamaan serentak di bawah dengan menggunakan kaedah penggantian.

Penyelesaian:

• Pilih persamaan (1) atau (2 ) . Katakan persamaan (1) dipilih dan jadikan y sebagai tajuk rumus.

2x – y = 7 -y = 7 – 2x y = -7 + 2x ………… (3)

• Gantikan tajuk rumus tadi iaitu y dalam persamaan yang satu lagi (2 ), dan dapatkan nilai untuk pembolehubah yang satu lagi.

3x + 2y = 14 3x + 2(-7 + 2x) = 14 3x – 14 + 4x = 14 7x = 14 + 14 7x = 28

x = 7

28

x = 4

• Gantikan nilai x=4 yang didapati dalam langkah 2 ke persamaan (3) di dalam langkah 1. y = -7 + 2 (4) y = -7 + 8 y = 1

• Dengan itu, nilai bagi x dan y telah di dapati iaitu x= 4 dan y=1.

2x – y = 7 .....(1) 3x + 2y = 14 .....(2)

Persamaan dinamakan sebagai persamaan (1) atau (2) untuk memudahkan penyelesaian.

Y dijadikan tajuk rumus untuk menjalankan kaedah penggantian.

ALGEBRA

jmsk@polipd

Pengangka bagi pecahan ini perlu diselesaikan terlebih dahulu dengan menyamakan pembawahnya.

Contoh 5.2 Selesaikan persamaan serentak di bawah dengan kaedah penggantian

523 =− yx 1252 =+ yx

Penyelesaian :

523 =− yx ……………..(1) 1252 =+ yx ……………(2)

dari persamaan .....(2) 2x + 5y = 12 5y = 12 – 2x

5

212 xy

−= ………..(3)

• Gantikan persamaan (3) dalam persamaan (1)

−−5

21223

xx = 5

xx 42415 +− = 25 19x = 25 + 24 19x = 49

x = 19

49

• Gantikan nilai x = 19

49 dalam persamaan (3)

y = 5

212 x−

y = 5

19

49212

−

= 5

19

9812−

= 5

1998228−

= 5

1

19

130×

= 95

130

y = 19

26

• Dengan itu, nilai bagi x = 19

49 dan nilai bagi y =

19

26

ALGEBRA

jmsk@polipd

Contoh 5.3 Selesaikan persamaan serentak di bawah dengan menggunakan kaedah penggantian.

13

1

4

3 =−++ yx

2x - y = 12

Penyelesaian :

13

1

4

3 =−++ yx………………(1)

2x - y = 12……………………(2)

• Oleh kerana pekali bagi pembolehubah y adalah 1 dalam persamaan (2), maka adalah lebih mudah untuk menjadikan y sebagai tajuk rumus dengan menggunakan persamaan (2 ) ini.

2x – y = 12 -y = 12 – 2x

y = 2x –12…………….(3) • Disebabkan persamaan (1) dalam bentuk operasi penambahan pecahan algebra, selesaikan ia

dahulu kepada sebutan termudah.

13

1

4

3 =−++ yx………(1)

112

)1(4)3(3 =−++ yx

3x + 9 + 4y – 4 = 12 3x + 4y + 5 = 12

3x + 4y = 7………..(4) • Gantikan nilai bagi y = 2x – 12 di dalam persamaan (4) dan kemudian selesaikan untuk

mendapatkan nilai bagi pembolehubah x. 3x + 4(2x – 12) = 7 3x + 8x – 48 = 7 11x = 55

x = 11

55

x = 5 • Kemudian gantikan nilai x=5 di dalam persamaan (3) untuk mendapatkan nilai y

y = 2(5) – 12 y = - 2

ALGEBRA

jmsk@polipd

Contoh 5.4: Untuk memasuki sebuah Zoo di bandar Aman dikenakan bayaran masuk sebanyak RM 2.50 bagi kanak-kanak dan RM 4.00 untuk orang dewasa. Pada 4 hari yang pertama, sebanyak 1333 tiket telah dijual dan sejumlah RM 4160 telah dikutip. Berapa banyakkah tiket bagi kanak-kanak dan orang dewasa yang telah dijual?. Penyelesaian:

• katakan, Kanak-kanak diwakili oleh pembolehubah x

Orang Dewasa diwakili oleh pembolehubah y.

• dengan itu,persamaan yang diperolehi ialah: x + y = 1333 , iaitu jumlah tiket kanak-kanak dan dewasa 2.50x + 4.00y = 4160 iaitu harga jualan tiket keseluruhannya

• oleh itu, persamaan-persamaan tersebut ditulis; x + y = 1333………………….(1) 2.50x + 4.00y= 4160………….(2)

• Oleh kerana pembolehubah x dalam persamaan (1) adalah 1, maka mudah untuk menjadikan x sebagai tajuk rumus .

x + y = 1333 x = 1333 – y………..(3)

• kemudian, gantikan nilai x dalam persamaan (3) dalam persamaan (2) 2.50(1333 – y) + 4.00y = 4160 3332.5 – 2 .50y + 4.00y = 4160 1.50y = 827.5 y = 827.5 1.50

y = 552

• gantikan nilai y yang diperolehi di dalam persamaan (3) x = 1333 – 552 x = 781

Dengan itu, dapat diketahui bahawa sebanyak 781 keping tiket telah dijual bagi kanak-kanak(x) manakala sebanyak 552 keping tiket telah dijual bagi orang dewasa(y).

ALGEBRA

jmsk@polipd

5.1.2 Penyelesaian Persamaan Dengan Kaedah Penghapusan.

Kaedah penghapusan ini, berlainan sedikit daripada kaedah penggantian di mana satu pembolehubah perlu dihapuskan dari persamaan yang telah diberikan.

Contoh 5.5 Selesaikan persamaan serentak berikut :

x – y = 2 x + y = 6

Penyelesaian:

x – y = 2 ………….(1) x + y = 6 ………….(2)

• Pilih pembolehubah yang hendak dihapuskan. Darabkan dengan nombor yang sesuai supaya pekali pembolehubah yang akan dihapuskan adalah sama tetapi operasinya perlu berlawanan. Bagi persamaan ini pembolehubah bagi x dipilih untuk dihapuskan. Oleh itu persamaan (1) – (2):

• Persamaan (1) – (2 ) (x – y)-(x + y) = 2 – 6

-2y = -4

y = 2

4

−−

y = 2 • Gantikan semula nilai pembolehubah yang diperolehi dalam langkah 1 ke dalam salah satu

persamaan asal dapatkan nilai x. Nilai y = 2 di gantikan dalam persamaan (1)

x – 2 = 2 x = 2 + 2 x = 4

Dengan itu, nilai yang diperolehi bagi x = 4 dan y = 2 Perhatian!

Untuk menyemak jawapan, sama ada betul atau salah. Nilai yang didapati dimasukkan semula

dalam kedua-dua persamaan tadi.

Persamaan (1) x – y = 2

4 – 2 = 2 Persamaan (2 ) x + y = 6

4 + 2 = 6 Dengan ini terbukti jawapan yang didapati dari persamaan tadi adalah benar.

ALGEBRA

jmsk@polipd

Contoh 5.6 Selesaikan persamaan serentak di bawah:

2x + 6y = 8 5x – 9y = 12

Penyelesaian:

2x + 6y = 8…………..(1) 5x – 9y = 12………….(2)

• Pembolehubah x dipilih untuk dihapuskan. Kedua-dua persamaan tidak mempunyai nilai yang sama untuk dihapuskan. Dengan itu: � persamaan (1) didarabkan dengan 5

10x + 30y = 40…………(3) � persamaan (2) didarabkan dengan 2

10x – 18y = 24…………(4)

• Persamaan (3) – (4) : 48y = 16

y = 48

16

y = 3

1

• Gantikan nilai pembolehubah y dalam persamaan (4)

10x – 18y = 24 10x – 18(1/3) = 24 10x – 6 = 24 10x = 24 + 6 10x = 30

x = 10

30

x = 3

• Dengan itu, nilai bagi x diketahui iaitu x = 3 dan y = 3

1

ALGEBRA

jmsk@polipd

Contoh 5.7 Selesaikan persamaan serentak di bawah dengan menggunakan kaedah penghapusan.

33

1

4

3 =−++ yx

2x - y = 12 Penyelesaian :

33

1

4

3 =−++ yx………………(1)

2x - y = 12……………………(2)

Persamaan (1) : 3

1

4

3 −++ yx = 3

( ) ( )

12

1433 −++ yx = 3

3x + 9 + 4y – 4 = 36 3x + 4y + 5 = 36

3x + 4y = 31………..(3) Persamaan (2) : ( 2x – y = 12 ) * 4 8x – 4y = 48………….(4) Persamaan (3) + (4) : 11x = 79

x = 11

79

Gantikan nilai x dalam persamaan (2):

2(11

79) – y = 12

-11 y = 132 - 158 -11 y = - 26

y = 11

26

ALGEBRA

jmsk@polipd

Contoh 5.8 Untuk memasuki sebuah Zoo di bandar Aman dikenakan bayaran masuk sebanyak RM 2.50 bagi kanak-kanak dan RM 4.00 untuk orang dewasa. Pada 4 hari yang pertama, sebanyak 1333 tiket telah dijual dan sejumlah RM 4160 telah dikutip. Berapa banyakkah tiket bagi kanak-kanak dan orang dewasa yang telah dijual?. Penyelesaian:

Katakan, Kanak-kanak diwakili oleh pembolehubah x Orang Dewasa diwakili oleh pembolehubah y.

Oleh itu, persamaan-persamaan tersebut ditulis; x + y = 1333 ……………….(1) 2.50x + 4.00y= 4160………….(2)

Persamaan (1) perlu didarabkan dengan 4 supaya pembolehubah y adalah bersamaan dengan persamaan (2) dan ia boleh dihapuskan.

Persamaan (1) × 4 : 4x + 4y = 5332……….(3) 2.50x + 4.00y = 4160………….(2) Persamaan (3) - (2) : 1.5x = 1172 x = 781

Gantikan nilai x = 781 dalam persamaan (1) untuk mendapatkan nilai bagi pembolehubah y 781 + y = 1333 y = 1333 – 781 y = 552 Dengan itu jumlah jualan tiket yang dijual dapat diketahui iaitu:

Jualan tiket bagi kanak-kanak ialah sebanyak 781 keping tiket. Jualan tiket bagi dewasa ialah sebanyak 552 keping tiket.