peramalan dengan model arch skripsi - core.ac.uk filei peramalan dengan model arch skripsi diajukan...

i

PERAMALAN DENGAN MODEL ARCH

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Program Studi Matematika

Oleh:

SUHARTINI

NIM : 003114038

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

iv

MOTTO

Serahkanlah perbuatanmu kepada Tuhan, maka terlaksanalah segala

rencanamu. (Amsal 16:3).

Do not dwell in the past, do not dream of the future, concentrate the mind on the

present moment. ( Budha )

Our greatest glory is not in never falling, but in rising every time we fall. (Budha).

Dengan penuh kasih karya ini kupersembahkan untuk :

Bapak dan Ibukku,

Mas Arno, mas Ardi, mbak yanti, wandi,

“bee”, all family,

Teman-temanku serta almamaterku tercinta


vi

ABSTRAK

Model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic) merupakan

model autoregresif dalam keadaan variansi tidak konstan. Model ini akan diguna-

kan untuk menentukan, meramalkan dan memperbaharui nilai parameter dari data

runtun waktu yang variansinya tidak konstan. Nilai parameter dari model ARCH

dapat diperoleh dengan menggunakan metode maksimum likelihood.


vii

ABSTRACT

ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic) model is inconstant vari-

ance autoregressive model. Variance is a variable in statistic that illustrate how far

the changes of the data to mean. This model will be used to fit, to forecast, and to

update renew parameter from inconstant variance of time series data. ARCH

model parameter value can be obtained by using likelihood maximum method.


viii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Hati kudus Tuhan Yesus dan bunda Maria, karena

berkat karunia dan rahmatnya yang telah mereka berikan penulis dapat menyele-

saikan skripsi ini.

Banyak hambatan dan kesulitan yang ditemui penulis dalam menyusun dan

menulis skripsi ini. Namun, berkat bantuan dan dorongan dari berbagai pihak,

baik langsung maupun tidak langsung, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan.

Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si , selaku dosen pembimbing

yang telah meluangkan waktu, pikiran, memimjamkan buku, serta

kesabaran membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini.

2. Bapak YG. Hartono, S.Si, M.Sc, selaku ketua program studi mate-

matika FMIPA USD Yogyakarta.

3. Ibu Mv. Any Herawati, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing

akademik.

4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc dan Ibu Lusia Krismiyati Budi-

asih, S.Si, M.Si, selaku dosen penguji yang telah memberikan masu-

kan-masukan dan koreksi.

5. Bapak dan ibu dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu yang ber-

guna kepada penulis selama dibangku kuliah.

6. Bapak Gunardi, S.Si, M.Si, yang telah memberikan judul skripsi dan

masukan-masukan.


ix

7. Mas Tukijo yang telah memberikan pelayanan administrasi dalam

urusan-urusan perkuliahan kepada penulis.

8. Kedua orangtuaku yang tak henti-hentinya memberikan dukungan

baik moral, spiritual, maupun materi sehingga penulis dapat menye-

lesaikan skripsi ini.

9. Kakak-kakakku, mas Ardi, mas Arno dan adiku yang selalu mem-

berikan dukungan, doa, bantuan materi serta kesabarnya selama ini.

10. Keluarga mbak Yanti dan keponakan-keponakanku Angela, Jepin

yang selalu memberi semangat, doa, bantuan materi.

11. Teman-temanku Sumi, Vin, Dora, Dewi, Deni, Veri (’01), Anjrah,

Heri (Ndoet), yang selalu setia menemani, memberikan semangat

dan mendengarkan curhatku.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena

itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang bermanfaat bagi

kesempurnaan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini memberikan man-

faat dan berguna bagi semua pihak.

Yogyakarta, 22 Februari 2007

Penulis


x

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL.................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN...................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................. iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...................................................... v

ABSTRAK ................................................................................................... vi

ABSTRACT................................................................................................. vii

KATA PENGANTAR ................................................................................. viii

DAFTAR ISI................................................................................................ x

BAB I PENDAHULUAN..................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah....................................................... 1

B. Rumusan Masalah ................................................................ 2

C. Tujuan Penulisan.................................................................. 2

D. Pembatasan Masalah ............................................................ 2

E. Manfaat Penulisan................................................................ 3

F. Metode Penulisan ................................................................. 3

G. Sistematika Penulisan .......................................................... 3

BAB II LANDASAN TEORI................................................................ 5

A. Konsep Dasar Runtun Waktu............................................... 11

B. Fungsi Autokovariansi dan Fungsi Autokorelasi................. 15

C. Fungsi Autokorelasi Parsial ................................................. 18


xi

D. Autoregresi (AR).................................................................. 19

BAB III MODEL ARCH........................................................................ 32

A. ARCH................................................................................... 32

B. Pengujian Adanya Efek ARCH Dalam Data Runtun Waktu 41

C. Fungsi Kelihood ARCH....................................................... 47

BAB IV PENERAPAN MODEL ARCH PADA DATA HARGA

SAHAM COMPOSITE INDEX ............................................... 53

A. Identifikasi Model ARCH.................................................... 53

B. Uji Efek ARCH.................................................................... 57

C. Pembentukan Model Akhir .................................................. 58

BAB V PENUTUP ................................................................................. 60

A. Simpulan .............................................................................. 60

B. Saran..................................................................................... 60

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 61

LAMPIRAN.................................................................................................

LAMPIRAN 1 Data Harga Saham Composite Index dari

tanggal 03 Januari 2005 sampai 29 Desem-

ber 2005.......................................................... 62

LAMPIRAN 2 Hasil Analisa Data yang Telah Didifferenc-

ing Satu Kali dengan Menggunakan AR (3) .. 66

LAMPIRAN 3 Hasil Analisa Data yang Telah Didifferenc-

ing Satu Kali dengan Menggunakan AR (1) .. 67

LAMPIRAN 4 Hasil Analisis Uji Efek ARCH ...................... 68


xii

LAMPIRAN 5 Hasil Analisis Penentuan Modal Akhir.......... 69

LAMPIRAN 6 Tabel Distribusi Statistik-t ............................. 70

LAMPIRAN 7 Tabl Distribusi Khi-Kuadrat .......................... 71


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Pada kenyataannya data runtun waktu tidak semuanya memiliki variansi kon-

stan. Model Autoregresif (AR) merupakan model yang menganggap bahwa data run-

tun waktu memiliki variansi yang konstan. Variansi merupakan variabel dalam

statistik yang menggambarkan seberapa jauh perubahan data terhadap nilai rata-

ratanya. Persamaan umum AR adalah

tktktt εβββ +Υ++Υ+=Υ −− K110

dengan :

tΥ = deret waktu tunggal

=Υ −it deret waktu tunggal yang ketinggalan i perioda ( )ki ,,3,2,1 K=

β = parameter

ε = galat

Bila variansi galat berubah terhadap waktu maka keadaan ini disebut

heteroskedastisitas. Untuk itulah Robert F. Engle pada tahun 1982 menawarkan

model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic). Model ARCH

merupakan model autoregresif dalam keadaan variansi tidak konstan.


2

Bentuk model ARCH adalah

ttt hv=ε dengan ∑∞

=−+=

1

20

iitith εαα dan tv berdistribusi normal standar.

Peramalan dengan model ARCH dapat kita lakukan cukup dengan adanya data

runtun waktu tunggal. Peramalan dengan model ini tidak perlu memandang aspek-

aspek lain yang dapat mempengaruhi perubahan data runtun waktu.

B. Rumusan Masalah

Pokok bahasan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan sebagai

berikut:

1. Apa yang dimaksud dengan model ARCH?

2. Bagaimana penerapan model ARCH dalam peramalan dengan

menggunakan data runtun waktu?

C. Tujuan Penulisan

Untuk menjelaskan dan membahas kegunaan model ARCH dalam peramalan

data runtun waktu serta landasan teori yang mendukungnya.

D. Pembatasan Masalah

Dalam tulisan ini peramalan dengan model ARCH hanya akan membahas

1. Model ARCH satu variabel (univariate)


3

2. Uji efek ARCH menggunakan pengganda langrange (langrange

multiplier).

3. Estimasi model ARCH menggunakan maksimum likelihood distibusi

normal.

4. Pembuktian distribusi khi-kuadrat tidak dibuktikan.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah untuk

semakin memahami dan menguasai penggunaan model ARCH dalam peramalan

khususnya peramalan dengan menggunakan data runtun waktu.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan ini menggunakan metode kepustakaan

dan data diolah menggunakan software Eviws dan Minitab.

G. Sistematika Penulisan

BAB I : menjelaskan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penu-

lisan, manfaat penulisan, sistematika penulisan.

BAB II : menjelaskan tentang konsep dasar runtun waktu, fungsi autokovariansi dan

fungsi autokorelasi (ACF), fungsi parsial autokorelasi (PACF), autoregresi (AR).


4

BAB III : menjelaskan tentang model ARCH, ARCH, pengujian adanya efek ARCH

dalam data runtun waktu, fungsi likelihood ARCH.

BAB IV : menjelaskan Penerapan Model ARCH Pada Data Harga Saham Composite

Index, identifikasi model awal, uji efek ARCH, penentuan model akhir.

BAB V :menjelaskan tentang simpulan dan saran.


5

BAB II

LANDASAN TEORI

Dalam peramalan dikenal adanya model deret berkala dan model regresi. Pada

jenis model deret berkala, penduga masa depan dilakukan berdasarkan nilai masa lalu

dari suatu variabel atau kesalahan masa lalu. Sedangkan model regresi

mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab-

akibat dengan satu atau lebih variabel bebas (variabel independen).

Suatu model regresi yang memiliki satu variabel bebas disebut model regresi

sederhana atau model regresi linear klasik. Model regresi linear klasik dapat

dinyatakan sebagai berikut:

(2.1) 10 iii εββ +Χ+=Υ

dengan:

stokastikgangguan unsur

parameter

)independen (variabel bebas variabel

dependen) (variabel bebas tak variabel

=

=

=Χ

=Υ

ε

β

Model tersebut memiliki beberapa asumsi yaitu:

Asumsi 1:

Nilai harapan unsur gangguan stokastik adalah nol, yaitu ( ) .0=Ε iε


6

Asumsi 2:

Tidak adanya autokorelasi atau tidak terdapat korelasi diantara unsur gangguan sto-

kastik, yaitu

( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )

0

00

,

=

Ε=

−−Ε=

Ε−Ε−Ε=

ji

ji

jjiijiKov

εε

εε

εεεεεε

dengan i dan j adalah indeks untuk dua pengamatan yang berbeda.

Asumsi 3:

Varian iε adalah suatu bilangan konstan positif yang sama dengan 2σ dengan kata

lain asumsi ini menyatakan homoskedastisitas atau variansi sama, yaitu:

( ) ( )( )

( )2

2

2

σ

ε

εεε

=

Ε=

Ε−Ε=

i

iiiVar

Penyimpangan dari asumsi 3 disebut sebagai heteroskedastisitas (variansi yang tidak

konstan), yaitu:

( ) 2iiVar σε =

Asumsi 4:

Variabel bebas Χ tak stokastik atau tetap.


7

Untuk menaksir parameterβ digunakan metode kuadrat terkecil biasa ( method

of ordinary least squares (OLS) ). Langkah –langkahnya sebagai beriku :

Persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi

(2.2) ˆ

ˆˆ10

ii

iii

ε

εββ

+Υ=

+Χ+=Υ

dengan iΥ̂ merupakan nilai taksiran iΥ . Secara alternatif persamaan (2.2) dapat din-

yatakan sebagai berikut

(2.3) ˆˆ

ˆ

10 ii

iii

Χ−−Υ=

Υ−Υ=

ββ

ε

yang menunjukkan bahwa iε (galat) hanyalah perbedaan antara nilai Υ sebenarnya

dengan yang ditaksir. Untuk sampel berukuran N pasang observasi jumlah kuadrat

galatnya dapat dinyatakan sebagai berikut

( )( ) (2.4) ˆˆ

ˆ

2

10

22

∑

∑ ∑

Χ−−Υ=

Υ−Υ=

ii

iii

ββ

ε

Bila persamaan (2.4) diturunkan terhadap 0β̂ maka diperoleh persamaan

( ) ( ) (2.5) 0ˆˆ2ˆ 100

2

∑∑ =Χ−−Υ−=∂

∂ii

i βββ

ε

Bila persamaan (2.4) diturunkan terhadap 1β̂ maka diperoleh persamaan

( ) ( ) (2.6) 0ˆˆ2ˆ 100

2

∑∑ =ΧΧ−−Υ−=∂

∂iii

i βββ

ε


8


(2.7) ˆˆ10 ∑∑ Χ+=Υ ii N ββ


(2.8) ˆˆ 210 ∑∑∑ Χ+Χ=ΧΥ iiii ββ

Dari persamaan (2.7) dan (2.8) diperoleh

( )(2.9) ˆ

221

∑ ∑∑ ∑ ∑

Χ−Χ

ΥΧ−ΥΧ=

ii

iiii

N

Nβ

( )(2.10) ˆ

22

2

0

∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

Χ−Χ

ΥΧΧ−ΥΧ=

ii

iiiii

Nβ

Selain menaksir parameter β kita tentukan koefisien determinasi 2R . Koefisien

determinasi merupakan ukuran ikhtisar yang menyatakan seberapa baik garis regresi

sampel mencocokkan data. Bila persamaan (2.2) kedua sisi dikurangi Υ maka per-

samaannya menjadi

(2.11) ˆiii ε+Υ−Υ=Υ−Υ

Kemudian persamaan (2.11) kedua sisi dikuadratkan sehingga persamaannya menjadi

( ) ( ) ( ) (2.12) ˆ2ˆ 222 ∑∑ ∑ ∑ +Υ−Υ+Υ−Υ=Υ−Υ iiiii εε

Karena persamaan (2.5) ∑ = 0iε dan persamaan (2.6) ∑ =Χ 0iiε maka

( ) ( )

(2.13) 0

ˆˆ

ˆˆˆ

10

10

=

Υ−Χ+=

Υ−Χ+=Υ−Υ

∑∑∑

∑ ∑

iiii

iiii

εεβεβ

εββε


9

Sehingga persamaan (2.12) menjadi

( ) ( ) (2.14) ˆ 222 ∑∑ ∑ +Υ−Υ=Υ−Υ iii ε

dengan

( )∑ Υ−Υ 2i = jumlah kuadrat total ( total sum of squares (TSS) )

( )∑ Υ−Υ2ˆ

i = jumlah kuadrat yang dijelaskan ( explined sum of squares (ESS) )

∑ 2iε = jumlah kuadrat galat/residual ( residual sum of squares (RSS) )

Definisi 2.1:

Koefisien determinasi 2R didefinisikan sebagai

( )( )∑

∑Υ−Υ

Υ−Υ== 2

2

2ˆ

i

i

TSSESSR

Teorema 2.1

Bila ( )( )∑

∑Υ−Υ

Υ−Υ= 2

2

2ˆ

i

iNTR dengan T merupakan banyaknya observasi maka sta-

sistik uji 2TR akan berdistribusi khi-kuadrat.

Bukti :

Karena iΥ̂ merupakan nilai taksiran iΥ maka


10

( )( )

2

2

1

ˆˆ S

nVar

i

i =−

Υ−Υ=Υ∑

sedangkan ( )( )

2

2

σ=Υ−Υ

=Υ∑

NVar

i

i

akibatnya

( )( )

( )

( ) 2

2

2

2

2

2

2

1

1

ˆ

σ

σ

Sn

NSnN

NTRi

i

−=

−=

Υ−Υ

Υ−Υ=

∑∑

Jadi terbukti bahwa 2TR berdistribusi 2χ dengan derajat bebas n-1. ■

Sedangkan model regresi yang memiliki lebih dari satu variabel bebas disebut

mode regresi linear berganda. Model regresi linear berganda dapat dinyatakan sebagai

berikut:

(2.15) ...22110 ikikiii εββββ +Χ++Χ+Χ+=Υ

dengan:

parameter

bebas variabel

bebas tak variabel

=

=Χ

=Υ

β


11

1,2,3,...)(i i,-ke observasii

stokastikgangguan unsur

==

=ε

Model tersebut memiliki asumsi yang sama dengan asumsi pada model regresi linear

klasik. Sedangkan untuk menaksir parameter β juga menggunakan metode OLS.

A. Konsep Dasar Runtun Waktu

Suatu runtun waktu (deret waktu/deret berkala) adalah sekumpulan observasi

yang berurutan dalam waktu tertentu. Suatu runtun waktu dinotasikan dengan tΥ

dengan t menunjuk pada perioda waktu yang berturutan. Bila t adalah bilangan asli

maka tΥ merupakan runtun waktu diskrit. Bila t sembarang bilangan real maka tΥ

merupakan runtun waktu kontinu.

Dilihat dari sejarah nilai observasi, runtun waktu dapat dibedakan atas runtun

waktu deterministik dan runtun waktu stokastik. Runtun waktu deterministik adalah

runtun waktu dengan nilai observasi mendatang dapat dihitung atau diramalkan se-

cara pasti melalui suatu fungsi berdasarkan nilai observasi yang lampau. Sedangkan

runtun waktu stokastik adalah runtun waktu yang nilai observasi mendatang hanya

menunjukkan struktur probabilistik yang digambarkan melalui fungsi tertentu ber-

dasarkan observasi yang lampau. Contoh runtun waktu deterministik ( )ftt π2cos=Υ

dengan tΥ merupakan nilai observasi pada saat t . Sedangkan f merupakan fre-

kuensi yang nilainya dapat ditentukan dengan N

f 1= (N adalah banyaknya panga-


12

matan). Contoh runtun waktu stokastik adalah ada N observasi yang nilainya dapat

ditentukan sebagai nΥΥΥΥ ,,,, 321 K dengan nΥΥΥΥ ,,,, 321 K merupakan variabel-

variabel random yang memiliki fungsi probabilitas.

Suatu runtun waktu disebut stasioner bila

a. ( ) tt setiapuntuk konstan =ΥΕ

b. ( ) tVar t setiapuntuk konstan =Υ

c. ( ) dan setiapuntuk konstan , tKov ktt =ΥΥ − ( )kttKov −ΥΥ , dependen terhadap

lag k

Dengan demikian, suatu runtun waktu dikatakan stasioner bila rata-rata,

variansi, dan kovariansinya tetap konstan sepanjang waktu. Sedangkan runtun waktu

dikatakan tidak stasioner bila runtun waktu tersebut gagal memenuhi satu bagian atau

lebih dari syarat tersebut. Untuk mencapai asumsi stasioneritas, data yang belum

stasioner harus diubah menjadi stasioner. Hal itu dapat diatasi melalui metode

pembedaan (differencing).

Misal diketahui deret angka sebagai berikut : 20,,8,6,4,2 K yang mengandung

trend linear dan tidak bersifat acak. Dengan mengurangkan nilai-nilai yang berurutan

, 4-2, 6-4, 8-6, ... ,20-18, kita akan mendapatkan nilai-nilai pembedaan pertama (first

differeneces) yang merupakan deret angka 2,2,2,...,2 dan deret ini jelas stasioner. Jadi

untuk mendapatkan kestasioneran dapat dibuat deret baru yang terdiri dari perbedaan

angka antara periode yang berturut-turut:

(2.16) 1−Υ−Υ=Υ′ ttt


13

Deret baru ,tΥ′ akan mempunyai 1−n buah nilai dan akan stasioner apabila trend

dari data awal tΥ adalah linear (pada orde pertama).

Apabila autokorelasi dari data yang dibedakan pertama tidak mendekati nol

sesudah lag kedua atau ketiga, berarti data belum bisa dikatakan stasioner. Oleh

karena itu perlu dilakukan pembedaan lagi dari data pembedaan pertama sebagai

berikut:

(2.17) 1−Υ′−Υ′=Υ ′′ ttt

tΥ ′′ dinyatakan sebagai deret pembedaan orde kedua (second order differences).

Deret ini akan mempunyai 2−n buah nilai. Dengan mensubstitusikan (2.16) ke

dalam (2.17) akan diperoleh:

( ) ( )

21

211

2 −−

−−−

Υ+Υ−Υ=Υ ′′

Υ−Υ−Υ−Υ=Υ ′′

tttt

ttttt

Barisan { }tε merupakan proses white noise bila untuk setiap periode waktu t

maka berlaku

I. ( ) tt setiapuntuk 0=Ε ε

II. ( ) tt setiapuntuk 22 σε =Ε

III. ( ) stst ≠=Ε setiapuntuk 0εε


14

Teorema 2.2

Bila tε white noise maka tε stasioner.

Bukti:

Pertama karena ( ) 0=Ε tε dan 0 suatu konstanta maka syarat pertama stasioner

dipenuhi.

Kedua karena ( ) 0=Ε tε dan ( ) 22 σε =Ε t maka

( ) ( )( )

( )

( )2

2

2

2

0

σ

ε

ε

εεε

=

Ε=

−Ε=

Ε−Ε=

t

t

tttVar

Yang berarti syarat kedua stasioner dipenuhi.

Ketiga karena ( ) tt setiapuntuk 0=Ε ε dan ( ) stst ≠=Ε setiapuntuk 0εε maka

( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )

( )

0

00

,

=

Ε=

−−Ε=

Ε−Ε−Ε=

−

−

−−−

ktt

ktt

ktktttkttKov

εε

εε

εεεεεε

Yang berarti syarat ketiga stasioner dipenuhi.

Jadi terbukti bahwa tε stasioner. ■


15

B. Fungsi Autokovariansi dan Fungsi Autokorelasi (ACF)

Definisi 2.2:

Autokovariansi antara tΥ dan kt−Υ didefinisikan sebagai

( ) ( )( ) ( )( )( ) (2.18) , kktktttkttKov γ=ΥΕ−ΥΥΕ−ΥΕ=ΥΥ −−−

Teorema 2.3

Bila tΥ runtun waktu stasioner maka ( )tVar Υ=0γ dan kk −= γγ .

Bukti:

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )t

tt

tttt

tt

Var

Kov

Υ=

ΥΕ−ΥΕ=

ΥΕ−ΥΥΕ−ΥΕ=

ΥΥ=

,

2

0γ

dengan mengingat syarat ketiga stasioner sehingga

( )

( ) ,

,

ktt

kttk

Kov

Kov

+

−

ΥΥ=

ΥΥ=γ

k−= γ ■

Fungsi autokovariansi merupakan plot dari kγ terhadap lag .k

Fungsi korelasi digunakan untuk mengetahui sejauh mana hubungan antara satu

kelompok data dengan satu kelompok data lainnya. Sedangkan fungsi autokorelasi


16

merupakan perkembangan lebih lanjut dari fungsi korelasi. Fungsi autokorelasi

digunakan untuk mengetahui apakah suatu data pada waktu tertentu dipengaruhi oleh

data pada waktu sebelumnya dan juga digunakan untuk mengetahui apakah suatu data

stasioner atau tidak stasioner. Stasioneritas sangat diperlukan karena untuk

mempermudah melakukan peramalan.

Definisi 2.3 :

Didalam runtun waktu korelasi antara tΥ dan kt−Υ disebut autokorelasi bila

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) (2.19)

,,

22ktkttt

ktkttt

ktt

kttktt VarVar

KovKorr

−−

−−

−

−−

ΥΕ−ΥΕΥΕ−ΥΕ

ΥΕ−ΥΥΕ−ΥΕ=

ΥΥ

ΥΥ=ΥΥ

Karena syarat kedua stasioner dan sifat pertama autokovariansi persamaan (2.19)

menjadi

( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

(2.20)

,

0

2

kk

tt

ktktttkttKorr

ργγ

==

ΥΕ−ΥΕ

ΥΕ−ΥΥΕ−ΥΕ=ΥΥ −−

−


17

Teorema 2.4

Bila tΥ runtun waktu stasioner maka 10 =ρ dan kk −= ρρ .

Bukti:

10

00 ==

γγ

ρ

Menggunakan Teorema 2.3 maka diperoleh

00 γγ

γγ

ρ kkk

−==

k−= ρ ■

Fungsi autokorelasi merupakan plot dari kρ terhadap lag .k

Dalam praktek kita bisa menggunakan autokorelasi sampel, dengan

mengasumsikan tΥ stasioner sehingga 1−Υ=Υ=Υ tt dan ( ) ( )ktt VarVar −Υ=Υ

sebagai berikut:

( )( ) ( )

( )( )

( )1

1

,

1

2

1

−

Υ−Υ

−

Υ−ΥΥ−Υ

=

ΥΥ

ΥΥ=

∑

∑

=

+=−

−

−

n

n

VarVarKov

n

tt

n

ktktt

ktt

kttkρ


18

( )( )

( )(2.21)

1

2

1

∑

∑

=

+=−

Υ−Υ

Υ−ΥΥ−Υ= n

tt

n

ktktt

kρ

C. Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)

Fungsi autokorelasi parsial (PACF) digunakan untuk menunjukkan keeratan

hubungan antara .dan ktt −ΥΥ

Definisi 2.4 :

Autokorelasi parsial didefinisikan sebagai berikut:

( )

( )(2.22)

k

kkk Μ

Η=φ

dengan ( ) ( )kk ΗΜ dan adalah matriks autokorelasi kk × , yaitu

( )

=Μ

−−−

−

−

−

1

11

1

321

312

211

121

L

MMMMM

L

L

L

kkk

k

k

k

k

ρρρ

ρρρρρρρρρ

Sedangkan ( )kΗ adalah ( )kΜ yang kolom terakhirnya diganti

kρ

ρρ

M2

1

dapat ditulis

menjadi


19

( )

=Η

−−− kkkk

k

ρρρρ

ρρρρρρρρρ

L

MMMMM

L

L

L

321

312

211

121

11

1

Untuk memperoleh kkφ dengan K,3,2,1=k digunakan aturan Cramer akan diperoleh

21

222

21

32121

31

2213

12

11

21

312

21

11

33

21

212

1

1

21

1

22

111

2212

11

1

11

,3

11

1

1

,2

,1

ρρρρρρρρρρρρ

ρρρρρρρρρρρρρ

φ

ρρρ

ρρρρρ

φ

ρφ

−−+−−++

===

−−

===

==

k

k

k

D. Autoregresif (AR)

Model Autoregresif memiliki persamaan umum sebagai berikut:

(2.23) ...22110 tktkttt εφφφφ +Υ++Υ+Υ+=Υ −−−

Persamaan (2.23) juga merupakan persamaan regresi, tetapi berbeda dengan

persamaan (2.15). Pada persamaan (2.15) variabel-variabel sebelah kanan merupakan

faktor-faktor bebas yang lain, sedangkan pada persamaan (2.23) variabel-variabel

sebelah kanan merupakan nilai sebelumnya dari variabel tak bebas tΥ . Asumsi-


20

asumsi pada persamaan regresi juga berlaku pada persamaan tersebut dengan tε

merupakan white noise.

Bila persamaan (2.23) variabel sebelah kanan hanya dipengaruhi oleh nilai

sebelumnya dari variabel tak bebas tΥ yang ketinggalan satu perioda maka

persamaannya disebut autoregresif orde satu (AR (1)). Persamaan AR (1) adalah

(2.24) 110 ttt εφφ +Υ+=Υ −

Bila tΥ diketahui maka akan diperoleh

( )

( ) 21102

110

2101010

21102

10101

1

εεφφφφ

εεφφφφ

εφφ

εφφ

++Υ++=

++Υ++=

+Υ+=Υ

+Υ+=Υ

( )( )

( )M

1

1

32112

103

12

110

32112

103

12

10100

321102

11010

32103

εεφεφφφφφ

εεφεφφφφφφφ

εεεφφφφφφ

εφφ

+++Υ+++=

+++Υ+++=

+++Υ+++=

+Υ+=Υ

( ) ( )

( ) ( ) ( )nnnnn

nnn

nnn

nnnnn

n

−−−

−−−

−−−

−−−−

+++

++Υ+++++=Υ

εφεφεφ

εφφφφφφ

133

122

1

11

1011

12

110

1

K

K

Sehingga untuk setiap 0⟩t akan didapatkan

(2.25) 1

0101

1

010 ∑∑

−

=−

−

=

+Υ+=Υt

iit

itt

i

it εφφφφ


21

Nilai harapan tΥ pada persamaan (2.25) dapat dicari dengan mengingat syarat

pertama white noise adalah

( )

( )

(2.26)

01

1

010

1

0101

1

010

1

0101

1

010

Υ+=

Ε+ΥΕ+

Ε=

+Υ+Ε=ΥΕ

∑

∑∑

∑∑

−

=

−

=−

−

=

−

=−

−

=

tt

i

i

t

iit

itt

i

i

t

iit

itt

i

it

φφφ

εφφφφ

εφφφφ

Sedangkan nilai harapan dari kt−Υ dengan mengingat syarat pertama white noise

adalah

( )

( )

(2.27)

01

1

010

1

0101

1

010

1

0

1

010110

Υ+=

Ε+ΥΕ+

Ε=

+Υ+Ε=ΥΕ

−−−

=

−−

=−−

−−−

=

−−

=

−−

=−−

−−

∑

∑∑

∑ ∑

ktkt

i

i

kt

iikt

iktkt

i

i

kt

i

kt

iikt

iktikt

φφφ

εφφφφ

εφφφφ

Persamaan (2.26) dan (2.27) keduanya dependen terhadap waktu. Karena

( ) ( )ktt −ΥΕ≠ΥΕ maka { }tΥ tidak stasioner.

Teorema 2.5

bila 11 ⟨φ maka

I. kt−1φ akan konvergen ke nol untuk t mendekati tak hingga ( )∞→t (2.28)


22

II. ( )...1 31

2110

1

010 ++++=∑

−−

=

φφφφφφkt

i

i konvergen ke 11 φ

φ−

o (2.29)

Bukti:

I. Karena 11 ⟨φ maka 0lim 1 =−

∞→

kt

tφ

II. Karena ( )...1 31

2110

1

010 ++++=∑

−−

=

φφφφφφkt

i

i merupakan deret geometri yang

konvergen dengan 10 dan φφ == ra maka 1

0

11 φφ−

=− ra ■

Jadi untuk ( )∞→t dan 11 ⟨φ ,

( )

(2.30) 1

limlim

01

1

0

1

0101

1

010

∑

∑∑∞

=−

−

=−

−

=∞→∞→

+−

=

+Υ+=Υ

iit

i

t

iit

itt

i

i

ttt

εφφ

φ

εφφφφ

Nilai harapan tΥ dengan menggunakan persamaan (2.30) dan mengingat syarat

pertama white noise adalah

( )

(2.31) 1

1

1

1

0

01

1

0

01

1

0

φφ

εφφ

φ

εφφ

φ

−=

Ε+

−

Ε=

+

−Ε=ΥΕ

∑

∑

∞

=−

∞

=−

iit

i

iit

it


23

Terlihat bahwa rata-rata dari tΥ berhingga dan independen terhadap waktu. Jadi

( ) ( ) . semuauntuk 1 1

0 tktt φφ−

=ΥΕ=ΥΕ −

Nilai variansi tΥ dengan menggunakan persamaan (2.30), (2.31) dan mengingat

syarat kedua white noise adalah

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

(2.32) 1

...

...

11

21

2

241

221

2

22

41

21

21

2

2

01

2

1

0

01

1

0

2

φσ

σφσφσ

εφεφε

εφ

φφ

εφφ

φ

−=

+++=

+Ε+Ε+Ε=

Ε=

−

−+−

Ε=

ΥΕ−ΥΕ=Υ

−−

∞

=−

∞

=−

∑

∑

ttt

iit

i

iit

i

tttVar

yang juga berhingga dan independen terhadap waktu.

Nilai kovariansi tΥ dengan mengingat persamaan (2.30), syarat kedua white noise dan

persamaan (2.31) adalah

( ) ( )( ) ( )( )( )

Ε=

−

−+−

−

−+−

Ε=

ΥΕ−ΥΥΕ−ΥΕ=ΥΥ

∑∑

∑∑

∞

=−−

∞

=−

∞

=−−

∞

=−

−−−

01

01

0 1

01

1

0

0 1

01

1

0

1111

,

iikt

i

iit

i

iikt

i

iit

i

ktktttkttKov

εφεφ

φφ

εφφ

φφ

φεφ

φφ


24

( ) ( )(( ))

( ) ( ) ( )( )K

K

KK

+Ε+Ε+Ε=

+++++

++++++Ε=ΥΥ

−−+

−−+

−

−−+

−−−−−−

−−+

−−−−

22

41

21

21

21

121

12122

111

11

1122

111

,

ktk

ktk

ktk

ktk

ktk

ktktkt

ktk

ktk

tttkttKov

εφεφεφ

εφεφεφεφε

εφεφεφεφε

( )

(2.33) 1

1

21

12

41

211

2

φφσ

φφφσ

−=

+++=

k

k K

Ternyata nilai kovariansinya berhingga dan tidak berubah terhadap waktu. Jadi bila

nilai limit (2.30) digunakan maka deret { }tΥ akan menjadi stasioner.

Fungsi Autokorelasi (ACF) untuk AR (1) dapat dicari dengan menggunakan

persamaan (2.32) dan (2.33) sebagai berikut

( )( )

( )( )

21

21

2

21

221

0

22

1

21

2

21

21

0

11

0

00

1

1 2

1

1 1

1 0

untuk

φ

φσ

φσφ

γγ

ρ

φ

φσ

φσφ

γγ

ρ

γγ

ρ

=

−

−===

=

−

−===

===

k

k

k

M

( )( )

n

n

nnnk 1

21

2

21

21

01

1 φ

φσ

φσφ

γγ

ρ =

−

−===


25

Bila . semuauntuk 0 maka 10 1 kk ⟩⟨⟨ ρφ Bila 01 1 ⟨⟨− φ maka kρ akan berubah tanda

dari negatif ke positif untuk semua .1 ≥k

Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) untuk AR (1)

Untuk

,1=k 1111 φρφ ==

,2=k 011 2

1

21

21

21

212

22 =−−

=−−

=φφφ

ρρρ

φ

Karena AR (1) persamaannya hanya berhubungan dengan 1−Υt maka untuk 2≥k

nilai kkφ bernilai nol. Secara umum dapat ditulis menjadi

≥=

2untuk 01untuk 1

kk

kk

φφ

Pada proses ini autokorelasi parsial bernilai tidak nol pada lag pertama, yang juga

merupakan order dari proses, tetapi bernilai nol untuk lag yang lain.

Bila persamaan (2.23) variabel sebelah kanan hanya dipengaruhi oleh nilai

sebelumnya dari variabel tak bebas tΥ yang ketinggalan p perioda maka

persamaannya disebut autoregresif orde p (AR (p)). Persamaan AR (p) adalah

(2.34) 1

0 tit

p

iit εφφ +Υ+=Υ −

=∑


26

Nilai harapan tΥ persamaan (2.34) dengan mengingat syarat pertama white noise

adalah

( )

( ) ( )

t1

0

10

εφφ

εφφ

Ε+

ΥΕ+Ε=

+Υ+Ε=ΥΕ

∑

∑

=−

=−

p

iiti

t

p

iitit

(2.35) 1

0 ∑=

−Υ+=p

iitiφφ

sedangkan nilai harapan kt−Υ adalah

( )

( ) ( )

(2.36)

10

kt1

0

10

∑

∑

∑

=−−

−=

−−

−=

−−−

Υ+=

Ε+

ΥΕ+Ε=

+Υ+Ε=ΥΕ

p

iikti

p

iikti

kt

p

iiktikt

φφ

εφφ

εφφ

Persamaan (2.35) dan (2.36) keduanya dependen terhadap waktu. Karena

( ) ( )ktt −ΥΕ≠ΥΕ maka { }tΥ tidak stasioner.


01

t

p

iitit εφφ +=Υ−Υ ∑

=−

(2.37) 02211 tptpttt εφφφφ +=Υ−−Υ−Υ−Υ −−− K

Apabila persamaan (2.37) ditulis dalam bentuk operator pergeseran mundur dengan

ittiB −Υ=Υ maka persamaannya menjadi


27

t

p

i

ii

tt

p

i

iit

ttp

pttt

B

B

BBB

εφφ

εφφ

εφφφφ

+=

Υ

+=Υ

−Υ

+=Υ−−Υ−Υ−Υ

∑

∑

=

=

01

t

01

02

21

-1

K

(2.38) 1-1

10

1

0t

∑∑==

−+=Υ p

i

i

tp

i

ii BB φ

ε

φ

φ

dengan 11

≠∑=

p

i

ii Bφ .

Nilai harapan tΥ persamaam (2.38) dengan mengingat syarat pertama white noise

adalah

( )

1111

0

−+

−Ε=ΥΕ

∑∑==

p

i

ii

tp

i

ii

t

BB φ

ε

φ

φ

(2.39) 1

11

1

0

11

0

∑

∑∑

=

==

−=

−Ε+

−Ε=

p

i

ii

p

i

ii

tp

i

ii

B

BB

φ

φ

φ

ε

φ

φ


28

Nilai variansi tΥ persamaam (2.38) dengan mengingat syarat kedua white noise

adalah

( ) ( )( )2

1

0

11

0

2

111

−−

−+

−Ε=

ΥΕ−ΥΕ=Υ

∑∑∑===

p

i

ii

p

i

ii

tp

i

ii

ttt

BBB

Var

φ

φ

φ

ε

φ

φ

(2.40)

1

1

2

1

2

2

1

2

−

=

−

Ε=

∑

∑

=

=

p

i

ii

p

i

ii

t

B

B

φ

σ

φ

ε

Nilai kovariansi ( )ktt −ΥΥ , dengan mengingat syarat ketiga white noise adalah

( ) ( )( ) ( )( )( )ktktttkttKov −−− ΥΕ−ΥΥΕ−ΥΕ=ΥΥ ,

−−

−+

−

−−

−+

−Ε=

∑∑∑

∑∑∑

==

−

=

===

p

i

ii

p

i

ii

ktp

i

ii

p

i

ii

p

i

ii

tp

i

ii

BBB

BBB

1

0

11

0

1

0

11

0

111

111

φ

φ

φ

ε

φ

φ

φ

φ

φ

ε

φ

φ


29

( )

−

−Ε=ΥΥ

∑∑=

−

=

− p

i

ii

ktp

i

ii

tktt

BBKov

1111

,φ

ε

φ

ε

(2.41) 0

1

2

1

=

−

Ε=

∑=

−

p

i

ii

ktt

Bφ

εε

Jadi autoregresi orde p merupakan runtun waktu yang stasioner.

Bila persamaan (2.34) dikalikan kt−Υ dengan 0⟩k maka persamaannya menjadi

(2.42) 110 kttktptpkttktktt −−−−−−− Υ+ΥΥ++ΥΥ+Υ=ΥΥ εφφφ K

dan dengan mengambil nilai harapannya diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.43) 110 kttktptpkttktktt −−−−−−− ΥΕ+ΥΥΕ++ΥΥΕ+ΥΕ=ΥΥΕ εφφφ K

Persamaan (2.43) menurut definisi 2.2 dan dengan menggunakan persamaan (2.39)

serta syarat ketiga white noise dapat ditulis menjadi

(2.44) 1

11

1

20

pkpkp

i

ii

k

B−−

=

+++−

=

∑γφγφ

φ

φγ K

Bila persamaan (2.44) dibagi 0γ maka diperoleh fungsi autokorelasi AR (p) sebagai

berikut

(2.45) 1

1121

20

pkpk

p

i

ii

k

B

−−= +++

−

=∑

ρφρφσ

φφρ K


30

Persamaan (2.45) merupakan persamaan yule-walker.

2

1121

20

1

112121

20

1

1

1

1 1,k

untuk

φ

ρφφσ

φφ

ρ

ρφρφφσ

φφρ

−

+++

−

=

++++

−

==

−=

−=

∑

∑

pp

p

i

ii

pp

p

i

ii

B

B

K

K

M

K 221121

20

2

1 2,k −

= ++++

−

==∑

pp

p

i

ii B

ρφφρφσ

φφρ

ppp

p

i

ii

p

Bp φρφρφ

σ

φφρ ++++

−

== −−=∑

K221121

20 1

,k

Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) untuk AR (p)

2

1121

20

111 1

1

1,k

untuk

φ

ρφφσ

φφ

ρφ−

+++

−

===

−=∑

pp

p

i

ii B

K

M


31

1

11

11

,

321

211

121

321

211

121

L

MLMMM

L

L

L

MMMMM

L

L

−−−

−

−

−−−==

ppp

p

p

pppppppk

ρρρ

ρρρρρρ

ρρρρ

ρρρρρρ

φ

.untuk , 0 pkkk ⟩=φ

Autokorelasi parsial akan nol setelah lag p atau kurva akan terputus setelah suku ke-

p .


32

BAB III

MODEL ARCH

A. ARCH

Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH) merupakan model

autoregresif dalam keadaan variansi tidak konstan. Masalah yang dihadapi ketika

berhadapan dengan data runtun waktu adalah masalah variabilitas, yang menentukan

seberapa cepat data berubah menurut waktu. Variabilitas menjadi bagian sangat

penting ketika sebuah sistem lebih bersifat stokastik dari pada deterministik. Dalam

sistem stokastik sendiri juga masih dibedakan antara data runtun waktu dengan

variabilitas konstan atau variabilitas tidak konstan. Suatu besaran yang dapat

mengukur variabilitas adalah variansi. Variansi mengukur harapan seberapa besar

nilai suatu data runtun waktu berbeda terhadap rata-rata data keseluruhan.

Engle (1982) menunjukkan bahwa model runtun waktu, rata-rata dan

variansinya dapat dicari secara bersamaan. Dengan manunjukkan bahwa ramalan

bersyarat lenih unggul dari pada yang tidak bersyarat. Sebagai contoh, kita miliki

AR(1)

(3.1) 110 ttt εφφ +Υ+=Υ −

dan ingin meramalkan 1+Υt yaitu ramalan satu langkah kedepan. Ramalan bersyarat

untuk 1101 ++ +Υ+=Υ ttt εφφ dapat dinyatakan sebagai berikut:


33

( ) ( )1101 ++ +Υ+Ε=ΥΥΕ tttt εφφ

( ) ( ) ( )

(3.2)

10

110

t

tt

Υ+=

Ε+ΥΕ+Ε= +

φφ

εφφ

Sedangkan bila digunakan ramalan tak bersyarat dengan memperhatikan persamaan

(2.16) maka nilai harapan adalah

( ) (3.3) 1 1

01 φ

φ−

=ΥΕ +t

Bila kita gunakan rata-rata bersyarat (3.2) untuk mencari nilai variansi bersyarat, akan

diperoleh

( ) ( )[ ]

[ ]

[ ]

( )21

210110

2101

2111

+

+

+

+++

Ε=

Υ−−+Υ+Ε=

Υ−−ΥΕ=

ΥΥΕ−ΥΕ=ΥΥ

t

ttt

tt

tttttVar

ε

φφεφφ

φφ

karena ( ) 0=Ε tε maka

( ) ( ) ( )( )( )

(3.4)

2

1

21

21

21

σ

ε

εεε

=

=

Ε−Ε=Ε

+

+++

t

ttt

Var

Sedangkan bila digunakan ramalan tak bersyarat dengan memperhatikan persamaan

(2.11) maka variansi tidak bersyarat dari

( ) (3.5) 1

21

2

1 φσ−

=Υ +tVar


34

Bila 11

1 maka 10 21

1 ≥−

⟨⟨φ

φ sehingga ramalan tidak bersyarat mempunyai variansi

yang lebih besar, dengan alasan inilah ramalan bersyarat lebih digemari. Bila

variansi bersyarat tΥ dependen terhadap waktu maka disebut heteroskedastisitas.

Suatu pendekatan menggambarkan kuadrat dari tε dapat ditulis dalam proses

AR (1) sebagai berikut

(3.6) 2110

2ttt u++= −εααε

Dengan tu merupakan white noise baru, 00 ⟩α dan .01 ≥α

Persamaan (3.6) merupakan pesamaan Autoregressive Conditional

Heteroscedastic orde 1 (ARCH (1)). Sebagai alternatif persamaan (3.6), dapat

dinyatakan dalam bentuk multiplikatif yang diusulkan Engle (1982) sebagai berikut

(3.7) ttt hv=ε

dengan 2110 −+= tth εαα dan tv berdisribusi normal standar. Bila persamaan (3.7)

kedua sisi dikuadratkan dan 2tε menggunakan persamaan (3.6) maka persamaannya

menjadi

( )12

2

−=

+=

ttt

tttt

vhu

uhvh


35

Berikut ini beberapa sifat yang dimiliki oleh model ARCH (1):

a. Nilai harapan tε sama dengan nol.

Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan persamaan (3.9), sehingga akan

diperoleh nilai harapan galat sebagai berikut

( ) ( )( ) ( )( )

0

0

2110

2110

2110t

=

+Ε=

+ΕΕ=

+Ε=Ε

−

−

−

t

tt

tt

v

v

εαα

εαα

εααε

b. Bila 11 ⟨α maka galat ( )tε mempunyai variansi tidak bersyarat yang konstan.

Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan

( ) ( )( )2tttVar εεε Ε−Ε=

( )2 tεΕ=

( )( )( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )2

32

22

131

22

21

210

21100

2310

22

21

21

21100

22

21

21

21100

2210

2110

2110

2110

2

2110

2

1

−−−−−−

−−−−

−−−

−−

−

−

−

+++Ε=

+++Ε=

++Ε=

++Ε=

+Ε=

+ΕΕ=

+Ε=

tttttt

tttt

ttt

tt

t

tt

tt

vvvvv

vvv

vv

v

v

v

εαααααα

εαααααα

εαααα

εαααα

εαα

εαα

εαα


36

( )

( )

1

0

31

2110

310

210100

1

1

αα

αααα

αααααααε

−=

++++=

++++=

K

KtVar

Jadi variansi tidak bersyarat dari tε bersifat homoskedastik.

c. Galat ( )tε mempunyai variansi bersyarat yang tidak konstan.


( ) ( ) ( )( )

( ) 0 12

211

21

−Ε=

Ε−Ε=

−

−−−

tt

ttttttVar

εε

εεεεεε

( )

+Ε= −

22

110 ttv εαα

( )( )( ) ( )( ) ( )

t

t

ttt

ttt

tt

h

vv

vv

v

=

+=

Ε+Ε=

Ε+Ε=

+Ε=

−

−

−

−

2110

2211

20

211

20

2

2110

2

εαα

εαα

εαα

εαα

Jadi variansi bersyarat dari tε bersifat heteroskedastisitas.

d. Galat { }tε tidak berkorelasi


( ) ( )( ) ( )( )[ ]( )ktt

ktktttkttkov

−

−−−

Ε=

Ε−Ε−Ε=

εε

εεεεεε

,


37

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

0

. ,

2110

2110

2110

2110

=

++ΕΕΕ=

++Ε=

−−−−

−−−−−

kttktt

ktktttktt

vv

vvkov

εααεαα

εααεααεε

Jadi

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

0

0

,,

=

=

=

−

−

−−

ktt

ktt

kttktt

VarVar

VarVarkov

korr

εε

εεεε

εε

Karena nilai korelasi nol berarti { }tε tidak berkorelasi.

Bila pada persamaan (3.6) kuadrat dari tε ditulis dalam proses AR (q) maka

persamaannya menjadi

(3.8) 2222

2110

2tqtqttt u+++++= −−− εαεαεααε K

Dengan tu merupakan white noise, 00 ⟩α dan 0≥iα untuk qi ,,2,1 K= Bila

0321 ===== qαααα K maka variabel galat terestimasi menjadi 0α . Sebaliknya

apabila hal ini tidak terjadi variansi bersyarat tΥ akan membesar menurut proses

autoregresi pada (3.8).

Persamaan (3.8) merupakan pesamaan Autoregressive Conditional

Heteroscedastic orde q (ARCH (q)). Persamaan (3.8) dapat dinyatakan dalam bentuk

multiplikatif sebagai berikut


38

(3.9) ttt hv=ε

dengan 22110 qtqtth −− +++= εαεαα K dan tv berdisribusi normal standar

Berikut ini beberapa sifat yang dimiliki oleh model ARCH (q):

a. Nilai harapan tε sama dengan nol.

Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan persamaan (3.9), sehingga akan

diperoleh nilai harapan galat sebagai berikut

( )

( )

0

0

2

10

2

10

2

10t

=

+Ε=

+ΕΕ=

+Ε=Ε

−=

−=

−=

∑

∑

∑

it

q

ii

it

q

iit

it

q

iit

v

v

εαα

εαα

εααε

b. Galat ( )tε mempunyai variansi tidak bersyarat yang konstan.


( ) ( )( )2tttVar εεε Ε−Ε=

( )

+ΕΕ=

+Ε=

−=

=−

∑

∑

2

10

2

2

1

20

it

q

iit

q

iitit

v

v

εαα

εαα


39

( ) ( )( )( ) ( )( )( )2

1022

2102

110

22110

1

−−−−−

−−

+++++Ε=

+++Ε=

qtqqtqtt

qtqtt

vv

Var

εαααεαααα

εαεααε

K

K

( )( )( )(

( )( ))(

)( ) ( )( ) ( )( )

q

qqq

qqq

qtqtqtqqtqtq

qtqtttttt

qtqqtqtq

qtqttt

qtqtqqtqttt

vvvv

vvvvvv

vv

vvv

vvvv

ααα

ααααααα

ααααααααααααα

εααα

βαεααααα

εααα

ααεααααα

εαααεαααα

−−−=

+++++++++=

+++++++++=

++

+++++Ε=

++

++++Ε=

+++++Ε=

−−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−

−−−−

−−−−−−−

K

KKK

KKK

K

K

K

1

0

3231

2110

30

200

310

210100

22

21

2221

220

20

23

22

21

31

22

21

210

2100

220

21

22

210

2310

22

21100

21

2220

22

21

21

21100

1

1

Jadi variansi tak bersyarat dari tε bersifat homoskedastik.

c. Galat ( )tε mempunyai variansi bersyarat yang tidak konstan.


( ) ( )( )( )

( )

Ε+Ε=

+Ε=

+Ε=

−Ε=

Ε−Ε=

−=

−=

−=

−−

−−−−−−

∑

∑

∑

2

1

20

2

2

10

2

2

2

10

12

2111

0,,

,,,,,,

it

q

iitt

it

q

iit

it

q

iit

qttt

qtttqtttqttt

vv

v

v

Var

εαα

εαα

εαα

εεε

εεεεεεεεε

K

KKK


40

( ) ( ) ( )22

1

201 ,, tit

q

iitqttt vvVar Ε+Ε= −

=−− ∑ εααεεε K

t

it

q

ii

h=

+= −=∑

2

10 εαα

Jadi variansi bersyarat dari tε bersifat heteroskedastisitas.

d. Galat { }tε tidak berkorelasi


( ) ( )( ) ( )( )[ ]( )

( ) ( )

0

.

,

2

10

2

10

2

10

2

10

=

+

+ΕΕΕ=

++Ε=

Ε=

Ε−Ε−Ε=

−−=

−=

−

−−=

−−=

−

−−−

∑∑

∑∑

ikt

q

iiit

q

iiktt

ikt

q

iiktit

q

iit

ktt

ktktttktt

vv

vv

kov

εααεαα

εααεαα

εε

εεεεεε

Jadi

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

0

0

,,

=

=

=

−

−

−−

ktt

ktt

kttktt

VarVar

VarVarkov

korr

εε

εεεε

εε

Karena nilai korelasi nol berarti { }tε tidak berkorelasi.


41

B. Pengujian Adanya Efek ARCH Dalam Data Runtun Waktu

Data runtun waktu dalam kenyataannya tidak semua mempunyai efek ARCH.

Untuk mengetahui ada atau tidaknya efek ARCH dalam data runtun waktu dapat diuji

dengan uji Pengganda Langrange.

Langkah-langkah dalam uji Pengganda langrange sebagai berikut:

1. Tentukan persamaan rata-rata yang paling sesuai untuk data runtun waktu yang

ingin dianalisis. Dari persamaan tersebut akan diperoleh kuadrat galat{ }2tε .

2. Regresikan kuadrat galat { }2tε pada konstanta dan q lag terhadap dirinya sendiri.

(3.10) 2222

2110

2qtqttt −−− ++++= εαεαεααε K

3. Hitung koefisien determinasi ( )2R dari persamaan (3.10).

4. Dilakukan uji hipotesis seperti dibawah ini:

.,,4,3,2,1 ,0satu rdapat sedikit te paling

). lag hingga ARCHefek ada tidak ( 0

k1

2100

qk

qq

K

K

=≠=Η

======Η

α

αααα

Digunakan statistik uji 2TR dengan T menyatakan banyaknya galat pada

langkah satu. Dibawah hipotesis nol statistik uji 2TR akan berdistribusi 2qχ .

Hipotesis nol ditolak bila nilai 2TR lebih besar dari 2qχ maka terdapat efek

ARCH dalam data runtun waktu tersebut.


42

Contoh 3.1

Pada data dibawah ini periksalah apakah ada efek ARCH pada data dengan

menggunakan uji Langrange Multiplier .

t tΥ

1 30

2 20

3 45

4 35

5 30

6 60

7 40

8 50

9 45

10 65

Penyelesaiannya

1. Untuk memperoleh kuadrat galat digunakan persamaan model AR (1)

ttt εββ +Υ+=Υ −110


43

t tΥ 1−Υt 1−ΥΥ tt 21−Υt

1 30 - 0 0

2 20 30 600 900

3 45 20 900 400

4 35 45 1575 2025

5 30 35 1050 1225

6 60 30 1800 900

7 40 60 2400 3600

8 50 40 2000 1600

9 45 50 2250 2500

10 65 45 2925 2025

∑ =Υ 420t ∑ =Υ − 3551t ∑ =ΥΥ − 500.151tt ∑ =Υ − 175.1521t

Nilai β dapat diduga dengan

( )

( ) ( )( )( ) ( )

229349,0

355175.1510420355500.1510

ˆ

2

21

21

111

=

−−

=

Υ−Υ

ΥΥ−ΥΥ=

∑ ∑∑ ∑ ∑

−−

−−

tt

tttt

n

nβ


44

( )

85811,33

10355229349,0

10420

ˆˆ 110

=

−=

Υ−

Υ= ∑∑ −

nntt ββ

1

110

ˆ22935,085811,33

ˆˆˆˆ

−

−

Υ+=

Υ+=Υ

t

tt ββ

Nilai galat dapat dihitung dengan

ttt Υ−Υ= ˆε

t tΥ 1−Υt tΥ̂ tε 2tε

1 30 33,85811 -3,85811 14,88501

2 20 30 40,73861 -20,73861 430,08994

3 45 20 38,44511 6,55489 42,96658

4 35 45 44,17886 -9,17886 84,25147

5 30 35 41,88536 -11,88536 141,26178

6 60 30 40,73861 19,26139 371,00114

7 40 60 47,61911 -7,61911 58,05084

8 50 40 43,03211 6,96789 48,55149

9 45 50 45,32561 -0,32561 0,10602

10 65 45 44,17886 20,82114 433,51987


45

2. Regresi kuadrat galat { }2tε dalam persamaan 2

1102

−+= tt εααε

t 2tε 2

1−tε 21

2−tt εε 4

1−tε

1 14,88501 - - -

2 430,08994 14,88501 6401,89432 221,56361

3 42,96658 430,08994 18.479,49527 18.4977,36056

4 84,25147 42,96658 3.619,99781 1.846,12725

5 141,26178 84,25147 11.901,51294 7.098,31035

6 371,00114 141,26178 52.408,28295 19.954,89115

7 58,05084 371,00114 21.536,92705 137.641,84939

8 48,55149 58,05084 2.818,45470 3.369,89970

9 0,10602 48,55149 5,14752 2.357,24728

10 433,51987 0,10602 45,96259 0,01124

∑ = 68416,624.12tε ∑ =− 16429,191.12

1tε

∑ =− 67516,217.11721

2tt εε ∑ =− 26052,467.3574

1tε

Nilai α dapat diduga dengan

( )

( ) ( )( )( ) ( )

35397,0

16429,191.126052,467.3571016429,191.168416,624.167516,217.11710

ˆ

2

221

41

21

2221

1

−=

−−

=

−

−=

∑ ∑∑ ∑ ∑

−−

−−

tt

tttt

n

n

εε

εεεεα


46

( )

63208,204

1016429,191.135397,0

1068416,624.1

ˆˆ2

11

2

0

=

−=

−= ∑∑ −

nntt ε

αε

α

21

2110

2

ˆ35397,063208,204

ˆˆˆˆ

−

−

−=

+=

t

tt

ε

εααε

46842,1621068416,1624

2

2 ===∑

n

t

t

εε

t 2tε 2

1−tε 2ˆtε ( )222ˆ tt εε − ( )222tt εε −

1 14,88501 - 204,63208 1.777,77457 21.780,86089

2 430,08994 14,88501 199,36323 1.361,22745 71.621,28267

3 42,96658 430,08994 52,39314 12.116,56587 14.280,68810

4 84,25147 42,96658 189,42320 726,56031 6.117,89049

5 141,26178 84,25147 174,80959 152,30450 449,72131

6 371,00114 141,26178 154,62965 61,44630 43.485,89898

7 58,05084 371,00114 73,30880 7.949,43626 10.903,03075

8 48,55149 58,05084 184,08383 467,22592 12.977,06578

9 0,10602 48,55149 187,44631 623,89513 26.361,54701

10 433,51987 0,10602 204,59455 1.774,61129 73.468,89124


47

( )( )

09597,0

87721,446.28104760,011.27

ˆ

222

222

2

=

=

−

−=

∑

∑

tt

tt

Rεε

εε

( ) 9597,009597,0102 ==TR

( ) 84,31205.0 =χ

Karena 22 χ⟨TR maka 0Η diterima. Jadi tidak terdapat efek ARCH dalam data

runtun waktu tersebut.

C. Fungsi Likelihood ARCH

Bila persamaan (3.9) tε diasumsikan berdistribusi normal dengan tψ adalah

himpunana informasi yang diketahui pada waktu t maka asumsi normalitasnya

dengan menggunakan densitas bersyarat adalah sebagai berikut

( ) (3.11) ,01 ttt hΝ≈−ψε

Sedangkan fungsi densitasnya dengan ( )qαααγ ,,, 10 K= adalah

( ) ( )tt

t

t

tttt hh

fv

vff 1;1

=

∂∂

=−

εε

γψε


48

( )

( ) (3.12) 2

exp2

12

exp21;

2

21

2

1

−=

−=

−

−

t

tt

t

t

t

tt

hh

h

hf

επ

ε

πγψε

Fungsi likelihood untuk sampel berukuran T dinyatakan sebagai berikut

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (3.13) ;,,2

exp2

;,;;,,,

11

22

1

11

111

γεεε

π

γεεγψεγεεε

q

T

qt t

tt

q

T

qtttTT

fh

h

fff

K

KK

−=

=

∏

∏

+=

−

+=−−

Bila tL fungsi log likelihood untuk observasi ke t dari sampel berukuran T maka

( ) ( )

−= ∏

+=

− γεεε

π ;,,2

exp2ln 11

2

21

q

T

qt t

ttt f

hhL K

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (3.14) ;,,lnln212ln

21

;,, ln2

ln212ln

21

11

2

11

2

1

γεεε

π

γεεε

π

q

T

qt t

tt

q

T

qt t

tt

T

qt

fh

hqT

fh

hqT

K

K

+

+−

+−−=

+−−+−

−=

∑

∑∑

+=

+=+=

Dalam praktek ( )γεε ;,,ln 1 qf K biasanya diabaikan sehingga bentuk log likelihood

menjadi

( ) ( ) (3.15) ln212ln

21

1

2

+−

+−−= ∑

+=

T

qt t

ttt h

hqTLε

π

Persamaan (3.15) disebut maksimum likelihood.


49

Contoh 3.2

Diberikan nilai-nilai galat 1,01 =ε , 2,02 =ε , 1,03 −=ε . Dengan menggunakan

fungsi maksimum likelihood tentukan persamaan ARCH (1).

Penyelesaiannya sebagai berikut :

Fungsi maksimum likelihood ARCH (1) adalah

( ) ( ) (3.16) ln212ln

23

3

22

110

22

110

+

++−−= ∑= −

−t t

tttL

εααε

εααπ

Parameterα dapat diduga dengan mencari turunan pertama tL terhadap α sebagai

berikut :

Turunan pertama tL terhadap 0α adalah

( ) ( )

( )∑

∑

= −−

= −−

+−

+−=

+

++−−∂∂

=∂∂

3

222

110

2

2110

3

22

110

22

11000

121

ln212ln

23

ˆˆ

t t

t

t

t t

tt

tL

εαα

εεαα

εααε

εααπαα

Karena 0ˆ0

=∂∂α

tL maka

( )(3.17) 01

21 3

222

110

2

2110

=

+−

+− ∑

= −−t t

t

t εαα

εεαα


50

Turunan pertama tL terhadap 1α adalah

( ) ( )

( )∑

∑

= −

−

−

−

= −−

+−

+−=

+

++−−∂∂

=∂∂

3

222

110

21

2

2110

21

3

22

110

22

11011

21

ln212ln

23

ˆˆ

t t

tt

t

t

t t

tt

tL

εαα

εεεαα

ε

εααε

εααπαα

Karena 0ˆ1

=∂∂α

tL maka

( )(3.18) 0

21 3

222

110

21

2

2110

21 =

+−

+− ∑

= −

−

−

−

t t

tt

t

t

εαα

εεεαα

ε


( ) ( )

( )( ) ( )

( )

00,000001-0,0000040,00010,0002-

0,00080,02 0,01-0,040,000064-0,000016

0,00160,0032-0,00080,080,04-0,01

00001,002,0

01,004,00016,008,004,001,0

004,0

01,004,0

01,004,001,0

0

21

31

21010

2101

20

201

20

30

21

31

21010

2101

20

20

20

30

2110

20

102110

2010

210

102

10

10

3

22

110

22110

=++

++++

+++++

=++

−++++−+

=+

−++

+

−+

=

+−+∑

= −

−

αααααα

αααααααααα

ααααααααααα

αααα

αααααααα

αααα

αααα

εααεεαα

t t

tt

00,000065-

00002,00,0034-0,00330,1505,02

21

3110

2101

20

20

30

=

+++−

α

ααααααααα

( ) ( )

( ) (3.19) 0000065,00,00002

0034,00033,00,1505,02

211

1010200

=−

+−++−

αα

αααααα


51

Bila persamaan (3.19) diturunkan terhadap 0α maka persamaannya menjadi

( ) ( )

(3.20) 00034,00033,01,02

00034,00033,015,015,0205,022

1210

20

110100020

=+−+−

=−+−+−−

αααα

αααααααα

Sedangkan persamaan (3.18) dapat ditulis menjadi

(3.21) 03

22

110

21

2411

210 =

+

−+∑= −

−−−

t t

tttt

εααεεεαεα

( ) ( )

( )( )( )( )

00,00000004-

0,000000160,0000040,000008-0,0000320,0008

0,0004-0,001604,00,00000064-0,000000160,000016

0,000032-0,0000080,00080,0004-0,000101,0

00001,002,00004,00016,004,0

0016,008,00004,00001,001,0

004,0

0004,00016,004,0

01,00004,00001,001,0

21

31

21010

2101

20

201

20

30

21

31

210

102

10120

201

20

30

2110

2010

2110

2010

210

102

10

10

=

++++

+++

++++

=++−+

+++−+

=+

−++

+

−+

α

ααααααααα

αααααααα

αααααααααα

αααααα

αααααα

αααα

αααα

00,00000068-

00000032,00,00004-0,000060,00330008,00,05

21

3110

2101

20

20

30

=

+++−

α

ααααααααα

( ) ( )

( ) (3.22) 000000068,00,00000032

00004,000006,00,00330008,00,05

211

1010200

=−

+−++−

αα

αααααα

Bila persamaan (3.22) diturunkan terhadap 1α maka persamaannya menjadi

( )( )

(3.23) 000000136,000000032,000004,00033,0

0200000068,000000032,0

00000032,000004,00006,00033,00006,0

1210

20

11

2101010

=+−+−

=−

−+−+−

αααα

αα

αααααα


52

Bila persamaan (3.20) dan (3.23) dibentuk eliminasi dengan mengalikan 2500 pada

persamaan (2.23) maka persamaannya menjadi

00034,00033,01,02 1210

20 =+−+− αααα

00034,00008,01,025,8 1210

20 =+−+− αααα

0 0025,025,6 21

20 =− αα

02,0

0,00046,25

0,0025

10

21

212

0

αα

αα

α

=

==

Subtitusikan 10 02,0 αα = kedalam persamaan (3.20) sehingga diperoleh

( )

317,10041,00054,0atau 0

00054,00041,0

00054,00041,0

00034,00033,0002,00008,0

11

11

121

1211

21

===

=+−

=+−

=+−+−

αα

αα

αα

αααα

( ) 02634,0317,102,00 ==α

Jadi persamaan model ARCH (1) adalah

21317,102634,0 −+= ttt v εε


53

BAB IV

Penerapan Model ARCH Pada Data Harga Saham Composite Index

Studi kasus ini menggunakan data harga saham Composite Index , dari tanggal

03 januari 2005 sampai dengan 29 desember 2005. Data tercantum dalam lampiran

diambil dari situs http: finance.yahoo.com banyaknya observasi yang digunakan

sebanyak 243. Analisis data menggunakan program eviws dan minitab.

A. Identifikasi Model Awal

Langkah awal dari pembentukan model yaitu dengan mengenali sifat data asli.

Gambar 1 merupakan plot dari data asli saham Composite Index . Sumbu y

menyatakan harga saham, sedangkan sumbu x menyatakan waktu atau tanggal. Data

asli saham Composite Index dinotasikan dengan tΥ .

2 4 02 1 61 9 21 6 81 4 41 2 09 67 24 82 41

1 2 0 0

1 1 5 0

1 1 0 0

1 0 5 0

1 0 0 0

Gambar 1


54

Pada gambar 1 terlihat bahwa data asli memiliki bentuk trend. Kemudian plot ACF

data asli.

Lag

Aut

ocor

rela

tion

1009080706050403020101

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

Autocorrelation Function for y(with 5% significance limits for the autocorrelations)

Gambar 2

Gambar 2 terlihat bahwa nilai autokorelasi setelah lag kedua atau ketiga jauh diatas

garis batas toleransi. Hal ini menandakan bahwa data asli tidak stasioner. Untuk me-

rubah kebentuk stasioner maka data asli perlu dilakukan differencing. Sehingga

diperoleh data runtun waktu baru. Data runtun waktu hasil differencing pertama dari

tΥ dinotasikan tW dengan

(4.1) 1−Υ−Υ= tttW


55

Gambar 3 dibawah ini merupakan plot dari data setelah dilakukan differencing

satu kali.

2 4 02 1 61 9 21 6 81 4 41 2 09 67 24 82 41

5 0

2 5

0

- 2 5

- 5 0

Gambar 3

Pada gambar 3 memperlihatakan bahwa data setelah dilakukan differencing satu kali

sudah stasioner.

Kemudian kita lihat plot ACF dan PACF dari tW . Gambar 4 merupakan plot

ACF dari tW . Terlihat setelah lag pertama semua lag berada dibawah batas toleransi.

L a g

Aut

ocor

rela

tion

2 4 02 2 02 0 01 8 01 6 01 4 01 2 01 0 08 06 04 02 01

1 , 0

0 , 8

0 , 6

0 , 4

0 , 2

0 , 0

- 0 , 2

- 0 , 4

- 0 , 6

- 0 , 8

- 1 , 0

A u t o c o r r e l a t i o n F u n c t i o n f o r w( w ith 5 % s ig n i f i c a n c e l im i t s fo r th e a u to c o r r e la t io n s )

Gambar 4


56

Gambar 5 dibawah ini menunjukkan plot PACF untuk W. Terlihat hampir semua lag

berada dibawah batas toleransi. Hal ini menunjukkan datanya stasioner. Ada tiga lag

yang melewati garis toleransi, ini menunjukkan adanya proses AR (3).

Lag

Part

ial A

utoc

orre

lati

on

240220200180160140120100806040201

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

Partial Autocorrelation Function for w(w ith 5% significance lim its for the partial autocorrelations)

Gambar 5

Sebelum mencari model sesungguhnya dari proses ARCH, harus diduga terle-

bih dahulu model awal dari data. Sehingga menghasilkan galat yang digunakan untuk

menduga nilai parameter dari model ARCH. Pada data diasumsikan model awal se-

bagai proses dari AR(3).

Dari lampiran 2 dapat dibentuk model awal sebagai berikut

(4.2) 0,106073075319,0167782,0531874,0 321 −−− +−+= tttt WWWW

Bila persamaan (4.2) tW menggunakan persamaan (4.1) maka persamaannya menjadi

( ) ( )( ) (4.3) 0,106073

075319 ,0167782,0531874,0

43

32211

−−

−−−−−

Υ−Υ+Υ−Υ−Υ−Υ+=Υ−Υ

tt

tttttt


57

Karena koefisien AR (2) dan AR (3) kurang dari satu. Sedangkan nilai probabilitas

AR (2) 0,2502 dan AR (3) 0,1006 lebih dari 0,05 yang berarti menerima hipotesis nol

( menerima bahwa masing-masing parameter sama dengan nol). Hal ini juga

diperkuat oleh nilai statistik-t AR (2) -1,152626 lebih dari -1,96 dan AR (3)

1,648216 kurang dari 1,96 sehingga memungkinkan untuk menerima hipotesis nol.

Hal itu mengakibatkan persamaan (4.3) menjadi

( ) (4.4) 167782,0531874,0 211 −−− Υ−Υ+=Υ−Υ tttt

Persamaan (4.4) disebut persamaan AR (1) dari data yang sudah dilakukan differenc-

ing satu kali.

Pada lampiran 3 model awal dari data yang telah dilakukan differencing satu

kali dengan menggunakan AR (1) ternyata signifikan. Hal itu ditunjukkan dengan

nilai probabilitas AR (1) 0,0202 kurang dari 0,05 dan stasistik-t 2,338679 lebih dari

1,96 yang berarti menolak hipotesis nol ( menolak bahwa koefisien sama dengan nol).

Sehingga model awalnya sebagai berikut

( ) (4.5) 148984,0584007,0 211 −−− Υ−Υ+=Υ−Υ tttt

B. Uji efek ARCH

Pada persamaan (4.5) diperoleh barisan galat. Barisan galat tersebut digunakan

untuk menguji ada atau tidaknya efek ARCH dalam data harga saham Composite In-

dex setelah dilakukan differencing.


58

Hasil yang diperoleh dari lampiran 4 terlihat bahwa nilai statistik 2TR bernilai

27,11342 lebih besar dari statistik ( ) 81,73205,0 =χ dan mempunyai nilai probabilitas 0

kurang dari 0,05. Sehingga hipotesis nol ditolak yang berarti ada efek ARCH dalam

prosses. Efek ARCH dipengaruhi oleh persamaan

(4.6) 336174,095835,96 21−+= tth ε

C. Pembentukan Model Akhir

Setelah diketahui bahwa data mempunyai model efek ARCH dengan orde 1,

selanjutnya dibentuk model regresi ARCH.

Pada lampiran 5 memperlihatkan bahwa persamaan (4.5) dan (4.6) akan

berubah menjadi

( ) (4.7) 220550,0753197,1 211 −−− Υ−Υ+=Υ−Υ tttt

dengan

(4.8) 290971,06211,102 21−+= tth ε

Karena nilai probabilitas AR (1) 0,0019 dan ARCH (1) 0,0026 kurang dari 0,05, se-

dangkan statistik-z AR (1) 3,101653 dan ARCH (1) 3,014244 lebih dari 1,64 maka

0Η ditolak yang berarti koefisien persamaan (4.7) dan (4.8) tidak samadengan nol.

Jadi dapat disimpulkan bahwa persamaan (4.7) dan (4.8) merupakan model regresi

ARCH yang sesuai untuk data harga saham Composite Index.

Untuk meramalkan harga saham pada tanggal 30 desember 2005 dapat dicari

dengan menggunakan persamaan (4.7) dan (4.8), sehingga diperoleh


59

( )( )

( )062,1164

640,11625,1220550,0753197,1

140,1164640,1162220550,0753197,1640,1162

220550,0753197,1

244

244

242243243244

=

−−+=Υ

−+=−Υ

Υ−Υ+=Υ−Υ

dan

( )2564,103

1835,229097,06211,102244

=

+=h


60

BAB V

PENUTUP

A. Simpulan

Pada kenyataanya data runtun waktu tidak semuanya memiliki variansi konstan.

Model Autoregresif (AR) merupakan model yang menganggap bahwa data runtun

waktu memiliki variansi konstan. Sedangkan model ARCH (Autoregressive

Conditional Heteroscedastic) merupakan model autoregresif dalam keadaan variansi

tidak konstan. Variansi merupakan variabel dalam statistik yang menggambarkan

seberapa jauh perubahan data terhadap nilai rata-ratanya. Nilai parameter pada model

ARCH diperoleh dengan metode iteratif yang diturunkan dari estimasi maksimum

likelihood.

Dari data harga saham Composite Index menunjukkan bahwa dalam data

tersebut ada efek ARCH. Sehingga data harga saham Composite Index dapat diatasi

menggunakan model ARCH. Namun peramalan dengan model ARCH tidak dapat

mendeteksi faktor-faktor yang mempengaruhi perubahan harga yang signifikan.

B. Saran

Untuk mengatasi data runtun waktu dengan variansi yang tidak konstan selain

model ARCH masih ada model ARCH-M, TARCH, GARCH dan EGARCH yang

dapat dipelajari sebagai kelanjutan dari model ARCH yang penulis bahas.


61

DAFTAR PUSTAKA

Box, E.P George, Jenkins, M. Gwilym & Reinsel, C. Gregory. (1994). Time Series

Analysis Forcasting and Control. USA: Prentice Hall Internasional.

Daniel, Dena dkk. (2001). A Course in Time Series Analysis. New York: Wiley.

Damodar, Gujarati. (1991). Ekonometrika Dasar (Terjemahan sumarno Zain).

Jakarta: Penerbit Erlangga.

Engle, R.F & Fadden, Mc, D.L. (1994). Handbook of econometrics (volume IV), 49,

2961-3031.

Gourieroux, C. (1997). ARCH Models and Financial Applications. New York :

Springer-Verlag .

Halim, Siana, Rahardjo, Jani & Adelia, Shirley. Model Matematika Untuk

Menentukan Nilai Tukar Mata Uang Rupiah Terhadap Dollar Amerika.

http://puslit.petra.ac.id/journals/industrial.

Makridakis, Spyros. (1999). Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta: Penerbit

Erlangga.

Verbeek, Marno.(2000). A Guide to Modern Econometrics. New York: John Wiley &

sons. LTD.

William, H greene. (1951). Econometric Analysis. New York: New York University.


LAMPIRAN


62

Lampiran 1 : Data harga saham Composite Index dari tanggal 03 januari 2005 sampai

dengan 29 desember 2005

No Tgl Close No Tgl Close 1 3-Jan-05 1000.88 32 18-Feb-05 1092.49

2 4-Jan-05 1018.54 33 21-Feb-05 1093.78

3 5-Jan-05 1015.43 34 22-Feb-05 1099.91

4 6-Jan-05 1029.89 35 23-Feb-05 1102.93

5 7-Jan-05 1032.53 36 24-Feb-05 1102.02

6 10-Jan-05 1015.48 37 25-Feb-05 1083.38

7 11-Jan-05 1011.67 38 28-Feb-05 1073.83

8 12-Jan-05 1008.58 39 1-Mar-05 1093.28

9 13-Jan-05 1021.67 40 2-Mar-05 1082.75

10 14-Jan-05 1021.34 41 3-Mar-05 1094.60

11 17-Jan-05 1024.89 42 4-Mar-05 1103.01

12 18-Jan-05 1017.73 43 7-Mar-05 1105.30

13 19-Jan-05 1027.81 44 8-Mar-05 1114.21

14 20-Jan-05 1035.75 45 9-Mar-05 1116.81

15 24-Jan-05 1030.72 46 10-Mar-05 1108.05

16 25-Jan-05 1026.89 47 14-Mar-05 1123.48

17 26-Jan-05 1037.51 48 15-Mar-05 1119.00

18 27-Jan-05 1044.99 49 16-Mar-05 1138.23

19 28-Jan-05 1046.48 50 17-Mar-05 1134.59

20 31-Jan-05 1045.44 51 18-Mar-05 1147.87

21 1-Feb-05 1047.53 52 21-Mar-05 1151.56

22 2-Feb-05 1052.82 53 22-Mar-05 1152.60

23 3-Feb-05 1049.33 54 23-Mar-05 1142.15

24 4-Feb-05 1048.39 55 24-Mar-05 1114.55

25 7-Feb-05 1041.63 56 28-Mar-05 1100.24

26 8-Feb-05 1036.60 57 29-Mar-05 1070.30

27 11-Feb-05 1045.87 58 30-Mar-05 1065.13

28 14-Feb-05 1050.73 59 31-Mar-05 1080.17

29 15-Feb-05 1067.20 60 1-Apr-05 1095.07

30 16-Feb-05 1073.44 61 4-Apr-05 1100.20

31 17-Feb-05 1082.98 62 5-Apr-05 1096.53


63

No Tgl Close No Tgl Close 63 6-Apr-05 1103.29 94 23-May-05 1045.15

64 7-Apr-05 1111.62 95 25-May-05 1049.06

65 8-Apr-05 1111.23 96 26-May-05 1054.36

66 11-Apr-05 1105.98 97 27-May-05 1061.49

67 12-Apr-05 1110.88 98 30-May-05 1062.96

68 13-Apr-05 1116.67 99 31-May-05 1088.17

69 14-Apr-05 1108.44 100 1-Jun-05 1082.94

70 15-Apr-05 1096.52 101 2-Jun-05 1091.46

71 18-Apr-05 1060.19 102 3-Jun-05 1092.50

72 19-Apr-05 1062.69 103 6-Jun-05 1096.83

73 20-Apr-05 1070.95 104 7-Jun-05 1092.81

74 21-Apr-05 1047.80 105 8-Jun-05 1095.51

75 25-Apr-05 1019.88 106 9-Jun-05 1094.19

76 26-Apr-05 1031.77 107 10-Jun-05 1096.93

77 27-Apr-05 1032.22 108 13-Jun-05 1100.88

78 28-Apr-05 1038.36 109 14-Jun-05 1105.89

79 29-Apr-05 1029.61 110 15-Jun-05 1119.58

80 2-May-05 1026.52 111 16-Jun-05 1125.76

81 3-May-05 1033.50 112 17-Jun-05 1141.82

82 4-May-05 1049.58 113 20-Jun-05 1147.71

83 6-May-05 1068.28 114 21-Jun-05 1133.33

84 9-May-05 1080.21 115 22-Jun-05 1134.69

85 10-May-05 1071.16 116 23-Jun-05 1137.42

86 11-May-05 1057.08 117 24-Jun-05 1135.67

87 12-May-05 1063.83 118 27-Jun-05 1119.90

88 13-May-05 1059.27 119 28-Jun-05 1127.82

89 16-May-05 1048.79 120 29-Jun-05 1126.86

90 17-May-05 1045.77 121 30-Jun-05 1122.38

91 18-May-05 1040.26 122 1-Jul-05 1138.99

92 19-May-05 1045.46 123 4-Jul-05 1138.88

93 20-May-05 1048.11 124 5-Jul-05 1131.17


64

No Tgl Close No Tgl Close 125 6-Jul-05 1117.81 156 19-Aug-05 1087.95

126 7-Jul-05 1108.40 157 22-Aug-05 1076.35

127 8-Jul-05 1110.56 158 23-Aug-05 1066.09

128 11-Jul-05 1123.46 159 24-Aug-05 1035.44

129 12-Jul-05 1129.11 160 25-Aug-05 1061.85

130 13-Jul-05 1132.79 161 26-Aug-05 1048.87

131 14-Jul-05 1136.57 162 29-Aug-05 994.77

132 15-Jul-05 1131.46 163 30-Aug-05 1039.82

133 18-Jul-05 1128.44 164 31-Aug-05 1050.09

134 19-Jul-05 1132.02 165 1-Sep-05 1039.23

135 20-Jul-05 1140.66 166 5-Sep-05 1035.89

136 21-Jul-05 1157.51 167 6-Sep-05 1051.59

137 22-Jul-05 1172.24 168 7-Sep-05 1059.38

138 25-Jul-05 1169.75 169 8-Sep-05 1080.45

139 26-Jul-05 1178.00 170 9-Sep-05 1098.46

140 27-Jul-05 1178.11 171 12-Sep-05 1105.66

141 28-Jul-05 1186.61 172 13-Sep-05 1085.74

142 29-Jul-05 1182.30 173 14-Sep-05 1058.63

143 1-Aug-05 1178.22 174 15-Sep-05 1050.91

144 2-Aug-05 1189.33 175 16-Sep-05 1056.73

145 3-Aug-05 1192.20 176 19-Sep-05 1066.59

146 4-Aug-05 1185.33 177 20-Sep-05 1055.59

147 5-Aug-05 1174.09 178 21-Sep-05 1044.06

148 8-Aug-05 1158.59 179 22-Sep-05 1016.76

149 9-Aug-05 1162.80 180 23-Sep-05 1012.85

150 10-Aug-05 1176.84 181 26-Sep-05 1034.58

151 11-Aug-05 1167.97 182 27-Sep-05 1037.63

152 12-Aug-05 1153.97 183 28-Sep-05 1027.89

153 15-Aug-05 1118.27 184 29-Sep-05 1048.30

154 16-Aug-05 1113.82 185 30-Sep-05 1079.28

155 18-Aug-05 1100.30 186 3-Oct-05 1083.41


65

No Tgl Close No Tgl Close 187 4-Oct-05 1101.17 218 23-Nov-05 1061.08

188 5-Oct-05 1104.06 219 24-Nov-05 1078.18

189 6-Oct-05 1096.38 220 25-Nov-05 1074.40

190 7-Oct-05 1094.65 221 28-Nov-05 1081.06

191 10-Oct-05 1102.78 222 29-Nov-05 1082.28

192 11-Oct-05 1105.63 223 30-Nov-05 1096.64

193 12-Oct-05 1102.98 224 1-Dec-05 1096.37

194 13-Oct-05 1090.54 225 2-Dec-05 1119.42

195 14-Oct-05 1096.70 226 5-Dec-05 1120.58

196 17-Oct-05 1090.09 227 6-Dec-05 1123.44

197 18-Oct-05 1095.87 228 7-Dec-05 1151.36

198 19-Oct-05 1075.91 229 8-Dec-05 1158.32

199 20-Oct-05 1075.40 230 9-Dec-05 1160.07

200 21-Oct-05 1075.96 231 12-Dec-05 1175.01

201 24-Oct-05 1073.08 232 13-Dec-05 1182.03

202 25-Oct-05 1062.17 233 14-Dec-05 1173.72

203 26-Oct-05 1062.18 234 15-Dec-05 1155.96

204 27-Oct-05 1063.70 235 16-Dec-05 1143.43

205 28-Oct-05 1058.26 236 19-Dec-05 1162.33

206 31-Oct-05 1066.22 237 20-Dec-05 1163.03

207 1-Nov-05 1064.95 238 21-Dec-05 1160.56

208 9-Nov-05 1052.82 239 22-Dec-05 1164.02

209 10-Nov-05 1043.70 240 23-Dec-05 1158.34

210 11-Nov-05 1028.98 241 27-Dec-05 1161.71

211 14-Nov-05 1017.73 242 28-Dec-05 1164.14

212 15-Nov-05 1022.08 243 29-Dec-05 1162.64

213 16-Nov-05 1025.83 214 17-Nov-05 1033.28 215 18-Nov-05 1054.98 216 21-Nov-05 1062.46 217 22-Nov-05 1066.29


66

Lampiran 2 : Hasil analisis dari data yang telah didifferencing satu kali dengan

menggunakan AR (3)

Dependent Variable: W Method: Least Squares Date: 12/18/06 Time: 09:33 Sample(adjusted): 5 243 Included observations: 239 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.531874 0.975778 0.545076 0.5862

AR(1) 0.167782 0.064643 2.595498 0.0100 AR(2) -0.075319 0.065345 -1.152626 0.2502 AR(3) 0.106073 0.064356 1.648216 0.1006

R-squared 0.038158 Mean dependent var 0.555439 Adjusted R-squared 0.025879 S.D. dependent var 12.24870 S.E. of regression 12.08917 Akaike info criterion 7.839092 Sum squared resid 34344.80 Schwarz criterion 7.897276 Log likelihood -932.7715 F-statistic 3.107588 Durbin-Watson stat 2.000796 Prob(F-statistic) 0.027213 Inverted AR Roots .48 -.15 -.45i -.15+.45i


67

Lampiran 3 : Hasil analisis dari data yang telah didifferencing satu kali dengan

menggunakan AR (1)

Dependent Variable: W Method: Least Squares Date: 12/18/06 Time: 08:34 Sample(adjusted): 3 243 Included observations: 241 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations


AR(1) 0.148984 0.063705 2.338679 0.0202 R-squared 0.022373 Mean dependent var 0.597925 Adjusted R-squared 0.018282 S.D. dependent var 12.23275 S.E. of regression 12.12041 Akaike info criterion 7.835923 Sum squared resid 35110.16 Schwarz criterion 7.864843 Log likelihood -942.2288 F-statistic 5.469422 Durbin-Watson stat 1.977528 Prob(F-statistic) 0.020177 Inverted AR Roots .15


68

Lampiran 4 : Hasil analisis uji efek ARCH

ARCH Test: F-statistic 30.31188 Probability 0.000000 Obs*R-squared 27.11342 Probability 0.000000

Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 12/18/06 Time: 10:37 Sample(adjusted): 4 243 Included observations: 240 after adjusting endpoints


RESID^2(-1) 0.336174 0.061060 5.505623 0.0000 R-squared 0.112973 Mean dependent var 146.1302 Adjusted R-squared 0.109246 S.D. dependent var 312.0241 S.E. of regression 294.4876 Akaike info criterion 14.21665 Sum squared resid 20640068 Schwarz criterion 14.24565 Log likelihood -1703.998 F-statistic 30.31188 Durbin-Watson stat 2.020101 Prob(F-statistic) 0.000000


69

Lampiran 5 : Hasil analisis penentuan model akhir

Dependent Variable: W Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 12/18/06 Time: 08:38 Sample(adjusted): 3 243 Included observations: 241 after adjusting endpoints Convergence achieved after 17 iterations Variance backcast: ON

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C 1.753197 0.976684 1.795050 0.0726

AR(1) 0.220550 0.071107 3.101653 0.0019 Variance Equation

C 102.6211 12.94768 7.925826 0.0000 ARCH(1) 0.290971 0.096532 3.014244 0.0026

R-squared 0.011555 Mean dependent var 0.597925 Adjusted R-squared -0.000957 S.D. dependent var 12.23275 S.E. of regression 12.23860 Akaike info criterion 7.764580 Sum squared resid 35498.66 Schwarz criterion 7.822419 Log likelihood -931.6319 F-statistic 0.923523 Durbin-Watson stat 2.098638 Prob(F-statistic) 0.430078 Inverted AR Roots .22


70

Lampiran 6 : Tabel distribusi statistik-t

α v 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 1 3,08 6,31 12,71 31,82 63,66 2 1,89 2,92 4,30 6,96 9,92 3 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84 4 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60 5 1,48 2,02 2,57 3,36 4,03 6 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71 7 1,42 1,89 2,36 3,00 3,50 8 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36 9 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 10 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17 11 1,36 1,80 2,20 2,72 3,11 12 1,36 1,78 2,18 2,68 3,05 13 1,35 1,77 2,16 2,65 3,01 14 1,35 1,76 2,14 2,62 2,98 15 1,34 1,75 2,13 2,60 2,95 16 1,34 1,75 2,12 2,53 2,92 17 1,33 1,74 2,11 2,57 2,90 18 1,33 1,73 2,10 2,55 2,88 19 1,33 1,73 2,09 2,54 2,86 20 1,33 1,72 2,09 2,53 2,85 21 1,32 1,72 2,08 2,52 2,83 22 1,32 1,72 2,07 2,51 2,82 23 1,32 1,71 2,07 2,50 2,81 24 1,32 1,71 2,06 2,49 2,80 25 1,32 1,71 2,06 2,49 2,79 26 1,32 1,71 2,06 2,48 2,78 27 1,31 1,70 2,05 2,47 2,77 28 1,31 1,70 2,05 2,47 2,76 29 1,31 1,70 2,05 2,46 2,76 ∞ 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58


71

Lampiran 7 : Tabel distribusi khi-kuadrat

α v 0,995 0,99 0,975 0,95 0,90 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 2 0,01 0,02 0,05 0,10 0,21 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60 3 0,07 0,11 0,22 0,35 0,58 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84 4 0,21 0,30 0,48 0,71 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86 5 0,41 0,35 0,83 1,51 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75 6 0,68 0,87 1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 7 0,99 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28 8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,54 20,09 21,96 9 1,72 2,09 2,70 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59

10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19 11 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 17,28 19,68 21,92 24,72 26,76 12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30 13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82 14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32 15 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80 16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27 17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72 18 6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16 19 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58 20 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00 21 8,03 8,90 10,28 11,59 13,24 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40 22 8,64 9,54 10,98 12,34 14,04 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80 23 9,26 10,20 11,69 13,09 14,85 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18 24 9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56 25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93 26 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29 27 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 36,74 40,11 43,19 46,96 49,65 28 12,46 13,56 15,31 16,93 18,94 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99 29 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34 30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67 50 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 63,17 67,50 71,42 76,15 79,49 100 67,33 70,06 74,22 77,93 82,36 118,5 124,3 129,6 135,8 140,2 500 422,3 429,4 439,9 449,1 459,9 540,9 553,1 563,9 576,5 585,2 1000 888,6 898,8 914,3 927,6 943,1 1058 1075 1090 1107 1119


peramalan dengan model arch skripsi - core.ac.uk filei peramalan dengan model arch skripsi diajukan...

Documents