pengetahuan dan pemahaman tentang :pengetahuan dan...
TRANSCRIPT
1
Pengetahuan dan Pemahaman tentang :Pengetahuan dan Pemahaman tentang :
Matematika TeknikPersamaan DiferensialTransformasi Laplace
l k ik DElektronika DasarHukum OHMHukum KIRCHOFF I dan II
2Dasar Otomatisasi@2007
Otomatisasi 2005, AAU, Yogyakarta, 2005Modern Control System, Richard C. Dorf and
Robert H. Bishop, Prentice-Hall, USA, 2004Control System Engineering, Norman S. Nise,
Wiley, USA, 2003Schaum’s Outline of Feddback and Control System,
Allen J. Stubberud, Ivan J. Williams dan Joseph J. DiSt f M G Hill 2nd Ed USA 1994DiStefano, McGraw-Hill; 2nd Ed, USA, 1994
Modern Control Engineering, K. Ogata, Prentice-Hall, USA, 2002
3Dasar Otomatisasi@2007
Bab ini menjelaskan proses umum dlm perancangan suatu sistem pengaturan
Sistem Pengaturan yg terdiri dari komponen2 yg saling berhubungan dirancang utk mencapai suatu tujuan yang dikehendaki/diinginkan
Utk memahami tujuan dari suatu Sistem Pengaturan, ada baiknya mempelajari contoh2 Sistem Pengaturan dari masa ke masa. Sistem2 terdahulu memanfaatkan ide-ide yg sama ttg umpan balik spt yg banyak digunakan pd sistem2 saat ini
Penggunaan teknik pengaturan modern melibatkan penggunaan strategi perancangan kontrol guna diantaranya meningkatkan proses2 manufaktur, efisiensi penggunaan energi dan kontrol kendaraan yg lebih maju
Di i i j didi k ik tt l h C l h i i lDi sini juga didiskusikan gagasan ttg celah perancangan. Celah ini muncul antara sistem fisik yg dipelajari dgn model yg digunakan dlm sintesa Sistem Pengaturan
Sifat iteratif perancangan memperbolehkan utk menangani celah perancangan scr efektif dgn memperhatikan kompromi2 dlm kompleksitas, kinerja dan biaya dlm rangka mencapai spesifikasi2 perancangan
4Dasar Otomatisasi@2007
2
Sistem – Suatu keterhubungan elemen2 dan alat2 utk satu tujuan yg dikehendaki
Sistem Pengaturan – Suatu keterhubungan komponen2 yg membentuk satu konfigurasi sistem yg akan memberikan satu tanggapan yg dikehendaki
Proses – Alat, mesin atau sistem dibawah pengaturan. Hubungan inputdan output yg merepresentasikan hubungan sebab-akibat dr proses
5Dasar Otomatisasi@2007
Sistem Pengaturan Jerat-Terbuka – menggunakan sebuah pengatur atau aktuator pengaturan utk mendapatkanpengaturan utk mendapatkan tanggapan yg dikehendaki.
Sistem Pengaturan Jerat-Tertutup – menggunakan umpan balik utk membandingkan output aktual dgn tanggapan output
Sistem Pengaturan Variabel Majemuk
g gg p pyg dikehendaki
6Dasar Otomatisasi@2007
Yunani (SM) – Mekanisme Alat Pengatur PelampungBelanda (Abad 16)– Alat Pengatur Suhu
Watt’s Flyball Governor(Abad 18)
7Dasar Otomatisasi@2007
Alat Pengatur Pelampung Permukaan Air
8Dasar Otomatisasi@2007
3
Sistem Pengaturan Jerat-Tertutup Berumpan Balik
9Dasar Otomatisasi@2007
J.C. Maxwell Persamaan Differensial untuk governor
I.A. Vyshvegradskii
Bode, Nyguist, Black
Teori Matematis berbagai Regulator
Sistem Telepon dgn Penguat Umpan Balik (Bell Telephone Lab); Frequency Domain
Uni Sovyet
Penggunaan Transformasi Laplace, Frekuensi Kompleks, Metode Bidang dengan pendekatan Root Locus
Gunakan Time Domain
10Dasar Otomatisasi@2007
Teori Pengaturan Optimal Lyapunov dan MinorskyTeori Pengaturan Optimal (Efek Sputnik)
Lyapunov dan Minorsky
L.S. Pontryagin
R. Bellman (AS)
Frequency Domain dan Time Domain digunakan serentak utk analisa Sistem Pengaturan
11Dasar Otomatisasi@2007
Abad 18 – James Watt membuat pengatur sentrifugal utk mengatur kecepatan mesin uap
1920-an – Minorsky membuat alat pengatur otomatis kemudi kapal1920 an Minorsky membuat alat pengatur otomatis kemudi kapal
1930-an – Nyquist membangun metode utk menganalisa kestabilan suatu sisten pengaturan
1940-an – Metode Frequency response digunakan utk merancang sistem pengaturan jerat-tertutup linier
1950an – Metode Root-locus diselesaikan oleh Evans
1960an – Metode State space, pengaturan optimal dan pengaturan adaptif diperkenalkan
1980an – Penelitian ttg pengaturan mulai dikembangkan
Saat ini dan yg sedang berjalan meliputi aplikasi teori sistem pengaturan modern bidang non-teknik spt sistem biologi, biomedis, ekonomi dan sosio-ekonomi
???????????????????????????????????12Dasar Otomatisasi@2007
4
(a) Sistem Kendali Kemudi Mobil
(b) Pengemudi menggunakan perbedaan antara arah perjalanan aktual dgn yg dikehendaki utk membangkitkan pengaturan terkontrol pd roda kemudi
(c) Grafik tanggapan arah yg dikehendaki dgn arah perjalanan aktual
13Dasar Otomatisasi@2007
Blok Diagram Sistem Berumpan Balik NegatifMenggambarkan Sistem Pengaturan Jerat-Tertutup Dasar
Alat Pengatur biasa disebut dengan “Controller”
14Dasar Otomatisasi@2007
Sistem Pengaturan Manual utk mengatur permukaan cairan di dalam tangki dgn mengatur Katup output. Operator mengamati permukaan
cairan melalui sebuah lubang di sisi tangki
15Dasar Otomatisasi@2007
Sistem Pengaturan tiga-sumbu utk menginspeksi tiap-tiap wafersemikonduktor menggunakan kamera dgn sensitivitas tinggi
16Dasar Otomatisasi@2007
5
Sistem Pengaturan Terkoordinasi suatu Generator Uap
17Dasar Otomatisasi@2007
Sistem Pengaturan pada KomputerSistem Pengaturan pada Komputer
18Dasar Otomatisasi@2007
19Dasar Otomatisasi@2007
CIRI-CIRI FEEDBACK CONTROL SYSTEM
1. Meningkatkan ketelitian2. Mengurangi kepekaan perbandingan keluaran terhadap
masukan3 Mengurangi akibat ketidak linieran dan distorsi3. Mengurangi akibat ketidak linieran dan distorsi4. Memperbesar lebar pita5. Kecenderungan menuju osilasi/ketidakstabilan
Dua macam perancangan Control System :
1. Analisis memperbaiki karakteristik dari konfigurasi sistem yg sudah adasistem yg sudah ada
2. Sistesis mendefinisikan bentuk sistem dari karakteristiknya
20Dasar Otomatisasi@2007
6
Beberapa definisi dalam Control System
Tranduser piranti yg ubah satu bentuk energi menjadi b t k l ibentuk lainnya
Umpan balik negatif titik penjumlahannya merupakan sebuah pengurang. Contoh : o/p = x-y
Umpan balik positif titik penjumlahannya merupakan sebuah penjumlah. Contoh : o/p = x+y
Rangsangan setiap isyarat masukan yg dimasukkan dr luar yg pengaruhi keluaran sistem
Tanggapan waktu keluarannya sebagai fungsi dr waktu, akibat penerapan masukan yg ditentukan sebelumnya pd syarat2operasi yg telah ditetapkan.
21Dasar Otomatisasi@2007
Satu Model Sistem Pengaturan Umpan Balik dari Pendapatan Nasional
22Dasar Otomatisasi@2007
23Dasar Otomatisasi@2007 24Dasar Otomatisasi@2007
7
Evolusi Masa Depan Sistem Pengaturan dan Robotik
25Dasar Otomatisasi@2007 26Dasar Otomatisasi@2007
27Dasar Otomatisasi@2007
KONSEP KAPAL LISTRIKVisionVision
ElectricallyElectricallyElectricallyElectrically
Main PowerDistribution
PropulsionMotor
MotorDrive Generator
PrimeMover
Electric DriveReduce # of Prime MoversFuel savingsReduced maintenance
TechnologyInsertion
Warfighting Capabilities
IntegratedIntegratedPowerPower
SystemSystem
IntegratedIntegratedPowerPower
SystemSystem
AllAllElectricElectric
ShipShip
AllAllElectricElectric
ShipShip
ElectricallyElectricallyReconfigurableReconfigurable
ShipShip
ElectricallyElectricallyReconfigurableReconfigurable
ShipShip
Reduced manningAutomationEliminate auxiliary systems (steam, hydraulics, compressed air)
Increasing Affordability and Military CapabilityIncreasing Affordability and Military Capability
ShipServicePower
Motor Drive Mover
PowerConversion
Module
28Dasar Otomatisasi@2007
8
CVN(X) FUTURE AIRCRAFT CARRIER
29Dasar Otomatisasi@2007 30Dasar Otomatisasi@2007
31Dasar Otomatisasi@2007 32Dasar Otomatisasi@2007
9
(a) Pengaturan Jerat-Tertutup Kecepatan suatu Meja Putar(b) Model Blok Diagram
33Dasar Otomatisasi@2007
Batas Insulin dan Gula Darah Manusia Sehat
34Dasar Otomatisasi@2007
(a) Pengaturan Jerat-Terbuka (tanpa Umpan Balik) dan(b) Pengaturan Jerat-Tertutup Gula Darah
35Dasar Otomatisasi@2007 36Dasar Otomatisasi@2007
10
Sistem Pengaturan Jerat-Tertutup Disk Drive
37Dasar Otomatisasi@2007
Challenger
Tacoma Bridge
38Dasar Otomatisasi@2007
References, and Resources
http://www.ieeecss.org/siteindex/SITEindex.html
http://www-control.eng.cam.ac.uk/extras/Virtual_Library/Control_VL.html
39Dasar Otomatisasi@2007
Exercises and Problems
40Dasar Otomatisasi@2007
11
Exercises and Problems
41Dasar Otomatisasi@2007
Beberapa Konsep Aljabar Input dan Output
o/p = i/p + y o/p = i/p + y o/p = i/p + y + z
= x + y = x – y = x + y – z
d d
dxo yp dt= =
dt dx
dvo yp dx= =
42Dasar Otomatisasi@2007
SOAL1. Buat diagram blok untuk persamaan matematka sbb :
a. x3 = a1 x1 + a2 x2 - 5b 2 + 2 + 4b. s = p2x + 2qx + 4r
2. Gambarkan blok diagram untuk persamaan berikut :
11 1
4 3
a.
b.
dxx a
dt
x x dt
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
= ∫3. Buatkan blok diagram untuk sistem sbb :
a. Air Conditioning Systemb. Tangan Robot
∫
43Dasar Otomatisasi@2007
Untuk merancang dan menganalisa Sistem Pengaturan digunakan g g g gmodel2 matematika kuantitatif. Tingkah laku dinamis pd scr umum digambarkan oleh Persamaan Diferensial (PD). Krn sebagian besar sistem2 fisik bersifat tidak linier, di sini akan didiskusikan aproksimasi linier menggunakan metode Transformasi Laplace. Sistem2 tsb meliputi sistem mekanik, hidrolik dan elektrik.
Kemudian akan dilanjutkan dgn membuat hub input-output komponen dan subsistem dlm bentuk Fungsi Transfer (FT). Blok2 FT dpt diatur k d l di 2 bl k t Si l Fl G h (SFG G fik Alike dalam diagram2 blok atau Signal Flow Graph (SFG, Grafik Aliran Sinyal (GAS)) utk menggambarkan scr grafis keterkaitannya. Diagram2 blok (dan GAS) sangat membantu dan perangkat alami utk merancang dan menganalisa Sistem Pengaturan yg kompleks.
44Dasar Otomatisasi@2007
12
Definisikan Sistem dan Komponen2nyaFormulasikan Model Matematika dan Buat Daftar Asumsi2 PentingTulis PD yg Menjelaskan Model di atasSelesaikan PD utk Variabel2 Output yg DikehendakiDikehendakiUji Solusi dan AsumsiBila Perlu, Analisa atau Rancang Ulang Sistem
45Dasar Otomatisasi@2007
Ta t( ) Ts t( )− 0
Ta t( ) Ts t( )
ω t( ) ωs t( ) ωa t( )−
Ta t( ) = through - variable
l t diff i blangular rate difference = across-variable
46Dasar Otomatisasi@2007
v21 Ltid
d⋅ E
12
L⋅ i2⋅
Induktansi Listrik
v211k t
Fdd
⋅ E12
F2
k⋅
ω211
Td⋅ E1 T2
⋅
Pegas Translasi
Pegas Putar
21 k td 2 k
P21 ItQd
d⋅ E
12
I⋅ Q2⋅
Kelembaman Cairan
47Dasar Otomatisasi@2007
Kapasitansi Listrik
Massa Translasi
i Ctv21
dd
⋅ E12
M⋅ v212⋅
Massa Translasi
Massa Putar
Kapasitansi Cairan
F Mtv2
dd
⋅ E12
M⋅ v22⋅
T Jtω2
dd
⋅ E12
J⋅ ω22
⋅
p
Kapasitansi Panas
Q CftP21
dd
⋅ E12
Cf⋅ P212⋅
q CttT2
dd
⋅ E Ct T2⋅
48Dasar Otomatisasi@2007
13
Resistansi Listrik
Peredam Geser
i1R
v21⋅ P1R
v212⋅
Peredam Geser
Peredam Putar
Resistansi Cairan
F b v21⋅ P b v212⋅
T b ω21⋅ P b ω212
⋅
Resistansi Cairan
Resistansi Panas
Q1Rf
P21⋅ P1Rf
P212⋅
q1Rt
T21⋅ P1Rt
T21⋅
49Dasar Otomatisasi@2007
f.y k.y
GesekanTembok, f
Gaya, r(t)
y
ky
r(t)
M 2ty t( )d
d
2⋅ b
ty t( )d
d⋅+ k y t( )⋅+ r t( )(a) Sistem Pegas-Massa-Peredam
(b) Diagram Massa-bebas
r(t)
f
50Dasar Otomatisasi@2007
PERSAMAAN DIFFERENSIAL SISTEM FISIS
Satuan Sistem Internasional (SI)
Contoh : a. Pegas Hk Newton F = m.a F = k.f.m.a
Dimana :
k = tetapan pegas ideal
f = tetapan gesekank
2
2( ) ( )( ) ( )d y t dy tr t M f k y t
dtdt= + +
r(t) = F
M= m
y = aMASSA
f
y
r(t)
PD orde 2
11 1 1( ) sin( )
bila ( ) (0)
ty t k ey t y
α β θ−= +
=
51Dasar Otomatisasi@2007
Sumber
Rangkaian RLC
( ) ( ) 1 tv t dv t∫
SumberArusr(t) v(t)
( ) ( ) ( ) ( )0
1 tv t dv tC v t dt r t
R dt L+ + =∫
( ) ( )11 1 1sinty t K e tα β θ−= +
52Dasar Otomatisasi@2007
14
I R LC
V
b. Rangkaian Listrik
Dimana :
i(t) = I
v(t) = VV v(t) = V
∫++=⇒++=t
dttvLdt
tdvCRtvtr
LVVC
RVI
0.....)(1)()()(.
)cos()(1)( 2222 θβα +=⇒= − teKtvtrbila t
0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ....tdy t dv tbila v t r t M f v t k v t dt
dt dt= ⇒ = + + ∫
Variabel Ekivalen Sistem Analog
Analogi Tegangan - Kecepatan
53Dasar Otomatisasi@2007
Tanggapan Tegangan utk Rangkaian RLC underdamped
54Dasar Otomatisasi@2007
K2 1:= α2 .5:= β2 10:= θ2 2:=
y t( ) K2 eα 2− t⋅
⋅ sin β2 t⋅ θ2+( )⋅:=y( ) 2 β2 2( )
y1 t( ) K2 eα 2− t⋅
⋅:= y2 t( ) K2− eα 2− t⋅
⋅:=
1
y t( )
0 1 2 3 4 5 6 71
0y1 t( )
y2 t( )
t55Dasar Otomatisasi@2007
y
(a) Massa yg diletakkan di atas suatu Pegas Tidak Linier(b) Grafik Gaya Pegas vs y
56Dasar Otomatisasi@2007
15
Sistem-sistem Linier – Kondisi Tertentu
Prinsip Superposisi
Sifat Keserbasamaan (Homogenity)
Deret Taylor dpt dilihat pd alamat ini
http://www.maths.abdn.ac.uk/%7Eigc/tch/ma2001/notes/node46.html
57Dasar Otomatisasi@2007
M 200gm:= g 9.8m
s2:= L 100cm:= θ0 0rad:= θ π−
15− π
16, π..:=
T0 M g⋅ L⋅ sin θ0( )⋅:=
T1 θ( ) M g⋅ L⋅ sin θ( )⋅:=T1 θ( ) M g L sin θ( ):
T2 θ( ) M g⋅ L⋅ cos θ0( )⋅ θ θ0−( )⋅ T0+:=
0
5
10
T1 θ( )
T2 θ( )
4 3 2 1 0 1 2 3 410
5
θ
Students are encouraged to investigate linear approximation accuracy for different values of θ0
58Dasar Otomatisasi@2007
Perspektif Sejarah – Operator2 Heaviside
Timbulnya Operasi Calculus (1887)
59Dasar Otomatisasi@2007
pt
dd
1p 0
tu1
⌠⎮⌡
dv = H(t)
Perspektif Sejarah – Operator2 HeavisideTimbulnya Operasi Calculus (1887)
0
iv
Z p( )Z p( ) R L p⋅+
i1
R L p⋅+H t( )⋅
1
L p 1R
L p⋅+⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
⋅
H t( )⋅1R
RL
1p
⋅RL
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2 1
p2⋅−
RL
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
3 1
p3⋅ .....+
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅ H t( )⋅
n
Expanded in a power series
1
pnH t( )⋅
tn
n!
i1R
RL
t⋅RL
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2 t2
2!⋅
RL
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
3 t3
3!⋅+ ..−
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
⋅ i1R
1 e
R
L⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
− t⋅−
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦⋅
(*) Oliver Heaviside: Sage in Solitude, Paul J. Nahin, IEEE Press 1987.60Dasar Otomatisasi@2007
16
Definition
∞⌠
Definisi
L f t( )( )0
∞
tf t( ) e s− t⋅⋅
⌠⎮⌡
d = F(s)
Here the complex frequency is s ρ j w⋅+
The Laplace Transform exists when
Frekuensi Kompleksnya adalah :
Transformasi Laplace timbul ketika p
0
∞
tf t( ) e s− t⋅⋅
⌠⎮⌡
d ∞< this means that the integral converges
p
Ini berarti bahwa integralnya konvergen
61Dasar Otomatisasi@2007
Determine the Laplace transform for the functions
a) f1 t( ) 1:= for t 0≥
Tentukan Transformasi Laplace untuk fungsi-fungsi berikut :
untuk
F1 s( )0
∞
te s− t⋅⌠⎮⌡
d:= = 1s
− e s t⋅( )−⋅
1s
b) f2 t( ) e a t⋅( )−
F2 s( )0
∞
te a t⋅( )− e s t⋅( )−⋅
⌠⎮⌡
d = 1s 1+
− e s a+( ) t⋅[ ]−⋅ F2 s( )
1s a+
62Dasar Otomatisasi@2007
Ltf t( )d
d⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
0
∞
ttf t( ) e s t⋅( )−⋅d
d
⌠⎮⎮⌡
d
Evaluate the laplace transform of the derivative of a functionEvaluasi Transformasi Laplace turunan suatu fungsi berikut :
we obtain
v f t( )anddu s− e s t⋅( )−⋅ dt⋅
and, from which
dv df t( )u e s t⋅( )−where
u v⋅ uv⌠⎮⌡
d−=vu⌠⎮⌡
dby the use ofmenggunakan
dimana
dan dari
kita peroleh
dan
note that the initial condition is included in the transformationsF(s) - f(0+)=Ltf t( )d
d⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅
s0
∞
tf t( ) e s t⋅( )−⋅
⌠⎮⌡
d⋅-f(0+) +=
0
∞
tf t( ) s− e s t⋅( )−⋅⎡⎣ ⎤⎦⋅⌠⎮⌡
d−f t( ) e s t⋅( )−⋅=0
∞vu
⌠⎮⌡
d
catat bahwa kondisi awal dilibatkan di dalam transformasi63Dasar Otomatisasi@2007
Practical Example - Consider the circuit.
The KVL equation is
4 i t( )⋅ 2ti t( )d
d⋅+ 0 assume i(0+) = 5 A
Contoh Praktis – Rangkaian Listrik
Persamaan KVL-nya adalah :
asumsi
Applying the Laplace Transform, we have
0
∞
t4 i t( )⋅ 2ti t( )d
d⋅+⎛
⎜⎝
⎞⎟⎠
e s t⋅( )−⋅
⌠⎮⎮⌡
d 0 40
∞
ti t( ) e s t⋅( )−⋅
⌠⎮⌡
d⋅ 2
0
∞
tti t( ) e s t⋅( )−
⋅dd
⌠⎮⎮⌡
d⋅+ 0
4 I s( )⋅ 2 s I s( )⋅ i 0( )−( )⋅+ 0 4 I s( )⋅ 2 s⋅ I s( )⋅+ 10− 0
transforming back to the time domain, with our present knowledge of Laplace transform, we may say thatI s( )
5s 2+
:=
Aplikasikan Transformasi Laplace, diperoleh
transformasikan kembali ke wilayah waktu, dengan pengetahuan kita tentang Transformasi Laplace, dapat dikatakan bahwa
0 1 20
2
4
6
i t( )
t
t 0 0.01, 2..( )≡
i t( ) 5 e 2 t⋅( )−⋅≡
64Dasar Otomatisasi@2007
17
The Partial-Fraction Expansion (or Heaviside expansion theorem)
Suppose that
The partial fraction expansion indicates that F(s) consists of f h f hi h i f f h d iF s( )
s z1+
Ekspansi Pecahan-Parsial (atau Teorema Eskpansi Heaviside)
Andaikan :
Eskpansi pecahan parsial menunjukkan bahwa F(s) terdiri dari
j l h t di i i d l h f kt d ia sum of terms, each of which is a factor of the denominator. The values of K1 and K2 are determined by combining the individual fractions by means of the lowest common denominator and comparing the resultant numerator coefficients with those of the coefficients of the numerator before separation in different terms.
F s( )s p1+( ) s p2+( )×
or
F s( )K1
s p1+
K2
s p2++
penjumlahan term, dimana masing-masing adalah faktor dari
penyebut. Nilai K1 dan K2 ditentukan dengan menggabungkan
masing-masing pecahan melalui penyebut bersama terendah dan
membandingkan koefisien-koefisien pembilang resultan dengan
koefisien-koefisien pembilang sebelum pemisahan dalam term yang
berbeda
atau
Evaluation of Ki in the manner just described requires the simultaneous solution of n equations. An alternative method is to multiply both sides of the equation by (s + pi) then setting s= - pi, the right-hand side is zero except for Ki so that
Kis pi+( ) s z1+( )×
s p1+( ) s p2+( )+s = - pi
Evaluasi Ki dalam cara yang telah dijelaskan memerlukan solusi serentak persamaan-persamaan n.
Satu metode alternatif adalah dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan (s + pi) kemudian
mengatur s = -pi, sisi kanan menjadi 0 kecuali Ki sehingga
65Dasar Otomatisasi@2007
1F
s⎛ ⎞
f t T−( ) u t T−( )⋅1. Time delaye s T⋅( )− F s( )⋅
Property Time Domain Frequency DomainSifat Kawasan Waktu Kawasan Frekuensi
∞sF s( )
⌠⎮⌡
df t( )
t5. Frequency Integration
F s a+( )f t( ) e a t⋅( )−⋅4. Frequency shifting
sF s( )d
d−t f t( )⋅3. Frequency differentiation
f at( )2. Time scaling aF
a⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅
s -> 0t -> infinite
Lim s F s( )⋅( )Lim f t( )( )7. Final-value Theorem
s -> infinitet -> 0
Lim s F s( )⋅( )Lim f t( )( ) f 0( )6. Initial-value Theorem
0⌡t
66Dasar Otomatisasi@2007
Pasangan2 Transformasi Laplace yg Berguna
– Tabel Sifat-sifat Transformasi Laplace http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/Table_prop.html
– Tabel Pasangan Transformasi Laplace http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/Table_pairs.html
– Tabel Transformasi Laplace Bentuk2 Gelombang Umumhttp://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/laplace_cwf/laplace_cwf.html
– Tabel Transformasi Laplace dari Fungsi2 Dasar http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/laplace basic/laplace basic.html p p p _ p _
– Tabel Transformasi Laplace Fungsi2 Trigonometri http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/laplace_trig/laplace_trig.html
67Dasar Otomatisasi@2007
TRANSFORMASI LAPLACE
Substitusi persamaan aljabar sederhana Persamaan Diferensial
Cara : a Dapatkan Persamaan DiferensialCara : a. Dapatkan Persamaan Diferensial
b. Dapatkan Transformasi Laplace
c. Selesaikan
Syarat : Persamaan Differensial Linier pd Integral Konvergen
∫ <≅ −
0~)()( 1 dtetftf tσ
68Dasar Otomatisasi@2007
18
Transformasi Laplace f(t) ∫ ≅=⇒ −~)}({)()( tfdtetfsF stTransformasi Laplace f(t) ∫ ≅=⇒
0)}({)()( tfdtetfsF
Inverse Transformasi Laplace ∫+
−
+=⇒ωσ
ωσπj
j
st dsesFj
tf )(21)(
Operasi Diferensial dtds ≡dt
Integral ∫≡tdt
s 01
69Dasar Otomatisasi@2007
Contoh : Pegas:
( ) ( )
2
2
2
2
( ) ( )( ) ( )d y t dy tr t M f k y tdtdt
dy td yM f ky tdtdt
= + +
= + + dtds ≡
2 (0 )( ) ( ) (0 ) ( ( ) (0 ) ( )dyR S M s Y s sy f sY s y kY sdt
++ +⎛ ⎞
= − − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Bila :0
0( ) 0, (0 ) , 0; maka
t
dyr t y ydt
+
=
= = =0
20 0
20
R(s) s Y(s)- sy f sY(s)-fy Y(s) 0
( )( ) ( ) 0
t
M M k
Y s Ms fs k y Ms f
= + + =
= + + − + =
70Dasar Otomatisasi@2007
Sehingga : 02( ) ( )( ) ( ) penyebutsukubanyak
( )y Ms f p sY s q s
q sMs fs k+
= = ⇒ =+ + ( )qMs fs k+ +
Bila q(s) = 0 Persamaan respons karakteristik karena tentukan watak respons waktu
DEFINISI
Pole Akar2 persamaan karakteristik atas titik2 singular sistemPole Akar2 persamaan karakteristik atas titik2 singular sistem
Zero Akar2 suku banyak untuk pembilang
Pole dan Zero Frekuensi2 kritis
71Dasar Otomatisasi@2007
0maka~dan0bila)()()( ≈==⇒=
PoleZeroPoleZero
PoleZero
sqspsY
Contoh : Bila K/M = 2, f/M = 3, maka K = 2M dan f = 3M
)(q
0 0 02 2 2
0
( ) ( 3 ) ( 3)( ) .....(*)
3 2 ( 3 2)( 3)
( 1)( 2)
Ms f y Ms M y s yY s
Ms fs k Ms Ms M s ss y
s s
+ + += = =
+ + + + + ++
=+ +
… p(s)
… q(s)ωjZ ero
0 XX-1-2-3 0
σ
P o le
72Dasar Otomatisasi@2007
19
Bila (*) diuraikan ke dlm bentuk ekspansi pecahan bagian ⇒
)( 21 +=kksY )()( 2−
=spssk
k1 dan k2 koefisien penguraian
kj = residu (sisa)
Invers Transformasi Laplace :
21)(
++
+ sssY
11232
)2)(1()3)(2(
)(
2
22
2
−=+−+−
=++++
=
=
−=
−=
s
s
ssss
sqk
tt eetyss
ty 211 2)(2
11
2)( −−−− −=⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+=
)()(
0 XXS1=-1-2-3 0
σ
ωj
s1+2
(s1+3)
2)2)(1()3)(1(
)()()(
1
1
11
1
=++++
=
−=
−=
−=
s
s
ssss
sqspssk
73Dasar Otomatisasi@2007
Steady State (keadaan mantap) tanggapan y(t) dpt ditentukan dari :
lim y(t) = lim s Y(t)
t → ∼ s → 0t → ∼ s → 0
Pada bagian Pegas ditemukan :
lim y(t) = lim sY(s) = 0 bila kutub Y(s) pada titik (0,0)
t → ∼ s → 0
Maka y = 0 kedudukan keseimbangan yang lazim
74Dasar Otomatisasi@2007
Ingat : K/M = 2 dan f/M = 3 ⇒ :sbbditulisdpt)()()( sY
sqsp
=
0 0 02 2
( 3) ( 3) ( )( )
( 1)( 3) 3 2 ( )
fM
f k
s y s y s yY s
+ + += = =
+ + 2 2
02 2
( 1)( 3) 3 2 ( )( 2 )
......(**)2
f kM M
n
n
s s s s s ss y
s s nζω
ζω ω
+ + + + + +
+=
+ +dimana ζ perbandingan redaman
ωn frekuensi alamiah
Akar-akarnya : s1, s2 = -ζωn ± dimana
Bila : ζ > 1 akar-akarnya nyata dan sama (teredam kritis)
12 −ζωn 2dan fkM kMω ζ≈ = =
Bila : ζ 1 akar akarnya nyata dan sama (teredam kritis)
ζ < 1 akar-akarnya kompleks dan saling konjugat (kurang teredam)
22,1 1 ζωζω −±= nn jS
75Dasar Otomatisasi@2007
Pemetaan Zero dan Pole Y(s) dimana θ = Cos-1ζ
Bila ζ berubah-ubah dan ωn tetap, pasangan akar2 konjugat akan menempati suatu locus berbentuk lingkaran
s1
ωj
nωθ
σ
21 ζω −nj
nζω−nζω2−
X
0s>1 s<1 σ
φζ =ωj
njω−
s221 ζω −− nj
nζnζ
X1=ζ
76Dasar Otomatisasi@2007
20
Uraian pecahan bagian persamaan Pegas :
:makaskomplekskonjugatadalahskarena)( 1221 +=
KKsY
konjugat*)(
*)(
)(
pj g)()(
)(
21
1
1221
=−
+−
=
−−
ssK
ssKsY
ssss
Maka Kj adalah :
)2(magnitude)2( 01 nsMynsK +=+
= ζωζω
*)(magnitude
)2(magnitude*)(
1122
01
1111
1
2ssM
eMyeM
nsMss
K
j
j
−==
+=−
=
π
φ
ζω
77Dasar Otomatisasi@2007
Pada kasus ini ditemukan :
ω φ0 eyK
jn
ζθ
ζ
ζωπθ
π
1
)(
20
22
01
dimana
12
12
2
−
−
=
−=
−=
Cos
eyej
yK
j
n
n
nζω2−
σ
ωj21 ζω −− nj
)2( 1 ns ζω+
)2
(
20
212
θπ
ζ
−
−=
jeyK
78Dasar Otomatisasi@2007
Akhirnya :
1)()(
20
21
222
21
12
)(
ζωζωθζωθ
ζππ −−−−−−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
−=
+=
jtjtj
tsts
nnn eeeeeyeKeKty
)1(sin
20 2
12θζωζω
ζ+−−
−= tt nney
y(t)
y0
over damped
0
nte ζ ω−under damped
t
79Dasar Otomatisasi@2007
KESIMPULAN
Transformasi Laplace dan pendekatan bidang s adalah teknik yg sangat berguna untuk analisa dan rancang suatu sistem, karena performa steady state dan transient sangat diutamakan.
80Dasar Otomatisasi@2007
21
Y s( )Ms b+( ) yo⋅
Ms2 bs+ k+
equation 2.21
Perhatikan sistem massa-pegas-peredam
Persamaan 2.21
Plot bidang-s pole dan zero Y(s)
y s( )s
bM
+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
yo( )⋅
s2 bM
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
s⋅+kM
+⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
s 2 ζ⋅ ωn⋅+( )s2 2 ζ⋅ ωn⋅+ ωn
2+
s1 ζ ωn⋅( )− ωn ζ2
1−⋅+ωn
kM
ζb
2 k M⋅⋅( )2
Ms bs+ k+
Locus akar-akar dimana z berubah dgn ωn konstan
s2 ζ ωn⋅( )− ωn ζ2
1−⋅−
Roots
RealReal repeatedImaginary (conjugates)Complex (conjugates)
s1 ζ ωn⋅( )− j ωn⋅ 1 ζ2
−⋅+
s2 ζ ωn⋅( )− j ωn⋅ 1 ζ2
−⋅−
Akar-akar
NyataNyata BerulangImajiner (konjugat)Kompleks (konjugat)
81Dasar Otomatisasi@2007
Tanggapan sistem massa-pegas-peredam
82Dasar Otomatisasi@2007
v1 v2i
V1 s( ) R1
Cs+⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
I s( )⋅ Z1 s( ) R
Z2 s( )1
V ( )1⎛ ⎞ I( )
Jaringan RC
2( )CsV2 s( )
Cs⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
I s( )⋅
V2 s( )
V1 s( )
1Cs
R1
Cs+
Z2 s( )
Z1 s( ) Z2 s( )+
83Dasar Otomatisasi@2007
Contoh 2.2The partial fraction expansion yields:Ekpansi pecahan parsial menghasilkan :
2ty t( )d
d
24
ty t( )d
d⋅+ 3 y t( )⋅+ 2 r t( )⋅
Initial Conditions: Y 0( ) 1ty 0( )d
d0 r t( ) 1
The Laplace transform yields:
s2 Y s( )⋅ s y 0( )⋅−( ) 4 s Y s( )⋅ y 0( )−( )⋅+ 3Y s( )+ 2 R s( )⋅
Since R(s)=1/s and y(0)=1 we obtain:
Y s( )
32
s 1+( )
1−2
s 3+( )+
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
1−
s 1+( )
13
s 3+( )+
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
+
23
s+
Therefore the transient response is:
y t( )32
e t−⋅12
e 3− t⋅⋅−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1− e t− 13
e 3− t⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
+23
+
Kondisi2 Awal :
Transformasi Laplace menghasilkan :
Karena R(s)=1/s dan y(0)-1 diperoleh :
Maka tanggapan transiennya adalah :
Since R(s)=1/s and y(0)=1, we obtain:
Y s( )s 4+( )
s2 4s+ 3+( )2
s s2 4s+ 3+( )⋅+
The steady-state response is:
∞ty t( )lim
→
23
Karena R(s)=1/s dan y(0)-1, diperoleh :Sehingga tanggapan steady-state-nya adalah :
84Dasar Otomatisasi@2007
22
Contoh 2.3
85Dasar Otomatisasi@2007
Contoh 2.4
86Dasar Otomatisasi@2007
Contoh 2.5
87Dasar Otomatisasi@2007
Contoh 2.5
88Dasar Otomatisasi@2007
23
φ K f if⋅
T m K 1 K f⋅ if t( )⋅ ia t( )⋅
field controled motor Lapalce Transform
Contoh 2.5
field controled motor - Lapalce Transform
T m s( ) K 1 K f⋅ Ia⋅( ) If s( )⋅
Vf s( ) Rf Lf s⋅+( ) If s( )⋅
T m s( ) T L s( ) T d s( )+
T L s( ) J s 2⋅ θ s( )⋅ b s⋅ θ s( )⋅+
rearranging equationsrearranging equations
T L s( ) T m s( ) T d s( )−
T m s( ) K m If s( )⋅
If s( )Vf s( )
Rf Lf s⋅+
Td s( ) 0
θ s( )Vf s( )
Kms J s⋅ b+( )⋅ Lf s⋅ Rf+( )⋅
89Dasar Otomatisasi@2007
Contoh 2.5
90Dasar Otomatisasi@2007
Contoh 2.5
91Dasar Otomatisasi@2007
Contoh 2.5
92Dasar Otomatisasi@2007
24
V 2 s( ) 1−
V 1 s( ) RCs
V s( )V 2 s( )
V 1 s( )RCs−
93Dasar Otomatisasi@2007
V 2 s( )
V 1 s( )
R 2 R 1 C⋅ s⋅ 1+( )R 11 1
( ) ( ) ( )V 2 s( )
V 1 s( )
R 1 C 1⋅ s⋅ 1+( )− R 2 C 2⋅ s⋅ 1+( )R 1 C 2⋅ s⋅
94Dasar Otomatisasi@2007
θ s( ) K m
( )V f s( ) s J s⋅ b+( )⋅ L f s⋅ R f+( )
θ s( )V a s( )
K m
s R a L a s⋅+( ) J s⋅ b+( ) K b K m⋅+⎡⎣ ⎤⎦⋅
95Dasar Otomatisasi@2007
θ s( )Vc s( )
Km
s τ s⋅ 1+( )
τJ
b( )
Vo s( )
Vc s( )
KRc Rq⋅
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
s τc⋅ 1+( ) s τq⋅ 1+( )⋅
b m−( )
m = slope of linearized torque-speed curve (normally negative)
( ) q( )
τcLc
Rcτq
Lq
RqFor the unloaded case:id 0 τc τq
0.05s τc< 0.5s<
V12 Vq V34 Vd96Dasar Otomatisasi@2007
25
Y s( )X s( )
Ks Ms B+( )
KA kx⋅
kpB b
A2
kp+
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
kxx
gdd
kpP
gdd
g g x P,( ) flow
A = area of piston
Gear Ratio = n = N1/N2
N2 θL⋅ N1 θm⋅
θL n θm⋅
ωL n ωm⋅
97Dasar Otomatisasi@2007
V2 s( ) R2 R22( )
V1 s( )2
R2
R1 R2+
R2
Rθ
θmax
V2 s( ) ks θ1 s( ) θ2 s( )−( )V2 s( ) ks θerror s( )⋅
ksVbattery
θmax
98Dasar Otomatisasi@2007
The Transfer Function of Linear Systems
V2 s( ) Kt ω s( )⋅ Kt s⋅ θ s( )⋅
Kt constant
V2 s( )
V1 s( )
ka
s τ⋅ 1+
Ro = output resistanceCo = output capacitance
τ Ro Co⋅ τ 1s<
and is often negligible for controller amplifier
99Dasar Otomatisasi@2007
xo t( ) y t( ) xin t( )−
Xo s( )
Xin s( )s2−
s2 b⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
s⋅+k
+
T s( )q s( )
11⎛ ⎞
M⎝ ⎠ M
For low frequency oscillations, where ω ωn<
Xo j ω⋅( )Xin j ω⋅( )
ω2
kM
q s( )Ct s⋅ Q S⋅
1R
+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
+
T To Te− = temperature difference due to thermal process
Ct = thermal capacitance= fluid flow rate = constant= specific heat of water= thermal resistance of insulation= rate of heat flow of heating element
QSRt
q s( )
100Dasar Otomatisasi@2007
26
x r θ⋅
converts radial motion to linear motion
101Dasar Otomatisasi@2007 102Dasar Otomatisasi@2007
103Dasar Otomatisasi@2007
Diagram Asli Diagram Ekivalen
Diagram Asli Diagram Ekivalen
104Dasar Otomatisasi@2007
27
Diagram Asli Diagram Ekivalen
Diagram Asli Diagram Ekivalen
105Dasar Otomatisasi@2007
Diagram Asli Diagram Ekivalen
Diagram Asli Diagram Ekivalen
106Dasar Otomatisasi@2007
107Dasar Otomatisasi@2007
Contoh 2.7
108Dasar Otomatisasi@2007
28
Contoh 2.7
109Dasar Otomatisasi@2007
Utk sistem2 rumit, menjadikan metode Diagram Blok sulit dilakukan. Dgn menggunakan Model Signal Flow Graph
(SFG) d d k i tid k l l i t k(SFG), prosedur reduksi tidak perlu lagi menentukan hubungan di antara variabel2 sistem
110Dasar Otomatisasi@2007
Y1 s( ) G11 s( ) R1 s( )⋅ G12 s( ) R2 s( )⋅+
Y2 s( ) G21 s( ) R1 s( )⋅ G22 s( ) R2 s( )⋅+
111Dasar Otomatisasi@2007
a11 x1⋅ a12 x2⋅+ r1+ x1
a21 x1⋅ a22 x2⋅+ r2+ x2
112Dasar Otomatisasi@2007
29
Contoh 2.8
Y s( )R s( )
G 1 G 2⋅ G 3⋅ G 4⋅ 1 L 3− L 4−( )⋅⎡⎣ ⎤⎦ G 5 G 6⋅ G 7⋅ G 8⋅ 1 L 1− L 2−( )⋅⎡⎣ ⎤⎦+
1 L 1− L 2− L 3− L 4− L 1 L 3⋅+ L 1 L 4⋅+ L 2 L 3⋅+ L 2 L 4⋅+113Dasar Otomatisasi@2007
Contoh 2.10
Y s( )R s( )
G 1 G 2⋅ G 3⋅ G 4⋅
1 G 2 G 3⋅ H 2⋅+ G 3 G 4⋅ H 1⋅− G 1 G 2⋅ G 3⋅ G 4⋅ H 3⋅+
114Dasar Otomatisasi@2007
Y s( )R s( )
P1 P2 Δ2⋅+ P3+
Δ
P1 G1 G2⋅ G3⋅ G4⋅ G5⋅ G6⋅ P2 G1 G2⋅ G7⋅ G6⋅ P3 G1 G2⋅ G3⋅ G4⋅ G8⋅
Δ 1 L1 L2+ L3+ L4+ L5+ L6+ L7+ L8+( )− L5 L7⋅ L5 L4⋅+ L3 L4⋅+( )+
Δ1 Δ3 1 Δ2 1 L5− 1 G4 H4⋅+
115Dasar Otomatisasi@2007
Design Examples
116Dasar Otomatisasi@2007
30
Design Examples
Speed control of an electric traction motor.117Dasar Otomatisasi@2007
Design Examples
118Dasar Otomatisasi@2007
Design Examples
119Dasar Otomatisasi@2007
Design Examples
120Dasar Otomatisasi@2007
31
Design Examples
121Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
122Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
123Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
124Dasar Otomatisasi@2007
32
The Simulation of Systems Using MATLAB
125Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
126Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
127Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
128Dasar Otomatisasi@2007
33
The Simulation of Systems Using MATLAB
129Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
130Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
131Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
132Dasar Otomatisasi@2007
34
The Simulation of Systems Using MATLAB
133Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
134Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
135Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
136Dasar Otomatisasi@2007
35
The Simulation of Systems Using MATLAB
137Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
error
Sys1 = sysh2 / sysg4
138Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
139Dasar Otomatisasi@2007
error
The Simulation of Systems Using MATLAB
Num4=[0.1];
140Dasar Otomatisasi@2007
36
The Simulation of Systems Using MATLAB
141Dasar Otomatisasi@2007
The Simulation of Systems Using MATLAB
142Dasar Otomatisasi@2007
Sequential Design Example: Disk Drive Read System
143Dasar Otomatisasi@2007
Sequential Design Example: Disk Drive Read System
144Dasar Otomatisasi@2007
37
Sequential Design Example: Disk Drive Read System
=145Dasar Otomatisasi@2007
P2.11
146Dasar Otomatisasi@2007
P2.11
1L c s⋅ R c+
K1
Vq
K2
+Vd
Km
Id
1L d L a+( ) s⋅ R d R a+( )+
Tm
1J s⋅ b+
1s
θ
Vc
Ic 1L q s⋅ R q+
K3-Vb
θ
147Dasar Otomatisasi@2007
http://www.jhu.edu/%7Esignals/sensitivity/index.htm
148Dasar Otomatisasi@2007
38
http://www.jhu.edu/%7Esignals/
149Dasar Otomatisasi@2007
Isu-isu KESTABILAN suatu Sistem Umpan Balik Jerat-Tertutup adalah inti dari perancangan sistem pengaturan. Dgn mengetahui bahwa sistem jerat-tertutup yg tidak stabil tdk mempunyai nilai, kita hrs mencari metode2 utk p yg p y ,menganalisa dan merancang sistem2 yg stabil. Suatu sistem stabil akan menampilkan output terbatas bila input-nya terbatas. Ini disebut dgn kestabilan Bounded-Output Bounded-Input (BIBO) dan merupakan topik utama Bab III ini.
Kestabilan suatu sistem umpan balik secara langsung berkaitan dgn lokasi akar2 persamaan karakteristik Fungsi Transfer (FT) sistem. Metode Routh-Hurwitz adl perangkat yg berguna utk melihat kestabilan sistem. Teknik ini membantu kita menghitung jumlah akar2 persamaan karakteristik di dlmmembantu kita menghitung jumlah akar2 persamaan karakteristik di dlm setengah-bidang datar bag kanan tanpa hrs menghitung nilai akar2nya dan menentukan kestabilan sistem dgn cepat. Ini memberi kita suatu metode perancangan utk menentukan nilai2 parameter2 sistem tertentu utk menuju ke kestabilan jerat-tertutup. Utk sistem yg stabil, akan disampaikan ide ttg kestabilan relatif yg memperbolehkan kita utk mengkarakterisasi derajat kestabilan sistem.
150Dasar Otomatisasi@2007
Suatu sistem yang stabil adalah suatu sistem dinamisSuatu sistem yang stabil adalah suatu sistem dinamis dengan tanggap output terbatas terhadap input terbatas
Kestabilan absolut adalah suatu penggolongan stabil/tidak stabil suatu sistem umpan balik jerat-tertutup. Bila sistem tsb stabil, kita dpt menggolongkan derajat kestabilan atau kestabilan relatifnyakestabilan relatifnya
151Dasar Otomatisasi@2007
Konsep kestabilan dpt diilus-trasikan dgn suatu kerucut yg ditempatkan di atas suatu
k h i t l d tpermukaan horisontal datar
Kondisi penting dan cukup bagi suatu sistem umpan balik dikatakan stabil adl semua pole FT sistem mempunyai
Stabil Netral Tidak Stabil
a) Stabil b) Netral c) Tidak Stabil
p ybagian nyata (real) negatif
Suatu sistem dikatakan stabil terbatas bila hanya input2 terbatas tertentu akan menghasilkan suatu output terbatas
152Dasar Otomatisasi@2007
39
Ditemukan bahwa semua koefisien dr Persamaan Karakteristik HARUS mempunyai tanda sama danKarakteristik HARUS mempunyai tanda sama dan TIDAK NOL jika semua akar2 terletak di bidang sebelah kiri
Persyaratan2 ini perlu namun tdk mencukupi. Jika persyaratan di atas tdk dipenuhi, maka sistem tidak stabil. Namun, bila persyaratan2 tsb dipenuhi, kita hrs tetap menyelidiki sistem utk menentukan kestabilannyamenyelidiki sistem utk menentukan kestabilannya
Kriteria Routh-Hurwitz adl kriteria yg penting dan mencukupi utk kestabilan sistem2 linier
153Dasar Otomatisasi@2007
2531
142
012
21
1 0
−−−−
−−−
−−
−− =+++++
nnnn
nnnn
n
nn
nn
nn
bbbsaaasaaas
asasasasa ΛPersamaan Karakteristik, q(s)
Larik Routh
( )( ) ( )
10
5313
531
1
−
−−−−
−−−
−−
••••••••••••
n
nnnn
nnn
aaaaaa
hs
cccsbbbs
Kriteria Routh-Hurwitz menyatakan bahwa jumlah akar2 bag nyata positif q(s) adl sama dgn jumlah perubahan tanda pd kolom pertama Larik ( )( ) ( )
31
31
11
31
42
13
31
2
11
3211
1
1
1
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
−−
−−−−
−=
−=
−=
−=
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nnnnn
bbaa
bc
aaaa
ab
aaaa
aaaaaabtanda pd kolom pertama Larik
Routh
154Dasar Otomatisasi@2007
Kasus Pertama : Semua elemen kolom pertama tidak sama dgn 0
Example 6.1 Second-order system
The Characteristic polynomial of a second-order sys tem is:2
Contoh 3.1. Sistem tingkat-kedua
Persamaan Karakteristik dr sistem tingkat-kedua adalah :
q s( ) a2 s2⋅ a1 s⋅+ a0+
The Routh array is written as:
w here: 00
10
11
022
bsas
aas
dimana :
Larik Routh ditulis sbb :
b1a1 a0⋅ 0( ) a2⋅−
a1a0
Therefore the requirement for a stable second-order system is simply that all coef f icients be positive or all the coef ficients be negative.
1
Sehingga persyaratan utk suatu sistem tingkat-kedua yg stabil adl semua koefisien HARUS positif atau negatif
155Dasar Otomatisasi@2007
Kasus Kedua : Nol2 pd kolom pertama sedangkan bbrp elemen dr baris yg mengandung satu NOL pd kolom pertama adl TIDAK NOL
If only one element in the array is zero, it may be replaced w ith a small positive number ε that is allow ed to approach zero after completing the array.Jika hanya satu elemen di dlm larik adl NOL, ia dpt digantikan dgn suatu bilangan positif ε shg diperbolehkan mendekati 0 stlh larik selesai
q s( ) s5 2s4+ 2s3+ 4s2+ 11s+ 10+
The Routh array is then:
0001006
10421121
11
21
3
4
5
dscsbs
ss
Larik Routh ditulis sbb :
w here:
b12 2⋅ 1 4⋅−
20 ε c1
4ε 2 6⋅−
ε
12−
εd1
6 c1⋅ 10ε−
c16
There are two sign changes in the first column due to the large negative number calculated for c1. Thus, the system is unstable because two roots lie in the right half of the plane.
001000
01
sds
Dimana :
Tdp perubahan tanda dua kali pd kolom pertama krn bilangan negatif besar pd c1. Maka, sistem dinyatakan tidak stabil karena dua akar2nya terletak pd bidang datar sebelah kanan 156Dasar Otomatisasi@2007
40
Kasus Ketiga : NOL2 pd kolom pertama dan elemen2 lain pd baris yg mengandung NOL juga (bernilai) NOL
This case occurs when the polynomial q(s) has zeros located symetrically about the origin of the s-plane, such as (s+σ)(s -σ) or (s+jω)(s -jω). This case is solved using the auxiliary polynomial, U(s), w hich is located in the row above the row containing the zero entry in the Routh array.
( ) 3 2 2 4 K
Kasus ini terjadi bila PK q(s) mempunyai NOL terletak secara simetris pd titik awal bidang-s, spt (s+ σ)(s-σ) atau (s+jω)(s-jω). Kasus ini diselesaikan menggunakan persamaan auxiliary U(x), yg diletakkan di dalam baris di atas baris yg mengandung masukan NOL pd Larik Routh
q s( ) s3 2 s2⋅+ 4s+ K+
Routh array:
For a stable system we require that 0 s< 8<
For the marginally stable case, K=8, the s^1 row of the Routh array contains all zeros. The auxiliary plynomial comes from the s^2 row
00
241
02
81
2
3
Kss
Kss
K−
Larik Routh :
Utk sistem yg stabil dipersyaratkan bahwa 0 < s < 8
Utk kasus stabil terbatas, K = 8, baris s1 Larik Routh berisi NOL semua. Pers auxiliary berasal dari baris s2auxiliary plynomial comes f rom the s 2 row.
U s( ) 2s2 Ks0+ 2 s2⋅ 8+ 2 s2 4+( ) 2 s j 2⋅+( ) s j 2⋅−( )
It can be proven that U(s) is a factor of the characteris tic polynomial:
q s( )U s( )
s 2+
2 Thus, w hen K=8, the factors of the characteristic polynomial are:
q s( ) s 2+( ) s j 2⋅+( ) s j 2⋅−( )
auxiliary berasal dari baris s
Ini dpt dibuktikan bahwa U(s) adl faktor dr PK
Sehingga, ketika K = 8, faktor2 dr PK adl :
157Dasar Otomatisasi@2007
Kasus Keempat : Akar2 berulang Persamaan Karakteristik pd sumbu jw
Dgn akar2 sederhana pd sumbu jw, sistem akan memiliki tingkah laku stabil terbatas. Lain
halnya bila akar2 berulang. Akar2 berulang pd sumbu jw akan menyebabkan sistem menjadi tidak stabil. Sayangnya, Larik Routh tidak mampu mengungkapkan ketidak stabilan ini
158Dasar Otomatisasi@2007
Contoh 3.4
159Dasar Otomatisasi@2007
Contoh 3.5. Sistem Kendali Alat Patri
R(s)Posisi yg
dikehendaki
Controller Head Dynamics
Y(s)Posisi Data Kepala
Using block diagram reduction we find that:
The Routh array is then:
KabsKs
Kas
13
2
3
4
)6(6111+
Dgn reduksi Diagram Blok diperoleh :
Larik Routh :
Kascs
03
1
For the system to be stable both b3 and c3 must be positive.
Using these equations a relationship can be determined for K and a .
where: b360 K−
6and c3
b3 K 6+( ) 6 Ka⋅−
b3Dimana :
Utk sistem agar stabil, b3 dan cc HARUS positif
Gunakan persamaan2 ini, suatu hubungan dpt ditentukan utk K dan ε
160Dasar Otomatisasi@2007
41
Kadang perlu utk mengetahui peredaman relatif setiap akar thd PK. Kestabilan sistem relatif dpt diukur dgn mengamati bag nyata relatif setiap akar. Pd diagram sebelah r2 relatif lebih stabildrpd pasangan akar r1
Satu metode utk menentukan kestabilan relatif setiapSatu metode utk menentukan kestabilan relatif setiap akar adl menggunakan pergeseran sumbu di dlm domain-s dan kemudian menggunakan Larik Routh spt pd contoh 3.6.
161Dasar Otomatisasi@2007
Permasalahan : Perancangan kendali belok utk suatu wahana yg berjalan pd suatu jalur. Pilih K dan a sehingga sistem stabil. Sistem dimodelkan sbb :
Contoh Perancangan : Kendali Belok Wahana yg Bergerak pd suatu Jalur
ThrottleSteering
Y(s)ArahPerjalanan
R(s)Arah Belok
Yg Diinginkan
Y(s)
162Dasar Otomatisasi@2007
The characteristic equation of this system is:
1 Gc G s( )⋅+ 0
or
1K s a+( )
s s 1+( ) s 2+( ) s 5+( )+ 0
Kestabilan SistemPersamaan Karakteristik sistem adalah :
atau
Thus,
s s 1+( ) s 2+( ) s 5+( ) K s a+( )+ 0
or
s4 8s3+ 17s2+ K 10+( )s+ Ka+ 0
To determine a stable region for the system, we establish the Routh array as:
KKas
3
4
0)10(8171+
Maka,
atau
Utk menentukan daerah stabil sistem, periksa dgn Larik Routh sbb :
where
b3126 K−
8and c3
b3 K 10+( ) 8Ka−
b3
Kascs
KabsKs
03
13
2
3 0)10(8 +
dimana
163Dasar Otomatisasi@2007
csKabs
KsKas
13
2
3
4
0)10(8171+
Kestabilan Sistem
Kascs
03
where
b3126 K−
8and c3
b3 K 10+( ) 8Ka−
b3
Therefore,
K 126<
dimana
Oleh karena itu,
K 126<
K a⋅ 0>
K 10+( ) 126 K−( ) 64Ka− 0>
164Dasar Otomatisasi@2007
42
Kestabilan Sistem Menggunakan MATLAB
165Dasar Otomatisasi@2007
System Stability Using MATLABKestabilan Sistem Menggunakan MATLAB
166Dasar Otomatisasi@2007
Kestabilan Sistem Menggunakan MATLAB
167Dasar Otomatisasi@2007
Kestabilan Sistem Menggunakan MATLAB
168Dasar Otomatisasi@2007