pembahasan to matematika 2013

Diupload oleh Belajar Bersama Soal USM STIS @ Facebook

of 15

PEMBAHASAN TRY OUT NASIONAL USM STIS 2013

MATEMATIKA

1. D PQ: Tidak PQ = 5 : 3 3/8(PQ) = jantan 3/8(5/8) = 15/64 2. D Pada menit pertama, ke-6, 12 dan ke-18, larutan dimasukkan bersama-sama sebanyak masing-masing Larutan A, B, C Menit awal: 5 + 2,5 + 0,5 =8 Menit ke-6: 5(3) + 2,5(2) + 0,5(6) = 23 Menit ke-12: 5(6) + 2,5(4) + 0,5(12) = 46 Menit ke-18: 5(9) + 2,5(6) + 0,5(18) = 69 3. E Jarak Jogja-Purwokerto S1=S2= V1 X t1 =50 km/jam X 4 jam V2 = S : t2 = 200 : 5 = 40 km/jam 4. A Usia kakek(K) = 5A(Anak) dan usia nenek (N) =4A Selisihnya K-N = 12, jadi 5A-4A = 12. Didapat, usia kakek = 60 dan nenek = 48 5. C Misalkan bak itu terisi = 20 l air Kecepatan keran M mengisi = 20/2 Kecepatan keran N mengisi = 20/4 Kecepatan keran O membuang = 20/5 Kecepatan keran P membuang = 20/8 Dlm 1 jam= kran M akan mengisi 10 l, kran N 5 l. Kran O membuang 4 l dan kran P membuang 2,5 l. Jadi dalam 1 jam akan terisi (10 + 5) – (4 + 2,5) = 8,5 l. Bak akan terisi penuh 20/8,5 = 2,35 jam 6. A Harga 4 potong pakaian = 240.000 X1 = X2 + (X3:2) X2 = X4 – X3 X3 = X1 : 3 X4 = X2 + X3 X1 + X2 + X3 + X4 = 240.000 Pakaian pertama = 72.000 Pakaian kedua = 60.000 Pakaian ketiga = 24.000 Pakaian keempat = 84.000 7. A Karena, ingkaran dari semua = ada / beberapa. Ingkaran dari kalimat “lulusab SMA ingin mendaftar STIS” adalah “lulusan SMA tidak ingin mendaftar STIS” Maka, pernyataan “semua lulusan SMA ingin mendaftar STIS” dapat diingkar menjadi “Ada lulusan SMA yang tidak ingin mendaftar STIS”.


of 15

8. A Bentuk matematika dari P1= ~p V q ≡ p q P2= r V ~q ≡ ~r ~q ≡ q r P3= ~r Kesimpulan P1 dan P2 = p r (silogisme) Kesimpulan P1, P2 dan P3 = ~p (tollens) Jadi, kesimpulannya= Galuh tidak kuliah 9. B

Untuk n = 1 → 2n + 1 = 2 + 1 = 3……. .. suku pertama ( a ) n = 2 → 2n + 1 = 4 + 1 = 5 n = 3 → 2n + 1 = 6 + 1 = 7 ∑ ( 2n + 1 ) 15

𝑛=1 = 3 + 5 + 7 +.. tampak terbentuk deret aritmatika dengan beda ( b ) = 2 sehingga nilai penjumlahan tersebut sama dengan jumlah deret aritmatika Sn = ½ n ( 2a + (n-1)b ) = ½ .15 ( 2. 3 + (15-1). 2 ) = ½ .15. 34 = 255 10. C

Notasi sigma tersebut membentuk deret aritmatika dengan n suku ( batas atasnya n dan batas bawahnya 1 ) dan senilai dengan jumlah deret aritmatika tersebut Untuk p = 1 → ( 2p - 1 ) = 1………….. suku pertama (a) p = 2 → ( 2p - 1 ) = 3 p = 3 → ( 2p - 1 ) = 5 p = n → ( 2n - 1 ) beda ( b ) = 5 – 3 = 3 – 1 = 2 Sn = ½ n ( 2a + (n-1)b ) = ½ .n ( 2. 1 + ( n-1). 2 ) = ½ .n ( 2 – 2n – 2 ) = ½ .n 2n = n2 11. B

Notasi sigma tersebut membentuk deret aritmatika dengan 17 suku ( batas atasnya 20 dan batas bawahnya 4 ). Hasil penjumlahannya akan sama dengan jumlah deret aritmatikanya. Untuk k = 4 → ( c.K + 3 ) = 4c + 3………….. suku pertama (a) k = 5 → ( c.K + 3 ) = 5c + 3 k = 6 → ( c.K + 3 ) = 6c + 3 k = 20 →( c.K + 3 ) = 20c + 3 beda ( b ) = 6c + 3 – (5c + 3) = 5c + 3 – (4c + 3) = c Sn = ½ n (a + Un ) 867 = ½ .17 (4c + 3 + 20c + 3) 867 = ½ .17 ( 24c + 6 ) 867 = 17 ( 12c + 3 ) 51 = 12c + 3


of 15

12c = 48 c = 4 12. A ∏ (4 − x)(4 + x)8

𝑥=1 = ∏(16-x2) = (16- 12 ) (16- 22 ) (16- 32 ) (16- 42 ) (16- 52 ) (16- 62 ) (16- 72 ) (16- 82 ) = 15 x 12 x 7 x 0 x (-9) x (-20) x (-23) x (-48) = 0 13. D 𝑎 = 100 𝑏 = 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 = −6 Untuk mencari banyaknya suku-suku yang positif, terlebih dahulu harus diketahui bilangan negatif pertama dari barisan itu jatuh pada suku ke berapa... 𝑈𝑛 < 0 →→→ 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 < 0 100 + (𝑛 − 1)(−6) < 0 106 − 6𝑛 < 0

𝑛 >106

6= 17

2

3

Suku negatif pertama jatuh pada suku ke-18, sehingga banyaknya suku-suku yang positif ada 17 buah...

𝑆𝑛 >𝑛

2{2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏}

𝑆17 >17

2{200 + (17 − 1)(−6)} = 884

14. D

𝑟 =𝑙𝑜𝑔𝑥9

𝑙𝑜𝑔𝑥3 =

12 𝑙𝑜𝑔𝑥3

𝑙𝑜𝑔𝑥3 =1

2

Jadi, 𝑆𝑛 =𝑎

1−𝑟=

𝑙𝑜𝑔𝑥3

1−1

2

= 2. 𝑙𝑜𝑔𝑥3

15. A

∆𝐴𝐶𝐶1 ≫≫≫ 𝐶𝐶1 = 𝑝. sin 60° =1

2√3𝑝

𝐶1𝐶2 = 𝐶𝐶1. cos 30°

= (1

2√3𝑝) (

1

2√3) =

3

4

𝐴𝐶 + 𝐶1𝐶2 + ⋯ = 𝑝 +3

4𝑝 + ⋯

rasio = r =

34 p

p=

3

4

Jadi, 𝑆∞ =𝑎

1 − 𝑟=

𝑝

1 −34

= 4𝑝

16. A Perhatikan pola untuk jumlah angka pada tiap deret genapnya... 𝑆2 = 1 − 2 = −1 𝑆4 = 1 − 2 + 3 − 4 = −2 𝑆6 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3 𝑆8 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 = −4


of 15

⋮

𝑆𝑛 = −𝑛

2

Dan harus diperhatikan bahwa setiap 𝑈𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 pasti positif...

Maka... 𝑆13 = 𝑆12 + 𝑈13

= −12

2+ 13 = −6 + 13 = 7

𝑆26 = −26

2= −13

𝑆39 = 𝑆38 + 𝑈39

= −38

2+ 39 = −19 + 39 = 20

Sehingga 𝑆13 + 𝑆26 + 𝑆39 = 7 + (−13) + 7 = 14 − 13 = 14 17. D 𝑥 = 𝑎𝑥′ + 𝑏𝑦′ 𝑦 = 𝑐𝑥′ + 𝑑𝑦′

Diubah dalam bentuk matriks menjadi (𝑥𝑦) = (

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) (𝑥′𝑦′

)

𝑥′ = 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 𝑦′ = 𝑟𝑥 + 𝑠𝑦

Diubah dalam bentuk matriks menjadi (𝑥′

𝑦′) = (𝑝 𝑞𝑟 𝑠

) (𝑥𝑦)

(𝑥𝑦) = (

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) (𝑝 𝑞𝑟 𝑠

) (𝑥𝑦)

Hanya jika (𝑎 𝑏𝑐 𝑑


) = 𝐼

(𝑔 ℎ𝑚 𝑡

) (𝑎 𝑏𝑐 𝑑


) = (𝑔 ℎ𝑚 𝑡

) 𝐼 = (𝑔 ℎ𝑚 𝑡

)

18. C det 𝑃 = 1234x1234 − 1233x1235 = 12342 − (1234 − 1)(1234 + 1) = 12342 − (12342 − 12) = 12342 − 12342 + 12 = 12 = 1 det 𝑄 = 1231x1237 − 1233x1235 = (1234 − 3)(1234 + 3) − (1234 − 1)(1234 + 1) = (12342 − 32) − (12342 − 12) = 12342 − 32 − 12342 + 12 = −32 + 12 = −9 + 1 = −8 19. D Terlihat dari gambar disamping bahwa a+b=c Maka a+b+c =( a+b)+c =c+c =2c


of 15

20. D AB = AS + ST + TB AD = AS + ST + TD karena CB = CS + ST + TB AS = -CS CD = CS + ST + TD + TB = -TD AB + AD + CB + CD = 0 + 4ST + 0 AB + AD + CB + CD = 4u 21. B

𝑦2 = 2𝐾𝑥 → 𝑥 =𝑦2

𝑘

3x+2y+1=0

3(𝑦2

𝑘)+2y+1=0

Karenatidakmemotongmaka D<0 4-4(3/2k)(1)<0 1-(3/2k)<0 2𝑘−3

2𝑘<0

0 < k < 3/2 22. D 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 + 1) = 3−𝑥 − 3−(𝑥+1) = 3−𝑥 − 3−𝑥. 1/3 = 3−𝑥(1 − 1/3) =2/3𝑓(𝑥) 23. D

Diketahui : p – q = cos 150

√2𝑝𝑞 = sin 150

p2 + q2 = (p - q)2 + 2pq

= (p - q)2 + (√2𝑝𝑞)2

= (cos 150)2 + (sin 150)2

= cos2150 + sin2150

= 1

24. A

Diketahui tan A = 2

3

Sin A =2

√13 , cos A =

3

√13

cos 2A = 2 cos2A – 1

= 2 (3

√13)

2− 1

2

3

√13

A


of 15

= 18

13−

13

13

= 𝟓

𝟏𝟑

25. A

sin 1950 = sin (2250 - 300) = sin2250 cos300 – cos2250 sin300

= (−1

2√2) (

1

2√3) − (−

1

2√2) (

1

2)

= (−1

4√6) (

1

4√2)

= 𝟏

𝟒(√𝟐 − √𝟔)

26. C

sin 1340 + sin 740

cos 1490 − 𝑐𝑜𝑠590=

2 sin12

(1340 + 740)𝑐𝑜𝑠12 (1340 − 740)

−2 sin12

(1490 + 590)𝑠𝑖𝑛12

(1490 − 590)

=2 sin 1040 cos 300

−2 sin 1040 sin 450

=cos 300

− sin 450

=1

2√3

−1

2√2

=√3

−√2 .

√2

√2

= −𝟏

𝟐√𝟔

27. A.

Diketahui: tan A= 3

4 (lancip, kuadran I) dan sin B=

5

13 (tumpul, kuadran II)

sin A =𝟑

𝟓 , cos A=

𝟒

𝟓 sin B=

𝟓

𝟏𝟑 , cos B=

−𝟏𝟐

𝟏𝟑, tan B =

𝟓

𝟏𝟐

cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B

=(𝟒

𝟓) (

−𝟏𝟐

𝟏𝟑) − (

𝟑

𝟓) (

𝟓

𝟏𝟑)

=−𝟒𝟖−𝟏𝟓

𝟔𝟓

=−𝟔𝟑

𝟔𝟓

28. B 𝑓(−2) = −1 𝑓(1) = 8

3

4

5

A 5

-12

√13

B


of 15

≫ 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 − 2)(𝑥2 + 1) + (𝑎𝑥 + 𝑏) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1) + (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑓(−2) = −2𝑎 + 𝑏 = −1 𝑓(1) = 𝑎 + 𝑏 = 8 _ −3𝑎 = 9 ≫ 𝑎 = 3, 𝑏 = 5 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 − 2)(𝑥2 + 1) + (3𝑥 + 5) = 𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥 − 2 + 3𝑥 + 5 = 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 + 4𝑥 + 3 29. D 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 + 𝑛 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 2 𝑓(2) = 𝑔(2) 16 − 12 + 4 + 𝑛 = 4 + 10 + 2 8 + 𝑛 = 16 𝑛 = 8 30. C 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑛𝑥 − 6 = 0 𝑓(−3) = −27 + 18 − 3𝑛 − 6 = 0 𝑛 = 5 ≫ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0 (𝑥 − 2)(𝑥2 + 4𝑥 + 3) = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = 0 𝑥 = 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 3 Jadi akar-akar yang lain x = -1 atau x = 2 31. D 𝑓(𝑥) habis dibagi x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) sehingga 𝑓(𝑥) habis dibagi (𝑥 − 1) → 𝑓(1) = 0 𝑓(𝑥) habis dibagi (𝑥 + 1) → 𝑓(−1) = 0 maka 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)

Sisa =(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

(2 + 1)(2 − 1) . 𝑓(2) +

(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)

(1 + 1)(1 − 2) . 𝑓(1) +

(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)

(−1 − 1)(−1 − 2) . 𝑓(−1)

= (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

(3)(1) . 𝑓(2) + 0 + 0

=1

3𝑓(2)(𝑥2 − 1)

32. D (α+ β) = - k / 4

(α . β) = 4

4= 1

32(α3 + β3) = 2 (α-1 + β-1) 32{( α + β) 3 – 3 α .β( α + β)} = 2 ( 1/α + 1/β) 16 {( α + β) 3 – 3 α .β( α + β)} = (α+ β) / (α . β) 16 { (-k/4) 3 – 3. 1. (-k/4) } = (-k/4) / 1 16 ( -k3/64 + 3k/4 ) = -k/4 -k3/4 + 12k = -k/4 x - 4 k3 - 48k = -k k3 - 49k = 0 k(k2 – 49) = 0


of 15

k ( k + 7 )( k – 7 ) = 0 k = 0 k= -7 k = 7 k = 0 tidak memenuhi k = -7 → k2 – k = (-7) 2 – (-7) = 56 k = 7 → k2 – k = 7 2 – 7 = 42 33. D x1 + x2 = 2p + 4 x1 . x2 = 3p + 4 rasio deret geometri :

r = 𝑥1

𝑃 =

𝑝

𝑥2

x1 . x2 = p2 3p + 4 = p2

p2 -3p - 4 = 0 (p - 4)( p + 1 ) = 0 p = 4 p = -1 o p = 4 .→ x2 – (2p +4)x + (3p+4) = 0 x2 – 12x + 16 = 0

x 1,2 = − (−12) ± √(−12)2 – 4.1.16)

2 .1

= 12 ± √80

2 = 6 ± 2√5

x 1,2 bukan bilangan bulat, tidak memenuhi o p = -1 → x2 – (2p +4)x + (3p+4) = 0 x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)( x – 1) = 0 x1 = 1 x2 =1

rasio = 𝑥1

𝑃 = -1 / 1 = -1

suku ke-12 = U1. rn-1 = 1 . (-1) 11 = -1 34. B 1

𝑝−

1

𝑝 − 1< 1

1

𝑝−

1

𝑝−1 - 1< 0

(p -1) - p - p(p – 1) < 0 p (p-1) p -1 – p – p2 + p < 0 p (p-1) – p2 + p - 1 < 0 p (p-1) – p2 + p - 1 memiliki D<0 definit poitif definit positif < 0 p (p-1) p = 0 atau p = 1

0 1


of 15

p < 0 atau p > 1 ( B ) 35. B Misal panjang = p = Y Keliling = 2 ( p + l ) 14 = 2 ( Y + l ) 7 = Y + l l = 7 – Y Luas < 12 p x l < 12 Y ( 7 – Y ) < 12 7y - y2 – 12 < 0 y2 - 7y + 12 > 0 ( y – 4 ) ( y – 3 ) > 0 y < 3 atau y > 4 36. C Ingat : | x | < a = -a < x < a | x | > a = x > a atau x < - a | |x| - x | ≤ 3 -3 ≤ |x| - x ≤ 3 (i) |x| - x ≤ 3 |x| ≤ 3 + x (|x|)2 ≤ ( 3 + x ) 2 x2 ≤ 9 + 6x + x2 - 6x ≤ 9 x ≥ - 3/2...... HP I (ii) -3 ≤ |x| - x |x| ≥ x – 3 semua bilangan riil akan memenuhi pertidaksamaan tersebut, karena berapapun nilai yang dimasukkan hasilnya pasti benar. HP II = x € R Penyelesaian : HP I ∩ HP II = x ≥ - 3/2 37. B Diketahui: a + b = 62 .... (i)

𝑎−11

𝑏= 2 a = 2b + 11 .... (ii)

Ditanya : a – b Jawab : (i) – (ii) a + b = 62 a – 2b= 11 - 3b =51 b =17 (i) a + b = 62 a + 17 = 62 a = 45


of 15

a – b = 45 – 17 = 28 38. D

Misal: 1

𝑥= 𝑝,

1

𝑦= 𝑞,

1

𝑧= 𝑟

3

𝑥+

4

𝑦+

5

𝑧= 4 3p + 4q + 5r =4 ................. (i)

5

𝑥−

6

𝑦+

1

𝑧=

17

30 5p – 6q + r =

17

30 .................. (ii)

6

𝑥+

1

𝑦−

3

𝑧=

21

20 6p + q – 3r =

21

20 .................. (iii)

Eliminasi r dari persamaan (i) – (ii) 3p + 4q + 5r =4 |x1| 3p + 4q + 5r =4

5p – 6q + r = 17

30 |x5| 25p – 30q +5r =

17

6 _

-22p + 34q = 7

6 ...................................... (iv)

Eliminasi r dari persamaan (i) – (iii) 3p + 4q + 5r =4 |x3| 9p + 12q + 15r =12

6p + q – 3r = 21

20 |x5| 30p + 5q – 15r =

21

4 +

39p + 17q = 69

4...................................... (v)

Eliminasi (iv) – (v)

-22p + 34q = 7

6 |x1| -22p + 34q =

7

6

39p + 17q = 69

4 |x2| 78p + 34q =

69

2 _

-100p = −200

6

P = 1

3

Substitusi p = 1

3 ke persamaan (v)

39p + 17q = 69

4

39(1

3) + 17q =

69

4

13 + 17q = 69

4

17q = 17

4

q = 1

4

Substitusi p = 1

3 dan q=

1

4 ke persamaan (i)

3p + 4q + 5r =4

3(1

3) + 4(

1

4) + 5r =4

1 + 1 + 5r = 4 5r =2

r = 2

5

Nilai p, q dan r dimasukkan ke permisalan awal (untuk mendapatkan x,y dan z) 1

𝑥= 𝑝 ↔

1

𝑥=

1

3 ↔ 𝑥 = 3

1

𝑦= 𝑞 ↔

1

𝑦=

1

4 ↔ 𝑦 = 4

1

𝑧= 𝑟 ↔

1

𝑧=

2

5 ↔ 𝑧 =

5

2


of 15

Jadi, HP = {(3, 4, 𝟓

𝟐)}

39. A Misal: RT0= rumah tangga tak memiliki anak RT1= rumah tangga memiliki 1 anak RT2= rumah tangga memiliki 2 anak RT3= rumah tangga memiliki 3 anak RT4= rumah tangga memiliki 4 anak RT5= rumah tangga memiliki 5 anak Diketahui: RT0=11 RT1= 6 + RT0 = 6 + 11= 17 RT4= RT5+ 2 RT3= RT4+ RT5= 2RT5+ 2 RT2=2 RT3=2(2RT5+ 2)= 4RT5+ 4 Ditanya= RT3+ RT4+ RT5

Jawab: RT0+RT1+ RT2+ RT3+ RT4+ RT5=100 11+17+4RT5+ 4+2RT5+ 2 +RT5+ 2+ RT5=100 8RT5+ 36 = 100 8RT5= 64 RT5= 8 RT3+ RT4+ RT5= 2RT5+ 2+ RT5+ 2+ RT5 = 4RT5+ 4 = 4 . 8 + 4 = 32 + 4 = 36 Jadi, jumlah rumah tangga yang akan diberi bantuan ada 36 rumah tangga. 40. B

lim𝑥→𝑜

𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑥2+2𝑥=lim

𝑥→𝑜

𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑥(𝑥−2)

=lim𝑥→𝑜

𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑥 . lim

𝑥→𝑜

1

𝑥+2 = ½

41. C Karena untuk x=4 penyebut nol,maka pembilang juga harus nol untuk x=4

𝑎𝑥 + 𝑏 − √𝑥 = 4𝑎 + 𝑏 − 2 = 0 → 𝑏 = 2 − 4𝑎

lim𝑥→4

𝑎𝑥+𝑏−√𝑥

𝑥−4= 3/4

lim𝑥→4

𝑎𝑥+2−4𝑎−√𝑥

𝑥−4= 3/4

lim𝑥→4

𝑎(𝑥−4)+2−√𝑥

𝑥−4= 3/4

lim𝑥→4

𝑎 +2−√𝑥

𝑥−4= 3/4

lim𝑥→4

𝑎 −√𝑥−2

(√𝑥−2)(√𝑥+2)= 3/4

lim𝑥→4

𝑎 −1

(√𝑥 + 2)=

3

4→ 𝑎 = 1


of 15

42. A

lim𝑥→0

𝑥(𝑐𝑜𝑠24𝑥−1)

(1−1

𝑐𝑜𝑠2(2𝑥))𝑠𝑖𝑛3𝑥

=lim𝑥→0

𝑥(−𝑠𝑖𝑛24𝑥)𝑐𝑜𝑠22𝑥

(𝑐𝑜𝑠22𝑥−1)𝑠𝑖𝑛3𝑥

=lim𝑥→0

−𝑥𝑠𝑖𝑛24𝑥𝑐𝑜𝑠22𝑥

(−𝑠𝑖𝑛22𝑥)𝑠𝑖𝑛3𝑥

=lim𝑥→0

𝑥

𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑠𝑖𝑛4𝑥

𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑠𝑖𝑛4𝑥

𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠22𝑥

=1

2.

4

2.

4

3𝑐𝑜𝑠20

= 4/3 43. D

lim𝑋→0

1

𝑎(

𝑠𝑖𝑛32𝑎

𝑐𝑜𝑠2𝑎+ 𝑠𝑖𝑛2𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑎)=lim

𝑋→0

1

𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑎(

𝑠𝑖𝑛22𝑎

𝑐𝑜𝑠2𝑎+ 𝑐𝑜𝑠2𝑎)

= lim𝑋→0

𝑠𝑖𝑛2𝑎

𝑎(𝑠𝑖𝑛22𝑎 + 𝑐𝑜𝑠22𝑎

𝑐𝑜𝑠2𝑎)

= lim𝑋→0

𝑠𝑖𝑛2𝑎

𝑎(

1

𝑐𝑜𝑠2𝑎)

= lim𝑋→0

𝑡𝑎𝑛2𝑎

𝑎 =2

44. B

lim𝑥→∞

[√𝑥2 + 2𝑥 − √𝑥2 − 3𝑥] =

lim𝑥→∞

[√𝑥2 + 2𝑥 − √𝑥2 − 3𝑥]√𝑥2 + 2𝑥 − √𝑥2 − 3𝑥

√𝑥2 + 2𝑥 − √𝑥2 − 3𝑥=

lim𝑥→∞

𝑥2 + 2𝑥 − (𝑥2 − 3𝑥)

√𝑥2 + 2𝑥 − √𝑥2 − 3𝑥=

lim𝑥→∞

5𝑥

√𝑥2+2𝑥−√𝑥2−3𝑥= 2,5

45. C

(𝑓

𝑔) (0) =

𝑓′(0)𝑔(0) − 𝑓(0)𝑔′(0)

[𝑔(0)]2

=(−3)(−4) − (8)(−7)

(−4)2

=12 + 56

16

=68

16

=𝟏𝟕

𝟒

46. A x + y = 8 x2.y2= maksimal x = 8 – y turunan pertama = 0 x2.y2= (8 – y )2y2

=(64 – 16y + y2) y2

=y4 - 16y3+64y2 Turunan pertama 4y3 – 48y2 + 128y


of 15

= 4y (y2 – 12y + 31) = 4y (y-8)(y-4) y = 0 ⋁ y = 8 ⋁ y = 4 jika y = 0 , x = 8 – y , x = 8 x2.y2= 82. 0 = 0 jika y = 8 , x = 8 – y , x = 0 x2.y2=0 . 82= 0 jika y = 4 , x = 8 – y , x = 4 x2.y2= 42. 42 = 256 maksimal x – y = 4 – 4 = 0 47. A y=(2x-1)2(x+2) 𝑑𝑦

𝑑2𝑥= turunan kedua = y”

y=(2x-1)2(x+2) y= (4x2 – 4x + 1) (x+2) y= 4x3 – 4x2 + x + 8x2 – 8x + 2 y= 4x3 + 4x2 - 7 x + 2 y’= 12x2 + 8x – 7 y”= 24x + 8 48. B f(x)=(3x-2) sin2 (2x-4) misal: u = (3x-2) v= sin2 (2x-4) u’ = 3 v’= 4 sin(2x-4)cos(2x-4) = 2 sin (4x-8) f’(x)= u’v + u v’ = 3(sin2 (2x-4)) + (3x – 2) (2 sin (4x-8)) = 3 sin2 (2x-4) + (6x-4)sin (4x-8) 49. C y=4x3-18x2+15x-20 stasioner y’ = 0 12x2 - 36x + 15=0 3(4x2 - 12x +5)=0 3(2x-1)(2x - 5)= 0

x= 1

2 ⋁ x=

5

2

nilai stasioner maksimal = f(x) =4x3-18x2+15x-20

f(1

2) =4(

1

2)3-18(

1

2)2+15(

1

2)-20

= 1

2 -

9

2 +

15

2 - 20

= −𝟑𝟑

𝟐

nilai stasioner minimal = f(x) =4x3-18x2+15x-20

f(5

2) =4(

5

2)3-18(

5

2)2+15(

5

2)-20

=125

2 - 225 +

75

2 -20

= −𝟔𝟓

𝟐

Jadi, nilai stasioner maksimalnya adalah −𝟑𝟑

𝟐 dan nilai stasioner minimalnya adalah−

𝟔𝟓

𝟐


of 15

50. A 3y-x + 5=0

𝑦 = 1

3𝑥 −

5

3

m1 = 1

3

⟘ m1 = m1’ m1’ = −1

𝑚

= -3 y=2x2 + 5x-7 m2= 4x + 5 y=2x2 + 5x-7 tegak lurus dengan 3y-x + 5=0 m2= m1’ 4x + 5 = -3 4x = -8 x = -2 y=2x2 + 5x-7 = 2(-2)2 + 5(-2)-7 = 8 – 10 – 7 = - 9 Persamaan garis singgung kurva y=2x2 + 5x-7 y – y1 = m2 (x – x1) y – (-9)= -3(x – (-2)) y + 9 = -3(x+2) y = -3x -6 -9 y = -3x -15 y + 3x + 15 = 0 51. B

f(x) =4𝑥2 −1

3𝑥2 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥

f ‘(x)= 2 . 4x – (−2)

3𝑥3 +2 (- sin x)

= 𝟖𝒙 +𝟐

𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙

52. C f(x)= cos3(6-2x) f ‘(x)= 3(-2) (-sin(6-2x))cos2(6-2x) = 6 sin(6-2x)cos(6-2x)cos(6-2x) = 3 sin (12-4x)cos (6-2x)

53. B ∫ (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)²𝑑𝑥=∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)dx =∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥)dx |ket: 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 =∫(1 + sin 2𝑥)𝑑𝑥 |sin2A = 2sinAcosA =𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 54. A F(x)=∫ 𝑓(𝑥)dx

=∫2𝑥3−3𝑥2+1

𝑥2 𝑑𝑥

=∫ 2𝑥 − 3 + 𝑥−2

=𝑥2 − 3𝑥 −1

𝑥


of 15

55. A

∫ 𝑥√𝑥2 + 11

0𝑑𝑥= misal u=(𝑥2 + 1)

=∫1

2𝑢1/2 𝑑𝑢 du=2x

=1

2

2

3(𝑢)3/2𝑑𝑢|

10

=1

3(𝑥2 + 1)3/2|

10

=1

3⌈(1 + 1)

3

2 − (02 + 1)3/2⌉

=2√2−1

3

56. A ∫ 𝑠𝑖𝑛4(𝑥)cos (𝑥)𝑑𝑥= missal g(x)=sinx

∫(𝑔(𝑥))4g′(𝑥)= g’(x)=cosx dx (𝑔(𝑥))5

5=

1

5𝑠𝑖𝑛5(𝑥) + 𝑐

57. C

∫(5𝑥2 + 1)√5𝑥3 + 3𝑥 − 2𝑑𝑥

=∫1

3𝑢1/2 𝑑𝑢 missal u=5𝑥3 + 3𝑥 − 2

=1

3

2

3(5𝑥3 + 3𝑥 − 2)3/2 du=15𝑥2 + 3

=2

9(5𝑥3 + 3𝑥 − 2)3/2

58. D

∫6℮1/𝑥

𝑥2 𝑑𝑥=−6 ∫ 𝑒4𝑑𝑢 missal u= 1/x

= −6𝑒𝑢 + 𝑐 du= −1

𝑥2 𝑑𝑥

=−6𝑒1/𝑥 + 𝑐 59. A ∫(𝑥2 − 3𝑥 + 2)2(2𝑥 − 3)𝑑𝑥= missal u=(𝑥2 − 3𝑥 + 2)

∫ 𝑢2𝑑𝑢=1

3𝑢3 =

1

3(𝑥2 − 3𝑥 + 2)3 du=2x-3

60. A

∫ 𝑥𝑒−𝑥2/2𝑑𝑥√2𝑙𝑛3

0=⌈−𝑒−𝑥2/2⌉√2𝑙𝑛3

0

= −𝑒2𝑙𝑛3

2 + 𝑒0 =𝑒𝑙𝑛3 + 1 = -1/3 +1 =2/3

pembahasan to matematika 2013

Documents