pembahasan un matematika program ipa · pdf filecreated by yowanacarya grup (...

Created by Yowanacarya Grup ( [email protected] )

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008

1. Diketahui premis ‐ premis :

(1) Jika hari hujan, maka udara dingin.

(2) Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat.

(3) Ibu tidak memakai baju hangat

Kesimpulan yang sah adalah …

A. Udara tidak dingin. B. Udara panas. C. Hari tidak hujan.

D. Hari berawan. E. Hari tidak hujan dan udara panas.

Jawaban :

Misalkan p mewakili pernyataan “hari hujan”, q mewakili pernyataan “udara

dingin”, dan r mewakili pernyataan “ibu memakai baju hangat”. Premis‐premis

pada soal dapat dinyatakan dengan :

1. ingat bahwa ~ ~

2. ingat bahwa ~ ~

3. ~ r

Perhatikan setiap premis mulai dari premis ketiga (~ r), kedua (~ ~ ), dan

pertama (~ ~ ). Terlihat dengan jelas terdapat suatu hubungan : ~ r, ~ ~ ,

~ ~ sehingga dapat ditarik suatu kesimpulan yaitu ~ atau “hari tidak

hujan”. Jadi jawabannya adalah C.

2. Ingkaran dari pernyataan “ Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap.”

adalah …

A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap

B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap

C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap

D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima

E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima


Jawaban :

Ingkaran atau negasi dari “ Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap”

adalah “ Semua bilangan prima bukan bilangan genap” sehingga jawabannya

adalah B.

3. Perbandingan umur Ali dan Badu 6 tahun yang lalu adalah 5 : 6. Hasil kali umur

keduanya sekarang adalah 1.512. Umur Ali sekarang adalah …

A. 30 tahun B. 35 tahun C. 36 tahun D. 38 tahun E. 42 tahun

Jawaban :

Misalkan usia Ali sekarang adalah A dan usia Badu adalah sekarang B.

Perbandingan usia Ali dan Badu 6 tahun yang lalu adalah 5 : 6 dapat dinyatakan

dengan (A ‐ 6) : ( B ‐ 6) = 5 : 6 A B

6 6 5 6

6A – 36 = 5B – 30

6A – 5B = 6 ……… (i)

Hasilkali usia mereka sekarang adalah 1.512 dapat dinyatakan dengan

A x B = 1.512 atau A = . ………..(ii)

Jika kita substitusikan (ii) ke (i) maka akan diperoleh

6 . . – 5B = 6 (kalikan kedua ruas dengan B)

6.1512 – 5B2 = 6B

5B2 + 6B – 9.072 = 0

(5B + 216) (B ‐ 42) = 0

atau 42

Karena usia bernilai positif maka B = 42, sehingga sesuai dengan (ii) usia Ali

adalah . 36.

Jadi jawabannya adalah C.


Cara lain :

Yang diketahui adalah hasilkali usia mereka sekarang 1.512. Perhatikan pilihan

jawaban A (30 tahun) dan B (35 tahun). Apabila usia Ali 30 ataupun 35 (bilangan

satuannya adalah 0 dan 5) dikalikan dengan bilangan bulat berapapun tidak akan

menghasikan 1.512 sehingga pilihan A dan B bukan jawaban yang benar.

Perhatikan juga pilihan D dan E. Seandainya usia Ali 38 tahun (D) ataupun 42

tahun (E), jika dikurangi dengan 6 maka akan diperoleh 32 dan 36, keduanya

tidak habis dibagi 5 (ingat perbandingan usia Ali dan Badu, 6 tahun yang lalu

adalah 5 : 6) sehingga D dan E juga bukan jawaban yang benar. Jadi jawaban yang

tersisa adalah jawaban yang benar yaitu C.

4. Persamaan grafik fungsi kuadrat dengan puncak 1 , 10 dan melalui (1,‐9)

adalah …

A. y = x2 – 2x – 4

B. y = 2x2 – 7x – 4

C. y = 2x2 + 4x – 7

D. y = x2 – 7x – 4

E. y = 4x2 – 2x ‐ 11

Jawaban :

Grafik fungsi kuadrat melalui (1,‐9) dan puncaknya 1 , 10 . Ini berarti jika

kita substitusikan x = 1 ke persamaan grafik fungsi kuadrat maka akan diperoleh

y = ‐9, selain itu nilai absis titik puncak : 1 . Untuk menentukan jawaban

soal ini kita gunakan cara mencoba‐coba (trial and error). Kita substitusikan nilai

absis (x = 1) untuk mengetahui nilai ordinat (y) pada tiap‐tiap pilihan jawaban,

dan kita cari nilai pada tiap‐tiap pilihan jawaban.


Pilihan substitusikan x = 1 Nilai

A. y = 12 – 2.1 – 4= ‐5 ; salah tak perlu dicoba

B. y = 2.12 – 7.1 – 4= ‐9 1 ; benar

C. y = 2.12 + 4.1 – 7= ‐1 ; salah tak perlu dicoba

D. y = 12 – 7.1 – 4= ‐10 ; salah tak perlu dicoba

E. y = 4.12 – 2.1 ‐ 11 = ‐9 ; salah

Jadi jawabannya adalah B.

5. Diketahui persamaan matriks 41

23

1 33 4

0 11 0

Nilai a + b + c + d = …

A. ‐ 7 B. ‐ 5 C. 1 D. 3 E. 7

Jawaban :

Perhatikan elemen‐elemen yang bersesuaian pada persamaan matriks berikut!

41

23

1 33 4

0 11 0

3 14 3

a + 2 = ‐ 3 a = ‐5, 4 + b = 1 b = ‐ 3, c – 3 = 3 c = 6, dan ‐1 + d = 4 d = 5,

sehingga a + b + c + d = ‐ 5 ‐ 3 + 6 + 5 = 3. Jadi jawabannya adalah D.

6. Diketahui matriks A = 1 32 4 dan B 3 4

1 2 . Nilai determinan dari (AB)‐1

adalah …

A. 205

− B. 201

− C. 201 D.

205 E. 20

Jawaban :

Perhatikan bahwa AB = 1 32 4 3 4

1 26 2

10 0 sehingga

(AB)‐1 = . .

0 210 6

0. | | 0. . .



7. Diketahui suku ke‐3 dan suku ke‐6 suatu deret aritmetika berturut‐turut adalah 8

dan 17. Jumlah delapan suku pertama deret tersebut sama dengan ...

A. 100 B. 110 C. 140 D. 160 E. 180

Jawaban :

Diketahui U3 dan U6 suatu deret aritmetika berturut‐turut adalah 8 dan 17. Kita

tentukan suku awal dan beda dari deret tersebut terlebih dulu.

U6 = a + 5b = 17

U3 = a + 2b = 8 ‐

3b = 9 atau b = 3

Jika b = 3 maka a = 2. Ingat kembali bahwa S 2a n 1 b sehingga

S 2.2 8 1 3 4 4 21 100.

Jadi jawaban yang benar adalah A.

Cara lain :

Kita akan menyelesaikan soal dengan cara yang lebih singkat. Jika U3 dan U6

berturut‐turut adalah 8 dan 17 maka beda (b) = U U 3. Karena beda

sudah diketahui maka delapan suku pertama dapat dengan mudah ditentukan

dengan berpedoman pada fakta bahwa U3 dan U6 berturut‐turut adalah 8 dan 17.

Jumlah delapan suku pertama adalah :

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 = 100.

Jadi jawabannya adalah A.

8. Seorang pedagang kaki lima meminjam uang pada koperasi pasar sebesar Rp

880.000,00. Pada bulan pertama ia harus membayar Rp 25.000,00, bulan ke‐2 harus

membayar Rp 27.000,00, bulan ke‐3 harus membayar Rp 29.000,00 demikian

seterusnya. Pinjaman pedagang tersebut akan lunas selama …

A. 44 bulan B. 40 bulan C. 24 bulan D. 22 bulan E. 20 bulan


Jawaban :

Diketahui Sn = 880.000, a = 25.000, dan b = 2.000. Yang ditanyakan adalah n. Ini

menyangkut jumlah n suku dari suatu deret aritmatika sehingga berlaku :

Sn = ( 2a + (n‐1)b ) atau

880.000 = (50.000 + (n‐1)2.000) (kalikan kedua ruas dengan 2)

1.760.000 = n( 50.000 + 2.000n – 2.000)

1.760.000 = n( 48.000 + 2.000n)

1.760.000 = 48.000n + 2.000n2

2.000n2 + 48.000n ‐ 1.760.000 = 0 (disederhanakan)

2n2 + 48n ‐ 1.760 = 0

2 (n + 44)(n ‐ 20) = 0

Nilai n yang memenuhi adalah n = 20.

Jadi jawabannya adalah E.

9. Diketahui suku kedua dan suku keenam suatu deret geometri dengan suku

positif berturut‐turut adalah 6 dan 96. Jumlah lima suku pertama deret tersebut

adalah …

A. 72 B. 93 C. 96 D. 151 E. 160

Jawaban :

Diketahui U2 dan U6 berturut‐turut adalah 6 dan 96. Kita tentukan suku awal dan

rasio deret tersebut terlebih dulu.

16 sehingga √16 2 dan a = 3.

3 2 12 1

3 32 11 3 31 93

Jadi jawabannya adalah B


Cara lain :

Kita akan menyelesaikan soal deret geometri berikut ini tanpa rumus. Jika U2 dan

U6 berturut‐turut adalah 6 dan 96 maka : rasio (r) = UU √16 2,

karena rasio deret tersebut sudah diketahui maka lima suku pertama mudah

ditentukan dengan mengingat bahwa U2 = 6.

Jumlah lima suku pertamanya adalah 3 + 6 + 12 + 24 + 48= 93. Jawabannya B.

10. Hasil dari √12 √27 √3 adalah …

A. 6 B. 4 3 C. 5 3 D. 6 3 E. 12 3

Jawaban :

√12 √27 √3 √4.3 √9.3 √3 2√3 3√3 √3 4√3. Jawabannya B.

11. Diketahui 2 log 7 dan 2 log 3 = , maka nilai dari 6 log 14 adalah …

A. ba

a+ B.

baa++1 C.

11

++

ba D. ( )ba

a+1

E. ( )baa++

11

Jawaban :

Diketahui bahwa 2 log 7 dan 2 log 3 = .

6 log 14 =

. .

= .

Jawabannya adalah C.

12. Fungsi f : R → R didefinisikan dengan , . Invers dari fungsi

f(x) adalah f ‐ 1(x) = …

A. 22 3 ,

32

B. 22 3 ,

32

C. 23 2 , 3

2

D. 22 3 ,

32

E. 22 3 ,

32


Jawaban :

Jika maka .

Jika , maka , .

Jadi jawabannya adalah D.

13. Bila x1 dan x2 penyelesaian dari persamaan 22x – 6.2x + 1 + 32 = 0 dengan x1 > x2,

maka nilai dari 2x1 + x2 = …

A. 41 B.

21 C. 4 D. 8 E. 16

Jawaban :

Perhatikan bahwa :

22x ‐ 6.2x+1 + 32 = (2x)2 – 12(2x) + 32 = (2x ‐ 8)( 2x ‐ 4) = 0

Penyelesaiannya adalah x1 = 3 dan x2 = 2 ( ingat x1 > x2).

Nilai dari 2x1 + x2 = 8. Jadi jawabannya adalah D.

14. Himpunan penyelesaian dari adalah …

A. {x|x < ‐ 3 atau x > 1}

B. {x|x < ‐ 1 atau x > 3}

C. {x|x < 1 atau x > 3}

D. {x|‐ 1 < x < 3 }

E. {x|‐ 3 < x < 1 }

Jawaban :

Diketahui pertidaksamaan Karena bilangan pokoknya

kurangdari 1 maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut harus memenuhi

hubungan :

3 5 2 2 3 0 3 1 0


Pembuat nol pertidaksamaan tersebut adalah x = 3 atau x = ‐1 sehingga diperoleh

tiga interval yaitu x < ‐1, ‐1 < x < 3, dan x > 3.

interval titik uji Nilai 3 1

x < ‐1 x = ‐2 (‐2 ‐3)(‐2 + 1) = 5 > 0

‐1 < x < 3 x = 0 (0 ‐ 3)(0 + 1) = ‐3 < 0

x > 3 x = 4 (4 ‐ 3)(4 + 1) = 5 > 0

Jadi jawaban yang benar adalah B yaitu {x| x < ‐1 atau x > 3}.

Cara lain :

Untuk menentukan solusi dari pertidaksamaan tersebut kita gunakan cara

mencoba‐coba (trial and error). Pilihan jawaban C, D, dan E memuat x = 0. Jika

kita substitusikan x = 0 ke pertidaksamaan maka akan diperoleh

(pertidaksamaan bernilai salah). Ini berarti C, D, dan E salah. Pilihan A

memuat x = 2, sedangkan pilihan B tidak. Jika kita substitusikan x = 2 ke

pertidaksamaan akan diperoleh (pertidaksamaan bernilai

salah). Ini berarti A salah. Yang tersisa pilihan B. Jadi jawabannya adalah B.

15. Akar‐akar dari 3 log2 x 3. log x 2 log 1 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = …

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 E. 12

Jawaban : Akar‐akar dari 3 log2 x 3. log x 2 log x 2 log x 1 0

adalah x1 = 9 dan x2 = 3, sehingga x1 + x2 = 9 + 3 = 12. Jadi jawabannya adalah E.

16. Persamaan garis singgung di titik (‐3,1) pada lingkaran x2 + y2 = 10 adalah …

A. y = 3x – 10

B. y = 3x + 10

C. y = ‐3x – 10

D. y = ‐3x + 10

E. y = x + 10


Jawaban :

Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada lingkaran x2+y2 = R2 adalah :

x.x1 + y.y1 = R2.

Berdasarkan kenyataan tersebut persamaan garis singgung di titik (‐3,1) pada

lingkaran x2 + y2 = 10 adalah :

x.(‐3) + y.1 = 10 ⇔ y = 3x +10. Jadi jawaban yang benar adalah B.

Cara lain :

Garis singgung yang dicari melalui (‐3,1). Ini berarti jika kita substitusikan nilai

absis (x = ‐ 3) ke tiap‐tiap pilihan jawaban maka pilihan jawaban yang

menghasilkan ordinat (y) samadengan 1 adalah jawaban yang benar. Selanjutnya

kita substitusikan x = ‐3 ke tiap‐tiap pilihan jawaban.

A y = 3(‐3) – 10 = ‐19 ; salah

B y = 3(‐3) + 10 = 1 ; benar

C y = ‐3(‐3) – 10 = ‐1 ; salah

D y = ‐3(‐3) + 10 = 19 ; salah

E y = (‐3) + 10 ; salah

17. Salah satu faktor suku banyak P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 adalah …

A. (x + 1) B. (x ‐ 1) C. (x ‐ 2) D. (x ‐ 4) E. (x ‐ 8)

Jawaban : Jika (x ‐ a) adalah faktor dari P(x) maka P(a) = 0.

pilihan Substitusikan nilai a ke P(x)

A. (x + 1) a = ‐1 P(‐1) = (‐1)3 – 11(‐1)2 + 30(‐1) – 8 = ‐50

B. (x ‐ 1) a = 1 P(1) = (1)3 – 11(1)2 + 30(1) – 8 = 12

C. (x ‐ 2) a = 2 P(2) = (2)3 – 11(2)2 + 30(2) – 8 = 16

D. (x ‐ 4) a = 4 P(4) = (4)3 – 11(4)2 + 30(4) – 8 = 0

E. (x ‐ 8) a = 8 P(8) = (8)3 – 11(8)2 + 30(8) – 8 = 40



18. Pada toko buku “Murah”, Adil membeli 4 buku, 2 pulpen, dan 3 pensil dengan

harga Rp 26.000,00. Bima membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga

Rp 21.500,00. Citra membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp 12.500,00. Jika

Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka ia harus membayar …

A. Rp 5.000,00

B. Rp 6.500,00

C. Rp 10.000,00

D. Rp 11.000,00

E. Rp 13.000,00

Jawaban :

Misalkan harga sebuah buku, sebuah pulpen, dan sebuah pensil berturut‐turut

adalah x, y, dan z rupiah. Adil membeli 4 buku, 2 pulpen, dan 3 pensil dengan

harga Rp 26.000 dapat dinyatakan dengan 4x + 2y + 3z = 26.000…….(1). Bima

membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga Rp 21.500 dapat dinyatakan

dengan 3x + 3y + z = 21.500………(2). Citra membeli 3 buku dan 1 pensil dengan

harga Rp 12.500 dapat dinyatakan dengan 3x + z = 12.500…….(3).

Dari persamaan kedua dan ketiga diperoleh

3x + 3y + z = 21.500

3x + z = 12.500 –

3 y = 9.000 atau y = 3.000

Jika nilai y disubstitusikan ke persamaan pertama maka akan diperoleh :

4x + 2.(3.000) + 3z = 26.000 ⇔ 4x + 3z = 20.000……..(4)

Dari persamaan keempat dan persamaan ketiga diperoleh

3x + z = 12.500 |x 3| 9x + 3z = 37.500

4 x + 3z = 20.000 |x 1| 4x + 3z = 20.000 ‐

5x = 17.500 atau x = 3.500


Jika nilai x disubstitusikan ke persamaan 3x + z = 12.500 maka akan diperoleh

3(3.500) + z = 12.500 ⇔ z = 2.000. Dapat disimpulkan bahwa harga sebuah buku,

sebuah pulpen, dan sebuah pensil berturut‐turut adalah Rp 3.500, Rp 3.000, dan

Rp 2.000 sehingga harga 2 pulpen dan 2 pensil adalah Rp 10.000. Jawabannya C.

19. Nilai minimum f(x,y) = 2x + 5y dari daerah yang diarsir adalah …

A. 12

B. 24

C. 27

D. 30

E. 60

Jawaban :

Ruas garis yang melalui (a,0) dan (0,b) adalah bx + ay = ab. Ruas garis yang

melalui (8,0) dan (0,12) adalah 12x + 8y = 96 ⇔ 3x + 2y = 24, sedangkan ruas garis

yang melalui (12,0) dan (0,6) adalah 6x + 12y = 72 ⇔ x + 2y = 12.

3x + 2y = 24

x + 2y = 12 ‐

2x = 12 atau x = 6.

Apabila nilai x = 6 disubstitusikan ke persamaan x + 2y = 12 maka akan diperoleh

nilai y = 3 sehingga dapat disimpulkan kedua garis tersebut berpotongan di (6, 3).

Selanjutnya perhatikan tabel berikut!

titik f(x,y) = 2x + 5y

(12,0) f(x,y) = 2.12 + 5.0 = 24 ; minimum

(0,12) f(x,y) = 2.0 + 5.12 = 60

(6, 3) f(x,y) = 2.6 + 5.3 = 27



20. Pada tanah seluas 24.000 m2 dibangun perumahan dengan dua tipe. Tipe A

dengan luas 150 m2 dan tipe B dengan luas 100 m2. Jumlah rumah yang dibangun

tidak lebih dari 200 unit. Jika laba untuk setiap rumah tipe A Rp 4.000.000,00 dan

setiap rumah tipe B Rp 3.000.000,00, maka laba maksimum yang dapat diperoleh

adalah …

A. Rp 600.000.000,00

B. Rp 640.000.000,00

C. Rp 680.000.000,00

D. Rp 720.000.000,00

E. Rp 800.000.000,00

Jawaban :

Misalkan banyaknya rumah tipe A adalah x dan banyaknya rumah tipe B adalah

y. Luas sebuah rumah tipe A adalah 150 m2 dan luas sebuah rumah tipe B adalah

100 m2, sedangkan tanah yang tersedia adalah 24.000 m2, hal ini berarti 150x +

100y ≤ 24.000. Banyak rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 200 buah , ini

berarti x + y ≤ 200. Karena banyaknya rumah merupakan bilangan non negatif

maka x ≥ 0 dan y ≥ 0. Yang dicari adalah nilai maksimum dari Z = 4.000.000x +

3.000.000y. Daerah penyelesaian dari masalah ini dapat disajikan dalam gambar

berikut.


Selanjutnya perhatikan tabel berikut!

Nilai maksimum Z adalah 680.000.000. Jadi jawabannya adalah C.

21. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj ‐ 3k, maka nilai x yang

memenuhi adalah …

A. ‐2 atau 6 B. ‐3 atau 4 C. ‐4 atau 3 D. ‐6 atau 2 E. 2 atau 6

Jawaban :

Vektor a akan tegak lurus vektor b apabila a.b = 0.

Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj ‐ 3k maka :

(x.2x) + (– 4.2x) + (8.‐3) = 2x2 ‐ 8x ‐ 24 = (2x ‐ 12)(x + 2) = 0. Nilai x yang memenuhi

adalah ‐2 atau 6. Jadi jawabannya adalah A.

22. Diketahui vektor a = 234 dan b 0

3. Jika panjang proyeksi vektor a pada b

adalah , maka salah satu nilai x adalah …

A. 6 B. 4 C. 2 D. ‐4 E. ‐6

Jawaban :

Misalkan proyeksi a pada b adalah c maka | | .| |

45

2. 3.0 4.3√ 0 3

45

2 0 12√ 3

4. 3 5. 12 2

16 9 25 144 48x 4x

16 144 3600 1200x 100x

titik Z = 4.000.000X + 3.000.000Y

(160,0) Z = 4.000.000 x 160 + 3.000.000 x 0 = 640.000.000

(0,200) Z = 4.000.000 x 0 + 3.000.000 x 200 = 600.000.000

(80, 120) Z = 4.000.000 x 80 + 3.000.000 x 120 = 680.000.000


84x 1200x 3456 0

7x 100x 288 0

(7x ‐ 72)(x ‐ 4) = 0

Nilai x yang memenuhi adalah 4 dan . Jadi jawabannya B.

23. Persamaan bayangan garis 3x + 2y – 4 = 0 karena rotasi dengan sudut pusat O

(0,0) sebesar adalah …

A. ‐2x + 3y + 4 = 0

B. 2x ‐ 3y + 4 = 0

C. 2x + 3y ‐ 4 = 0

D. 3x ‐ 2y ‐ 4 = 0

E. ‐3x + 2y ‐ 4 = 0

Jawaban :

Matriks transformasi untuk rotasi sebesar dengan pusat O adalah

cos sin

sin cos 0 11 0 ; 0 1

1 0 sehingga x y’ dan y x’.

Selanjutnya substitusikan nilai x = y’dan y = ‐ x’ ke persamaan 3x + 2y – 4 = 0.

3y’ + 2(‐ x’) – 4 = 0 ⇔ 3y’ ‐ 2x’ – 4 = 0 ⇔ 2x ‐ 3y + 4 = 0. Jadi jawabannya adalah B.

24. Lingkaran 1 2 16 ditransformasikan oleh matriks 0 11 0

dan dilanjutkan oleh matriks 1 00 1 . Persamaan bayangan lingkaran tersebut

adalah …

A. x2 + y2 ‐ 4x ‐ 2y – 11 = 0

B. x2 + y2 + 4x ‐ 2y – 11 = 0

C. x2 + y2 ‐ 2x ‐ 4y – 11 = 0

D. x2 + y2 + 2x ‐ 2y – 11 = 0

E. x2 + y2 + 4x + 2y – 11 = 0


Jawaban :

Diketahui bahwa lingkaran 1 2 16 ditransformasikan oleh

matriks 0 11 0 kemudian dilanjutkan oleh matriks 1 0

0 1 .

1 00 1

0 11 0 sehingga x = y’ dan y = ‐ x’.

Selanjutnya substitusikan nilai x = y’dan y = ‐ x’ ke persamaan lingkaran.

(x + 1)2 + (y ‐ 2)2 = 16 ⇔ ((y’) + 1)2 + ((‐ x’) ‐ 2)2 = 16

⇔ y’2 + 2y’ + 1 + x’2 + 4x’ + 4 – 16 = 0

⇔ y’2 + 2y’ + x’2 + 4x’ – 11 = 0

⇔ x2 + y2 + 4x + 2y – 11 = 0


25. Diketahui limas segi empat beraturan T. ABCD. Jika panjang AB = 10 cm dan

TA = 5√3 cm, maka nilai tangen sudut antara garis TA dengan bidang ABCD

adalah …

A. 13 cm B. 12 cm C. 13 3 cm D. 12√2 cm E. 12 6 cm

Jawaban :

Misalkan diagonal alas AC dan BD berpotongan di E maka

AE = √ √10 10 √200

5√2 cm. Perhatikan ΔAET di sebelah! Dengan

menggunakan teorema Phytagoras diperoleh

√ 5√3 5√2 √75 50

√25 5.

Jika sudut antara TA dengan bidang alas ABCD dimisalkan β maka

tan β = √

√2. Jadi jawabannya adalah D.

A

T

Eβ


26. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H ke garis

AC adalah …

A. 8 3 cm B. 8√2 cm C. 4 6 cm D. 4 3 cm E. 4√2 cm

Jawaban :

Jika kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 8 cm maka

diagonal sisi AC = BD = 8√2 cm. Tarik garis dari H ke titik

tengah diagonal AC, misalkan garis tersebut memotong AC

di X. Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat

dihitung panjang HX.

HX2 = DH2 + ( )2 = 82 + ( 8√2)2 = 64 + 32 = 96 sehingga HX = √96 4√6.


27. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x0 + 7 sin x0 + 3 = 0, 0 ≤ x ≤ 360

adalah …

A. {0, 90} B. {90, 270} C. {30, 130} D. {210, 330} E. {180, 360}

Jawaban :

Perhatikan bahwa cos 2x 0 = 1 – 2 sehingga

cos 2x 0 + 7 sin x0 + 3 = 0 ⇔ 1 – 2 + 7 sin x0 + 3 = 0

⇔ ‐ 2 + 7 sin x0 + 4 = 0

⇔ 2 ‐ 7 sin x0 ‐ 4 = 0

⇔ (2 sin x0 + 1)( sin x0 ‐ 4) = 0

sin x0 = atau sin x0 = 4 (tidak mungkin)

Nilai‐nilai x yang memenuhi adalah 2100 dan 3300 sehingga jawaban yang benar

adalah D.

H

A X CD

B


Cara lain :

Kita gunakan cara mencoba‐coba (trial and error) dengan melakukan substitusi

tiap‐tiap nilai pada pilihan jawaban ke persamaan cos 2x0 + 7 sin x0 + 3 = 0.

pilihan substitusikan pilihan

A. (0, 90) cos 2.00 + 7 sin 00 + 3 = 4 0 ; salah

B. (90,270) cos 2.900 + 7 sin 900 + 3 = 10 0 ; salah

C. (30,130) cos 2.300 + 7 sin 300 + 3 = 7 0 ; salah

D. (210,330) cos 2.2100 + 7sin 2100 + 3 = 0

cos 2.3300 + 7sin 3300 +3 = 0

E. (180,360) cos 2.1800 + 7 sin 1800 + 3 = 4 0 ; salah


28. Nilai sin 1050 + sin 150 adalah …

A. 621 B. 3

21 C. 2

21 D.

21 E. 6

31

Jawaban :

Ingat bahwa sin 1050 + sin 150 = 2 sin (1050 + 150) cos (1050 ‐ 150)

= 2 sin (600).cos (450)

= 2.√ . √

= √6


29. Jika tan α = 1 dan tan β = dengan α dan β sudut lancip, maka sin ( α ‐ β ) = …

A. 532 B. 5

51 C.

21 D.

52 E.

51

Jawaban :

Perhatikan secara seksama gambar segitiga‐segitiga di bawah!


Jika tan 1 sudut lancip maka sin √2 dan cos √2.

Jika tan β sudut lancip maka sin √10 dan cos √10.

sin sin cos cos sin

√2. √10 √2. √10

12√2

310√10

110√10

15√5


30. Diketahui ΔPQR dengan PQ = 464√2 m, ∠PQR = 1050 , dan ∠RPQ = 300. Panjang

QR adalah …

A. 464 3 m B. 464 m C. 332√2 m D. 232√2 m E. 232 m

Jawaban :

Jika pada Δ PQR diketahui PQ = 464√2 m, ∠PQR = 1050,dan ∠RPQ = 300 maka

∠PRQ = 1800 ‐ 1050 ‐ 300 = 450. Selanjutnya gunakan aturan sinus pada ΔPQR.

⇔ 464√212√2

12

√

√

QR 464 m. Jadi jawabannya adalah B.

A

C

α

1

1

√2

A

C

β

1

3

√10

B

Q

R P

464√2 1050

450 300


31. Nilai dari ...24

lim3

2=

−−

→ xxx

x

A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 E. 2

Jawaban :

Perhatikan penyelesaian berikut!

( )( ) ( ) ( ) 81

2221

2lim)2(

22lim2

4lim

22

3

2=

+=

+=

−−+

=−−

→→→

xxx

xxxx

xxxxx

.


32. Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f’(x), maka nilai

f’(3) = …

A. 85 B. 101 C. 112 D. 115 E. 125

Jawaban :

Jika f(x) = 3x3 + 4x + 8 maka f’(x) = 9x2 + 4. Nilai f’(3) = 9.32 + 4 = 85.


33. Sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi, mempunyai volume 4

m3 terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin,

maka ukuran panjang, lebar, dan tinggi kotak berturut‐turut adalah …

A. 2 m, 1 m, 2 m

B. 2 m, 2 m, 1 m

C. 1 m, 2 m, 2 m

D. 4 m, 1 m, 1 m

E. 1 m, 1 m, 4 m

Jawaban :

Diketahui bahwa sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi dan

memiliki volume 4 m3. Misalkan panjang sisi alas adalah s, tinggi kotak adalah t,

dan luas permukaan kotak tanpa tutup tersebut L.Volume(4) = s2.t atau .


4

44

16

Agar L minimum maka haruslah L’ = 0

2 16

0 2 16

0 2 16

2 16 atau s = 2

Jika s = 2 m maka t = 1 m, sehingga ukuran panjang, lebar, dan tinggi kotak adalah

2 m, 2 m, 1 m. Jadi jawabannya adalah B.

34. Turunan pertama dari y = cos (2x + 1) adalah y’ = …

A. ‐ sin (2x + 1)

B. ‐ 2 sin (2x + 1)

C. sin (2x + 1)

D. sin (2x + 1)

E. 2 sin (2x + 1)

Jawaban :

Jika y = cos ( 2x + 1 ) maka y’= ‐ sin ( 2x + 1 ).2 = ‐ 2 sin (2x + 1).


35. Hasil dari cos

A. 13

3 D. 13

3

B. 13 E. 3

C. 13


Jawaban :

Perhatikan bahwa cos sin .


36. Hasil dari √ 3

A. 56 12 B. 58 12 C. 60 12 D. 62 12 E. 64 12

Jawaban :

Perhatikan bahwa √ 3 6 9

6 9 2 4 9 |

42 4. 4 9.4

12 4. 1 9.1

8 32 3612 4 9

6212.


37. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = ‐ x2 + 4x, sumbu x, garis x = 1, dan garis

x = 3 adalah …

A. 3 23 satuan luas

B. 5 satuan luas

C. 7 13 satuan luas

D. 9 satuan luas

E. 10 satuan luas

Jawaban :

Daerah yang dibatasi kurva y = ‐x2 + 4x, sumbu x, garis x = 1, dan garis x = 3 dapat

dilihat pada gambar berikut. Jika luas daerah tersebut kita misalkan L maka :


L = 2 431

= ‐ 2 |

= 9 18 13 2

= 9 53

=

= 7 satuan luas

Jadi jawaban yang benar adalah C.

38. Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 3, sumbu x, dan garis x = 3 diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah …

A. 36π satuan volume

B. 54 π satuan volume

C. 63 π satuan volume

D. 72 π satuan volume

E. 81 π satuan volume

Jawaban :

Garis y = x + 3 memotong sumbu x di titik (‐3,0). Apabila daerah yang dibatasi

garis y = x + 3, sumbu x, dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600

maka volume benda putar yang terjadi (V) adalah

3

6 9

13 3 9

13 3 3. 3 9.3

13 3 3 3 9. 3

63 9 = 72 satuan volume. Jadi jawabannya adalah D.


Cara lain :

Jika daerah yang dibatasi garis y = x + 3, sumbu x, dan garis x = 3 diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 3600 maka benda putar yang tercipta adalah sebuah

kerucut dengan jari‐jari alas 6 satuan dan tinggi 6 satuan. Volume kerucut

tersebut adalah 6 . 6 72 satuan volume.

39. Dua buah dadu dilempar undi secara bersamaan sebanyak satu kali. Peluang

kejadian muncul jumlah mata dadu 9 atau 11 adalah …

A. 21 B.

41 C.

61 D.

81 E.

121

Jawaban :

Kejadian munculnya jumlah mata dadu 9 ( kita misalkan N ) adalah N = { (3,6),

(6,3), (4,5), (5,4) }, sedangkan kejadian munculnya jumlah mata dadu 11 (kita

misalkan M) adalah M = { (5,6), (6,5)}. Banyaknya anggota ruang sampel pada

pelemparan dua buah dadu adalah 36, sehingga peluang kejadian munculnya

jumlah mata dadu 9 atau 11 adalah .


40. Kuartil atas dari data pada tabel di bawah ini adalah …

A. 167 B. 167,5 C. 168 D. 168,5 E. 169

Tinggi badan (cm) f

151 ‐ 155 4

156 – 160 7

161 – 165 12

166 – 170 10

171 ‐ 175 7


Jawaban :

Perhatikan distribusi frekuensi berikut ini!

Tinggi (cm) f fk

151 ‐ 155 4 4

156 ‐ 160 7 11

161 ‐ 165 12 23

166 ‐ 170 10 33

171 ‐ 175 7 40

n 30, Q3 terdapat di interval (166 ‐ 170)

Tepi bawah adalah interval (166 ‐ 170) adalah L 166 0,5 165,5 ,

f 23, fQ 10, dan p 5.

Q3 = L

Q. p

165,5 30 2310 . 5

165,5 3,5

169.


pembahasan un matematika program ipa · pdf filecreated by yowanacarya grup (...

Documents