soal dan pembahasan matematika osn tk.pdf

5/19/2018 SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA OSN TK.pdf

1/13

DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA OSN TK.

PROPINSI 2003

SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP

OLIMPIADE SAINS NASIONAL TINGKAT PROPINSI

TAHUN 2003

Terima kasih kepada Mas Saipul Arif, S.Pd rekan seprofesi di Jawa Timur yang telah mengirimkansoal-soal OSN ini mudah-mudahan apa yang saya tulis ulang ini tidak ada kesalahan redaksipenulisan yang mengubah esensi soal tersebut. Pembahasan ini salah satu sarana penulis dalambelajar matematika dan didaktik matematika, yang mudah-mudahan dapat memberikan sedikit

manfaat bagi siswa yang belum pernah mengikuti OSN di masa mendatang.

Soal OSN tingkat Propinsi ini berbentuk Uraian dengan tingkat kesukaran , mudah, sedang, danada yang sukar untuk siswa SMP.

Berikut 10 soal Isian singkat dan 5 soal uraian, Selamat mencoba dan semoga terinspirasi.

A. SOAL ISIAN SINGKAT

1.

Soal no. 1 mudah sebagai stimulator anda berpikir, operasi pengurangan bilangan pecahan.

2. Suatu botol dengan kapasitas 875 mililiter digunakan untuk mengisikan minyak kedalamsuatu jerigen

berkapasitas 20 liter. Berapa kalikah botol tersebut digunakan untuk membuat penuh

sebuah jerigen kosong ?

Jawab :

Soal ini sama dengan 20 liter minyak diisikan ke dalam sejumlah botol yang volumnya 875 ml,

SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA OSN TK. PROPINSI ... http://deni11math.wordpress.com/2010/12/22/soal-dan-pembahasan-m...

1 of 13 13/10/2014 14:47
http://deni11math.wordpress.com/2010/12/22/soal-dan-pembahasan-m..http://deni11math.wordpress.com/2010/12/22/soal-dan-pembahasan-m..


2/13

berapa jumlah botol yang dapat terisi ?

Jadi, 23 kali botol tersebut digunakan agar jerigen terisi penuh.

3. Titik-titik sudut suatu segitiga memiliki koordinat (0,0) , (4,3) dan (7, -1), Maka luas segitiga

tersebut adalah .

Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

Cara I :

Dengan Aksioma Penjumlahan Luas

Buatlah sketsa gambar titik-titik O(0,0), A(4,3), dan C(7, -1) pada bidang Kartesius ,

dan bentuk persegipanjang BCDE seperti berikut :

Cara II :

Buatlah sketsa gambar titik-titik O(0,0), A(4,3), dan C(7, -1) pada bidang Kartesius :


2 of 13 13/10/2014 14:47


3/13

Untuk dapat menghitung luas segitiga, harus diketahui panjang alas dan tinggi yang saling tegak

lurus, tetapi kita periksa terlebih dahulu segitiga OAB tersebut.

Gradien segmen garis OA atau m OA = 3/4 , sedangkan m AB = (- 1-3)/(7- 4) = -4/3.

Karena m OA x m AB = -1 , maka garis OA tegak lurus AB, sehingga segitiga OAB siku-siku di A.

Jadi, luas segitiga OAB = 1/2 x OA x AB = 1/2 x 5 x 5 = 25/2 = 12,5 satuan luas

Cara III : (Tanpa harus mengambar)

Dengan Rumus Luas Segitiga jika diketahui 3 titik koordinat.

Untuk mengingat Rumus tersebut dapat dibuat skema seperti berikut ini :

Jumlah hasil kali unsur-unsur dengan arah panah ke kanan bawah dikurangi jumlah hasil kali

unsur-unsur dengan arah panah ke kanan atas. Ingat ini hanya skema mengingat rumus,bukanrumus ?

4. Suatu persegi panjang dapat dipecah-pecah menjadi 5 persegi yang kongruen.

Jawab :



3 of 13 13/10/2014 14:47


4/13

5.

Jawab :


Jadi hubungannya s + t = -1

6. Kapasitas tangki bahan bakar suatu mobil adalah 40 liter. Setiap menempuh perjalanansejauh 100 km, mobil tersebut menghabiskan 7,7 liter bahan bakar. Suatu waktu mobil tersebutdigunakan untuk pergi dari Bandung ke Yogyakarta yang jaraknya 428 km. Ketika memulaiperjalanan, tangki mobil tersebut terisi penuh bahan bakar. Dalam satuan liter terdekat,banyaknya bahan bakar yang tersisa ketika tiba di Yogyakarta adalah

Jawab


Jadi bahan bakar yang tersisa 40 33 liter =7 liter

7. Ada satu keluarga terdiri dari Ayah, Ibu, dan tiga orang anak. Ibu lahir pada bulan April.

Berapakah peluang ada tepat satu orang anggota lain dalam keluarga tersebut yang lahir juga dibulan April ?

Jawab :


Peluang semua orang terlahir di bulan April adalah sama yaitu 1/12.

Ada 2 Kemungkinan kejadian yang terjadi , misalkan

A : Kejadian lahirnya Ibu dan Ayah di bulan April. Atau

B : Kejadian lahirnya Ibu dan seorang anaknya di bulan April

Kejadian A yaitu lahirnya Ibu dan Ayah adalah kejadian yang saling Bebas artinya terjadinya atautidak terjadinya salah satu dari kejadian tersebut tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinyakejadian yang lain. Sehingga P(A) = 1/12 x 1/12 = 1/144.

Begitu pula kejadian B, maka P(B) = 1/12 x 1/12 = 1/144.


4 of 13 13/10/2014 14:47


5/13

Sedangkan kejadian A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas artinya dua kejadian tersebuttidak mungkin terjadi secara bersamaan, sehingga Peluang ada tepat satu orang anggota lain yanglahir di bulan April adalah P(A) + P(B)= 1/144 + 1/144 = 1/72

8. Pada suatu Kubus ABCD.EFGH , ruas garis AG adalah diagonal ruang dari kubus tersebut.

Ada berapa carakah perjalanan terpendek dari titik sudut G ke titik sudut A dengan syaratperjalanan tersebut hanya melalui rusuk-rusuk kubus tanpa da yang dilalui lebih dari satu kali ?

Jawab :


Buatlah sketsa gambar kubus agar dapat menentukan rute perjalanan yang disyaratkan !

Dari titik G ada tiga rute yang dapat dilalui yaitu melalui titik C, F, dan H. Sedangkan darimasing-masing 3 titik tersebut ada 2 rute yang dapat ditempuh.

Jadi banyaknya cara perjalanan terpendek dari titik G ke A sebanyak 3 x 2 = 6 cara.

ATURAN PERKALIAN :

Jika suatu prosedur (urutan pengerjaaan) dapat dilakukan dengan m cara dan tiap-tiap m caraterdiri dari n cara, maka secara keseluruhan prosedur tersebut dapat dilakukan dengan m x ncara.

Dengan diagram garis :

Tampak ada 6 cara rute perjalanan yang dapat ditempuh dari G ke A.

9. Misalkan a dan b adalah dua bilangan tertentu . Jika a + (a + b)b = a(b a) + x , maka x= ..

Jawab :



5 of 13 13/10/2014 14:47


6/13

Karena a dan b adalah biangan tertentu, maka

10. Gaji Yuni dan Yuli pada tahun 2001 sama besarnya. Pada tanggal 1 januari 2002, gaji Yuninaik 15%, sedangkan gaji Yuli naik 10%. Tepat satu tahun kemudian , gaji Yuli naik 15% dan gaji

Yuni naik 10%.

Siapakah yang gajinya sekarang lebih besar ?

Jawab :


Misalkan gaji Yuni dan Yuli pada tahun 2001 adalah G.

Pada 1 Januari 2002 :

Besar gaji Yuni = 1,15 G

Besar gaji Yuli = 1,10 G

Pada 1 Januari 2003 :

Besar gaji Yuni = 1,15 G x 1,10 = 1,15 x 1,10 G

Besar gaji Yuli = 1,10 G x 1,15 = 1,10 x 1,15 G

Tampak pengali dari G sama, Jadi Gaji Yuni dan Yuli sama besar.

B. SOAL URAIAN

1.Jawab :


Pembuat nol pertaksamaan tersebut hanya x = -3. Sehingga

Dengan garis bilangan tampak semua bilanga real x yang memenuhi


6 of 13 13/10/2014 14:47


7/13

2. Diketahui T adalah titik tengah suatu segi- 6 beraturan dengan panjang sisi 1 satuan.

Berapakah panjang TE ?

Jawab :


Segi banyak beraturan terbentuk dari sebuah lingkaran dengan membagi besar sudut pusatlingkaran menjadi n bagian yang sama , jadi tentukan pusat lingkaran segi-6 tersebut denganmembuat garis-garis diagonal BE dan CF.

Dengan demikian panjang OF=OE=EF= 1 satuan.

Perhatikan segitiga TOE !

3. Diketahui suatu barisan U(n) = 2.3 + 3.4 + 5.6 + 6.7 + + (n + 1)(n +2), sehingga beberapaunsur pertamanya sebagai berikut ; U(1) = 6 , U(2) = 18 , U(3) = 38 , U(4)= 68, U(5) = 110.

Tentukan nilai dari U(100) !


7 of 13 13/10/2014 14:47


8/13

Jawab :


Cara I :

Dengan Rumus Jumlah n suku Barisan Tingkat 2

Amati ! Tampak bahwa U(n) adalah suatu barisan yang merupakan jumlah n suku dari barisanf(n),

yang berderajat 2 dalam n , dengan f(n) = (n +1)(n +2).

5 suku pertama barisan f(n) adalah ; f(1) = 6 , f(2) = 12 , f(3) = 20 , f(4) = 30 , f(5) = 42 .

Perhatikan skema selisih suku-suku dari barisan f(n) berikut;

f(n) adalah barisan tingkat 2, jumlah n suku dari barisan ini adalah S(n), dengan

Diketahui bahwa a=6 , b=6, dan c=2 (lihat skema diatas), 2!=21 , dan 3!=3x2x1 , sehinggadiperoleh:

Seandainya Rumus tersebut diatas tidak ingat atau tidak tau, anda dapat menggunakan caraberikut

Cara II :

Cara ini akan terasa lebih mudah dalam perhitungan.

Tentukan rumus U(n) !

Diketahui :


8 of 13 13/10/2014 14:47


9/13

U(1) = 6 , U(2) = 18 , U(3) = 38 , U(4)= 68, U(5) = 110, Agar jelas nilai-nilai tsb diperoleh dari;

U(1)=(1+1)(1+2)=23=6

U(2)=(1+1)(1+2)+ (2+1)(2+2)=23 + 34= 18

U(3)= (1+1)(1+2)+ (2+1)(2+2)+(3+1)(3+2) = 23 + 34 + 45 = 38, dengan cara yang sama

U(4)= 68 , dan U(5)= 110, dst.

Ditulis dalam barisan bilangan sbb:

Karena setelah tiga tahapz dilakukan selisih antara dua suku berurutan diperoleh selisih yangtetap, maka, U(n) merupakan barisan tingkat 3 artinya U(n) berpangkat 3 dalam n, atau pangkattertinggi dari n dalam rumus U(n) adalah 3.

Barisan bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam pasangan berurutan sbb;

(1, 6) , (2, 18) , (3, 38) , (4, 68) , (5, 110), dst

Karena U(n) berpangkat 3 dalam n , maka U(n) dapat ditulis :

U(n) = a(n-1)(n-2)(n-3) + b(n-1)(n-2) + c(n-1)(n-3) + d(n-2)(n-3)

U(1) = 6

d(1-2)(1-3) = 6

2d = 6

d = 3

U(2) = 18

-c = 18

c = -18

U(3) = 38

2b = 38

b = 19

U(4) = 68


9 of 13 13/10/2014 14:47


10/13

6a + 19 x 3 x 2 + (-18)x 3 x 1 + 3 x 2 x 1 = 68

6a + 114 54 + 6 = 68

6a = 68 + 54 120

6a = 2

a = 1/3

Jadi, U(n) = 1/3 x (n-1)(n-2)(n-3) + 19(n-1)(n-2) 18 (n-1)(n-3) + 3(n-2)(n-3)

Kenapa cara ini bisa digunakan, insyaallah secara sepesi?k penulis akan bahas tentang barisantingkat tinggi.

Jika Suku ke-n dengan n < 10 yang ditanyakan dan soalnya isian singkat atau PG dapat dilakukanpengurangan antara 2 suku berurutan seperti pada skema pengurangan diatas.

Cara III :

U(n) adalah barisan tingkat 3, maka U(n) berpangkat 3 dalam n, sehingga U(n) dapat ditulis;

Dengan p=1/6 d , q = 1/2 c d , r = b 3q 7p , dan s = a (p+q+r)

p=1/6 d = 1/6 x 2 = 1/3 , dan q = 1/2 x 8 2 = 4 2=2 , r = 12 32 71/3 = 6 7/3 = 11/3,

s = 6 (1/3 + 2 + 11/3) = 0 , sehingga diperoleh ;


10 of 13 13/10/2014 14:47


11/13

Cara IV :

Nyatakan U(1)=6 , U(2)=18, U(3)=38 , dan U(4)=68 , diperoleh 4 persamaan linear, selesaikan

Sistem persamaan tersebut dengan metoda eliminasi substitusi maka diperoleh nilai-nilai

p , q , r , dan s , lalu substitusikan kedalam U(n).

Ini cara yang konvensional digunakan, silahkan kuasai salah satu cara yang dirasakan mudah dansederhana.

4.

Jawab :


5. Dalam suatu kelas, 3/5 bagian siswanya adalah perempuan. Ke dalam kelas tersebutditambahkan 5 siswa pria dan 5 siswa perempuan. Sekarang 3/7 bagian siswanya adalah pria.Berapakah banyak siswa dalam kelas mula-mula?

Jawab :


Misalkan banyaknya siswa pria = x orang, dan

Banyaknya siswa perempuan = y orang.

3/5 bagian siswanya adalah perempuan, maka


11 of 13 13/10/2014 14:47


12/13

Setelah ditambahkan 5 pria dan 5 perempuan, 3/7 bagian siswanya pria, maka :

Substitusi persamaan (1) ke (2) diperoleh :

Jadi , banyaknya siswa mula-mula adalah x + y = 10 +15 = 25 orang

Cara II :

3/5 bagian siswanya adalah perempuan, berarti rasio banyaknya siswa pria : siswa perempuanadalah 2 : 3 . sehingga dapat ditulis ;

banyaknya siswa pria = 2 k , dan

banyaknya siswa perempuan = 3 k , dengan k bilangan bulat positif, sehingga jumlah siswa

semula adalah 5 k.

Selanjutnya menurut data soal

Jadi, jumlah siswa semula adalah 5.k = 5 x 5 = 25 orang

Tampak cara ini lebih simple, demikian jika anda memahami konsep perbandingan .

Mohon kritik atau saran jika ada yang salah atau keliru ?


12 of 13 13/10/2014 14:47


13/13

22 Desember 2010 - Posted by deni11math | BAHAS SOAL | OSN MATEMATIKA SMPTINGKAT PROPINSI 2003, SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA OSN SMP TK PROPINSI2003, SOAL OSN MATEMATIKA DAN LENGKAP DENGAN PEMBAHASANNYA

Belum ada komentar.

Site info

DR-Math's

The Andreas04 Theme. Blog di WordPress.com.

Ikuti

Follow DR-Math's

Ditenagai oleh WordPress.com

You May Like

1.


13 of 13 13/10/2014 14:47

soal dan pembahasan matematika osn tk.pdf

Documents