e-mail: [email protected]/.../modul-mekanika-teknik-iv-bab-4email.pdf2 6 l ei m i = m...
TRANSCRIPT
: swi
dodo
@un
y.ac.i
d
41
BAB 4BAB 4BAB 4BAB 4
ANALISIS STRUKTUR BALOK
4.1. Kekakuan Balok (Beam)
Struktur beam merupakan suatu sistem struktur yang merupakan
gabungan dari sejumlah elemen (batang) yang lurus (a = 0) di mana pada
setiap titik simpulnya dianggap berperilaku sebagai jepit dan setiap
elemennya dapat menerima gaya berupa gaya aksial, geser dan momen
lentur. Pembahasan dalam bab ini hanya dipelajari struktur balok yang
tidak menerima pengaruh (beban) aksial.
Gambar 4.1. Struktur Beam
Sumbu X-Y adalah sistem koordinat global struktur, yang nantinya
diacu semua elemen. Sedangkan sumbu Z tegak lurus terhadap bidang
gambar (mengarah pembaca) mengikuti kaidah tangan kanan, sehingga
terbentuk sistem koordinat yang mengikuti right-handed rule. Sumbu x-y
merupakan sistem koordinat lokal elemen, yang hanya berlaku untuk satu
elemen tertentu saja, yang orientasinya disesuaikan dengan arah elemen
yang bersangkutan.
Setiap elemen balok selalu memiliki dua nodal (titik simpul) ujung.
Ujung awal elemen diberi notasi nodal i sedangkan ujung lainnya diberi
notasi j. Pusat sumbu lokal elemen adalah nodal i , dan arah sumbu x lokal
X
Y
: swi
dodo
@un
y.ac.i
d
42
positif selalu dibuat dari nodal i ke nodal j dari elemen tersebut. Sumbu y
lokal dibuat tegak lurus sumbu x, sedangkan sumbu lokal arah z dibuat
searah dengan sumbu Z global dan tegak lurus terhadap bidang struktur
(bidang X-Y).
Orientasi elemen secara global dapat dikenali berdasarkan sudut α,
yang dibuat oleh sumbu x lokal dari elemen yang ditinjau dengan sumbu
X global dari struktur. Sudut α diberi tanda positif berdasarkan kaidah
tangan kanan (right-handed rule), yaitu diukur dari sumbu X global
berputar menuju sumbu x lokal dengan poros sumbu Z positif.
Selanjutnya karena semua elemen tersusun segaris (lurus), seperti terlihat
pada gambar 4.1, maka sudut transformasi (α) akan bernilai nol.
Hubungan antara aksi dan deformasi pada elemen balok secara
umum dapat diformulasikan dengan orientasi sumbu lokalnya sebagai
berikut :
Konvensi Arah Tanda Positif
Transalasi Melintang (satu satuan)
2
6
L
EImm ji ==
3
12
L
EIgg ji =−=
vi, gi vj, gj ui, fi
uj, fj
θi, mi θj, mj
: swi
dodo
@un
y.ac.i
d
43
2
6
L
EImm ji −==
3
12
L
EIgg ji −=−=
Rotasi Akibat Lentur (satu satuan)
L
EImi
2= ;
L
EIm j
4=
2
6
L
EIgg ji =−=
L
EImi
4= ;
L
EIm j
2=
2
6
L
EIgg ji =−=
Gambar 4.2. Hubungan Aksi-Deformasi pada Elemen Beam
Persamaan hubungan antara aksi dan deformasi elemen balok dalam
sistem koordinat lokal yang diperoleh berdasarkan prinsip superposisi
dapat diuraikan sebagai berikut :
jjiiiL
EIv
L
EI
L
EIv
L
EIg θθ .
6.
12.
6.
12
2323
+
−+
+
=
jjiiiL
EIv
L
EI
L
EIv
L
EIm θθ .
2.
6.
4.
6
22
+
−+
+
=
jjiijL
EIv
L
EI
L
EIv
L
EIg θθ .
6.
12.
6.
12
2323
−+
+
−+
−=
: swi
dodo
@un
y.ac.i
d
44
jjiijL
EIv
L
EI
L
EIv
L
EIm θθ .
4.
6.
2.
6
22
+
−+
+
= (4.1)
di mana :
x : sumbu batang
x, y : sistem koordinat lokal (elemen)
vi : displacement arah tegak lurus sumbu batang pada nodal i
θi : rotasi pada titik nodal i
gi : gaya tegak lurus sumbu batang pada titik nodal i yang
sesuai dengan vi
mi : momen lentur pada titik nodal i yang selaras dengan θi
Persamaan hubungan aksi-deformasi yang ditunjukkan Persamaan (4.1)
dapat dinyatakan dalam bentuk matrix :
−
−−−
−
−
=
j
j
i
i
j
j
i
i
v
v
LLLL
LL
LLLL
LL
L
EI
m
g
m
g
θ
θ.
4626
612612
2646
612612
22
22
3 (4.2)
sehingga diperoleh matrix kekakuan elemen lokal sebagai berikut :
[ ] .
4626
612612
2646
612612
22
22
3
−
−−−
−
−
=
LLLL
LL
LLLL
LL
L
EIki (4.3)
4.2. Beban Sepanjang Elemen balok (Element Loads)
Analisis struktur dengan metode matrix kekakuan mensyaratkan
bahwa beban yang bekerja harus berada tepat di titik simpul, sehingga
dapat disusun sistem persamaan kekakuan struktur. Dalam
kenyataannya, struktur balok maupun portal pada umumnya juga
menerima beban yang bekerja di sepanjang bentang elemen struktur
(element load). Agar dapat dibentuk persamaan kekakuan struktur, maka
: swi
dodo
@un
y.ac.i
d
45
beban-beban yang berupa element load harus dipindahkan menjadi beban
setara yang bekerja di dua nodal dalam elemen yang bersangkutan. Beban
setara pada dua titik nodal akibat adanya beban yang bekerja di sepanjang
bentang elemen disebut sebagai equivalent joint load, di mana kasus yang
sering dijumpai berikut cara perhitungannya disajikan pada Tabel 4.1.
Apabila semua komponen equivalent joint load yang dibutuhkan
telah terhitung, maka sekarang semua beban telah terletak di titik nodal
dalam sistem struktur, selanjutnya dapat dibentuk sistem persamaan
kekakuan struktur total dalam orientasi sumbu global sebagai berikut :
{ } [ ]{ } { }0FDKF s −= (4.4)
di mana; { }0F : vektor beban berupa equivalent joint load.
{ } [ ] { }iT
i fTF 00 =
{ }F : vektor beban yang berupa nodal load.
[ ]sK : Matrix Kekakuan Struktur Total.
{ }D : vektor displacement sumbu global.
selanjutnya sistem persamaan kekakuan elemen struktur dalam orientasi
sumbu lokal dinyatakan dalam persamaan berikut :
{ } [ ]{ } { }iiii fdkf 0−= (4.5)
atau { } [ ][ ]{ } [ ]{ }iiiiii FTDKTf 0−=
di mana; { }if : gaya dalam elemen (sumbu lokal).
{ }if0 : vektor beban yang berupa equivalent joint load
(sumbu lokal).
[ ]ik : matrix kekakuan elemen lokal.
{ }id : vektor displacement elemen sumbu lokal.
[ ]iK : matrix kekakuan elemen global.
[ ]iD : vektor displacement elemen sumbu global.
[ ]iT : matrix transformasi elemen.
e-mail:
swido
do@uny
.ac.id
46
Tabel 4.1. Beban Titik Ekuivalen
No. f1y m1 Kasus Pembebanan f2y m2
1.
2
P−
8
PL−
2
P−
8
PL
2.
3
2 )2(
L
aLPb +−
2
2
L
Pab−
3
2 )2(
L
bLPa +−
2
2
L
bPa
3.
P−
( )PLαα −− 1
P−
( )PLαα −1
4.
2
.Lw−
12
2wL−
2
.Lw−
12
2wL
5.
20
7wL−
20
2wL−
20
3wL−
30
2wL
6.
4
wL−
96
5 2wL−
4
wL−
96
5 2wL
L/2 L/2
P
b a
P
P P
aL aL
w
L
L
w
L
w
: swi
dodo
@un
y.ac.i
d
47
4.3. Contoh Penerapan
Contoh 4.1 : Suatu struktur balok kantilever sepanjang l = 10 ft seperti
ditunjukkan pada Gambar 4.3, menerima beban merata
searah gravitasi sebesar w = 1800 lb/ft di sepanjang batang.
Tentukan besarnya displacement ke arah X dan Y serta
besarnya gaya dalam pada masing-masing nodal, jika
diketahui nilai Elastisitas (E) = 3x107 psi dan inersia
tampang (I) = 200 in4.
Dalam kasus ini hanya terdapat satu elemen balok, sehingga matrix
kekakuan struktur global dapat disusun sebagai berikut :
[ ]
−
−−−
−
−
=
22
22
2211
3
4626
612612
2646
612612
LLLL
LL
LLLL
LL
DD
L
EIK
yy
s
θϑ
(4.6)
mengingat nodal 1 merupakan tumpuan jepit, maka kondisi batas
(boundary conditions) yang dapat diterapkan dalam kasus ini adalah :
D1X = 0 dan θi = 0
Y
X
w
l
2
wl
2
wl
12
2wl
12
2wl
: swi
dodo
@un
y.ac.i
d
48
sehingga diperoleh sistem persamaan kekakuan struktur yang telah
direduksi dalam bentuk sebagai berikut :
{ } { } [ ]{ }DKFF s=+ 0
−
−=
+
2
223
0
2
2
2
46
612
θ
y
z
yy D
LL
L
L
EI
M
F
M
F (4.7)
di mana { }0F merupakan vektor equivalent joint load
Persamaan di atas dapat diselesaikan untuk memperoleh besaran D2X dan
θ2 sebagai berikut :
−
=
12
2
126
64.
12
12
23
22
2
wL
wL
L
LL
EI
L
L
D y
θ
atau;
−
=
12
2
63
32
62
2
2
2
wL
wL
L
LL
EI
LD y
θ (4.8)
sehingga diperoleh :
−
−
=
−
−
=
−
−
=
rad
inchi
xxx
x
xxx
x
EI
wL
EI
wLD y
0072,0
648,0
2001036
)1210)(12/1800(
2001038
)1210)(12/1800(
6
8
7
3
7
4
3
4
2
2
θ (4.9)
Gaya dalam pada setiap titik nodal dapat dihitung menurut persamaan
berikut :
{ } [ ]{ } { }0FDKF s −=
atau;
: swi
dodo
@un
y.ac.i
d
49
02
2
1
1
3
4
22
22
2211
2
2
1
1
6
8
0
0
4626
612612
2646
612612
−
−
−
−
−−−
−
−
=
M
F
M
F
EI
wL
EI
wL
LLLL
LL
LLLL
LL
DD
L
EI
M
F
M
F
y
yyy
y
y
θϑ
(4.10)
=
=
−
−
−
−
−=
0
02
)1210()12/1800(
)1210()12/1800(
0
02
12
2
12
2
12
2
12
5
2
22
2
2
2
2
2
2
1
1xx
xx
wL
wL
wL
wL
wL
wL
wL
wL
wL
wL
M
F
M
F
y
y
(4.11)
=
0
0
.1080000
18000
2
2
1
1
inlb
lb
M
F
M
F
y
y
(4.12)
di mana F1y dan M1 merupakan reaksi pada tumpuan jepit di nodal 1.