CK.FI-111.04- 1

Osilasi Harmonik

Osilasi → gerak yang berulang (periodik)

Harmonik → mempunyai bentuk fungsi harmonik.

Benda yang mengalami gaya yang

sebanding dengan posisinya dari

kesetimbangan (gaya Hooke) akan

bergerak harmonik sederhana.

Dari hukum Newton

2

2

dtxd

mkx =− → xmk

dtxd

a

−== 2

2

02

2

=+ xmk

dtxd

suatu persamaan differensial orde

dua.

Untuk mendapatkan solusi persamaan differensial tersebut

dapat dicoba bentuk fungsi

)cos()( δω += tAtx

yang ternyata memenuhi persamaan differensial tersebut,

dengan mk

=ω

Pada gerak harmonik sederhana, percepatan yang dialami benda

sebanding dengan besar simpangannya

xa 2x ω−=

sinus, cosinus

x

m

F = −kx i

Amplitudo dan fasa

awal dapat

ditentukan dari

syarat awal

CK.FI-111.04- 2

dengan ω menyatakan frekuensi sudut gerak osilasi yang dapat

dikaitkan dengan frekuensi (dan perioda) osilasi T

f1

2==

π

ω

Fungsi posisi x untuk suatu gerak harmonik sederhana (misalkan

untuk sistem pegas-massa)

)cos()( δω += tAtx dan ( ) )sin()()( δωω +−== tAtxdtd

tv

Perioda dan frekuensi gerak osilasi harmonik sederhana tidak

bergantung pada amplitudo. Untuk sistem pegas-massa perioda

osilasinya adalah

mk

T==

πω

2 →

km

T π2=

Bandul matematis

Merupakan sistem benda titik yang digantung menggunakan tali.

Gaya pulih yang bekerja pada benda, jika θ kecil (sedemikian

sehingga sin θ ≈ θ)

l

smgmgmg

dtsd

mF −=−≈−== θθsin2

2

sg

dtsd

−=

l2

2

W

T θ

l Diagram benda

bebasnya s

CK.FI-111.04- 3

Sehingga perioda gerak harmonik sederhana untuk bandul

matematis

gT

gT

l

lπ

πω 2

2=→==

Energi total pada ghs

Fungsi posisi x untuk suatu gerak harmonik sederhana

)cos()( δω += tAtx dan ( ) )sin()()( δωω +−== tAtxdtd

tv

Energi total sistem pegas-massa

( ))(sin)(cos2

1

2

1

2

1

22222

22

δωωδω +++=

+=+=

tAmtkA

mvkxKUE

2

2

1kAE =

Untuk bandul sederhana

2

2

dtd

adtd

dtds

vsθθ

θ lll =→==→=

energi kinetiknya 2

22

2

1

2

1

==

dtd

mmvKθ

l

Energi mekanik sistem yang melakukan gerak

osilasi harmonik sederhana sebanding dengan

kuadrat amplitudo geraknya

θ

l

CK.FI-111.04- 4

dan energi potensialnya

)cos1( θ−== lmgmghU

Jika θ kecil, maka dapat digunakan

aproksimasi (pendekatan)

−≈

21cos

2θθ

sehingga 2

2

1θlmgU =

Gerak Harmonik Teredam

Jika benda yang mengalami gerak osilasi harmonik mengalami

gaya lain (gaya redam), maka gerak osilasinya akan teredam

(damped harmonic motion).

Gaya redam tersebut biasanya sebanding dengan kecepatan

benda dan arahnya berlawanan dengan arah gerak benda

dtd

bbx

vF −=−=redam

Akibat adanya gaya redaman ini persamaan gerak benda menjadi

2

2

dtxd

mdtdx

bkx =−− suatu persamaan

differensial orde dua

Posisi setimbang digunakan

sebagai acuan nilai potensial

CK.FI-111.04- 5

Solusinya adalah (dapat dicoba dengan mensubstitusikan kembali

ke persamaan differensial tersebut)

+

−

−= δt

mb

mk

tmb

Atx 2

2

4sin

2exp)(

Grafik osilasi yang teredam

Contoh keadaan teredam kritis, tidak sempat terjadi osilasi

Amplitudo gerak

benda mengalami

redaman

CK.FI-111.04- 6

Sistem yang menggunakan fenomena teredam kritis misalkan

pada peredam kejut (shock breaker) pada kendaraan bermotor

atau pada pintu.

Osilasi yang dipaksa (driven harmonic motion)

Jika gerak osilasi mendapat tambahan gaya luar yang periodik,

maka

2

2

o )sin(dt

xdmtF

dtdx

bkx =+−− ω

Untuk waktu yang lama (keadaan tunak) frekuensi osilasi benda

akan sama dengan frekuensi gaya luar yang diberikan.

Solusi untuk keadaan tunak ini adalah

)cos()( ϕω −= tAtx

dengan

22222

o

o

)( ωωω bm

FA

2 +−= dan

)(tan 22

o ωω

ωϕ

−=m

b

ωo adalah frekuensi alami sistem (yaitu frekuensi osilasi tanpa

gaya luar).

Jika frekuensi gaya luar sama dengan frekuensi alami sistem

(ω = ωo), maka akan terjadi resonansi yang ditandai dengan

amplitudo yang maksimum.

CK.FI-111.04- 7

Jika dalam keadaan ini tak ada redaman (b = 0) maka amplitudo

akan besar sekali.

Beberapa contoh

� Sistem pegas-massa dengan pegas yang konstantanya k dan beban bermassa m. Sistem ini mengalami ghs. Jika pada

saat awal (t = 0) benda berada di x = 0,5xo dengan laju

sebesar −0,5vo, tentukan posisinya saat t sembarang.

Persamaan umum ghs

)cos()( δ+= tmk

Atx → )sin()( δ+−= tmk

Amk

tv

syarat awal memberikan

)sin(5,0)0(

)cos(5,0)0(

o

o

δ

δ

Amk

vv

Axx

−=−=

==

diperoleh

=

km

xv

o

oarctanδ dan δcos

5,0 oxA =

� Benda bermassa m mengalami gerak harmonik sederhana

dengan amplitudo Ao. Percepatan maksimumnya adalah ax. Tentukan perioda gerak, laju maksimum dan energi

mekaniknya.

Selesaikan kedua

persamaan untuk

mendapatkan A dan δ

CK.FI-111.04- 8

Bentuk umum persamaan ghs: )sin()( δω += tAtx

)cos()( δωω += tAtv

)sin()( 2 δωω +−= tAta

• max

o

o

maxo

2max 2

aA

TAa

Aa πωω =→=→=

• maxooo

maxomax aAA

Aa

Av =

== ω

• 2ωω mkmk

=→=

omax2

oo

max2o

22

2

1

2

1

2

1

2

1AmaA

Aa

mAmkAE =

=== ω

Uraian MacLaurin untuk fungsi

sinus dan cosinus

...!7!5!3

sin753

+−+−=θθθ

θθ

...!6!4!2

1cos642

+−+−=θθθ

θ