nombor kompleks
DESCRIPTION
cara penyelesaian nombor kompleksTRANSCRIPT
POLITEKNIK PORT DICKSON
BAB 6 : NOMBOR KOMPLEKSMatematik II (B 2001)
POLITEKNIK PORT DICKSON
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER
NOMBOR KOMPLEKSNombor Kompleks ialah nombor yang berbentuk a + ib di mana a dan b adalah nombor nyata terdiri drpd bahagian nyata (a) dan bahagian khayal (ib)Secara amnya,
Contoh :
1. = = = 3i
2. = = = 5 i
PERLU INGAT !!! i2 = -1
(-1)nombor genap = 1
(-1)nombor ganjil = -1
Contoh :a.i 8 = i 2 (4) = (-1) = 1
b.i 15 = i 2(7) i = (-1) 7 i = (-1) i = -i
c.3i34 - i13
= 3i2(17) - i2(6) i
= 3 (-1)17 - (-1)6 i
= 3 (-1) 1 i
= -3 - i
d.2i3 + 2 i18 - 3 i51
= -2 i2 i + 2 i2(9) - 3 i2(25) i
= -2 (-1) i + 2 (-1) 9 - 3 (-1) 25 i
= 2 i + 2 (-1) 3 (-1) i
= 2 i 2 +3 i
= 5 i 2CONTOH SOALAN :1. Ringkaskan kuasa bagi i yang berikut:
a. i7
b. i 12
c. i 20
d i 36
e. 7i 56 i 3 6
f. 8i 59 + 5i 972. Permudahkan bentuk nombor-nombor berikut:
a.
c.
b.
d.
Penambahan & Penolakan Nombor Kompleks
Jika z = x + yi dan w = u + vi
Maka, z + w = ( x + yi ) + ( u + vi )
= ( x + u ) + ( yi + vi )
z w = ( x + yi ) - ( u + vi )
= ( x - u ) + ( yi - vi )
CONTOH :a)( 3 + 4i ) + ( 5 + 6i )= ( 3 + 5 ) + ( 4i + 6i)
= 8 + 10i
b)( 5 + 3i ) ( 8 + 2i )= ( 5 8 ) + ( 3i 2i )
= -3 + i
c)( 7 + 5i ) + ( 2 3i )= ( 7 + 2 ) + ( 5i + (3i) )
= ( 7 + 2 ) + ( 5i 3i )
= 9 + 2i
d)( 4 2i ) ( 2 3i )= ( 4 2 ) + ( -2i (-3i) )= ( 4 2 ) + ( -2i + 3i )
= 2 + i
Pendaraban Nombor Kompleks
Jika z = a + bi dan w = p + qi
Maka, z + w = ( a + bi ) x ( p + qi )
= (a x p) + (a x qi) + (bi x p) + (bi x qi)
= ap + aqi + pbi + bqi2 = ap + aqi + pbi + bq(-1)
= ap + aqi + pbi bq
= (ap-bq) + (aq+pb)i
CONTOH :a)Jika z = 3 + 4i dan w = 2 3i
maka zw = ( 3 + 4i ) ( 2 3i )
= ( 3 x 2 ) + ( 3 x (-3i) ) + ( 4i x 2 ) + ( 4i x (-3i) )
= 6 + (-9i) + 8i +( -12i2 )
= 6 + ( -i ) 12(-1)
= 6 i +12
= 18 i
b)Jika z = 4 + i dan w = 3 + 2i
maka zw = ( 4 + i ) ( 3 + 2i )
= ( 4 x 3 ) + ( 4 x 2i ) + ( i x 3 ) + ( i x 2i )
= 12 + 8i + 3i + 2i2
= 12 + 11i + 2(-1)
= 12 + 11i - 2
= 10 + 11i
Pembahagian Nombor Kompleks
Bagi proses pembahagian, perlu gunakan konjugat supaya penyebut jadi nombor nyata
Contoh : 1.
2.
Kesamaan Nombor Kompleks Katakan z = x + yi dan w = u + vi
Jika z = w, ( x + yi = u + vi
maka, x = u dan yi = vi
Contoh:Diberi 3 2i = ( p + qi )( 5 + i ). Carikan nilai p dan q.( p + qi )( 5 + i ) = 5p + pi + 5qi + qi2 = 5p + pi + 5qi + q(-1)
= 5p + pi + 5qi q
= ( 5p q ) + ( p + 5q )i
MAKA, x = u dan y = v 3 = 5p q
q = 5p 3
q = 5( -5q 2 )- 3
q = -25q 10 3
26q = -13
-2 = p + 5q p = -5q 2
CONTOH SOALAN : 1. Ungkapkan yang berikut dalam bentuk a + ib
a. 3 +
b. 2 +
c. 8 -
2. Ringkaskan setiap yang berikut:
a. ( 3 + 4i) + ( 5 2i)
b. ( 7 + 6i) ( -4 3i)
3. Ungkapkan yang berikut dalam bentuk a + ib:
a.
b.
4. Dalam setiap kes berikut, cari nilai x dan y.
a. x + iy = ( 3 + i )(2 3i) b. ( x + iy ) ( -2 + 7i ) = -11 4i
c. x + iy =
RAJAH ARGAND
MODULUS z (
HUJAH z (
CONTOH :
Cari modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut
a)1 i
(z ( =
=
Huj z = tan 1 (-1/1)
= tan 1( -1)
= - 45 ( = 360 - 45
b)3 + 4i
(z ( = = = 5
Huj z = tan 1 (4/-3)
= -53( 8( = 180 - 53( 8( = 126( 52
CONTOH SOALAN :Cari modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut:a)1 3ib)1 + 2i
c)3 5id)-5 + 12i
e)-7 4if)6 + (-2i)
PENAMBAHAN dan PENOLAKAN RAJAH ARGAND
Langkah-langkah :
1. Buatkan penambahan atau penolakan kepada nombor kompleks dulu
2. Dari hasil penambahan atau penolakan td, baru plotkan rajah argand.
3. Then tandakan hasil yg br td pd graf.
CONTOH :Tunjukkan pada Rajah Argand, garis-garis yang mewakili nombor kompleks berikut kemudian dapatkan modulus dan hujah bagi setiap satunya:
Z1 = 2 + 4iZ2 = -3 + 2i
Z3 = -5 3iZ4 = 3 - 5i
a) Z1 , Z2 , Z3 , Z4 b)Z1 + Z2= ( 2 + 4i) + ( -3 + 2i )= ( 2 + (-3) ) + ( 4i + 2i)
= -1 + 6i
c)Z2 + Z3= ( -3 + 2i ) + ( -5 3i )
= ( -3 + (-5) ) + ( 2i + (-3i) )
= -8 - i
d)Z1 - Z3
= ( 2 + 4i) - ( -5 3i) )
= ( 2 - (-5) ) + ( 4i (-3i) )
= 7 + 7i
e)Z3 - Z4= ( -5 3i) ( 3 - 5i )= ( -5 3 ) + ( -3i (-5i) )
= -8 + 2i
f)Z2 - Z3
= ( -3 + 2i ) ( -5 3i )
= ( -3 (-5) ) + ( 2i ( -3i) )
= 2 + 5i
g)Z2 - Z4 = ( -3 + 2i ) ( 3 - 5i )
= ( -3 3 ) + ( 2i ( -5i) )
= -6 + 7i
h)Z1 + Z4
= ( 2 + 4i) + ( 3 - 5i )
= ( 2 + 3 ) + ( 4i + (-5i) )
= 5 - i
i)Z1 - Z2 = ( 2 + 4i) - ( -3 + 2i )
= ( 2 - (-3) ) + ( 4i - 2i )
= 5 + 2i
RAJAH ARGANDMODULUS dan HUJAHSoalanModulusHujahRajah Argand
a)Z1 = 2 + 4i(z ( =
=
= 4.47
Huj z = tan 1 (4/2)
= 63( 26
EMBED Equation.3 = 63( 26
Z2 = -3 + 2i(z ( =
=
= 3.61
Huj z = tan 1 (2/-3)
= -33( 41
EMBED Equation.3 = 180 - 33( 41
= 146 19
Z3 = -5 3i(z ( =
=
= 5.83
Huj z = tan 1 (-3/-5)
= 30( 57
EMBED Equation.3 = 180 + 30( 57
= 210 57
Z4 = 3 - 5i(z ( =
=
= 5.83
Huj z = tan 1 (-5/3)
= -59( 2
EMBED Equation.3 = 360 - 59( 2
= 300 58
b)-1 + 6i(z ( =
=
= 6.08
Huj z = tan 1 (6/1)
= 80( 32
c)-8 - i(z ( =
=
= 8.06
Huj z = tan 1 (-1/-8)
= 7( 7
EMBED Equation.3 = 180 + 7( 7
= 187 7
d)7 + 7i(z ( =
=
= 9.90
Huj z = tan 1 (7/7)
= 45
EMBED Equation.3 = 45
e)-8 + 2i(z ( =
=
= 8.25
Huj z = tan 1 (2/-8)
= -14 2
EMBED Equation.3 = 180 - 14 2
= 165 58
f)2 + 5i(z ( =
=
= 5.39
Huj z = tan 1 (5/2)
= 68 11
EMBED Equation.3 = 68 11
g)-6 + 7i(z ( =
=
= 9.22
Huj z = tan 1 (7/-6)
= -49 23
EMBED Equation.3 = 180 - 49 23
= 130 37
h)5 - i(z ( =
=
= 5.10
Huj z = tan 1 (-1/5)
= -11 18
EMBED Equation.3 = 360 - 11 18
= 348 42
i)5 + 2i(z ( =
=
= 5.39
Huj z = tan 1 (2/5)
= 21 48
EMBED Equation.3 = 21 48
CONTOH SOALAN :Tunjukkan pada Rajah Argand, garis-garis yang mewakili nombor kompleks berikut kemudian dapatkan modulus dan hujah bagi setiap satunya:
Z1 = -3 + 5iZ2 = 5 - 3i
Z3 = -2 2iZ4 = 6 + 3i
a)Z1 , Z2 , Z3 , Z4b)Z1 + Z2
c)Z2 + Z3d)Z1 - Z3
e)Z3 - Z4f)Z2 - Z3
g)Z2 - Z4 h)Z1 + Z4
i)Z1 - Z2 j)Z1 - Z4
BENTUK-BENTUK NOMBOR KOMPLEKS
a)Bentuk Cartesian(a + bi
b)Bentuk Trigonometri(|z| ( kos + i sin )
R ( kos + i sin )
c)Bentuk Kutub (Polar)(|z|
R
d)Bentuk Eksponen(Rej ( dlm bacaan radian)
CONTOH :
1. Tukarkan nombor kompleks z = -5 + 2i ke dalam bentuk Trigonometri, Kutub dan Eksponen.PENYELESAIAN :a)Lakar rajah Argand untuk pastikan kedudukannya
b)Modulus zR = (z( =
= = 5.39
c)Hujah zHuj z = = tan 1
= tan 1
= tan 1 ( -0.4)
= 21.8( atau 0.38 rad
Maka = 180 - 21.8 = 158.2
d)Bentuk kutub|z| atau R 5.39 158.2
e)Bentuk eksponenRej=5.39ei0.38
f)Bentuk trigonometri|z| ( kos + i sin ) atau
R ( kos + i sin )
=5.39 ( kos 158.2 + i sin 158.2 )
2. Tukarkan nombor kompleks z = 2.5 ( kos 189( + i sin 189 ( ) ke dalam bentuk Cartesian, Kutub dan EksponenPENYELESAIAN :dapatkan nilai kos 189( dan sin 189( melalui kalkulator
( kos 189( = - 0.988
( sin 189( = - 0.156
a)Bentuk cartesian a + bi
= 2.5 ( ( - 0.988 ) + i(- 0.156 ) )
= - 2.47 - 0.39i
b)Bentuk eksponenRej = 0.157 rad
=2.5ei0.157
c)Bentuk kutub|z| atau R 2.5 189
CONTOH SOALAN :1. Tukarkan nombor kompleks berikut ke dalam bentuk Cartesian, Kutub
dan Eksponen.
a. z = 4 ( kos 54 + i sin 54 )b. z = 15 ( kos 200 + i sin 200 )
c. z = 3.5 ( kos 175 + i sin 175 )
d. z = 5 ( kos 250 + i sin 250 )
2. Tukarkan nombor kompleks berikut ke bentuk Trigonometri, Kutub dan Eksponen.
a. 3 + 3i
b. 5 + 2i
c. 3 3i
d. 5 2i
TEOREM DE MOIVRE
( a + bi )n = |z|n ( kos n + i sin n )
CONTOH :
1. Ungkapkan dalam dalam sebutan kos n( dan sin n(:a)( kos ( - i sin ( )4 b)
= kos 4 ( - i sin 4 (
= ( kos 2( - i sin 2( )-1
= kos (-2() - i sin (-2()
= - kos 2( - i sin 2(
2. Dapatkan nilai bagi
a)(8 5i )3
PENYELESAIAN :
i)Modulus zR = ( z (
ii)Hujah zHujah z = 360( tan 1 ( 5/8 )
= 360( 32(
= 328(
iii)( 8 5i = 9.43 ( kos 328( + i sin 328( )
iv)Menggunakan Teorem De Moivre
( a + bi )n = |z|n ( kos n + i sin n )
MAKA :( 8 5i )3 = 9.43 3 ( kos 3(328() + i sin 3 (328() ]
= 838.56 ( kos 984( + i sin 984( )
= 838.56 ( kos ( 984( - 720( ) + i sin ( 984(- 720( )( = 838.56 ( kos 264( + i sin 264( )
b)( -5 + 2i )1/4
PENYELESAIAN :
i)Modulus zR = ( z (
ii)Hujah zHujah z = 180( tan 1 ( -5/2 )
= 180( 68( = 112(
iii)( -5 + 2i = 5.39 ( kos 112( + i sin 112( )
iv)Menggunakan Teorem De Moivre
( a + bi )n = |z|n ( kos n ( + 360K ) + i sin n ( + 360K ) )
MAKA :( -5 + 2i )1/4
= 5.391/4 (kos (158.2(+ 360k )/4 + i sin ( 158.2( + 360k)/4 ( = 1.52 (kos (158.2(+ 360k )/4 + i sin ( 158.2( + 360k)/4 (
Sekarang perlu selesaikan nilai k tersebut ( mulakan dengan nilai k = 0 sehingga jumlah ( + 360k) tidak melebihi 360
Bagi k = 0
( -5 + 2i )1/4 = 1.52 (kos 39.6(+ i sin 39.6()
Bagi k = 1
( -5 + 2i )1/4
= 1.52 (kos (158.2(+ 360( )/4 + i sin ( 158.2( + 360( )/4 (= 1.52 ( kos 129.6( + i sin 129.6()
Bagi k = 2
( -5 + 2i )1/4
= 1.52 (kos (158.2(+ 720( )/4 + i sin ( 158.2( + 720()/4 (= 1.52 ( kos 219.6( + i sin 219.6()
Bagi k = 3
( -5 + 2i )1/4
= 1.52 (kos (158.2(+ 1080( )/4 + i sin ( 158.2( + 1080()/4 (= 1.52 ( kos 309.6( + i sin 309.6()
Bagi k = 4
( -5 + 2i )1/4
= 1.52 (kos (158.2(+1440( )/4 + i sin ( 158.2( + 1440()/4 (= 1.52 ( kos 399.6( + i sin 399.6()
Bila k = 4, jawapan tidak diterima kerana hujah telah melebihi 360(
CONTOH SOALAN :1. Dapatkan nilai bagi.
a) ( 3 + 3i )
b) ( 5 + 2i )3
c) ( 3 3i )1/4
d) ( 5 2i )5
x
y
x
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
x
y
EMBED Equation.3
y
x
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Sudut dr asalan paksi-x
tan ve di sukuan
2 & 4
r
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
y
x
x
y
x
r
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Nombor nyata
Jika z = a + bi dan w = a bi
Maka, zw = ( a + bi ) ( a bi )
= a2 abi + abi b2i2
= a2 b2i2
= a2 b2(-1)
= a2 (-b2)
= a2 + b2
Oleh itu, w dikenali sbg konjugat kompleks bagi z
Jika z = a + bi, konjugat bagi z ialah
z* = a bi
zz* = a2 + b2
v
u
y
x
+ 360k
Jika kuasanya ialah punca kuasa atau kuasa pecahan
paksi nyata
Hujah z
Modulus z
r
EMBED Equation.3
Mewakili nombor kompleks
z = x + yi
P ( x, -y )
P ( x, y )
paksi nyata
paksi khayal
x
y
Bahagian nyata
Bahagian khayal
Saling memusnahkan
a2 + b2
Kembangkan ungkapan
Nombor kompleks tambah
nombor kompleks
Nombor nayata tambah
nombor nyata
Nombor nayata tolak
nombor nyata
Nombor kompleks tolak
nombor kompleks
x
EMBED Equation.3
x
y
y
x
y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
y
x
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
y
x
EMBED Equation.3
x
y
y
x
EMBED Equation.3
x
y
-5 + 2i terletak di sukuan 2
(hujah dibaca sebagai 180 - (
8 - 5i terletak di sukuan 4
(hujah dibaca sebagai 360 - (
984 lebih drpd 2 pusingan maka kena tolakkan 2 pusingan penuh ( 2 x 360)
June/JMSK/PPD/7506211
_1185341296.unknown
_1185350978.unknown
_1185352224.unknown
_1185352635.unknown
_1185365860.unknown
_1185367355.unknown
_1185367873.unknown
_1185625952.unknown
_1185625972.unknown
_1185367836.unknown
_1185365876.unknown
_1185365707.unknown
_1185365718.unknown
_1185352647.unknown
_1185352413.unknown
_1185352428.unknown
_1185352239.unknown
_1185351532.unknown
_1185352013.unknown
_1185352035.unknown
_1185351544.unknown
_1185351146.unknown
_1185351169.unknown
_1185350979.unknown
_1185346610.unknown
_1185349510.unknown
_1185350006.unknown
_1185350098.unknown
_1185349658.unknown
_1185348140.unknown
_1185349492.unknown
_1185348114.unknown
_1185346622.unknown
_1185346699.unknown
_1185341776.unknown
_1185342431.unknown
_1185342443.unknown
_1185342091.unknown
_1185342123.unknown
_1185341794.unknown
_1185341345.unknown
_1185341724.unknown
_1185341305.unknown
_1185281252.unknown
_1185340944.unknown
_1185341265.unknown
_1185341286.unknown
_1185341275.unknown
_1185340977.unknown
_1185340895.unknown
_1185340920.unknown
_1185282459.unknown
_1185282604.unknown
_1185281264.unknown
_1185278027.unknown
_1185278048.unknown
_1185278058.unknown
_1185278037.unknown
_1185270613.unknown
_1185277669.unknown
_1185278005.unknown
_1185278015.unknown
_1185277986.unknown
_1185271002.unknown
_1185276318.unknown
_1185270733.unknown
_1185269181.unknown
_1185269208.unknown
_1185267245.unknown