Modul X

Probabilitas

Probabilitas

Pengertian Probabilitas

Macam-macam event

Pendekatan asas probabilitas dengan menggunakan diagram venn

Marginal Probability

Teorema Bayes

Expected Value

Permutasi dan Kombinasi

Pengertian Probabilitas

Probabilitas ialah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak.

3 Kata kunci yang harus diketahui dalam mempelajari Probabilitas:

EksperimenHasil (Outcome)Kejadian / Peristiwa

Macam-macam Event

Kejadian saling meniadakanKejadian tidak saling meniadakanKejadian tak bebasKejadian bebas

Aturan Dasar ProbabilitasA. Aturan Penjumlahan

Dilihat dari jenis kejadiannya apakah bersifat:

a) Saling meniadakan (Mutually Exlusive)

b) Tidak saling meniadakan

B. Aturan PerkalianDilihat dari jenis kejadiannya apakah bersifat:

a) Kejadian bebas

b) Kejadian tak bebas

Kejadian Saling meniadakanKejadian saling meniadakan adalah kejadian dimana jika sebuah kejadian terjadi, maka kejadian yang kedua adalah kejadian yang saling meniadakan.

Jika 2 kejadian A dan B saling meniadakan, aturan penjumlahan menyatakan bahwa probabilitas terjadinya A dan B sama dengan penjumlahan dari masing-masing nilai probabilitasnya:

)()()()atau ( BPAPBAPBAP

Kejadian Tidak Saling Meniadakan

Aturan umum penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan pada 2 kejadian A dan B dapat ditulis:

)()()()()atau ( BAPBPAPBAPBAP

Kejadian Tak BebasProbabilitas bersyarat (Conditional Probability) yaitu Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi.

Probabilitas kejadian Interseksi

Untuk menghitung probabilitas bersyarat, seolah-olah kita sudah mengetahui P(A) dan P(B), berdasarkan apa yang diketahui, akan kita hitung atau untuk menghitung :

)( BAP

)( BAP BAP ABP

BAPBPABPAPBAP ).().()(

Kejadian Bebas

Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi B atau sebaliknya.

Dari definisi yang ada, jika A dan B merupakan kejadian bebas, maka

dan

)(APBAP

)(BPABP

APBPBPAPBAP ).().()(

Pendekatan asas probabilitas dengan menggunakan Diagram Venn

Himpunan dari seluruh kejadian yang ada disebut Himpunan semesta (Universal Set)

Himpunan bagian yang paling kecil dari suatu himpunan disebut himpunan kosong (nullset) dengan simbol Ø

Oleh karena himpunan maupun himpunan bagian dapat merupakan kejadian atau event, maka selanjutnya akan dijelaskan antara lain : Kejadian komplementer, Interseksi (Perpotongan) dan Union (Gabungan).

Komplemen Suatu kejadian

Komplemen suatu kejadian Misalnya s bahwa adalah ruang sampel, a adalah himpunan bagian s, dan komplemen dari A. Hubungan tersebut dapat digambarkan dalam diagram Venn

A

AS

A

Interseksi Dua Kejadian

Interseksi Dua Kejadian, misalnya A dan B, yang sering ditulis , terdiri dari elemen-elemen anggota s yang selain mempunyai sifat atau ciri-ciri A juga B, artinya selain anggota A juga anggota B.

BA

B dan A xxxBA :

B

BA

AS

Union Dua KejadianUnion Dua Kejadian A dan B ditulis merupakan himpunan bagian S, yang terdiri dari elemen-elemen anggota S yang menjadi anggota A saja, B saja atau menjadi anggota A dan B saja sekaligus.

B

BA

AS

B atau A xxxBA :

BA

Marginal ProbabilitySuatu kejadian yang terjadi bersamaan dengan kejadian lainnya, dimana kejadian lainnya tersebut mempengaruhi terjadinya kejadian yang pertama.

Menurut definisi, jika R merupakan suatu kejadian sedemikian rupa sehinnga salah satu kejadian-kejadian yang saling meniadakan S1, S2, ….Sk, harus terjadi bersama (Joint) dengan salah satu kejadian dari R, Kemudin P(R) disebut Probabilitas Marginal

Karena ).()(1

k

i

SiRPRP ).().().( SiRPSiPSiRP

SiRPSiPRPMaka )()(

Teorema Bayes

KK BAPBPBAPBPBAPBP

BrAPBrPABrP

).(...).().(

)(

2211

K

I

BiAPBiP

BrAPBrPABrP

1

).(

)(

Jika kejadian B1, B2,……, Bk. Merupakan mutually exclusive dari ruang sampel S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2, …, k maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) ≠ 0

Expected Value

Apabila x adalah variabel random dengan nilai X1, X2,….,Xn dan probabilitasnya adalah P(X1), P(X2),…..,P(Xn) maka nilai harapan ( Expected Value) dari x adalah:

n

iii xPxxE

1

)()(

Permutasi

Suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda

1. Banyak permutasi n benda yang berbeda adalah n! ditulis dengan nPn!Contoh : Berapa banyaknya cara yang dapat disusun dari 3 huruf A, B, C.Jawab:

Banyaknya permutasi dari 3 unsur 3P3 = 3! = 3.2.1 = 6

Susunannya:

1. A B C 4. B C A

2. A C B 5. C A B

3. B A C 6. C B A

Permutasi2. Banyaknya permutasi akibat pengambilan n

benda berbeda

Contoh :Dari Lima orang calon pejabat, tersedia 3 macam jabatan : Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Berapa banyaknya susunan jabatan yang mungkin dibuat dari kelima calon itu:Jawab: n = 5 dan r = 3

!!

rn

nnPr

susunan 601.2

1.2.3.4.5

!35

!55 3

P

Permutasi

!!......!

!

21 knnn

n

1)!-(n

Permutasi melingkar

Permutasi yang berasal dari penyusunan benda dalam bentuk melingkar

Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, …nk berjenis ke-k adalah

KombinasiBanyak kombinasi r benda dari n benda yang berbeda adalah

Contoh :Dari suatu kelompok yng terdiri dari 5 orang, akan dibentuk suatu komisi atau (Comitte) yang terdiri dari 3 orang. Berapa banayk susunan komisi yang dapat dibuat?Jawab:

)!(!

!

rnr

n

r

n

10!2 !3

!5

)!35(!3

!5

3

5