MatriksKata Pengantar

Modul MatematikaUntuk TKJ, RPL, dan ANIMASISMK NEGERI 5 MALANGHanya Untuk Kalangan SendiriDilarang Mengcopy atau Memperbanyak Tanpa Seijin Penyusun\MATRIKS

A. PENGERTIAN MATRIKS1. Definisi MatriksMatriks adalah suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk baris dan kolom (lajur) dalam bentuk persegi panjang yang di tempatkan di antara dua tanda kurung biasa ( ) atau siku [ ].Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks.Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.Suatu matriks dilambangkan dengan sebuah huruf kapital A, B, C dst.Secara umum matriks dapat ditulis sebagai berikut :

Keterangan :a= Notasi matriks

ij= Ordo matriks i= Banyak baris j = Banyak kolom

Ordo matriks adalah 3 31 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-15 adalah elemen baris ke-2 kolom ke-13 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-3Contoh Soal 1:

2. Jenis-jenis Matriks1. Matriks PersegiYaitu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. (m = n)

Contoh : 2. Matriks BarisYaitu matriks yang mempunyai elemen satu baris

Contoh : 3. Matriks KolomYaitu matriks yang mempunyai elemen satu kolom

Contoh : 4. Matriks NolYaitu matriks yang seluruh elemennya adalah 0

Contoh : 5. Matriks Identitas / SatuanYaitu matriks bujur sangkar yang elemen pada diagonal utamanya adalah 1 (satu), sedangkan elemen lainnya 0 (nol).

Contoh : 6. Matriks DiagonalYaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya adalah 0 (nol)

Contoh :

Matriks sama : matriks A = matriks B, maka elemen yang seletak sama. =

7. Matriks SkalarMatriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanyasama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.

Contoh : 8. Matriks Segitiga AtasMatriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol.Contoh :

9. Matriks Segitiga BawahMatriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

3. Kesamaan MatriksDua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) pada kedua matriks tersebut sama.Contoh Soal 1:

Diketahui matriks Tentukan:a. Apakah matriks A = B?b. Apakah matriks A = C?Jawab:a. Matriks Amatriks B karena ada satu elemen matriks A dan B yang seletak tidak memiliki nilai yang sama, yaitu 2 3.b. Matriks A = matriks B, karena anggota pada matriks A sama dan seletak dengan anggota pada matriks B

Contoh Soal 2:Diketahui matriks-matriks berikut.

. Jika A = B, tentukan nilai x dan y. Jawab: Dengan menggunakan konsep kesamaan dua matriks maka diperoleh: x = 5 dan 2y = 4 y = 2 Jadi, nilai x = 5 dan y = 2

4. Transpose MatriksAdalah matriks baru yang merupakan hasil pertukaran baris dan kolomTranpose matriks di notasikan At (dibaca: A transpose).Sehingga tranpose matriks A adalah At

Jika , maka Jika matriks A berordo m n maka transpos A memiliki ordo n m.

, maka Secara Umum bisa dituliskan :

Contoh Soal:

1. maka

2. maka

Latihan Soal 1 1. Diketahui matriks A =. Tentukan :a) Ordo matriks A b) Elemen kolom ke-4 c) Elemen yang terletak pada baris ke-2 dan kolom ke-3 d) Ordo matriks At dari matriks A 2. Diketahui matriks B = . Tentukanlah:a) banyaknya baris dan kolomb) elemen-elemen pada setiap barisc) elemen-elemen pada setiap kolomd) letak elemen-elemen berikut:(i) - 2 (iii) 4(ii) - 3 (iv) 53. Buatlah :a. Matriks kolomb. Matriks segitiga atasc. Matriks segitiga bawahd. Matriks diagonal utamae. Matriks identitas berordo 334. Tentukan matriks transpose dari :

a. A = c. B =

b. C = d. D = 5.

Tentukan nilaidandari matriks berikut :

a.

b.

c. 6.

Tentukanlah dan, jika At = B.

a. dan

b. dan 7. Diketahui matriks :

, Tentukan nilai a, b dan c agar matriks A sama dengan matriks B.8.

Diketahui A = , B = , dan A = B. Nilai b + c = 9.

Jika matriks = , maka nilai x, y, z berturut-turut adalah ....10.

Diketahui matriks = , nilai dari a2 + 3b - c = ....

B. OPERASI ALJABAR MATRIKS1. Operasi PenjumlahanOperasi Penjumlahan pada matriks hanya dapat dilakukan apabila matriks matriksnya mempunyai ordo sama.

Contoh Soal 1:

Diketahui matriks A =, matriks B =. Hitung A + B!Jawab:

A + B =

2. Operasi PenguranganPengurangan dua matriks harus memiliki ordo sama

,

Contoh Soal 2:

Diketahui A =; B =. Hitung A B!Jawab:

A B = = =Contoh Soal 3 :

Tentukan matriks A dari persamaan matriks berikut Jawab:

A == =

Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Misalkan A, B, dan C matriks-matriks dengan ordo sama maka berlaku sifat-sifat berikut:1. A + B = B + A (Komutatif )2. A + (B + C) = (A + B) + C (Asosiatif ) 3. A B B A (Anti Komutatif )

Latihan Soal 2 1. Diketahui matriks :

B =C =. Hitung :a. B + C b. Bt + C2. Diketahui matriks-matriks berikut.

; ; dan Tentukanlah:a. A + B c. A + (B + C)b. A + Bt d. (A + Bt) + C3. Tentukan hasil penjumlahan dari matriks berikut :

a. b. 4. Tentukan hasil penjumlahan dari matriks berikut :

a. b. 5. Tentukan hasil pengurangan dari matriks berikut :

a. b. 6.

Diketahui : Hitung :a. A Bc. (A + B) Cb. A (D B)d. (A B) + (C D) 7. Tentukan matriks A, B dari persamaan matriks berikut :

a. b. 8. Tentukan matriks P, S dari persamaan matriks berikut :

a. b. 9. Diketahui matriks-matriks berikut.

dan Tentukanlah matriks C yang memenuhi 3C - 2A = B.10.

Diketahui penjumlahan matriks : +=. Nilai a, b, c, dan d berturut-turut adalah .......

3. Operasi Perkalian Bilangan Real dengan MatriksJika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalahmatriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemenmatriks A dengan k.

Contoh Soal :

Jika diketahui K = 4 dan matriks A =. Hitung KA !Jawab :

KA =

Sifat-Sifat Perkalian SkalarMisalkan a dan b skalar, D dan H matriks sebarang dengan ordo sama, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut1. aD + aH = a(D + H)2. aD + bD = (a + b)D3. a(bD) = (ab)D

4. Operasi Perkalian Matriks dengan MatriksPerkalian matriks A dan B dituliskan AB terdefinisi hanya jika banyaknya baris matriks B sama dengan banyaknya kolommatriks A.

Ordo hasil perkalianMatriks

1. Jika matriks A12 = dan matriks B22 =

Maka =

2. Jika matriks A22 = dan matriks B22 =

Maka A B=

=

Contoh soal 1:

Diketahui matriks A = ,B =. Hitung AB !Jawab :

AB=

=

== Contoh Soal 2 :

A = , B = , hitung AB !Jawab:

AB =

=

=

=

5. Perpangkatan Matriks PersegiMisalkan A adalah matriks persegi dengan ordo n n maka bentuk pangkat dari matriks A didenisikan sebagai berikut.A2 = A A A3 = A A AAn = A A A ... A Contoh soal:

JIka A = , hitung A2 !Jawab:

A2 =

=

=

=

Jika setiap matriks berikut dapat dioperasikan di mana a adalah konstanta, maka berlaku sifat-sifat berikut. P + Q = Q + P (P + Q) + R = P + (Q + R) P(Q+ R) = PQ + PR (P + Q)R = PR + QR P(Q - R) = PQ - PR (P - Q)R = PQ - QR a(P + Q) = aP + aQ a(P - Q) = aP - aQ (a + b)P = aP + bP (a - b)P = aP - bP (ab)P = a(bP) a(PQ) = (aP)Q = P(aQ) (PQ)R = P(QR)

Latihan Soal 3 1. Tentukan hasil perkalian dari :a.

2 = d. -5 = b.

4 = e. = c.

3 = f. -6 = 2.

Jika A = , dan B =Hitung :a. A Bb. 2(A + B)3. Jika M matriks berordo 22, tentukan M dari persamaan berikut :a.

b.

4. Tentukan a, b, c, dan d dari persamaan berikut .5. Tentukan hasil perkalian dari matriks matriks berikut :a.

d. b.

e. c.

6. Jika diketahui matriks

A = , B = , C =Tentukan :a.

ABd. At Cb. B2e. B(C + A)c.

AB + Bf. -4 (BA)d.

A(BC)h. (B(C + A))t

7. Jika tentukan nilai a dan b.

8.

Jika =+. Maka nilai adalah 9. Diketahui matriks-matriks berikut.

, , dan

Jika , tentukan nilai a, b, c, dan d.

10. Nilai k yang memenuhi persamaan :

= adalah

Sifat sifat tranpose matriksBeberapa sifat matriks adalah sebagai berikut.1. (A+B)t = At + Bt2. (At)t = A3. (cA)t = cAt dengan c adalah konstanta4. (AB)t = BtAtContoh Soal :

Jika matriks A = dan B =. Tunjukkan bahwa :a. (At)t = Ab. (A + B)tc.

(AB)t = BtAtJawab:a. At =

(At)t=Jadi (At)t= A

b.

A + B =At + Bt=

==

(A + B)t=Jadi, (A + B)t = At + Bt

c.

AB= BtAt=

==

==

==

(AB)t=

Jadi, (AB)t = BtAt

Latihan Soal 4

Jika A = , B =dan C =. Tentukan :1. (At)t6. BtAt 2. (Bt)t 7. AtB3. (A + B)t 8. (A + B + C)t4.

(AB)t 9. (AB)t + (AC)t5.

(AC)t10. (BtAt ) (AtB)

C. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS1. Determinan MatriksDeterminan matriks A didenisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. a. Determinan matriks berordo dua

Diagonal sekunder

det A = |A|= Diagonal utama maka

Contoh :

Jika matriks A = cari determinan matriks A !Jawab:

det A = |A|= = = 12 12 = 0b. Determinan matriks berordo tiga menggunakan aturan Sarus

=

+++___

det A =|A|=

det A=|A|=

Contoh Soal :

Tentukan determinan matriks .

+_Jawab:

det

det A = = 12 + 5 + 16 40 2 12 = -21

Contoh 3:

Diketahui matriks A = .

Hitunglah nilai-nilai yang memenuhi det A = 0.Jawab: det A = 0

det A =

Oleh karena det A = 0 maka

2 = 0 atau 3 = 0

= 2 = 3

Jadi, nilai yang memenuhi adalah 2 dan 3.

2. Adjoint MatriksAdjoint disingkat Adj.Adjoint suatu matriks bujur sangkar adalah :

Jika matriks A = , maka Adj A = Contoh Soal : Tentukan matriks adjoint dari :1.

A = , maka Adj A = 2.

B = , maka Adj B== 3.

C =, maka Adj C = =

3. Invers Matriks

Jika A sebuah matriks maka invers matriks A adalah A1 dan AA1 = I, dimana I adalah matriks identitas.Berikut ini adalah syarat suatu matriks A mempunyai invers. Jika |A| = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular. Jika |A| 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.

Misalkan matriks A = invers dari A adalah A1 , yaitu

A1 = dengan det A 0

Contoh Soal :

Diketahui matriks A =

Maka invers matriks AA1=

=

=

=

=

Sifat-Sifat Invers suatu MatriksMisalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut.1. (AB) 1 = B 1 A 12. (BA) 1 = A 1 B 1

Persamaan MatriksPenyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh Contoh Soal:Jika , maka P = .Jawab: A =B

Latihan Soal 5 1. Tentukan determinan matriks berordo 2x2 berikut :a.

B =d. C =b.

P =e. F =c.

N =f. R =2. Bila matriks R =, hitunglah determinan matriks R.3. Tentukan determinan matriks berordo 3x3 berikut :a.

A =c. D =b.

M =d. E =4. Tentukan adjoint matriks dari matriks matriks berikut :a.

A =d. B =b.

C =e. D =c. N =5. Tentukanlah nilai x dari setiap persamaan berikut.a.

d. 6. Tentukan matriks invers dari setiap matriks berikut :a.

A =d. B =b.

C =e. N =P =c. R =7. Diketahui matriks :

dan Tentukan matriks invers dari :a. (A + B)c. (B A)b. (A B)d. (AB)8.

Diketahui A= dan B=, jika determinan A dan determinan B sama, maka harga x yang memenuhi adalah ....9.

Diketahui matriks X = dengan X matriks persegi berordo 2. Matriks X adalah ....10.

Diketahui matriks A=, B=. Jika C=A-1 dan D=Bt , maka C+D = ....

D. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKSAda dua persamaan yaitu :

Bila ditulis dalam bentuk matriks :

=

= A1 Maka :

Contoh Soal :1. Tentukan matriks koesien dari sistem persamaan linear berikut.2x 3y = 43x y = 12x + 2y = 2Jawab:

Matriks koesien dari sistem persamaan linear tersebut adalah .2.

Tentukan nilaidandari persamaan berikut dengan cara matriks

= 8

= 21

Jawab : =

=

=

=

=

= 1

=

=

=

Jadi, = 3 dan = 23. Ibu membeli 5 kg tepung dan 3 kaleng mentega dan harus membayar Rp. 30.500,-. Kakak membeli 2 kg tepung dan 1 kaleng mentega dan ia harus membayar Rp. 7.500,- tulis pernyataan di atas dalam bentuk matriks !Jawab :

= 7.500Dalam bentuk matriks :

=

Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat juga diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer berikut.

Jika AX = B maka , , ..., .

matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada kolom-j dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B.Contoh soal :Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut denganaturan Cramer!3x - 4y = 55x + 6y = 1Jawab:Terlebih dahulu, tentukan |A|, |A1|, dan |A2|

Jadi, dan Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut

adalah dan .

Latihan Soal 6 Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan cara invers matriks.1.

3. 2.

4. Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan Cramer.5.

6. 6.

7. 9. Harga 3 rim kertas HVS folio dan 2 rim kertas CD Rp. 35.000,- harga 4 rim kertas HVS folio dan 5 rim kertas CD Rp. 56.000,- jika pernyataan tersebut di tulis dalam bentuk matriks adalah .10. Pada liburan semester, sekolah A dan sekolah B mengadakan karyawisata ke Bali. Sekolah A menyewa 10 bus dan 5 mobil. Sekolah B menyewa 7 bus dan 3 mobil. Biaya sewa kendaraan sekolah A sebesar Rp41.250.000,00, sedangkan sekolah B Rp28.250.000,00. Jika diasumsikan biaya sewa per bus dan per mobil kedua sekolah tersebut sama, tentukan harga sewa 1 bus dan 1 mobil.

RANGKUMAN MATERI1. Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.2. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks.3. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.4. Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks:Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris. Matriks kolom, yaitu matriks yang terdiri dari satu kolom. Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol. Matriks identitas, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Matriks skalar, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Matriks segitiga atas, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga bawah, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.5. Operasi Pada Matriksa. Penjumlahan dan Pengurangan-Syarat : ordo harus sama-Entry yang bersesuaian di operasikan.b. Perkalian dengan skalar Masing masing entry dikalikan dengan skalarc. Perkalian Matriks degan Matriks-Syarat : A(m x n) B(n x p) = C(m x p)-Baris ke-i kalikan dengan kolom ke-j (element seletak), kemudian jumlahkan6. Transpose MatriksBaris menjadi kolom atau kolom menjadi baris.7. Sifat sifat tranpose matriks :1. (At)t = A2. (A + B)t = At + Bt 3. (K A)t = KAt 4.

(AB)t = BtAt8. Invers Matriks.

Jika A = , maka invers dari matriks A adalah

A-1 =

Dengan Determinan A, Det A = ad bc9. Sifat-Sifat Invers suatu MatriksMisalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut.1. (AB) 1 = B 1 A 12. (BA) 1 = A 1 B 110. Persamaan Matriks Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh

EVALUASI BAB MATRIKS

A. SOAL PILIHAN GANDA

1. Diketahui A = dan B = , nilai A 2B adalah

a. d.

b. e.

c.

2.Jika A = , B = , dan C = , maka bentuk yang paling sederhana dari (A + C) (A + B) adalah

a. d.

b. e.

c.

3.Jika A = , dan B = , maka matrik A.B adalah

a. d.

b. e.

c.

4.Jika matriks A = , maka A2 adalah

a. d.

b. e.

c.

5.Invers dari matriks A = adalah

a. d.

b. e.

c.

6.Invers dari matrik B = adalah

a. d.

b. e.

c.

7.Jika maka harga a dan b adalaha. a = 1 dan b = 6d. a = 3 dan b = -3b. a = -3 dan b = 15e. a = 2 dan b = 0 c. a = -2 dan b = 12

8.Diketahui A = , B = , dan C = . Jika AB = C, maka nilai k yang memenuhi adalaha. 4d. -1b. 2e. -2c. 1

9.Diberikan K = , dan L = . Jika K = L, maka c adalaha. 16d. 13b. 15e. 12c. 14

10.Diketahui A = , dan B = , dan X matriks berordo (2 x 2) yang memenuhi persamaan matriks 2A B + x = 0, maka x sama dengan ...

a. d.

b. e.

c.

11.Diketahui A = , dan B = , maka nilai A 2B = ...

a. d.

b. e.

c.

12.Jika A = , B = , dan C = maka A(B C) = ...

a. d.

b. e.

c.

13.Diketahui A = , B = , dan C = . Nilai AB C = ...

a. d.

b. e.

c.

14.Jika A = dan matriks B = . Jika A = B, maka nilai x = ....a. 3d. 6b. 4e. 9c. 5

15.Diketahui matrik K = dan matriks L = . Jika matriks K = L, maka nilai x = ....a. -6d. 2b. -4e. 6c. -2

B. SOAL URAIAN1.

Jika matriks A = , B = , C =

Jika A B = 2C, maka akan diperoleh himpunan jawab 2. Diketahui matriks :

I = , A = , B =Nilai 3A B = 3.

Diketahui matriks M = , N =

Hasil perkalian MN adalah 4.

Diketahui A = , B = , jika det.(A) = det.(B) maka nilai x adalah 5. Invers matriks adalah

Halaman 29