modul matematika kelas 8 smp ganjil v1415.pdf

FB: Yanto Ayahnya Imam E-Mail: [email protected]

Blog Ilmu Matematika oleh Yoyo Apriyanto, S.Pd (+6287864437541)Copyright @ 2014-2015. Blog Il

KELAS

VIII-A

Batu Bokah, Desa Banyu Urip, Kec. Gerung, Kab. Lombok Barat

BUKU

GURU

Modul Matematika SMP/MTs Kelas 8 Semester Ganjil Tahun Pelajaran 2014/2015

oleh Yoyo Apriyanto, S.Pd (+6287864437541) Ilmu Matematika: http://ilmu-matematika.blo

YOYO APRIYANTO, S.Pd

Oleh:

MODUL PELAJARAN SMP/MTs

KELAS VIII SEMESTER GANJIL

M A T E M A T I K ATahun Pelajaran 2014/201

MTs. Najmul Huda Batu BokahBatu Bokah, Desa Banyu Urip, Kec. Gerung, Kab. Lombok Barat

Provinsi Nusa Tenggara Barat – Indonesia2014

BUKU

GURU


Page | 1 logspot.com.


SMP/MTs

SEMESTER GANJIL

M A T E M A T I K A /2015

. Najmul Huda Batu Bokah Batu Bokah, Desa Banyu Urip, Kec. Gerung, Kab. Lombok Barat

Indonesia



Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT., Atas

Hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan “

SMP/MTS Tahun 2015” tepat pada waktunya.

Buku ini bisa berhasil ada di tangan Anda juga berkat dukungan dari semua pihak teruta

Tuaku tercinta, Istriku tercinta Lenny Janianty, Anakku tersayang Muhammad Imam Maulana dan Saudara

saudaraku terkasih yang memberi saya motivasi dan kekuatan yang sangat besar untuk dapat

menyelesaikannya. Dukungan dari seluruh Dewan Guru dan Kar

sangat berarti bagi saya.

Buku ini menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan,

kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan

meningkatkan pengetahuan tentang metode

menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan

sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.

Dapatkan Informasi Pendidikan, Sertifikasi, Perangkat Pembelajaran, Skripsi, Makalah, Artikel,

Buku BSE, Soal Ulangan Harian, Soal Ulangan MID Semester, Soal Ulangan Semester, Prediksi Ujian

Nasional, Buku & Soal Olimpiade, Soal SBMPTN, Tutorial Membuat Blog, Driver & So

Populer, serta buku-buku yang disusun oleh

blog: http://file-rahasia.blogspot.com

Penulis menyadari bahwa masih banyak

penulis mengharapkan saran dan kritik yang sifatnya membangun demi sempurnanya Buku ini. Penulis juga

berharap semoga Buku ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Amiin.



KATA PENGANTAR

Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT., Atas limpahan Ridho,

Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan “Modul Persiapan Ujian Nasional

” tepat pada waktunya.

Buku ini bisa berhasil ada di tangan Anda juga berkat dukungan dari semua pihak teruta

tercinta Lenny Janianty, Anakku tersayang Muhammad Imam Maulana dan Saudara


menyelesaikannya. Dukungan dari seluruh Dewan Guru dan Karyawan MTs. Najmul Huda Batu Bokah



ngkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan


sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.

asi Pendidikan, Sertifikasi, Perangkat Pembelajaran, Skripsi, Makalah, Artikel,


Nasional, Buku & Soal Olimpiade, Soal SBMPTN, Tutorial Membuat Blog, Driver & So

buku yang disusun oleh Yoyo Apriyanto, S.Pd., secara gratis, dengan mendownload di

rahasia.blogspot.com.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan Buku ini, oleh karena itu,


berharap semoga Buku ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Amiin.

Kediri, 07

Penulis,

Yoyo Apriyanto, S.Pd



limpahan Ridho, Rahmat, Berkah, dan

Modul Persiapan Ujian Nasional Matematika

Buku ini bisa berhasil ada di tangan Anda juga berkat dukungan dari semua pihak terutama Orang

tercinta Lenny Janianty, Anakku tersayang Muhammad Imam Maulana dan Saudara-


yawan MTs. Najmul Huda Batu Bokah juga



metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan


asi Pendidikan, Sertifikasi, Perangkat Pembelajaran, Skripsi, Makalah, Artikel,


Nasional, Buku & Soal Olimpiade, Soal SBMPTN, Tutorial Membuat Blog, Driver & Software gratis, Ebook

., secara gratis, dengan mendownload di

kekurangan dalam penyusunan Buku ini, oleh karena itu,


07 Juli 2014

Penulis,

Yoyo Apriyanto, S.Pd

FB: Yanto Ayahnya Imam Modul Matematika SMP/MTs Kelas 8 E-Mail: [email protected] Semester Ganjil Tahun Pelajaran 2014/2015

Blog Ilmu Matematika oleh Yoyo Apriyanto, S.Pd (+6287864437541) Page | 3 Copyright @ 2014-2015. Blog Ilmu Matematika: http://ilmu-matematika.blogspot.com.

DAFTAR ISI

COVER ............................................................................................................................................................................ 1

KATA PENGANTAR .................................................................................................................................................... 2

DAFTAR ISI................................................................................................................................................................. 3

BAB 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR ...................................................................................................

BAB 2 RELASI DAN FUNGSI .....................................................................................................................

BAB 3 PERSAMAAN GARIS LURUS ..........................................................................................................

BAB 4 SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL ......................................................................

BAB 5 TEOREMA PYTHAGORAS ................................................................................................................

TENTANG PENULIS ..................................................................................................................................................



BAB 1

OPERASI HITUNG ALJABAR

A. BENTUK ALJABAR DAN UNSUR-UNSURNYA

1. Variabel, Koefisien, Konstanta dan Faktor Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas.

Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat

variabel. Koefisien adalah angka yang berdekatan dengan variabel.

Perhatikan bentuk aljabar berikut:

2x2 + 3x + 4 - Variabel = x2 dan x - Koefisien = 2 dan 3 - Konstanta = 4

2. Suku Jenis dan Suku Tidak Sejenis Bentuk aljabar adalah bentuk yang didalamnya terdapat variabel. Contoh: a. 2x – 8 b. x2 – 16 c. x2 + x – 12 Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang variabel dan pangkatnya sama. Suku-suku seperti 3x dan 5x; 2x2 dan 7x2 disebut suku-suku sejenis. Suku-suku seperti 2x dan 2x2; 4x dan 3y; 5x2 dan 2y2 disebut suku-suku tidak sejenis.

B. OPERASI BENTUK ALJABAR

Perhatikan bentuk berikut: - 4 + 4 + 4 , disingkat 3 × 4 atau 3(4) - a + a, disingkat 2 × a = 2a - b + b + b + b, disingkat 4 × b = 4b - a × a, disingkat a2

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Suatu bentuk aljabar yang mengandung suku-suku sejenis dapat disederhanakan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis yang ada.

Rumus: =

y

a

x

a ±xy

bxay ±

Variabel

Konstanta

Koefisien



Contoh Soal: Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah… 1. 4m – 5 – 6m + 8 = 4m – 6m – 5 + 8 = –m + 3 2. –3(a – 2b + 5 = –3a + 6b – 15 3. 2a2 + 3ab – 7 – 5a2 + 2ab – 4 = 2a2 – 5a2 + 3ab + 2ab – 7 – 4 = –3a2 + 5ab – 11

4. = =

2. Perkalian Bentuk Aljabar

Contoh Soal:

Tentukan hasil penjabaran bentuk aljabar berikut ini! 1. (x + 2)(x – 3) = x2 – 3x + 2x – 6 = x2 – x – 6 2. (2x – 3)(x + 4) = 2x2 + 8x – 3x – 7 = 2x2 + 5x – 7 3. (3m + 2n) (3m – 2n) = 9m2 – 6n + 6n – 4n2 = 9m2 – 4n2

4. =

3. Pembagian Bentuk Aljabar

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

Rumus: = =

Contoh Soal: Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut:

a. 4xy : 2y = = 2x

b. 6a3b2 : 3a2b = = 2ab

yx

xy215

10

yxx

yx

×××××××

53

52

x3

2

r

q

p×5

pr

q5

d

c

b

a:

c

d

b

a ×bc

ad

y

yx

.2

..4

ba

ba

..3

..62

23

- k(ax) = kax - k(ax + b) = kax + kb - (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd - p(a + b) = pa + pb - p(a + b + c) = pa + pb + pc - (a – b)(p + q) = ap + aq – bp – bq - (a + b)(a – b) = a2 – b2 - (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

- = d

c

b

a ×bd

ac



c. (24p2q + 18pq2) : 3pq = = = 8p + 6q = 2(4p + 3q)

d. : = × = = = 5x

4. Perpangkatan Bentuk Aljabar Contoh Soal: Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut! a. (2p)2 = (2p) × (2p)

= 4p2

b. – (2a2bc)2 = – (4a4b2c2)

= – 4a4b2c2

c. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab + b2

d. (3x + 5)2 = (3x + 5)(3x + 5) = 9x2 + 15x + 15x + 25 = 9x2 + 30x + 25

( )pq

pqqp

3

1824 22 + ( )pq

pqqp

3

3.68 +

xy

1

yx 25

1

xy

1

1

5 2 yx

xy

yx 25

yx

yx

.

..5 2

an = 4434421kalinsebanyak

aaaa

.....×××



SOAL ULANGAN

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Bentuk paling sederhana dari 5x2y – 3xy2 –

7x2y + 6xy2 adalah… A. 3xy2 – 12x2y B. 9xy2 – 2x2y C. 3xy2 – 2x2y D. 9xy2 – 12x2y

2. Bentuk sederhana dari 2x + 4xy – 6y−5x – 7xy + y adalah… A. –3x – 3xy – 5y B. –3x – 11xy + 7y C. –7x – 3xy + 5y D. –7x + 11xy – 7y

3. Bentuk sederhana dari (6x + 5) + (3x – 4) – (4x – 6) adalah… A. 5x + 7 C. 13x– 5 B. 5x + 15 D. 13x– 7

4. Hasil pengurangan –2x + 4xy – 3y dari 4x2 + 6xy + 4y2 adalah… A. 6x2 – 2xy + 7y2 B. 6x2 – 2xy – 7y2 C. 6x2 + 2xy + 7y2 D. 6x2 + 2xy – 7y2

5. –2x + 3y dikurangkan dari 2x + 3y, hasilnya… A. 6y C. 4x B. 6y2 D. –4x

6. Diketahui A = 2x + 4xy – 6y dan B = −5x – 7xy + y.Hasil A – B adalah… A. –3x + 11xy – 7y B. –3x – 11xy + 7y C. 7x – 3xy + 7y D. 7x + 11xy – 7y

7. Diketahui A = 5x2 + 8 dan B = –4x – 2, hasil dari A – B adalah… A. 5x2 + 4x +10 C. 9x + 10 B. 5x2– 4x + 6 D. 9x + 6

8. –2(–q – r) = …. A. –2q – r C. 2q + 2r B. 2q + r D. –2q – 2r

9. Hasil dari –3p(–4q + 5r) adalah… A. 12pq + 15pr B. –12pq – 15pr C. 12pq – 15pr D. –12pq – 3pr

10. Penyelesaian dari – adalah…

A. C.

B. D.

11. = …

A. C.

B. D.

12. Hasil dari adalah…

A. C.

B. D.

13. Nilai dari = …

A. C.

B. D.

14. Hasil paling sederhana dari

adalah…

A. C.

2 2

k

1

k3

2

k2

1−k2

1

k3

1

k4

3

4

2

2

++ xx

4

23 +x

6

23 2 +x

6

22 +x

8

23 2 +x

xx 6

7

3

2 −

x6

7−x6

7

x6

5−x6

11

9

23

3

+− xx

9

2

9

2−

9

26 +x

9

26 −x

baba −+

+11

))((

2

baba

a

−+ ))((

4

baba −+



B. D.

15. Nilai dari

A. C. 1

B. D.

16. Hasil dari 2(p + 3) + (3p – 2)2 adalah …

A. 9p2+ 10p + 10 B. 9p2 – 10p + 10 C. 9p2 – 10p – 10 D. 9p2 + 10p – 10

17. Hasil perkalian dari (2a– 3)(4a + 1) adalah… A. 8a2 – 10a – 3 C. 8a2 – 14a – 3 B. 8a2 + 10a – 3 D. 8a2 + 14a – 3

18. Hasil dari (3 – 2x)(4 + x) adalah … A. 12 – 5x – 2x2 C. 12 – 5x + 2x2 B. 12 + 5x – 2x2D. 12 + 5x + 2x2

19. (3a – 2b)(2b + 3a) =… A. 6a2 – 6ab – 4b2 C. 9a2 + 4b2 B. 9a2 – 6ab + 4b2 D. 9a2 – 4b2

20. Hasil dari adalah

A. C.

B. D.

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat! 1. Hasil dari (3p+q)(2p– 5q) adalah…

2. Hasil dari (a–7b)(4a– 2b) adalah…

3. Bentuk sederhana dari (3p – 6pq + 2q) – (2p –

pq + 5q) adalah…

4. Jumlah dari 4x + 5y – 8z dan x – 2y – 3z adalah…

5. Hasil kali (3x – 4y)(4x + 3y) adalah…

6. Hasil dari (2a – b)(2a + b) adalah…

7. Bentuk sederhana dari :

adalah…

8. Diketahui nilaip = 3, q = 6 dan r = 12, maka

hasil dari adalah…

))((

2

baba −+ ))((

4

baba

b

−+

....1 =+x

x

x

x 1+

x

x 12 +x

xx +2

4

6:

2

3 2xx

x

1

x

2

x

1

x

2−x

1−

2

2

8

5

yz

x

zy

x24

23

4

3 rp

q

×



B. PEMFAKTORAN ALJABAR Menyederhanakan bentuk pecahan aljabardengan memfaktorkan.

Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + c dengan c positif sebagai berikut. - Pecah c = (m × n) menjadi perkalian faktor-faktornya. - Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b = (m + n)

Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + c untuk c negatif sebagai berikut. - Pecah c = (m × n) menjadi perkalian faktor-faktornya. - Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b = (m – n) - Bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih

kecil bertanda sebaliknya. Contoh Soal: 1. Faktorkan bentuk aljabar berikut!

a. x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)

3 Jumlah

1 3 4

b. x2 – 13x + 12 = (x – 1)(x – 12)

12 Jumlah

1 –1 2 3

12 –12 6 4

13 –13 8 7

c. x2 + 4x – 12 = (x – 2)(x + 6)

–12 Jumlah

–1 1 –2 2 –3 3

12 –12 6 –6 4 –4

11 –11 4 –4 1 –1

- ax + bx – cx = x(a + b – c) - x2 – y2 = (x – y)(x + y) - x2+ 2xy + y2= (x + y) (x + y) = (x + y) 2

- x2– 2xy + y2= (x – y) (x – y) = (x – y) 2 - x2+ bx + c = (x + m) (x + n) denganm × n = c dan m + n = b

d. x2 – 15x – 16 = (x + 1)(x – 16) –16 Jumlah

–1 1 –2 2 –4 4

16 –16 8 –8 4 –4

15 –15 6 –6 0 0



SOAL ULANGAN


1. Bentuk x2 + 2x – 48 jika difaktorkan adalah…

A. (x – 6)(x – 8) B. (x + 8)(x – 6) C. (x – 4)(x – 12) D. (x + 24)(x –2)

2. Faktor dari y2 – 4y – 12 adalah… A. (y – 6) (y + 2) B. (y + 6) (y – 2) C. (y – 3) (y + 4) D. (y + 3) (y – 4)

3. Faktor dari 3x2 + 7x – 6 adalah… A. (3x – 2) (x + 3) B. (3x + 3) (x – 2) C. (x + 6) (2x – 1) D. (x – 1) (2x + 6)

4. Salah satu faktor dari 6x2 + 11x – 10 adalah… A. (3x + 5) C. (2x + 5) B. (2x + 2) D. (3x + 2)

5. Bentuk faktor dari 9x2 – 1 adalah…

A. (3x + 1)(3x–1) B. 3(3x + 1)(3x – 1) C. 3(x +1)(x – 1) D. 9(x + 1)(x – 1)

6. Bentuk dar 4x2 – 1 adalah… A. (4x + 1)(4x – 1) B. 2(2x + 1)(2x – 1) C. 4(x + 1)(x – 1) D. (2x + 1)(2x – 1)

7. Pemfaktoran dari 9a2 – 16b2 adalah… A. (3a – 4b)(3a – 4b) B. (3a + 4b)(3a + 4b) C. (9a – 16b)(9a + 16b) D. (3a – 4b)(3a + 4b)

8. Pemfaktoran dari 25x² – 49y² adalah… A. (5a – b) (5a + 49b) B. (5a + 7b) (5a – 7b) C. (5a – 7b) (5a + 7b) D. (25a – 7b) (a + 7b)

9. Bentuk faktor dari 4x2 – 36y2 adalah…

A. (2x + 6y)(2x – 6y) B. (2x – 6y)(2x – 6y) C. (4x – 6y)(x + 6y) D. (4x + 6y)(x + 6y)

10. Faktor dari 81a2 – 16b2 adalah… A. (3a – 4b)(27a + 4q) B. (3a + 4b)(27a - 4b) C. (9a - 4b)(9a + 4b) D. (9a - 4b)(9a - 4b)

11. Faktor dari 49p2 – 64q2 adalah… A. (7p – 8q)(7p – 8q) B. (7p + 16q)(7p – 4q) C. (7p + 8q)(7p – 8q) D. (7p + 4q)(7p – 16q)

12. Faktor dari 16x2 – 9y2 adalah… A. (2x + 3y)(8x – 3y) B. (4x – 9y)(4x + y) C. (4x + 3y)(4x – 3y) D. (2x + 9y)(8x – y)

13. Pemfaktoran dari 4x2 + 6x adalah… A. (3x + 3) B. 2x (3x– 3) C. –2x (3x + 3) D. 2x (3x + 3)



BAB 2

RELASI DAN FUNGSI

A. RELASI

1. Pengertian Relasi Relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan himpunan B, adalah suatu aturan yang

memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

2. Menyatakan Relasi a. Diagram Panah

Diketahui A = {2, 3, 5}; B = {4, 5, 6}; dan relasi dari A ke B adalah relasi “kurang dari”.

b. Himpunan Pasangan Berurutan Diketahui A = {2, 3, 5}; B = {4, 5, 6}; dan relasi dari A ke B adalah relasi “kurang dari”. Jawab: R = {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

c. Diagram Cartesius Diketahui A = {2, 3, 5}; B = {4, 5, 6}; dan relasi dari A ke B adalah relasi “kurang dari”.

2

3

5

4

5

6

A B

2 3 5

4

5

6



B. FUNGSI ATAU PEMETAAN 1. Pengertian Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau Pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota satu himpunan yang lain.

Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah: A. setiap anggota A mempunyai pasangan di B; B. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Contoh Soal: 1. Diketahui diagram panah:

(1) (3) (2) (4)

Diagram yang menunjukkan pemetaan/fungsi adalah… Penyelesaian: (i) Diagram panah pada (1) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai tepat satu

pasangan di B. (ii) Diagram panah pada (2) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yaitu 3 mempunyai dua

pasangan di B. (iii) Diagram panah pada (3) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai tepat satu

pasangan di B. (iv) Diagram panah pada (4) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yaitu 23 mempunyai dua

pasangan di B dan ada anggota A yaitu 3 tidak mempunyai pasangan di B.

2. Menentukan Banyaknya Anggota Himpunan Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = adan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka 1. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalahba 2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalahab.



SOAL ULANGAN


1. Himpunan pasangan berurutan berikut yang

menyatakan relasi ”kurang dari ” adalah… A. {(1,6), (2,2), (2,4), (3,6)} B. {(1,2), (2,4), (3,2), (3,6)} C. {(1,2), (1,4), (1,6), (2,4), (2,6), (3,6)} D. {(1,2), (1,4), (2,4), (2,6), (3,2), (3,4)}

2. Jika A = {2, 3, 4, 5} dan B = {3, 4, 5, 6}, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah “satu kurangnya dari”. Maka relasi tersebut jika dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan adalah… A. {(2,1), (3,2), (4,3), (5, 6)} B. {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)} C. {(2,3), (3,4), (4,6), (3,5)} D. {(2,3), (3,4), (4,5), (5,6)}

3. Perhatikan gambar!

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah… A. faktor dari C. kurang dari B. kelipatan dari D. akar dari

4. Perhatikan gambar! Aturan dari relasi yang digambarkan dengan diagram panah diatas ini adalah… B. kurang dari C. faktor dari C. lebih dari D. kuadrat dari

5. Diketahui himpunan pasangan berurutan (1). {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a) } (2). {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d) } (3). {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b) } (4). {{1, a), (2, b), (1, c), (2, d) }

Himpunan pasangan berurutan yang merupakan pemetaan/fungsi adalah… A. (1) dan (2) B. (1) dan (3) C. (2) dan (3) D. (2) dan (4)

6. Diketahui : P = {(1,1), (1,2), (2,2), (3,3)} R = {(1,1), (2,3), (3,4), (3,5)} Q = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,1)} S = {(1,1), (2,3), (3,3), (3,4)} Himpunan pasangan berurutan di atas, yang merupakan fungsi adalah … A. P C. R B. Q D. S

7. Diketahui P = {a, b, c, d} dan Q = {1, 2, 3}. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q adalah… A. 81 C. 12 B. 64 D. 7

8. Diketahui X = {1, 2} dab Y = {a, b, c}. Banyaknya fungsi yang mungkin dari Y ke X adalah… A. 5 C. 8 B. 6 D. 9

9. Diagram panah dibawah ini yang merupakan fungsi dari himpunan P ke himpunan Q adalah… A. C. B. D.

2

3

5

4

5

6

A B



C. MENENTUKAN NILAI SUATU FUNGSI 1. Notasi Fungsi

Notasi suatu fungsi: Dibaca: “fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B”.

2. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = c Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = a Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = a

Contoh Soal: 1. Fungsi f : x 3x – 5 dengan X ∈ {–3, –2, –1, 0, 1, 2}.

Daerah hasil fungsi f adalah… Penyelesaian: f(x) = 3x – 5 Daerah hasil: f(–3) = 3(–3) – 5 = –9 – 5 = –14

f(–2) = 3(–2) – 5 = –6 – 5 = –11 f(–1) = 3(–1) – 5 = –3 – 5 = –8 f(0) = 3(0) – 5 = 0 – 5 = –5 f(1) = 3(1) – 5 = 3 – 5 = –2 f(2) = 3(2) – 5 = 6 – 5 = 1

Jadi daerah hasilnya yaitu {–14, –11, –8, –5, –2, 1}

2. Fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = 7 – 2x – 3x2, bayangan –3 oleh fungsi tersebut adalah… Penyelesaian: f(x) = 7 – 2x – 3x2 bayangan –3 yaitu x = –3 substitusi x = –3 ke: f(x) = 7 – 2x – 3x2 f(–3) = 7 – 2(–3) – 3(–3)2 = 7 + 6 – 3(9) = 13 – 37 = – 24

3. Menghitung Nilai Fungsi Contoh Soal: 1. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 1 – 2x2.Nilai f (−2) adalah…

Penyelesaian: Substitusi nilai x = −2 ke fungsi f(x) = 1 – 2x2

→

f : x→y atau f : x→f(x)

Domain (daerah asal) = A = {1, 2, 3} Kodomain (daerah kawan) = B = {a, b, c} Daerah Hasil = {a, c}



Sehingga f(x) = 1 – 2x2 f(−2) = 1 – 2.(−22)= 1 – 2.(4)= 1 – 8= −7

2. Diketahui f(x) = 2x – 3, jika f(a) = 7, maka nilai a adalah…

Penyelesaian: f(x) = 2x – 3, jika f(a) = 7 f(a) =2a – 3 7 = 2a – 3 2a = 7 + 3 2a = 10

a = = 5

3. Koordinat titik potong fungsi f(x) = 3x – 18 dengan sumbu x adalah…

Penyelesaian: Fungsi f(x) = 3x – 18 , sumbu x, maka y = 0

0 = 3x – 18 3x = 18

x = = 6

Jadi koordinat titik potongnya adalah (6, 0).

4. Jikaf(x) = 3x + 1 dan f(a) = 19 maka nilai a adalah…

Penyelesaian: f (x) = ax + b f(a) = 19 ⇒ 3a + 1 = 19

3a = 19 – 1 3a = 18

a = = 6

5. Suatu fungsi dari P ke Q dinyatakan sebagai {(1, 2 ), (2, 3), (3, 3 ), (4, 4)}. Notasi itu adalah…

Penyelesaian: f (x) = ax + b f(x) = y Untuk (2, 3) maka x = 2 dan y = 3

3 = 2a + b 2a + b = 3

Untuk (4, 4) maka x = 4 dan y = 4

4 = 4a + b 4a + b = 4

2

10

3

18

3

18

21

21



2a + b = 3 4a + b = 4 − –2a = −1

a =

a =

Notasinya f (x) = ax + b⇒f : x x + 2

6. Suatu fungsi didefinisikan oleh rumus f(x) = ax + 5 jika f(–1) = 1, maka rumus fungsinya adalah…

Penyelesaian: f (x) = ax + b f(x) = ax + 5 f(–1) = 1 ⇒ –a + 5 = 1

–a = 1 – 5 –a = – 6

a = = 6

Rumus fungsinya: f(x) = ax + 5 f(x) = 6x + 5

7. Fungsi f(x) = ax + b, jika f(2) = −2 dan f(−3) = 13 maka nilai f(4) adalah…

Penyelesaian: f (x) = ax + b f(2) = −2 ⇒ 2a + b = −2 f(−3) = 13 ⇒ −3a + b = 13 −

2a – (−3a) = −2 – 13 2a + 3a = −15 5a = −15

a = = −3

Substitusi nilai a = −3 ke: 2a + b = −2 2(−3) + b = −2 −6 + b = −2 b = −2 + 6 b = 4

Substitusi nilai a = −3 dan b = 4 ke: f(x) = ax + b ⇒ f(x) = −3x + 4 maka f(4) ⇒ f(4) = −3(4) + 4 = −12 + 4 = −8

2

1

−−

2

1

→21

1

6

−−

5

15−

Substitusi nilai a = ke: 2a + b = 3

2. + b = 3

1 + b = 3 b = 3 – 1 b = 2

2

1

2

1



SOAL ULANGAN


1. Perhatikan gambar berikut!

Domain dari diagram panah diatas… A. {1, 2, 3, 4} C. {1, 6} B. {1, 2, 6} D. {3}


Himpunan daerah hasil (range) dari diagram panah diatas ini adalah…. A. {1, 4, 9, 10} C. {1, 2, 3, 4, 5} B. {1, 2, 3, 4} D. {5}

3. Diketahui rumus fungsi f(x) = –2x + 5. Nilai f(-4) adalah… A. -13 C. 3 B. -3 D. 13

4. Jika f(x) = 3x – 2 dan f(a) = 19. Maka nilai a adalah… C. 6 C. 55 D. 7 D. 57

5. Diketahuif(x) = 8x+5 dan f(a) = −19. Nilai a adalah… A. –2 C. –4 B. –3 D. –5

6. Suatu fungsi linear didefinisikan dengan f(x) = ax + b dengan x R. Jika pada fungsi tersebut diketahui f(-2) = −8 dan f(5) = 13, maka nilai a dan b berturut-turut adalah… A. -3 dan 2 C. 2 dan -3 B. -2 dan 3 D. 3 dan -2

7. Suatu fungsi didefinisikan f(x) = 7 –

dengan x∈ {-2, 0, 2, 4}. Daerah hasil fungsi tersebut adalah… A. {6, 7, 8, 9} C. {8, 6, 4, 2} B. {8, 7, 6, 4} D. {8, 7, 6, 5}

8. Diketahui f(x) = 2x – 3, pada himpunan

bilangan bulat dinyatakan dalam pasangan berurutan {(a,3), (b,-5), (-2,c), (-1,d)}. Nilai a + b + c – d adalah… A. -1 C. 2 B. 1 D. 0

9. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = ax + b. Jika f(–2) = 14 dan f(3) = –1, maka nilai a dan b adalah… A. –3 dan 8 C. 2 dan 5 B. 3 dan 8 D. 5 dan -2

10. Fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = ax +

b. Bila f(2) = 1 dan f(4) = 7, maka nilai a + 2b adalah… A. -7 C. 2 B. -2 D. 7

11. Diketahui f(x) = px + q, f(-1) = -5, dan f(4) = 5. Nilai f(-6) adalah… A. –15 C. 7 B. -9 D. 10

12. Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus f(x)

= mx + n, f(0) = 4, dan f(-1) = 1. Maka nilai f(-3) adalah… A. –13 C. 5 B. -5 D. 13

13. Koordinat titik potong fungsi g(x) = 20 – 5x

dengan sumbu y adalah… A. (0, 20) C. (4, 0) B. (20, 0) D. (0, 4)

∈

x21



B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat! 1. Suatu fungsi dirumuskan f:x→ 3x – 2 jika f(a)

= 13, maka nilai a adalah…

2. Diketahui fungsi f(x) = 2x² – 2x– 12.

Nilai dari f( ) =…

3. Fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = px

+ q, f(3) = -10, dan f(-2) = 0. Maka nilai f(-7) adalah…

4. Diketahui f(x) = px + q, f(-2) = -13, dan f(3) =

12. Nilai f(5) adalah…

2

1



BAB 3

PERSAMAAN GARIS LURUS

A. MENGGAMBAR GRAFIK PERSAMAAN GARIS

Bentuk Umum persamaan garis: y = mx + c. Contoh Soal: Gambar persamaan garis 3x – 4y + 24 = 0 adalah… Penyelesaian: 3x – 4y + 24 = 0 ⇒ 3x – 4y = –24

3x – 4y = –24

x 0 –8

y 6 0

(x, y) (0,6) (–8,0)

Titik (0, 6) dan (–8, 0).

B. MENENTUKAN GRADIEN SUATU GARIS

1. Gradien dari Persamaan Garis Garis miring ke kanan, gradien positif Garis miring ke kiri, gradien negatif

Gradien m =

Contoh Soal: 1. Gradien garis dengan persamaan 4x – 2y + 8 = 0 adalah…

Penyelesaian: 4x – 2y + 8= 0 – 2y = – 4x – 8

y =

y = 2x + 4

m = 2 Gradien garis dengan persamaan 4x – 2y + 8 = 0 adalah 2

x

y

komponen

komponen

2

84

−−− x

Gambar grafiknya:

-8

6

y

x

Bentuk: ax + by + c = 0

m = b

a−



2. Gradien garis dengan persamaan 3x + 2y = 6 adalah… Penyelesaian: 3x + 2y = 6 2y = – 3x + 6

y =

y = x + 3

m =

Gradien garis dengan persamaan 3x + 2y = 6 adalah

2. Gradien Melalui Dua Titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Contoh Soal: 1. Gradien garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah…

Penyelesaian: Garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah:

x1 y1 x2 y2

Gradien garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah

2

63 +− x

2

3−

2

3−

2

3−

2

5

4

10

22

)6(4

12

12 −=−

=−−−−=

−−

=xx

yym

2

5−

Gradien m = 12

12

xx

yy

−−



SOAL ULANGAN



Gradien garis pada gambar di samping adalah…

A. C.

B. D.

2. Gradien garis yang melalui titik (-3, 4) dan (-8,

-6) adalah… A. 10 C. -2 B. 2 D. -10

3. Gradien garis dengan persamaan y – 3x = 2

adalah… A. -6 C. 3 B. -3 D. 6

4. Gradien garis 2y + x – 4 = 0 adalah…

A. C.

B. D.

5. Gradien garis dengan persamaan 4x – y + 8 = 0

adalah…

A. -4 C.

B. D. 4

6. Gradien garis dengan persamaan 5y = 7 – 2x

adalah…

A. 2 C.

B. D.

7. Gradien garis 4x – 6y = 24 adalah…

A. C.

B. D.

8. Gradien garis -3x – 2y = 7 adalah…

A. C.

B. D.

9. Gradien garis 2x – y = 2 adalah…

A. C. 1

B. D. 2

10. Gradien garis x – 3y = -6 adalah…

A. -3 C.

B. D. 3

11. Gradien garis dengan persamaan 5y = 7 – 2x

adalah…

A. 2 C.

B. D.

12. Gradien garis yang melalui titik (4b, 5) dan

(2b, 8) adalah –3. Nilai b adalah…

A. C.

B. D.

2

5

5

2−

5

2

2

5−

2

1

2

1−4

1

4

1−2

1

4

1

4

1−

2

1

5

2−

5

2

2

12−

2

3

3

2−

3

2

2

3−

2

3

2

3−

3

2−3

7−

2

1−

2

1

3

1

3

1−

2

1

5

2−

5

2

2

12−

2

1−2

1

6

1−3

2



13. Gradien garis yang melalui titik (2, 1) dan titik (4, 7) adalah… A. 0,2 C. 2 B. 0,5 D. 3

14. Titik(2, -7) dan (-1, 5) terletak pada garis dengan persamaan y = mx + c. Nilai m + c adalah… A. -5 C. -3 B. -4 D. 1

C. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS

1. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah titk (x1, y1) dengan gradien m

Contoh Soal:

1. Persamaan garis yang melalui titik (3, –2) dengan gradien m = 4 adalah…

Penyelesaian: Titik (3, –2) dan gradien m = 4 x1 = 3 ; y1 = –2 dan m = 4 Persamaan garis : y – y1 = m (x – x1) y – (–2) = 4 (x – 3) y + 2 = 4x – 12 y = 4x – 12 – 2 y = 4x – 14

2. Persamaan garis melalui titik (–4, 3) dengan gradien 2 adalah…

Penyelesaian: Titik (–4, 3) dengan gradien m = 2 x1 = –4 ; y1 = 3 dan m = 2 Persamaan garis : y – y1 = m (x – x1) y – 3 = 2 (x – (–4) y – 3 = 2 (x + 4) y – 3 = 2x + 8 2x + 8 = y – 3 2x – y + 8 + 3 = 0 2x – y + 11 = 0

y – y1 = m(x – x1)

Smart Solution: y = mx + c –2 = 4(3) + c –2 = 12 + c c = –2 – 12 c = –14 Jadi : y = mx + c

y = 4x– 14

Smart Solution: y = mx + c 3 = 2(–4) + c 3 = –8 + c c = 3 + 8 c = 11 Jadi : y = mx + c

y = 2x+ 11 2x+ 11 = y 2x – y + 11 = 0



2. Persamaan Garis melalui Dua Titik (x1, y1) dan (x2, y2) Contoh Soal: 1. Persamaan garis yang melalui titik (–3,6) dan (1,4) adalah…

Penyelesaian: Cara Biasa: Titik (–3 , 6) dan (1, 4) x1y1x2y2

=

=

=

=

4.(y – 6) = –2(x + 3) 4y – 24 = –2x – 6 4y + 2x = – 6 + 24 4y + 2x = 18 2x + 4y = 18 (sama-sama bagi 2) x + 2y = 9

3. Persamaan Garis Melalui (x1, y1) dan Sejajar dengan Garis y = mx + c Contoh Soal: 1. Persamaan garis melalui titik (-3, 2) dan sejajar dengan garis 2x + 3y = 6 adalah…

Penyelesaian: Cara Biasa: Gradien garis 2x + 3y = 6 adalah : 2x + 3y = 6 3y = –2x + 6

y =

y = x + 2

12

1

yy

yy

−−

12

1

xx

xx

−−

64

6

−−y

)3(1

)3(

−−−−x

2

6

−−y

31

3

++x

2

6

−−y

4

3+x

3

62 +− x

3

2−

Smart Solution:

(x1 – x2).y = (y1 – y2).x + [(x1 × y2) – (y1 × x2)

Rumus Biasa:

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

−−

=−−

Smart Solution: (x1 – x2).y = (y1 – y2).x + [(x1 × y2) – (y1 × x2) (–3 – 1).y = (6 – 4).x + [(–3×4) – (6 × 1) –4y = –2x + [–12 – 6] –4y = 2x – 18 2x + 4y = 18 (sama-sama bagi 2) x + 2y = 9

Syarat dua garis sejajar: m1 = m2

Persamaan Garis: y – y1 = m(x – x1)

Smart Solution: Titik (-3, 2) berarti x1 = –3 ; y1 = 2 Sejajar garis 2x + 3y = 6 Persamaan garis:

2x + 3y = 2(x1) + 3(y1) 2x + 3y = 2(–3) + 3(2) 2x + 3y = –6 + 6 2x + 3y = 0



m1 =

Karena sejajar berarti m1 = m2 =

Titik (-3, 2) x1 y1 Persamaan garis:

y – y1 = m (x – x1)

y – 2 = (x – (–3)

3.(y – 2) = –2.(x + 3) 3y – 6 = –2x – 6 2x + 3y = –6 + 6 2x + 3y = 0

4. Persamaan Garis yang Melalui (x1, y1) dan Tegak Lurus dengan Garis y = mx + c Contoh Soal:

1. Persamaan garis melalui titik (-4, -2) dan tegak lurus dengan garis 2x + 6y – 12 = 0 adalah ....

Penyelesaian Cara Biasa: Gradien garis 2x + 6y – 12 adalah: 2x + 6y = 12 6y = –2x + 12

y =

y = x + 2

m1 =

Syarat dua garis tegak lurus:

m1×m2 = –1

× m2 = –1

m2 = –1 × –3 m2 = 3

3

2−

3

2−

3

2−

6

122 +− x

6

2−

3

1

6

2 −=−

3

1−

Syarat Dua Garis Tegak Lurus: m1× m2 = –1

Persamaan Garisnya: y – y1 = m(x – x1)

Titik (–4, –2) berarti x1 = –4 ; y1 = –2 Persamaan garis: y – y1 = m (x – x1) y – (–2) = 3.(x – (–4) y – (–2) = 3.(x + 4) y + 2 = 3x + 12 y = 3x + 12 – 2 y = 3x + 10



5. Persamaan Garis Berdasarkan Grafik melalui titik (x1, y1) Contoh Soal: Perhatikan gambar ! Persamaan garis pada gambar adalah… Penyelesaian: x1 = –4 dan y1 = 3 y1.x + x1.y = x1 . y1

3x – 4y = –4 . 3 3x – 4y = – 12

Smart Kediri Solution: Titik (-4, -2) berarti x1 = –4 ; y1 = –2 Sejajar garis 2x + 6y = 12 (tanda berkebalikan) Persamaan garis:

6x – 2y = 6(x1) – 2(y1) 6x – 2y = 6(–4) – 2(–2) 6x – 2y = –24 + 4 6x – 2y = –20 –20 = 6x – 2y 2y = 6x + 20 (sama-sama bagi 2) y = 3x + 10

Smart Solution y1.x + x1.y = x1 . y1



SOAL ULANGAN


1. Persamaan garis lurus yang melalui titik (0, 3)

dengan gradien -2 adalah… A. y = -2x – 3 B. y = 2x + 3 C. 2x – y = 3 D. y + 2x = 3

2. Persamaan garis yang melalui titik pangkal

koordinat dan titik A(–3, 4) adalah…

A. y = x + 4 C. y = x + 4

B. y = x D. y = x

3. Persamaan garis lurus yang melalui titik (7, –4)

dan (9, 6) adalah… A. y = 5x + 39 B. 5x – y = 39 C. y = 5x – 39 D. 5x + y = 39

4. Persamaan garis yang melalui titik (1, –2) dan

sejajar dengan garis yang persamaannya y= 2x + 1 adalah… A. y = 2x – 3 C. y = 2x + 4 B. y = 2x + 3 D. y = 2x – 4

5. Persamaan garis yang melalui titik (–2,5) dan

sejajar dengan garis yang persamaannya 3x – 2y – 6 = 0 adalah…

A. y = x + 5 C. y = x + 5

B. y = x + 8 D. y = x + 8

6. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 5) dan

sejajar garis x – 3y + 2 = 0 adalah… A. 3x – y = 17 C. x – 3y = -17 B. 3x + y = 17 D. x + 3y = -17

7. Dari garis-garis dengan persamaan: I. y– 5x + 12 = 0 II. y + 5x– 9 = 0 III. 5y–x– 12 = 0 IV. 5y + x + 9 = 0 Yang sejajar dengan garis yang melalui titik (2, 1) dan (3, 6) adalah… A. I C. III B. II D. IV

8. Persamaan garis melalui titik (2, –1) dan tegak lurus dengan garis y = 2x + 5 adalah… A. 2x + y = 0 C. x + 2y = 0 B. 2x – y = 0 D. x – 2y = 0

9. Diketahuigaris-garis dengan persamaan: (i) 2y – 3x + 10 = 0 (ii) 3y + 2x –15 = 0 (iii) 3y – 2x – 5 = 0 (iv) 4y + x + 5 = 0 Pasangan garis yang saling tegak lurus adalah… A. (ii) dan (iii) C. (i) dan (ii) B. (ii) dan (iv) D. (i) dan (iii)

10. Garis g tegak lurus dengan garis yang persamaannya 2y – 3x = 6. Gradien garis g adalah…

A. C.

B. D.

4

3−3

4−

3

4−4

3−

3

2

2

3

3

2

2

3

2

3−3

2

3

2−2

3



B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat! 1. Gradien garis yang tegak lurus dengan garis

3x + 5y + 20 = 0 adalah…

2. Persamaan garis yang sejajar dengan x + y – 2 = 0 dan melalui titik (-5, 0) adalah…

3. Persamaan garis yang sejajar dengan garis 2x

+ 3y + 6 = 0 dan melalui titik (–2, 5) adalah…

4. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 3) dan sejajar dengan garis yang melalui titik (5, 2) dan (-1, -1) adalah…

5. Persamaan garis yang melalui titik (6, –1) dan tegak lurus dengan garis y = 3x + 2 adalah…

6. Persamaan garis yang melalui titik (–3, –2) dan

mempunyai gradien adalah…

7. Persamaan garis yang melalui titik (–5, –4) dan

tegak lurus terhadap garis yang melalui titik (–1, 3) dan (–4, 6) adalah…

8. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(–2, –3) dan tegak lurus terhadap garis dengan

persamaan: y = + 9 adalah…

53−

x3

2



BAB 4

PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

A. PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai

hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk ax + by = c dan dx + ey = f atau biasa ditulis

Maka dikatakan dua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear dua variabel. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

B. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

1. Metode Grafik Contoh Soal: Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

. Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian: Untuk memudahkan menggambar grafik dari x + y = 5 dan x – y = 1, buatlah tabel nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut

x + y = 5

x 0 5

y 5 0

(x, y) (0,5) (5,0)

x – y = 1

x 0 1

y –1 0

(x, y) (0,–1) (1,0)

Dari gambar tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah (3, 2). Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1 adalah {(3, 2)}.

=+=+

fey dx

cby ax

=−=+

1

5

yx

yx

- x , y disebut variabel - a, b, d, f disebut keifisien - c , f disebut konstanta

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 –1

x + y = 5

x – y = 1

Y

X



2. Metode Eliminasi Contoh Soal: Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel


Penyelesaian: 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 Langkah I (Eliminasi variabel y)

Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien x harus sama, sehingga persaman 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 3. 2x + 3y = 6 × 1 ⇒ 2x + 3y = 6 x – y = 3 × 3 ⇒ 3x – 3y = 9 – 2x – 3x = 6 – 9 – x = – 3 x = 3

Langkah II (Eliminasi variabel x) Untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persaman 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 2. 2x + 3y = 6 × 1 ⇒ 2x + 3y = 6 x – y = 3 × 2 ⇒ 2x – 2y = 6 – 3y – (–2y) = 6 – 6 5y = 0

y =

y = 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}.

3. Metode Substitusi Contoh Soal: Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel


Penyelesaian: Persamaan (1) 2x + 3y = 6 Persamaan (2) x – y = 3 ⇒x = y + 3 Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) 2x + 3y = 6 2(y + 3) + 3y = 6 2y + 6 + 3y = 6 2y + 3y = 6 – 6 5y = 0

y =

y = 0

=−=+

3

632

yx

yx

5

0

=−=+

3

632

yx

yx

5

0



Selanjutnya substitusi nilai y = 0, ke persamaan (2) y = 0 ⇒ x = y + 3

x = 0 + 3 x = 3


4. Metode Gabungan Cara Cepat: Persamaan 1 adalah A1x + B1y = C1 Persamaan 2 adalah A2x + B2y = C2

maka:

Untuk mencari nilai y kita substitusi nilai x yang telah didapat ke persamaan 1 atau persamaan 2. Contoh Soal: 1. Dengan metode gabungan, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel


Penyelesaian: Cara Pertama: Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi dan substitusi, diperoleh: 2x + 3y = 6 × 1 ⇒ 2x + 3y = 6 x – y = 3 × 2 ⇒ 2x – 2y = 6 – 3y – (–2y) = 6 – 6 5y = 0

y = = 0

Selanjutnya substitusi nilai y = 0 ke x – y = 3

x – 0 = 3 x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}. Cara Kedua: Persamaan 1 adalah 2x + 3y = 6 ⇒ A1x + B1y = C1 Persamaan 2 adalah x – y = 3 ⇒ A2x + B2y = C2

maka:

Selanjutnya substitusi nilai x = 3 ke x – y = 3

3 – y = 3 y = 3 – 3 y = 0


( ) ( )( ) ( )2112

1221

BABA

CBCBx

⋅−⋅⋅−⋅

=

=−=+

3

632

yx

yx

5

0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 3

5

15

23

69

23

69

1231

6133 ==++=

−−−−=

−⋅−⋅⋅−−⋅=x



2. Penyelesaian sistem persamaan 2x + 4y + 2 = 0 dan 3x – y – 11 = 0 adalah x1 da y1. Nilai x1 + y1 adalah… A. -5 B. -1 C. 1 D. 5 Kunci jawaban : C Penyelesaian: Persamaan (1) 2x + 4y + 2 = 0 ⇒ 2x + 4y = – 2 Persamaan (2) 3x – y – 11 = 0 ⇒ 3x– y=11 2x + 4y = – 2 × 3 ⇒ 6x + 12y= –6 3x – y = 11 × 2 ⇒6x– 2y= 11– 14y= –28 14y = –28

y =

y1 = –2 Substitusi nilai y1 = –2 ke: 2x + 4y = –2

2x + 4.(–2) = –2 2x – 8 = –2 2x = –2 + 8 2x = 6

x =

x1 = 3 Jadix1 + y1 = 3 + (–2) = 1

14

28−

3

6



SOAL ULANGAN


1. Penyelesaian sistem persamaan x – y = 12 dan

x + y = 6 adalah… A. (3, -9) C. (3, 9) B. (9, -3) D. (-9, 3)

2. Nilai y yang merupakan penyelesaian dari 3x – y = 12 dan x + 4y = 17 adalah… A. 3 C. 6 B. 5 D. 7

3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2 adalah… A. {(–2, –4)} C. {(2, –4)} B. {(–2,4)} D. {(2,4)}

4. Nilai x yang merupakan penyelesaian dari 2x –

5y = 2 dan 5x + 2y = 34 adalah… A. 2 C. 6 B. 4 D. 8

5. Penyelesaian sistem persamaan 3x – 2y = 12 dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q. Nilai dari 4p + 3q adalah… A. 17 C. –10 B. –1 D. –17

6. Dari sistem persamaan 3x + 2y = 8 dan x – 5y = –37, nilai 6x + 4y adalah… A. –30 C. 16 B. –16 D. 30

7. Penyelesaian sistem persamaan dari 2x + 3y = 26 dan 3x + 4y = 37 adalah x dan y. Nilai x – y adalah… A. 3 C. 5 B. 4 D. 6

8. Himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 19 dan x – y = –8 adalah {(x,y)}. Nilai x – 7y =… A. –50 C. 40 B. –40 D. 50

9. Diketahui persamaan y = ax + b. Jika y = –3 untuk x = 1 dan y = 9 untuk x = 3, maka nilai 3a + 2b adalah… A. –9 C. 0 B. –3 D. 6

10. Diketahui sistem persamaan 2x + y = 13 dan 3x – 2y = 2. Nilai 7x + 3y adalah… A. 47 C. 35 B. 43 D. 19

11. Himpunan penyelesaian sistem persamaan 3x + 2y = 19 dan 2x – y = 1 adalah {(x,y)}. Nilai 4x – 5y =… A. –18 C. 12 B. –13 D. 22

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat! 1. Diketahui sistem persamaan 2x– 3y = 18 dan x

+ 4y = –2. Nilai x + y =…

2. Penyelesaian dari sistem persamaan x – 3y = 1 dan x – 2y = 2 adalah…

3. Penyelesaian dari sistem persamaan y = 2x + 5 danx + 3y = 1 adalah…

4. Jika x dan y merupakan penyelesain dari –4x + y = 7 dan x + 2y = 5, maka nilai 3x – y adalah…

5. Penyelesaian dari 2x + 3y = 10 dan –3x + y = –4 adalah x = a dan y = b. Nilai dari a – 2b =…



C. MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN MASALAH SEHARI-HARI YANG MELIBATKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita sebagai berikut.

1. Mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat matematika (model matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linear dua variabel.

2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. 3. Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita. Contoh Soal: 1. Harga 3 kemeja dan 2 celana adalah Rp300.000,00, sedangkan 1 kemeja dan 4 celana harus dibayar

Rp400.000,00. Harga sebuah kemeja adalah… Penyelesaian: Misalkan: Kemeja = x Celana = y 3 kemeja dan 2 celana adalah Rp300.000,00 ⇒3x + 2y = 300.000 1 kemeja dan 4 celana harus dibayar Rp400.000,00 ⇒x + 4y = 400.000 3x + 2y = 300.000 × 2 ⇒ 6x + 4y = 600.000 x + 4y = 400.000 × 1 ⇒ x + 4y = 400.000−

5x = 200.000

x =

x = 40.000 Jadi harga sebuah kemeja (x) adalah Rp40.000,00

2. Jumlah dan selisih dua buah bilangan masing-masing 12 dan 4. Selisih kuadrat kedua bilangan itu

adalah… Penyelesaian: Misalkan: bilangan 1 = x bilangan 2 = y Jumlah dua buah bilangan 12⇒ x + y = 12 Selisih dua buah bilangan 4 ⇒ x – y = 4 x + y = 12 x – y = 4 + 2x = 16 x = 8 Selisih kuadrat = 82 – 42 = 48

5

000.200

Substitusi nilai x = 8 ke x + y = 12 8 + y = 12 y = 12 – 8 y = 4



SOAL ULANGAN


1. Jumlah dua bilangan cacah adalah 34 dan

selisih kedua bilangan itu adalah 4. Hasil kali kedua bilangan itu adalah… A. 130 C. 140 B. 135 D. 145

2. Harga 2 pasang sepatu dan 3 pasang sandal adalah Rp 175.000,00 sedangkan harga 3 pasang sepatu dan 4 pasang sandal adalah Rp 255.000,00. Harga sepasang sepatu dan 2 pasang sandal adalah… A. Rp71.000,00 C. Rp95.000,00 B. Rp90.000,00 D. Rp105.000,00

3. Harga 3 buah CD dan 4 buah kaset adalah Rp 230.000,00. Sedangkan harga 2 buah CD dan 5 buah kaset yang sama adalah Rp 200.000,00. Harga 4 buah CD dan 5 buah kaset adalah… A. Rp 250.000,00 C. Rp 400.000,00 B. Rp 300.000,00 D. Rp 460.000,00

4. Pada sebuah toko, Hida dan Anis membeli terigu dan beras dengan merk yang sama. Hida membeli 6 kg terigu dan 10 kg beras seharga Rp 84.000,00, sedangkan Anis membeli 10 kg terigu dan 5 kg beras seharga Rp 70.000,00. Harga 8 kg terigu dan 20 kg beras adalah… A. Rp 152.000,00 C. Rp 128.000,00 B. Rp 130.000,00 D. Rp 120.000,00

5. Harga 4 kg gula pasir dan 3 liter minyak gorengadalah Rp 40.000,00, sedangkan harga 3 kg gula pasir dan 2 liter minyak goreng adalah Rp 28.500,00. Harga 2 kg gula pasir adalah… A. Rp 11.000,00 C. Rp 12.000,00 B. Rp 11.500,00 D. Rp 12.500,00

6. Besar uang Agnes adalah 4 kali uang Ketut, sedangkan selisih uang Agnes dan Ketut adalah Rp Rp 36.000,00. Jumlah uang Agnes dan Ketut adalah…

A. Rp 45.000,00 C. Rp 60.000,00 B. Rp 48.000,00 D. Rp 72.000,00

7. Di lapangan parkir terdapat 105 kendaraan yang terdiri dari sepeda motor dan mobil. Jika jumlah roda seluruh kendaraan tersebut (tanpa ban serep) adalah 290 roda, maka banyaknya mobil di tempat parkir tersebut adalah… A. 35 C. 60 B. 40 D. 70

8. Harga dua baju dan satu kaos Rp 170.000,00,

sedangkan harga satu baju dan tiga kaos Rp 185.000,00. Harga tiga baju dan dua kaos adalah… A. Rp 275.000 C. Rp 475.000 B. Rp 375.000 D. Rp 575.000

9. Harga sebuah mesin foto copy adalah 5 kali harga sebuah komputer. Harga 5 buah computer dan 2 buah mesin foto copy adalah Rp 60.000.000,00. Harga sebuah mesin foto copy tersebut adalah… A. Rp 20.000.000 C. Rp 30.000.000 B. Rp 25.000.000 D. Rp 35.000.000

10. Di dalam kandang terdapat bebek dan kambing sebanyak 15 ekor. Jika banyak kakinya ada 40 buah, maka banyaknya kambing adalah… ekor. A. 4 C. 6 B. 5 D. 10

11. Di dalam dompet Mimi terdapat 25 lembar uang yang terdiri dari lembaran lima ribu rupiahan dan sepuluh ribu rupiahan. Jika jumlah uang itu Rp 200.000,00, banyak uang lima ribu rupiah dan sepuluh ribu rupiah adalah… A. 10 dan 15 C. 14 dan 11 B. 12 dan 13 D. 15 dan 1



BAB 5

TEOREMA PYTHAGORAS

A. TEOREMA PYTHAGORAS

Teorema Pythagoras: AC2 = AB2 + BC2 ⇒ b2 = a2 + c2 AB2 = AC2 – BC2 ⇒ a2 = b2 – c2 BC2 = AC2 – AB2 ⇒ c2 = b2 – a2

Teorema Pythagoras: PR2 = PQ2 + RQ2 ⇒ q2 = r2 + p2 PQ 2 = PR2 – RQ2 ⇒ r2 = q2 – p2 RQ2 = PR 2 – PQ 2 ⇒ p2 = q2 – r2

Contoh Soal:

1. Perhatikan gambar dan pernyataan berikut.

(1) a2 = b2 – c2 (2) b2 = a2 + c2 (3) c2 = a2 + b2 (4) a2 = c2 – b2

Pernyataan yang benar adalah .... A. (1) dan (2) B. (1) dan (3) C. (2) dan (3) D. (2) dan (4)

Kunci jawaban : A Sisi miring pada segitiga panjangnya adalah b satuan Sehingga b2 = a2 + c2 atau a2 = b2 – c2

a

c

b

A B

C

b

c

a

P Q

R

q

r

p



SOAL ULANGAN


1. Perhatikan gambar dibawah ini! Pernyataan-pernyataan di bawah ini yang benar untuk segitiga siku-siku ABC adalah… A. c2 + a2 = b2 C. c2 + b2 = a2 B. c2 – b2 = a2 D. a2 + b2 = c2

2. Segitiga PQR siku-siku di Q, jika PQ = 4 cm dan PR = 5 cm, maka panjang QR adalah… A. 3 cm C. 16 cm B. 9 cm D. 20 cm

3. Panjang hipotenusa segitiga siku-siku adalah 30 cm, jika panjang salah satu sisinya 18 cm, maka panjang sisi lainnya adalah… A. 6 cm C. 24 cm B. 8 cm D. 35 cm

4. Panjang hipotenusa sebuah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi siku-siku 5 cm adalah…

A. cm C. cm

B. cm D. cm

5. Perhatikan gambar dibawah ini!

Nilai x pada gambar di bawah adalah…

A. cm C. cm

B. cm D. cm

6. Perhatikan gambar dibawah ini! Dalil Pythagoras pada gambar di atas adalah… A. a2 = b2 + c2 C. b2 = a2 + c2 B. a2 = c2 – b2 D. b2 = a2 – c2

7. Perhatikan gambar dibawah ini! Panjang BD pada gambar di bawah ini adalah… A. 10 cm C. 34 cm B. 26 cm D. 36 cm BD2 = CB2 + CD2

BD =

BD =

BD =

BD = 26 cm

5 75

50 125

10 20

12 40

22 2410 +576100+

676

B C

D

10 cm

24 cm



B. TRIPEL PYTHAGORAS Contoh Soal: 1. Perhatikan bilangan-bilangan berikut :

(1) 13, 12, 5 (2) 6, 8, 11 (3) 7, 24, 25 (4) 20, 12, 15 Bilangan-bilangan di atas, yang merupakan tripel Pythagoras adalah… A. (1) dan (2) B. (1) dan (3) C. (2) dan (3) D. (2) dan (4)

Kunci jawaban: B (1) 132 = 122 + 52

169 = 144 + 25 169 = 169 Jadi 13, 12, 5 merupakan tripel Pythagoras

(3) 252 = 242 + 72 625 = 576 + 49 625 = 625 Jadi 7, 24, 25 merupakan tripel Pythagoras

Jawaban yang benar (1) dan (3) 2. Perhatikan ukuran-ukuran segitiga berikut ini

(1) 4 cm, 5 cm, 6 cm (2) 17 cm, 15 cm, 8 cm (3) 8 cm, 10 cm, 12 cm (4) 25 cm, 7 cm, 24 cm Yang merupakan segitiga siku-siku adalah… A. (1) dan (2) B. (1) dan (3) C. (2) dan (3) D. (2) dan (4)

Kunci jawaban: D Segitiga siku-siku dapat dibentuk apabila panjang sisi-sinya merupakan tripel pythagoras. (2) 172 = 152 + 82

289 = 225 + 64 289 = 289 Jadi 17, 15, 8 merupakan tripel Pythagoras

(4) 252 = 72 + 242

625 = 46 + 576 625 = 625

Jadi 25, 7, 24 merupakan tripel Pythagoras



SOAL ULANGAN


1. Rangkaian bilangan berikut merupakan panjang

sisi-sisi sebuah segitiga: (i) 8 cm, 15 cm, 19 cm (ii) 12 cm, 16 cm, 20 cm (iii) 15 cm, 20 cm, 30 cm

(iv) 7 cm, 10 cm, 12 cm

Yang merupakan segitiga siku-siku adalah… A. (ii) dan (iv) C. (i) dan (iii) B. (ii) dan (iii) D. (i) dan (iv)

2. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah… A. 12, 13, 6 C. 24, 5, 25 B. 14, 48, 50 D. 10, 6, 7

3. Diketahui ukuran-ukuran sisi segitiga sebagai berikut : (i). 5, 9, 13 (ii). 5, 12, 13 (iii) 7, 24, 25 (iv) 7, 24, 26 Dari ukuran-ukuran segitiga di atas, yang dapat membentuk segitiga siku-siku adalah… A. (i) dan (ii) C. (iii) dan (iv) B. (ii) dan (iv) D. (ii) dan (iii)

4. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah… A. 4, 3, 6 C. 6, 8, 11 B. 5, 3, 4 D. 8, 10, 12

5. Perhatikan gambar dibawah ini!

Panjang sisi segitiga PQR pada gambar di atas ini adalah 8 cm, maka panjang QB adalah…

C. cm C. cm

D. cm D. cm

6. Dari segitiga berikut yang merupakan segitiga

siku-siku adalah segitiga dengan panjang sisi… A. 6 cm, 8 cm, dan 10 cm B. 10 cm, 12 cm, dan 14 cm C. 10 cm, 15 cm, dan 20 cm D. 7 cm, 15 cm, dan 18 cm

21

21

48 30

40 20



Tentang Penulis


pada SDN 1 Kediri tahun 1998, SMPN 1 Kediri tahun 2001, SMAN 1 Kuripan

tahun 2004, S1 Pendidikan Matematika diperoleh dari IKIP Mataram tahun

2009. Mengawali karir menjadi guru semenjak kuliah, mengajar di MTs.

Najmul Huda Batu Bokah, Lombok Ba

mengajar les privat, sebagai seorang Desainer Grafis, Affiliate Marketer,

Internet Marketer, Web Desainer dan Blogger.

menuangkan karya tulis berupa Modul, Soal

Olimpiade, Uji Kompetensi, Cerita, Pengalaman, Tips dan Trik, Kritik, Saran, dan Wacana serta bisa membuat

saya berkomunikasi dengan para Blogger

File Rahasia adalah salah satu

2014 untuk menuangkan hasil belajar dan menyampaikan tips blog, terutama dalam

Writing, Blog Design, Widgets, dan

domain (subdomain) bisa mencapai SEO yang tinggi dan dapat bersaing dengan TLD (semoga!).

Website/Blog : http://file-rahasia.blogspot.com

Email/Paypal : [email protected]

Facebook : Yanto Ayahnya Imam

Twitter : @YoyoApriyanto

Phone : +6287864437541

Rekening Donasi : BRI (No. Rek: 468601009138533, Cabang: Kediri Mataram, An. YOYO APRIYANTO)

Rekening Donasi : BCA (No. Rek: 0560872283, Cabang: Cakranegara, An. YOYO

Salam, YOYO APRIYANTO, S.Pd File Rahasia Blogspot Teacher, Blogger, Desainer Grafis, Online Marketer, Web Desainer.Kediri, Lombok Barat, Mataram, NTBIndonesia



Tentang Penulis

YOYO APRIYANTO, S.PdLahir di Kediri, Pada Tanggal 17 April 1985. Menamatkan




Najmul Huda Batu Bokah, Lombok Barat, Mataram, NTB hingga sekarang,


Internet Marketer, Web Desainer dan Blogger.

Blogging adalah hobi dan pekerjaan terbaik karena saya bisa

menuangkan karya tulis berupa Modul, Soal Ulangan, Try Out Ujian Nasional,


Blogger dan seluruh pembaca pada umumnya secara luas dan tanpa batas.

alah salah satu Blog Personal saya yang didirikan pada hari Kamis, Tanggal

untuk menuangkan hasil belajar dan menyampaikan tips blog, terutama dalam

, dan SEO serta sebagai blog uji-coba untuk membuktikan bahwa second level


rahasia.blogspot.com

: [email protected]

: Yanto Ayahnya Imam

: @YoyoApriyanto

: +6287864437541

: BRI (No. Rek: 468601009138533, Cabang: Kediri Mataram, An. YOYO APRIYANTO)

: BCA (No. Rek: 0560872283, Cabang: Cakranegara, An. YOYO

Teacher, Blogger, Desainer Grafis, Online Marketer, Web Desainer. Kediri, Lombok Barat, Mataram, NTB



YOYO APRIYANTO, S.Pd Lahir di Kediri, Pada Tanggal 17 April 1985. Menamatkan Pendidikan




rat, Mataram, NTB hingga sekarang,


adalah hobi dan pekerjaan terbaik karena saya bisa

Ulangan, Try Out Ujian Nasional,


dan seluruh pembaca pada umumnya secara luas dan tanpa batas.

saya yang didirikan pada hari Kamis, Tanggal 15 Mei

untuk menuangkan hasil belajar dan menyampaikan tips blog, terutama dalam Blog Mastering, Blog

membuktikan bahwa second level


: BRI (No. Rek: 468601009138533, Cabang: Kediri Mataram, An. YOYO APRIYANTO)

: BCA (No. Rek: 0560872283, Cabang: Cakranegara, An. YOYO APRIYANTO)

modul matematika kelas 8 smp ganjil v1415.pdf

Documents