1

2

LingkaranLingkaran

tempat kedudukan titik-titikyang berjarak sama

terhadap suatu titik tetap.Jarak yang sama itu disebut jari-jari

dan titik tetap itu disebutpusat lingkaran

3

Persamaan LingkaranPersamaan LingkaranPusat O(0,0) dan jari-jari r

r = jari-jari

x

y

O

r P(x,y)

x

xx22 + y + y22 = r = r22

4

Soal 1Persamaan lingkaran

pusatnya di O(0,0) dan jari-jari:

a. r = 5 adalah x2 + y2 = 25

b. r = 2½ adalah x2 + y2 = 6¼

c. r = 1,1 adalah x2 + y2 = 1,21

d. r = √3 adalah x2 + y2 = 3

5

Soal 2Persamaan lingkaran

pusat O(0,0) dan melalui titik (3,-1)

adalah….

6

PenyelesaianPenyelesaianMisal persamaan lingkaran yangberpusat di O(0,0) dan jari-jari radalah x2 + y2 = r2

melalui (3,-1) → 32 + (-1)2 = r2

r2 = 9 + 1 = 10Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 10

7

Soal 3Soal 3Pusat dan jari-jari lingkaran:a. x2 + y2 = 16 adalah… jawab: pusat O(0,0) dan r = 4b. x2 + y2 = 2¼ adalah… jawab: pusat O(0,0) dan r = 1½ c. x2 + y2 = 5 adalah… jawab: pusat O(0,0) dan r = √5

8

Soal 4Soal 4

Persamaan lingkaran yang sepusat

dengan lingkaran x2 + y2 = 144

tetapi panjang jari-jarinya setengah

dari panjang jari-jari lingkaran

tersebut adalah….

9

PenyelesaianPenyelesaianLingkaran x2 + y2 = 144pusatnya O(0,0) dan jari-jarinyar = √144 = 12 → ½r = 6Persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya r = 6 adalah x2 + y2 = 62

x2 + y2 = 36

10

Soal 5Soal 5

Jika titik (2a, -5) terletak pada

lingkaran x2 + y2 = 41 maka

nilai a adalah….

11

PenyelesaianPenyelesaianTitik (2a, -5) terletak padalingkaran x2 + y2 = 41, berarti (2a)2 + (-5)2 = 41 4a2 + 25 = 41 4a2 = 41 – 25 = 16 a = 4 → a = 2 atau a = -2

12

Soal 6Soal 6Persamaan lingkaran yang koordinat

ujung-ujung diameternya A(2,-1)

dan B(-2,1) adalah….

13

PenyelesaianPenyelesaian

Diameter = panjang AB

=

=

A(2,-1)

B(-2,1)

diameter

22 ))1(1()22(

5220416

14

Diameter = panjang AB

= 2√5

Jari-jari = ½ x diameter

= ½ x 2√5

= √5

15

Koordinat pusat = = (0,0)

A(2,-1)

B(-2,1)

Pusat

2

)1(1,

2

22

16

Jadi,

persamaan lingkarang yang

jari-jari = √5 dan pusat (0,0)

adalah x2 + y2 = (√5)2

x2 + y2 = 5

17

(x – a)(x – a)22 + (y - b) + (y - b)22 = r = r22

Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari

a

(a, b)b

(0,0)

Persamaan LingkaranPersamaan LingkaranPusat (a,b) dan jari-jari rPusat (a,b) dan jari-jari r

x

y

18

Soal 1Soal 1Tentukan pusat dan jari-jari lingkarana. (x – 3)2 + (y – 7)2 = 9 jawab: pusat di (3,7) dan jari-jari r = √9 = 3b. (x – 8)2 + (y + 5)2 = 6 jawab: pusat di (8,-5) dan jari- jari r = √6

19

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran

c. (x + 3)2 + (y – 5)2 = 24

jawab: pusat di (-3,5) dan

jari-jari r = √24 = 2√6

d. x2 + (y + 6)2 = ¼

jawab: pusat di (0,-6) dan

jari- jari r = √¼ = ½

20

Soal 2Persamaan lingkaran, pusat di (1,5)

dan jari-jarinya 3 adalah ….

Penyelesaian:(x – a)2 + (y – b)2 = r2

▪ Pusat (1,5) → a = 1 dan b = 5

▪ Jari-jari r = 3 → r2 = 9

Persamaannya (x – 1)2 + (y – 5)2 = 9

21

Soal 3Persamaan lingkaran, pusat di (-1,0) dan jari-jarinya 3√2 adalah ….

Penyelesaian:(x – a)2 + (y – b)2 = r2

▪ Pusat (-1,0) → a = -1 dan b = 0▪ Jari-jari r = 3√2 → r2 = (3√2)2 = 18Persamaannya: (x + 1)2 + y2 = 18

22

Soal 4Persamaan lingkaran yang

berpusat di titik (-2,-7)

dan melalui titik (10,2) adalah ….

23

P(-2,-7)

A(10,2)r

Penyelesaian:Pusat (-2,-7)

→ a = -2, b = -7

Jari-jari = r = APAP =

r =

Jadi, persamaan lingkarannya

(x + 2)2 + (y + 7)2 = 225

22 2)7(10)2(

1522581144 → r2 = 225

24

Soal 5Persamaan lingkaran yang

berpusat di titik (4,-3)

dan melalui titik pangkal

adalah ….

25

P(4,-3)

O(0,0)r

Penyelesaian:Pusat (4,-3)

→ a = 4, b = -3

Jari-jari = r = OPOP =

r =

Jadi, persamaan lingkarannya

(x - 4)2 + (y + 3)2 = 25

22 )03()04(

525916 → r2 = 25

26

Soal 6Persamaan lingkaran yang

berpusat di garis x – y = 1,

jari-jari √5 dan

melalui titik pangkal adalah ….

27

PenyelesaianMisal persamaan lingkarannya

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

▪ melalui O(0,0) → x = 0, y = 0

dan jari-jari r = √5 → r2 = 5

disubstitusi ke (x – a)2 + (y – b)2 = r2

(0 – a)2 + (0 – b)2 = 5

a2 + b2 = 5 …..(1)

28

▪ Pusat (a,b) pada garis x – y = 1 a – b = 1 → a = b + 1 disubstitusi ke a2 + b2 = 5 (b + 1)2 + b2 = 5 b2 + 2b + 1 + b2 = 5 2b2 + 2b – 4 = 0 → b2 + b – 2 = 0 (b + 2)(b – 1) = 0 b = -2 atau b = 1

29

▪ b = -2 → a = b + 1 = -2 + 1 = -1 diperoleh pusatnya (-1,-2), r = √5 Jadi, persamaan lingkarannya

(x + 1)2 + (y + 2)2 = 5▪ atau b = 1 → a = 1 + 1 = 2 diperoleh pusatnya (2,1), r = √5 Jadi, persamaan lingkarannya

(x – 2)2 + (y – 1)2 = 5

30

Soal 7Persamaan lingkaran yang

berpusat pada perpotongan garis

y = x dengan garis x + 2y = 6

melalui titik O(0,0) adalah ….

31

Penyelesaian▪ pusat pada perpotongan garis

y = x dengan garis x + 2y = 6

substitusi y = x ke x + 2y = 6

x + 2x = 6

3x = 6 → x = 2

x = 2 → y = 2 → pusat (2,2)

32

▪ jari-jari = jarak pusat (2,2) ke O(0,0)

r = = Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8 x2 – 4x + 4 + y2 – 4x + 4 = 8 x2 + y2 – 4x – 4y = 0 → persamaan lingkaran dalam bentuk umum

22 )02()02(

844 → r2 = 8

33

xx22 + y + y22 + Ax + By + C = 0 + Ax + By + C = 0

Persamaan LingkaranPersamaan Lingkarandalam bentuk umumdalam bentuk umum

Pusat (-Pusat (-½½A, -A, -½½B)B)

r = CBA 2212

21 )()(

34

Soal 1Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran

x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0

jawab: A = -2, B = - 6, C = -15

pusat di (-½A,-½B) → (1, 3)

jari-jari r =

=

)15(31 22 525

35

Soal 2Tentukan pusat lingkaran

3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0

jawab: 3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0 x2 + y2 – x + 2y – 4 = 03

4

Pusat (-½( – ), -½.2)

34

Pusat( , – 1)32

36

Soal 3Jika titik (-5,k) terletak pada

lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0

maka nilai k adalah…

37

Penyelesaian(-5,k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0 (-5)2 + k2 +2(-5) – 5k – 21 = 0 25 + k2 – 10 – 5k – 21 = 0 k2 – 5k – 6 = 0 (k – 6)(k + 1) = 0Jadi, nilai k = 6 atau k = -1

38

Soal 4Jarak terdekat antara titik (-7,2)

ke lingkaran

x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0

sama dengan….

39

PenyelesaianPenyelesaianTitik T(-7,2) disubstitusi ke x2 + y2 – 10x – 14y – 151(-7)2 + 22 – 10.(-7) – 14.2 – 151 49 + 4 + 70 – 28 – 151 = - 56 < 0berarti titik T(-7,2) beradadi dalam lingkaran

40

Pusat x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0

adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5,

7)

QT = PQ - PT = 15 – 13 = 2Jadi, jarak terdekat adalah 2

P(5,7)

Q

rT(-7,2)

)151(75rPQ 22 25225r

PT

13168

22 )72()57(

41

SELAMAT BELAJAR