Makalah Matematika

Sifat-Siat Trigonometri dan Contoh Soal

Disusun Oleh:An Nisaa’ Ul ‘Alimah (07)Anggun Surya Diantriana (08)Dwi Wulandari Kusuma W (13)Zakiyah Ramadany (37)

XII-MIA 1

JANUARI 2016SMAN 1 Situbondo

Jalan PB. Sudirman no.5A, Situbondo

SIFAT-SIFAT TRIGONOMETRI

Rumus penjumlahan atau selisih sudut1. cos (a+b )=cosa cos b−sin asinb

Contoh soal:

i. cos80° cos10 °−sin 80 ° sin 10°=cos (80+10 )° = cos 90°=0

ii. cos α = 35 dan cosβ = 1

2 √2

cos (α−β )=cosα cos β+sin α sin β

¿ 35∙ 12 √2 - 4

5 ∙ 12 √2

¿− 110 √2

2. cos (a−b )=cos acosb+sin asinb

i. cos80° cos20 °+sin 80 °sin 20 °=cos (80−20 )° = cos 60°=¿ 12

ii. cos α = 35 dan cosβ = 1

2 √2

cos (α−β )=cosα cos β+sinα sin β

¿ 35∙ 12 √2 + 4

5 ∙ 12 √2

¿ 710 √2

3. sin (a+b )=sin acosb+cos a sin b

i. sin 20 ° cos25°+cos20° sin 25 °=sin (20+25 )° = sin 45°=¿ 12 √2

ii. sin α = 513 dan cosβ = 4

5

sin (α+β )=sin α cos β+sinα cos β

¿ 513∙ 45 + 12

3∙ 35

1

¿ 5665

4. sin (a−b )=sin acosb−cos a sin b

i. sin 43° cos13°−cos 43 °sin 13 °=sin ( 43−13 )° = sin 30°=¿ 12

ii. sin α = 513 dan cosβ = 4

5

sin (α−β )=sinα cos β−sinα cos β

¿ 513∙ 45 - 12

3∙ 35

¿−1665

5. tan (α+β )= tan α+ tan β1−tan α tan β

i. sin α=35 dan tan α=3

4

tan (α+β )= tan α+ tan β1−tan α tan β=

34+ 1

4

1−34∙ 14= 16

13

ii. tan (x+y) = 1 dan tan y = 1, tentukan tan x !

tan ( x+ y )= tan x+ tan y1−tan x tan y

1 = tan x+11−tan x

1 – tan x = tan x+1

2 tan x = 0

tan x = 0

6. tan (α−β )= tan α−tan β1+ tan α tan β

i. sin α=35 dan tan α=3

4

tan (α−β )= tan α−tan β1+ tan α tan β=

34−1

4

1+ 34∙ 1

4 = 8

19

2

ii. hitunglah nilai tan 15° !

tan 15° = tan (45° – 30°)

tan 15° = tan 45 °−tan30 °1+ tan 45 ° ∙ tan 30° =

1− 1√3

1+1∙ 1√3

∙ √3√3 = (3+1 )−2√3

2 = 2 -√3

Rumus – Rumus Sudut Ganda (Sudut Rangkap)

7. sin 2 A=sin ( A+A )=sin A ∙cosA+cos A ∙ sin A=2 sin A ∙cosA

i. Jika tan α = 815 pada kuadran pertama, hitunglah sin 2α !

sin 2α = 2 sin α ∙cosα = 2 ∙ 817∙ 1517

=240289

ii. Tentukan semua nilai θ dengan 0° ≤ θ ≤ 360° yang memenuhi sin 2θ = cosθ

Sin 2θ = cos θ 2 Sin θ cos θ = cos θ 2 Sin θ cos θ – cos θ = 0 Cos θ (2sin θ - 1) = 0

Rumus sin 2∝ = 2 sin ∝ cos ∝Atur ruas kanan = 0Faktor cos θ dikeluarkan

Sehinga diperolehCos θ = 0 atau 2sinθ – 1 = 0

sinθ = 12

Jadi, untuk persamaan cos θ = 0, sudut- sudut yang memenuhinya adalah 90° dan 270°

8. tan2α= 2 tan α1−tan2α

i. jika tan A = 2 dan A di kuadran III, hitung nilai 2A, cos 2A, dan tan A. terletak di kuadran manakah sudut 2A?

Jawaban :Untuk tan A,sebaiknya Sin A dan cos A dihitung dari segitiga siku-siku dengan A di kuadran III (lihat gambar)Diketahui :

Tan A = yx dengan tan A = 2 = −2−1 (A dalam kuadran III)

Berarti,X= -1, y=-2, dan r = √ (−1 )2+(−2 )2 = √5

3

Sehingga,

Sin A = yr = −2√5 dan cos A = xr =

−1√5

Sin 2A = 2 sin A cos A

= 2 (−2√5 )(−1

√5 ) = 45 positif

Cos 2A = 2 cos2 A -1

= 2 (−1√5 )

2

-1 = 25 - 5

5 = −35 negatif

Tan 2A = 2 tan A

1−tan2 A =

2(2)1−(2 )2 = 4

−3 = -43

Karena dalam kasus ini 2A positif dan cos 2A negatif , sudut 2A harus berada di kuadran II.

ii. Jika sin A = 35 dengan A sudut lancip, hitunglah tan 2A!

tan2 A= 2 tan A1−tan2 A

=¿ 2· 3

4

1−( 34 )

2 = 247

9. Cos 2A = cos2 A – sin2

A

= 1 – 2 sin2 A

= 2 cos2 A - 1i. Diketahui sin ɑ = 12/13, dengan ɑ lancip. Hitung nilai sin 2ɑ, cos 2ɑ,

dan tan 2ɑ hitunglah perbandingan trigonometri sudut gandanya!

Cos ɑ = +√1−sin2ɑ= + √1−(1213

) = √ 169169

−144169

= √ 25169

= 513

sin 2ɑ = 2 sin ɑ cos ɑ = 2 ( 1213 )( 5

13 ) = 120169

cos 2ɑ = 2 cos2 ɑ -1 = 2 ( 513 ) – 1 = 50

169 - 169169 = −119

169

tan 2ɑ = sin 2ɑcos2ɑ=

120169

−119169

= - 120119

ii. Tunjukkan bahwa cos x(1 – cos 2x) = sin x sin 2xUntuk menunjukkan kebenaran kesamaan tersebut, ruas kiri yang akan dijabarkan.cos x(1 – cos 2x) = sin x sin 2xcos x[1 – (1 – 2 sin2 x)] = sin x sin 2xcos x (1 – 1 + 2 sin2 x) = sin x sin 2x2 cos x sin2 x = sin x sin 2x2 sin x · cos x · sin x = sin x sin 2xsin x sin 2x = sin x sin 2x (Terbukti)

4

10. tan 2A = 2 tan A1−tan2 A

i. Jika sin A = 35 dengan sudut lancip, hitunglah tan 2A

2A = 2 tan A

1−tan2 A

= 2 3

4

1−( 34 )

2 =

32

1− 916

=

329

16

. 1616

Tan 2A = 247

Rumus – Rumus Sudut Paruh

11. Sin 12 A = ± √ 1−cos A

2i. Dengan menggunakan prinsip sudut paruh, hitunglah sin 15O

Sin A2 = ± √ 1−cos A2

Berarti A = 30o

Sin 15o = √ 1−cos30o

2

= √ 1−12 √3

2

= √ 2−√34

Sin 15o = 12 √2−√3

12. Rumus cos 12A = ±√ 1+cos A

2

i. Dengan menggunakan prinsip sudut paruh, hitunglah cos π8 !

cos π8 = √ 1+cos π4

2=√ 1+1

2 √2

2=√ 2+√2

4

ii. Diberikan sin A = - 1213 dengan A di kuadran III, hitunglah cos A2 !

cos A2 = - √ 1+cos A2

= √ 1− 513

2=√ 13−5

13·2=−√ 4

13

cos A2 = - 2√13

· √13√13

=−213 √13

5

13. Rumus tan 12A = ± √ 1−cos A

1+cosA

1−cos Asin A

sin A1+cosA

i. Dengan menggunakan sumbu paruh tentukan tan 15o

Tan A2 = 1−cos Asin A

A2 = 15o berarti A = 30o (kuadran I, bertanda positif)

Tan 15o = 1−cos30o

sin30o =

1−12 √3

12

Tan 15o = 2 - √3

ii. Jika sin A = 1213 dengan A di kuadran III, hitunglah tan A2 !

tan A2 = √ 1−cos A1+cosA

=√ 1− 513

1+ 513

= −√ 94=−3

2

Rumus – Rumus Perkalian ke Penjumlahan dari Ekspresi

Trigonometri

14. sin A sin B = 12¿]

i. Nyatakan 2 sin 73° sin 13° sebagai jumlah atau selisih

kosinus!

2 sin 73° sin 13° = cos (72 - 13)° - cos (73 + 13)°

= cos 60° - cos 86°

= 12−cos86 °

6

ii. Nyatakan 4 sin π8 sin π16sebagai jumlah atau selisih kosinus!

4 sin π8 sin π16 = 2[2 sin π8 sin π16 ]

= 2[cos (π8− π16

¿−cos (π8 + π16

¿

= 2(cos π16−cos 3π

16 )

= 2 cos π16 – 2 cos 3π16

15. sin A cos B = 12¿]

i. Nyatakan 2 sin 20° · cos 55° dalam bentuk sederhana!

2 sin 20° · cos 55° = sin (20 + 55)° + sin (20 – 55)°

= sin 75° + sin (-35°)

= sin 75° - sin 35°

ii. Hitunglah bentuk trigonometri ini, 2 sin 3712° cos 71

2° !

2 sin 3712° cos 71

2° = sin (3712° + 71

2°) + sin (3712° - 71

2°)

= sin 45° + sin 30°

= 12 √2+ 1

2

= 12(√2+1)

16. cos A cos B = 12¿]

i. Nyatakan 2 cos 2x cos y dalam jumlah atau selisih kosinus!

2 cos 2x cos y = cos (2x + y) + cos (2x – y)

ii. Nyatakan 4 cos π7 cos

π5 dalam jumlah atau selisih kosinus!

4 cos π7 cos π5 = 2[2 cos π7 cos π5 ¿

= 2[cos (π7 + π5 ¿+cos¿ - π5 )]

= 2[cos (5π+7 π35

¿+cos¿)

7

= 2[cos 12π35 + (−2π

35)]

= 2 cos 12π35 + 2cos 2π

35

17. cos A sin B = - 12¿]

i. Sederhanakan bentuk 2 cos 18° · sin 71°!

2 cos 18° · sin 71° = sin (18° + 71°) – sin (18° - 71°)

= sin 89° - sin (-53°)

= sin 89° + sin 53°

ii. Hitunglah nilai 2 cos 105° sin 75°!

2 cos 105° sin 75° = sin (105 + 75)° - sin (105 – 75)°

= sin 180° - sin 30°

= 0 - 12

= - 12

Rumus – Rumus Penjumlahan ke Perkalian dari Ekspresi Trigonometri

18. Sin A + sin B = 2 sin 12

(A+B ) ·cos 12 (A - B)

i. Sederhanakan bentuk sin 160° + sin 40°!

sin 160° + sin 40° = 2 sin 12

(160+40 )° cos 12(160−40)°

= 2 sin 100° cos 60°

= 2 · 12 · sin 100°

= sin 100°

ii. Buktikan sin A+sin 3 Acos A+cos3 A

=tan 2 A !

sin A+sin 3 Acos A+cos3 A

=tan 2 A

2 sin( 3 A+A2 )cos( 3 A−A

2 )2cos ( 3 A+A

2 )cos (3 A−A2 )

=tan 2 A

sin 2 Acos2 A = tan 2A

8

19. sin A - sin B = 2 cos 12

(A+B ) ·sin 12 (A - B)

i. Tentukan nilai sin 4x – sin 6x!

sin 4x – sin 6x = 2 cos 12(4 x+6 x) sin 1

2(4 x−6 x )

= 2 cos 5x sin (-x)

= -2 cos 5x sin x

ii. Tentukan nilai sin 105° - sin 15°!

sin 105° - sin 15° = 2 cos (105°+15 °2 ) sin (105°−15°

2 )

= 2 cos 60° sin 45°

= 2·12· 12 √2

= 12 √2

20. cos A + cos B = 2 cos 12

(A+B ) ·cos 12 (A - B)

i. Sederhanakan bentuk cos 2x + cos 8x !

cos 2x + cos 8x = 2 cos 12

(2x+8 x ) ·cos 12 (2x – 8x)

= 2 cos 5x cos(-3x)

= 2 cos 5x cos 3x

ii. Hitunglah nilai cos 105° + cos 15° !

cos 105° + cos 15° = 2 cos (105°+15 °2 ) cos (105°−15°

2 )

= 2 cos 60° cos 45°

= 2·12· 12 √2

= 12 √2

21. cos A - cos B = - 2 sin 12

(A+B ) ·sin 12 (A - B)

i. Sederhanakan bentuk cos 54° - cos 12°!

cos 54° - cos 12° = - 2 sin (54 °+12°2

¿ · sin( 54 °−12 °2

)

9

= -2 sin 33° sin 21°

ii. Buktikan sin 3 x−sin xcos x−cos3 x = cot 2x !

sin 3 x−sin xcos x−cos3 x = cot 2x

2cos (3x+2 x)2

sin (3x−22 )

−2 sin ( x+3 x )2

sin( x−3 x2 )

= cot 2x

cos2 x sin x−sin 2 x sin(−x ) = cot 2x

cos2xsin 2x = cot 2x

cot 2 x = cot 2x (terbukti)

10