MATEMATIKA

MODUL 2

BARISAN DAN DERET

A. PENDAHULUAN ………………………………………………………………………………………1

1. StandarKompetensi……………………………………………………………………………..2

2. Deskripsi ……………………………………………………………………………………………..2

3. Waktu ………………………………………………………………………………………………….3

4.Petunjuk Penggunaan Modul ………………………………………………………………… 3

B. PEMBELAJARAN …………………………………………………………………………………… 4

1. Tujuan Materi …………………………………………………………………………………….4

2. Uraian Materi ……………………………………………………………………………………..4

3. Rangkuman ………………………………………………………………………………………37

C. EVALUASI …………………………………………………………………………………………….40

1. Tugas ……………………………………………………………………………………………….40

2. Tes …………………………………………………………………………………………………..45

D. KUNCI JAWABAN ………………………………………………………………………………..53

E. DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………………………..57

F. PENUTUP ……………………………………………………………………………………………58

DAFTAR ISI

Seorang anak menabung di sebuah bank pada setiap akhir bulan. Mula-mula ia

membuka rekening sebesar Rp 50.000,00. Selanjutnya, setiap akhir bulan ia selalu

menabung Rp 5.000,00 lebih besar dibandingkan dengan bulan sebelumnya, yaitu Rp

55.000,00 pada akhir bulan kedua, Rp 60.000,00 pada akhir bulan ketiga dan seterusnya.

Sekarang, dengan mengabaikan bunga bank dan potongan administrasi lainnya, berapakah

jumlah tabungan anak tersebut pada akhir bulan ke-50?

Kita tidak mungkin mendaftar satu per satu besar uang yang ditabung setiap akhir

bulan sebanyak 50 kali, kemudian baru menjumlahkannya. Cara ini membutuhkan waktu

yang lama. Lalu, bgaaimana cara yang efektif untuk menyelesaikan masalah di atas?

Suatu keteraturan yang membentuk pola tertentu, misalnya kenaikan yang tetap

(seperti contoh di atas), penurunan yang tetap atau kenaikan m kali lipat setiap periode

tertentu, dapat kalian selesaikan dengan menggunakan metode deret. Deret yang akan kita

pelajari yaitu deret aritmetika dan deret geometri. Untuk contoh diatas, deret yang

digunakan adalah deret aritmetika. Bagaimana selanjutnya?

Pada deret aritmetika, untuk mengetahui jumlah tabungan anak tersebut pada akhir

bulan ke-50, kita cukup memerlukan setoran awal (a), besar kenaikan (b) dan lama

menabung (n). Jadi, jumlah tabungan pada akhir bulan ke-50 dapat dinyatakan sebagai

a = 50.000, b = 5.000, n = 50

PENDAHULUAN

1

Jadi, jumlah tabungan anak tersebut pada akhir bulan ke-50 adalah sebesar Rp

8.625.000,00. Bukankah cara ini lebih efektif dibandingkan dengan mendaftar satu per satu

besar tabungan setiap akhir bulan?

Dengan adanya deret, akan mempermudah kita dalam melakukan perhitungan.

Karena ada dua jenis deret yang akan kita pelajari, maka kita perlu memahami benar

perbedaan dari keduanya, sehingga tidak akan terjadi kesalahan dalam menggunakan

rumus. Rumus yang diatas adalah untuk deret aritmetika, bagaimanakah rumus untuk

deret geometri? Dapatkah kita menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari? Mari kita

cari tahu pada bab ini.

3.5 Menganalisis barisan dan deret aritmetika

4.5 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan dan deret

aritmetika

3.6 Menganalisis barisan dan deret geometri

4.6 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan dan deret

geometri

3.7 Menganalisis pertumbuhan, peluruhan, bunga dan anuitas

4.7 menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan pertumbuhan, peluruhan,

bunga dan anuitas

.

Modul ini merupakan modul pembelajaran mata pelajaran Matematika untuk SMK

kelas XII semester 5. Modul pembelajaran ini dapat mempermudah dalam proses

pembelajaran. Modul ini berisi materi pembelajaran yaitu Barisan dan Deret.

STANDAR KOMPETENSI

DESKRIPSI

2

Alokasi waktu untuk mempejari dan mengerjakan modul ini yaitu satu bulan.

Sebelum Pembelajaran

1. Sebelummasuk pada materi, disajikan pendahuluan sebagai pengantar menuju materi

utama.

2. Disajikan kompetensi dasar dan alokasi waktu sebagai pedoman bagi pengguna modul

untuk mencapai tujuan pembelajaran.

Selama Pembelajaran

1. Mempelajari dan memahami materi pada modul.

2. Mempelajari dan mencatat contoh teks dan analisis.

3. Mengerjakan tugas yang terdapat pada bagian evaluasi.

4. Mengerjakan tes untuk mengukur kemampuan dalammemahami modul.

Setelah Pembelajaran

1. Mengevaluasi jawaban dengan kunci jawaban.

2. Mengetahui hasil evaluasi (sudah memenuhi kriteria ketuntasan atau belum)

3. Memutuskan untuk meneruskan belajar pada materi selanjutnya atau tetap pada

materi yang sama.

WAKTU

PETUNJUK PENGGUNAAN

3

Setelah mempelajari modul ini, pengguna modul diharapkan dapat:1. Menentukan suku pertama, beda, suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari barisan

aritmetika.2. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan dan deret

aritmetika.3. Menentukan suku pertama, rasio, suku-n dan jumlah n suku pertama dari barisan

geometri.4. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan geometri5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bunga, pertumbuhan, peluruhan dan

anuitas.

A. Pola BilanganPola bilangan dapat divisualisasikan dengan menggunakan kumpulan benda (diwakili

dengan lambing noktah).

1. Pola Bilangan Asli

1, 2, 3, 4, …

2. Pola Bilangan Asli Ganjil

1, 3, 5, 7, …

3. Pola Bilangan Asli Genap

2, 4, 6, 8, …

PEMBELAJARAN

TUJUAN MATERI

URAIAN MATERI

4

4. Pola Bilangan Segitiga

1, 3, 6, 10, …

5. Pola Bilangan Persegi

1, 4, 9, 16, …

6. Pola Bilangan Persegi Panjang

2, 6, 12, 20, …

B. Barisan Bilangan

Perhatikan susunan-susunan bilangan berikut ini

a. 1, 2, 3, 4, 5, … disebut barisan bilangan asli

b. 2, 4, 6, 8, 10, … disebut barisan bilangan asli genap

c. 1, 3, 6, 10, 15, … disebut barisan bilangan segitiga

d. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … disebut barisan bilangan Fibonacci

Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan disebut suku-suku barisan. Bilangan

pertama atau suku pertama dilambangkan dengan u1, suku kedua dengan u2, suku ketiga

dengan u3, suku ke-k dengan uk …, demikian seterusnya sampai suku ke-n dengan un (n

bilangan asli).

Indeks n menyatakan banyaknya suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilangan asli

berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga. Suku ke-n atau un merupakan fungsi

dengan daerah asal (domain) bilangan asli n.

Definisi Barisan Bilangan

Contoh 1

Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke-n dirumuskan

sebagai un= 3n + 1

Jawab :

Suku ke-n, un= 3n + 1

Untuk n = 1, diperoleh u1= 3(1) + 1 = 4

n = 2, diperoleh u2= 3(2) + 1 = 7

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu

antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama u1, bilangan

kedua u2, bilangan ketiga u3, …, dan bilangan ke-n adalah un maka barisan bilangan

itu dituliskan sebagai

u1, u2, u3, ..., un

5

n = 3, diperoleh u3= 3(3) + 1 = 10

Jadi, tiga suku pertama barisan itu adalah u1= 4, u2= 7 dan u3= 10

Contoh 2

Rumus umum suku ke-n dari suatu barisan ditentukan melalui hubungan

un = an2 + bn. Suku ke-2 dan suku ke-7 dari barisan masing-masing sama dengan 8 dan

63.

a. Hitunglah a dan b

b. Tentukan suku ke-10

Jawab :

a. Rumus umum suku ke-n , un= an2+ bn

Suku ke-2 sama dengan 8, diperoleh hubungan

a(2)2+ b(2) = 8

4a + 2b = 8

2a + b = 4 …………………….(1)

Suku ke-7 sama dengan 63, diperoleh hubungan

a(7)2+ b(7) = 63

49a + 7b = 63

7a + b = 9 ……………………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) membentuk sistem persamaan linera dua variabel

sebagai berikut :

2a + b = 4

7a + b = 9______________ --5a = - 5

a = 1

substitusikan nilai a = 1 pada persamaan (1) sebagai berikut

2(1) + b = 4

b = 4 – 2 = 2

Jadi, nilai a = 1 dan nilai b = 2

b. Berdasarkan hasil perhitungan pada point (a) rumus umum suku ke-n dapat

dinyatakan sebagai un= n2+ 2n

6

Untuk n = 10, diperoleh u10= 102+ 2(10) = 100 + 20 = 120

Jadi, u10= 120

C. DeretUntuk memahami pengertian deret, simaklah barisan yang terdiri atas 10 bilangan asli

pertama di bawah ini

u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Jika suku-suku barisan tersebut dijumlahkan maka diperoleh bentuk sebagai berikut.

u1+ u2+ u3+ u4+ u5+ u6+ u7+ u8+ u9+u10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Jumlah suku-suku barisan itu disebut penjumlahan beruntun dan disebut sebagai deret

(sum atau series). Jadi, penjumlahan beruntun sepuluh bilangan asli pertama juga

disebut sebagai deret sepuluh bilangan asli pertama.

Definisi Deret

D. Barisan dan Deret Aritmetika

1. Barisan Aritmetika

Untuk mengenali ciri yang ada pada suatu barisan aritmetika, simaklah barisan-

barisan bilangan berikut ini.

a. 1, 6, 11, 16, …

b. 6, 4, 2, 0, …

Perhatikan bahwa pada masing-masing barisan diatas mempunyai ciri tertentu

yaitu selisih dua suku yang berurutan selalu mempunyai nilai yang tetap (konstan).

Barisan bilangan yang mempunyai ciri semacam itu disebut barisan aritmetika dan

selisih dua suku yang berurutan disebut beda dari barisan aritmetika tersebut, yang

dilambangkan dengan huruf b. Sebagai contoh :

a. Untuk barisan 1, 6, 11, 16, …; b = 16 – 11 =11 – 6 = 6 – 1 = 5

b. Untuk barisan 6, 4, 2, 0, …; b = 0 – 2 = 2 – 4 = 4 – 6 = - 2

7

Misalkan u1, u2, u3, ..., un merupakan suku-suku suatu barisan. Jumlah beruntun dari suku-

suku barisan itu disebut sebagai deret dan dituliskan sebagai

u1 + u2 + u3 + …+ un

Dengan demikian, barisan aritmetika dapat didefinisikan sebagai berikut

Definisi Barisan Aritmetika

Rumus Umum Suku Ke-n Pada Barisan Aritmetika

Misalkan suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b, maka suku-

suku barisan itu dapat divisualisaikan sebagai berikut

u1 , u2 , u3 , ... , un

a , a +b, a +2b , … , a + (n - 1)b

berdasarkan pola atau keteraturan suku-suku barisan dalam bagan diatas, maka

rumus suku ke-n untuk barisan aritmetika dapat ditentukan melalui hubungan

berikut.

Rumus umum suku ke-n pada barisan aritmetika

Contoh 3

Tentukan suku pertama, beda dan suku ke-6 dari barisan aritmetika 4, 1, -2, -5, …

Jawab :

4, 1, -2, -5, …

Suku pertama = a = 4

Beda = b = 1 – 4 = -3

Suku ke-6 = u6= 4 + (6 – 1)-3 = 4 – 15 = -11

Jadi, a = 4, b = - 3, u6= - 11

Contoh 4 :

Suku ketiga suatu barisan aritmetika sama dengan 11, sedangkan suku kesepuluh

sama dengan 39

a. Carilah suku pertama dan beda dari barisan itu

Suatu barisan u1, u2, u3, ..., un disebut barisan aritmetika jika untuk sebarang nilai n

berlaku hubungan :

un – un-1 = b

dengan b adalah suatu ketetapan ( konstanta ) yang tidak tergantung pada n

Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b. rumus umum suku

ke-n dari barisan aritmatika itu ditentukan oleh

un = a + (n – 1)b

8

b. Carilah rumus suku ke-n

Jawab :

a. ……………….(1)

………………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

__________ -

-7 b = -28

b = 4

substitusikan nilai b = 4 pada persamaan (1) sehingga diperoleh

a + 2(4) = 11

a = 11 – 8 = 3

Jadi suku pertama = a = 3, beda = b = 4

b.

Jadi rumus suku ke-n adalah

2. Deret Aritmetika

Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmetika disebut sebagai deret

aritmetika. Sebagai contoh :

a. Dari barisan aritmetika 1, 3, 5, 7, …, 99 dapat dibentuk deret aritmetika

1 + 3 + 5 + 7 + …+ 99

b. Drai barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, …,2n dapat dibentuk deret aritmetika

2 + 4+ 6 + 8 + 10 + … + 2n

Definisi Deret Aritmetika

Rumus Jumlah n suku pertama deret aritmetika

Jika u1, u2, u3, ..., un , merupakan suku-suku barisan aritmetika, maka

u1+ u2+ u3+…+ un disebut sebagai deret aritmetika

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika u1 + u2 + u3+ …+ un-1 +

un ditentukan dengan menggunakan hubungan :

9

Sifat-sifat Sn Pada Deret AritmetikaJumlah n suku pertama deret aritmetika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :

1. merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak

memiliki suku tetapan.

2. Untuk setiap bilangan asli ( suku ke-n)

Contoh 5

Hitunglah jumlah deret aritmetika 2 + 4 + 6 + …+ 60

Jawab :

A = 2, b = 4 – 2 = 2,

Contoh 6

Suku ke-5 suatu deret aritmetika sama dengan 40 dan suku ke-8 deret itu sama dengan

25.

a. Tentukan suku pertama dan beda deret aritmetika itu.

b. Hitunglah jumlah sepuluh suku pertama dari deret aritmetika itu.

Jawab :

a. ……………………(1)

……………………(2)

___________ -

-3b = 15

b = -5

substitusikan nilai b = - 5 pada persamaan (2) sehingga diperoleh

a + 7(-5) = 25

a = 25 + 35 = 60

10

b.

Contoh 7

Jumlah n suku pertama deret aritmetika ditentukan dengan rumus .

Tentukan suku ke-n dari deret aritmetika tersebut.

Jawab :

E. Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

Untuk memahami ciri pada barisan geometri, simaklah barisan-barisan bilangan

berikut ini.

a. 2, 6, 18, 54, …

b. -32, 16, -8, 4, …

Perhatikan bahwa masing-masing barisan bilangan tersebut mempunyai ciri

tertentu yaitu perbandingan dua suku yang berurutan mempunyai nilai yang tetap

(konstan). Barisan bilangan yang mempunyai ciri seperti itu disebut sebagai

barisan geometrid an perbandingan dua suku yang berurutan disebut pembanding

atau rasio (dilambangkan dengan huruf r). sebagai contoh barisan-barisan diatas

dapat ditetapkan sebagai berikut.

a.

b.

Definisi Barisan Geometri

Rumus Umum Suku ke-n Pada barisan Geometri

Contoh 8

Tentukan suku pertama, rasio dan suku keenam pada barisan geometri berikut ini.

a. 27, 9, 3, 1, …

b. 2, - 6, 18, - 54, …

Jawab :

a. 27, 9, 3, 1, …

b. 2, -6, 18, -54, …

Suatu barisan disebut barisan geometri, jika untuk sebarang

nilai bilangan asli kurang dari m berlaku hubungan

dengan r adalah suatu tetapan (konstanta) yang tidak tergantung pada n.

Misalkan suatu barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r. rumus

umum suku ke-n dari barisan geometri itu ditentukan oleh :

11

Contoh 9

Suku pertama suatu barisan geometri sama dengan 5, sedangkan suku ketiganya

sama dengan 45. Selain itu, diketahui pula rasio barisan geometri tersebut positif.

a. Tentukan rasio dari barisan geometri tersebut

b. Tentukan rumus umum suku ke-n

c. Suku keberapakah pada barisan geometri itu yang nilainya sama dengan 1.215?

Jawab :

a.

b.

c.

Jadi, 1.215 merupakan suku ke-6

2. Deret Geometri

Jika suku-suku dari suatu barisan geometri dijumlahkan, maka penjumlahan

beruntun dari suku-suku barisan geometri itu disebut sebagai deret geometri.

Sebagai contoh :

Dari barisan geometri 3, 6, 12, 24, …, 192 dapat dibentuk deret geometri

3 + 6 + 12 + 24 + … + 192

Dengan demikian, deret geometri dapat didefinisikan sebagai berikut .

12

Definisi Deret Geometri

Rumus Jumlah n suku pertama deret geometri

Contoh 10

Hitunglah jumlah enam suku pertama pada deret geometri berikut ini.

a. 27 + 9 + 3 +…

b.

Jawab :

a. 27 + 9 + 3 + …

Jadi, jumlah enam suku pertama deret geometri 27 + 9 + 3 + … sama dengan

13Jika u1 , u2 , u3 , … , unmerupakan barisan geometri, makau1+ u2+ u3+…+ un disebut sebagai deret geometri

Jumlah n suku pertama deret geometri

Ditentukan dengan menggunakan hubungan

, jika r < 1 atau , jika r > 1

14

b.

Jadi, jumlah enam suku pertama deret geometri sama dengan

Contoh 11

Jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri ditentukan oleh .

a. Tentukan rumus suku ke-n

b. Tentukan suku pertama dan rasio deret geometri itu

Jawab :

a.

b.

Jadi suku pertama = a = 2 dan rasio = r = 3

F. Deret Geometri Tak Hingga

15

Jika banyak suku-suku penjumlahan deret geometri itu bertambah terus mendekati tak

hingga, maka deret geometri semacam ini disebut sebagai deret geometri tak hingga.

Deret geometri tak hingga ditulis sebagai berikut.

Jumlah dari deret geometri tak hingga dilambangkan dengan S dan ,

dikatakan S diperoleh dari dengan proses limit n mendekati tak hingga. Selanjutnya ,

nilai ditentukan dengan menggunakan teorema limit sebagai berikut.

Berdasarkan persamaan yang terakhir itu jelas bahwa ditentukan oleh ada

atau tidaknya nilai .

Berdasarkan uraian diatas, ciri deret geometri tak hingga dapat ditetapkan dengan

menggunakan sifat berikut.

Sifat deret geometri tak hingga

Contoh 12Diketahui deret geometri 1 + 0,8 + 0, 64 + …

Hitunglah limit jumlahnya atau S.

Jawab :

1 + 0,8 + 0,64 + …

a = 1, r = 0,8

Jadi, limit jumlah deret geometri tak hingga itu adalah

Deret geometri tak hingga dikatakan

1. mempunyai limit jumlah atau konvergen , jika dan hanya jika

limit jumlah itu ditentukan oleh

2. tidak mempunyai limit jumlah atau divergen , jika dan hanya jika

16

Contoh 13

Suku ke-n dari suatu deret geometri ditentukan dengan rumus un= 6-n. Hitunglah

jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut.

Jawab :

Jadi, limit jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut .

G. Merumuskan Masalah Nyata Yang Memiliki Model Matematika Berbentuk Barisan atau

Deret

Dalam soal matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan pada

masalah nyata yang model matematikanya dapat diterjemahkan dalam bentuk barisan

dan deret (barisan dan deret aritmatika, barisan dan deret geometri serta deret

geometri tak hingga).

Pertama kita harus mampu mengidentifikasi bahwa karakteristik masalah yang akan

diselesaikan mempunyai model matematika berbentuk barisan atau deret. Setelah

masalah nyata itu teridentifikasi, pemecahan masalah selanjutnya dikerjakan dengan

langkah-langkah sebagai berikut.

1. Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel dalam barisan atau

deret. Variabel-variabel ini dilambangkan dengan huruf-huruf misalnya a

sebagai suku pertama, b sebagai beda, dan r sebagai rasio.

2. Rumuskan barisan atau deret yang merupakan model matematika dari masalah.

3. Tentukan penyelesaian dari model matematika yang diperoleh pada Langkah 2.

4. Tafsirkan hasil yang diperoleh terhadap masalah semula.

17

Contoh 14

Hasil produksi suatu pabrik per tahun mengikuti aturan barisan aritmetika. Produksi

pada tahun pertama sebanyak 400unit dan produksi pada tahun keempat sebanyak

520 unit. Tentukan pertambahan produksi tiap tahunnya, kemudian tentukan pula

banyak produksi pada tahun kedua puluh.

Jawab :

Misalkan produksi pada tahun pertama = a = 400 unit

Produksi pada tahun keempat = u4= 520 unit

U4= 520

a + 3b = 520

400 + 3b = 520

3b = 520 – 400

3b = 120

b = 40

u20= a + 19b

= 400 + 19(40)

= 400 + 760

= 1.160

Contoh 15

Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 1 meter. Setiap kali setelah

memantul, bola itu mencapai ketinggian lima per enam dari ketinggian yang dicapai

sebelumnya. Hitunglah panjang lintasan yang ditempuh oleh bola itu sampai berhenti.

Jawab :

Untuk lintasan turun

Untuk lintasan naik

18

Lintasan seluruhnya = 6 + 5 = 11

Jadi, panjang lintasan yang ditempuh bola itu sampai berhenti adalah 11 meter.

H. Aplikasi Barisan dan Deret

1. Bunga

Prinsip Bunga Tunggal (simple interest)

Istilah bunga tunggal sering kita pergunakan dalammasalah simpan pinjam.

Dalammasalah simpanan, akan dijumpai barisan dan deret aritmatika naik yaitu

dengan b > 0 dan

Dalam masalah pinjaman, kita menggunakan prinsip barisan dan deret

aritmetika turun, yaitu

dengan b > 0 dan

Sebagai ilustrasi, seseorang menanamkan atau meminjamkan modalnya yang

digunakan untuk usaha selama jangka waktu tertentu. Jika jangka waktu itu

berakhir, maka peminjam harus mengembalikan modal ditambah biaya lainnya.

Biaya lain inilah yang disebut dengan bunga. Secara formula b erarti peminjam

harus mengembalikan : modal + bunga. Jika modal itu dibayar berdasarkan

modal tetap (flat), maka disebut bunga tunggal (simple interest).

Misalkan seorang meminjam uang di bank sebesar Rp 2.000.000,00 dan

dalam jangka waktu 1 bulan harus dikembalikan sebesar Rp 2.040.000,00. Ini

berarti bahwa orang tersebut harus membayar jasa bank sebesar Rp 40.000,00.

Penentuan persentase bunga terhadap besarnya modal sebesar

Hasil ini sering disebut sebagai suku bunga

1. Perumusan Model Matematika

Misalkan modal awal =

Besar bunga = B (dalam rupiah)

Besar suku bunga per satuan waktu ditentukan oleh :

2. Penentuan modal setelah jangka waktu / peroide tertentu

Modal awal = (modal pokok )

Suku bunga tunggal = b%

19

Perhitungan modal pada masing-masing periode waktu :

Periode 1 : modal menjadi =

Periode 2 : modal menjadi =

Periode 3 : modal menjadi =

…………………………………………………………………

Periode n : modal menjadi =

Penentuan modal pada masing-masing perode waktu

Contoh 16

Yunus neminjam uang di bank sebesar Rp 5.000.000,00 dengan suku bunga

dan harus dikembalikan dalam jangka waktu 1 bulan. Berapa besarnya

bunga dan uang yang harus dikembalikan?

Jawab :

Jadi, besar bunganya adalah Rp 125.000,00 dan uang yang harus dikembalikan

adalah Rp 5.125.000,00.

Contoh 17

Uang sebesar Rp 100.000.000, 00 disimpan di bank dengan suku bunga 9,6% per

tahun dengan sistem bunga tunggal. Hitunglah besar uang tersebut beserta

bunganya setelah 4 bulan.

Sebuah modal sebesar (modal pokok) disimpan di bank dengan bunga

tunggal sebesar b = i% dalam satu periode waktu. Modal tersebut setelah

period eke-n ditentukan oleh :

atau

20

Jawab :

Diketahui :

b = 9,6% per tahun

bunga per bulan =

besar uang setelah 4 bulan ditentukan oleh :

Contoh 18

Seseorang meminjam uang atau modal. Setelah jangka waktu 2 tahun, modal itu

harus dikembalikan kali modal semula. Berapa suku bunga per bulan yang

dibebankan pada peminjam?

Jawab :

Diketahui :

Modal awal =

Suku bunga b = i% per bulan

Lama pinjaman = 2 tahun = 24 bulan

Berdasarkan rumus , , diperoleh :

i= 2,08%

Jadi, besar suku bunga per bulan sebesar 2,08%

21

Contoh 19

Carles mempunyai utang. Setelah 8 bulan besarnya menjadi Rp 228.000.000, 00

dan dikenakan suku bunga tunggal sebesar 15% per tahun. Berapa nilai utang

awal Carles?

Jawab :

Diketahui :

b%= 15% per tahun

per bulan

Ditanya :

Beradsarkan formula , diperoleh :

Jadi, nilai utang awal Carles sebesar Rp

Prinsip Bunga Majemuk (Compound Interest)

Jika seseorang menyimpan modalnya di bank dalam beberapa kali periode

bunga dengan besar bunga tertentu, akan terjadi proses bunga dari modal awal

dengan bunga yang tidak diambil. Artinya, modal itu dibungakan lagi pada

periode waktu berikutnya. Proses ini dikenal sebagai bunga majemuk

(compound interest) atau bunga berbunga.

Penentuan modal setelah periode n dan besar bunga setelah periode n

Misalkan sebuah modal sebesar (modal awal) disimpan atau

dipinjamkan dengan suku bunga b = i% per periode, perhitungan nilai modal

per akhir periode adalah sebagai berikut.

Pertama, modal menjadi =

Kedua, modal menjadi =

Ketiga, modal menjadi =

22

Ke-n, modal menjadi =

Besar bunga setelah n periode, ditentukan oleh :

Penentuan modal dan besar bunga pada masing-masing periode waktu

Contoh 20

Pak Broto menyimpan uang sebesar Rp 600.000.000, 00 di bank dengan sistem

bunga majemuk sebesar 21% per tahun. Hitunglah :

a. Besarnya uang Pak Broto setelah 6 bulan

b. Besarnya bunga yang diterima Pak Broto setelah 6 bulan

Jawab :

Diketahui :

b = 21% per tahun

b = per bulan

a. Berdasarkan formula , diperoleh

Sebuah modal sebesar (modal pokok / awal), dibungakan dalam jangka waktu

n periode bunga dengan sistem bunga majemuk sebesar b = i% per periode,

modal tersebut setelah period eke-n ditentukan oleh :

atau

Besar bunga setelah period eke-n ditentukan oleh :

atau

Formula ini merupakan aktualisasi dari deret geometri berhingga dengan suku

pertama dan rasio = r =

23

b. Besar bunga yang diterima Pak Broto selama 6 bulan sebesar

Contoh 21

Pak Andre mendepositokan uang sebesar Rp 400.000.000, 00 dengan suku bunga

majemuk sebesar 20% per tahun. Pak Andre menghendaki nilai akhir uang tersebut

menjadi dua kali lipat dari nilai uang yang didepositokan. Berapa lama uang

tersebut harus didepositokan oleh Pak Andre?

Jawab :

Diketahui :

b = 20% per tahun

Ditanya : n

Berdasarkan formula : , diperoleh

Jadi, uang tersebut harus didepositokan selama 4 tahun.

24

2. Pertumbuhan dan Peluruhan

Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan deskripsi dari konsep barisan dan deret aritmetika

maupun geometri naik secara umum .

dengan

Semua aturan dalam barisan dan deret aritmetika maupun geometri digunakan

dalam pembahasan berikut.

Contoh 22

Di sebuah kota pada tahun 2011, jumlah penduduknya sebanyak 2.000.000 jiwa.

Menurut historis perhitungan, tingkat pertumbuhan penduduk sebesar 2% per

tahun. Berapa jumlah penduduk di kota tersebut pada tahun 2015?

Jawab :

Diketahui :

u1= 2.000.000

n = 2015 – 2011 = 4 tahun

b = 2%

r = (100 + 2)% = 102% = 1,02

Ditanya : u4

Berdasarkan formula suku ke-n pada barisan geometri, diperoleh :

U4= a . r4-1

U4= 2.000.000 . (1,02)3

U4 = 2.000.000 (1,061208)

U4= 2.122.416

Jadi, jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2015 sebanyak 2.122.416 jiwa.

Contoh 23

Sebuah dealer sepeda motor “Pasti Puas” baru setahun membuka usahanya. Pada

bulan pertama, stok persediaan sepeda motor 10 buah. Pada akhir tahun, setelah

dievaluasi ternyata rata-rata jumlah permintaan sepeda motor sebanyak 7 buah

setiap bulan. Berapa jumlah stok persediaan bulan ketujuh?

Jawab :

Diketahui :

U1= 10

25

b = 7

n = 7

Ditanya : u7

Berdasarkan formula suku ke-n dari barisan aritmetika , diperoleh :

Un= a + (n - 1)b

U7= 10 + (7 - 1)7

U7= 10 + 42

U7= 52

Jadi, jumlah stok persediaan pada bulan ketujuh sebanyak 52 buah.

Peluruhan

Peluruhan merupakan kebalikan dari pertumbuhan dan merupakan deskripsi dari

konsep barisan dan deret turun, yaitu :

u1 , u2 , u3 , … , un dengan u1> u2 > u3>…> un

Contoh 24

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 m di atas lantai dan setiap bola itu

mencapai lantai sellau memantul 80% dari ketinggian awalnya.

a. Berapa ketinggian maksimum yang dicapai bola tersebut saat pantulan kelima?

b. Berapa panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti?

Jawab :

Diketahui :

a = 8 m

Ditanya : dan

a. Pantulan kelima = Jatuh keempat

b. Saat bola jatuh

26

Saat bola memantul

Jadi panjang lintasan yang dilalui bola yaitu 40 + 32 = 72 meter

3. Anuitas

Berbagai cara atau sistem yang dapat digunakan orang untuk pengaturan

pengelolaan uang dalam dunia usaha. Salah satunya, yaitu dengan membayar

sejumlah uang tetap (flat) pada setiap habis satu periode bunga (tahun atau bulan).

Jumlah uang tetap (flat) ini disebut anuitas. Untuk perusahaan atau perorangan,

periode bunga antara dua pembayaran umumnya adalah per tahun atau jangka

waktu tertentu yang disepakati dua belah pihak. Akan tetapi, untuk pengusaha kecil,

perode pembayaran dilakukan per bulan atau jangka waktu yang disepakati dalam

hal jangka waktu, masa bunga dan tabel angsuran dari sistem anuitas tersebut.

Dalam matematika keuangan, tiap anuitas (A) dikategorikan dalam dua

bagian berikut.

1. Bagian angsuran (an)

Bagian ini merupakan cicilan untuk melunasi utang atau pinjaman.

2. Bagian bunga (bn)

Bunga dari utang selama satu periode bunga yang telah berlangsung atau

terlampaui.

Dari kedua hal di atas, dapat disimpulkan bahwa :

3.1 Rencana Angsuran (Rencana Pelunasan)

27

Anuitas = Angsuran + Bunga

atau

A =an+bn

Untuk melunasi suatu pinjaman, kita perlu membuat rancangan pelunasan atas

pinjaman tersebut. Rancangan ini disebut rencana angsuran atau rencana

pelunasan.

Berikut ini diberikan contoh rencana angsuran dalam bentuk perhitungan

langkah demi langkah, kemudian dari perhitungan ini kita dapat menyusunnya

dalam bentuk tabel rencana angsuran.

Contoh 25

Abdul mempunyai utang sebesar Rp 5.000.000, 00. Utang tersebut akan dilunasi

secara anuitas sebesar Rp 1.060.792,00 dengan suku bunga 2% per bulan.

Buatlah :

a. Perhitungan angsuran langkah demi langkah

b. Tabel rencana angsuran

Jawab :

Diketahui :

M = 5 x 106, b = 2% , anuitas = A = 1.060.792

Misalkan :

an= angsuran pada bulan ke-n

bn= bunga pada akhir bulan ke-n

Mn = sisa utang pada bulan ke-n

Dengan n = 1, 2, 3, 4, …

a. Proses penghitungan angsuran (an) berdasarkan aturan

Angsuran pertama (ai) = anuitas – bunga akhir bulan ke-i

Secara formula : an= A - bn

Angsuran Pertama : (a1)

Utang pada bulan ke-1 = M1= 5 x 106

Bunga pada akhir bulan ke-1 = b1= 0,02 x 5 x 106 = 105

Angsuran pertama =a1= A – b1

a1= 1.060.792 – 100.000

a1 =960.792

Angsuran kedua : (a2)

Utang pada bulan ke-2 = M2=M1 – a1

M2= 5 x 106 – 960.792

M2= 4.039.208

28

Bunga pada akhir bulan ke-2 = b2= 0,02 x 4.039.208

b2 = 80.784

Angsuran kedua = a2= 1.060.792 – 80.784

a2= 980.008

Angsuran ketiga : (a3)

Utang pada bulan ke-3 = M3=M2 – a2

M3= 4.039.208 – 980.008

M3= 3.059.200

Bunga pada akhir bulan ke-3 = b3= 0,02 x 3.059.200

b3= 61.184

Angsuran ketiga = a3= 1.060.792 – 61.184

a3 = 999.608

Angsuran keempat : (a4)

Utang pada bulan ke-4 = M4=M3 – a3

M4 = 3.059.200 – 999.608

M4 = 2.059.592

Bunga pada akhir bulan ke-4 = b4=0,02 x 2.059.592

b4= 41.192

Angsuran keempat = a4= 1.060.792 – 41.192

a4 = 1.019.600

Angsuran kelima : (a5)

Utang pada bulan ke-5 = M5=M4 – a4

M5= 2.059.592 – 1.019.600

M5= 1.039.992

Bunga pada akhir bulan ke-5 = b5= 0,02 x 1.039.992

b5= 20.800

Angsuran kelima = a5= 1.060.792 – 20.800

a5 = 1.039.992

Oleh karena nilai M5 =a5, berarti utang pada bulan ke-6 = M6 = M5 – a5 = 0

(lunas).

Jadi, utang Abdul lunas dalam waktu 5 bulan.

b. Beradsarkan perhitungan (a), dapat dibuat tabel angsuran berikut.

Bulan Hutang awal Anuitas = A = Rp 1.060.792,00 Sisa utang akhir

29

ke- bukan ke- bulan ke-Bunga = 2% Angsuran

1 Rp 5.000.000,00 Rp 100.000,00 Rp960.792,00 Rp 4.039.208,00

2 Rp 4.039.208,00 Rp 80.784,00 Rp980.008,00 Rp 3.059.200,00

3 Rp 3.059.200,00 Rp 61.184,00 Rp999.608,00 Rp 2.059.592,00

4 Rp 2.059.592,00 Rp 41.192,00 Rp1.019.600,00 Rp 1.039.992,00

5 Rp 1.039.992,00 Rp 20.800,00 Rp1.039.992,00 Rp 0,00

Contoh 26

Diberikan tabel rencana angsuran berikut

Tahun

ke-

Hutang awal

tahun ke-

Anuitas = A = Rp 5.615.673,75 Sisa utang akhir

bulan ke-Bunga = 4% Angsuran

1 Rp25.000.000,00 Rp1.000.000,00 Rp4.615.677,75 Rp20.384.322,25

2 Rp 20.384.322,25 Rp 815.372,89 Rp4.800.304,86 Rp15.584.017,39

3 Rp 15.584.017,39 Rp 623.360,70 Rp4.992.317,05 Rp10.591.700,34

4 Rp 10.591.700,34 Rp 423.668,01 Rp5.192.009,74 Rp5. 339.690,60

5 Rp 5.399.690,60 Rp 215.987,62 Rp5.399.690,13 Rp 0,47

a. Jelaskan tabel tersebut

b. Berapa tahun utang itu lunas?

c. Berapa besarnya angsuran pertama dan angsuran terakhir?

d. Berapa besarnya bunga pada akhir tahun keempat?

e. Berapa besarnya utang pada tahun keempat?

Jawab :

a. Tabel tersebut menunjukkan rencana angsuran dari pinjaman sebesar Rp

25.000.000,00 dengan anuitas sebesar Rp 5.615.677,75 per tahun dan suku

bunga 4% per tahun.

b. Utang tersebut lunas dalam waktu 5 tahun.

c. Angsuran pertama sebesar Rp 4.615.677,75 dan angsuran terakhir

(angsuran kelima) sebesar Rp 5.399.690,13.

d. Bunga pada akhir tahun keempat sebesar Rp 423.668,01.

e. Utang pada tahun keempat sebesar Rp 5.339.690,60

Pada tabel tersebut terlihat bahwa sisa utang pada akhir tahun kelima sebesar

Rp 0,47. Hal ini dianggap lunas.

3.2 Formula Untuk Unsur-unsur dalam Sistem Anuitas

30

Pada bagian sebelumnya, kita telah membahas tentang pembuatan tabel

pelunasan (angsuran) dan penghitungannya langkah demi langkah. Dalam

bagian ini, kita akan menentukan formula matematika drai unsur-unsur pada

tabel tersebut. Pada tabel tersebut terdapat unsur-unsur yaitu A = besar

anuitas, an = besar angsuran pada periode ke-n, bn = bunga pada akhir periode

ke-n, Mn = utang pada periode ke-n dan n = periode angsuran (dengan n = 1, 2,

3, …)

1. Formula umum angsuran (an)

Formula umum angsuran (an) tiap periode ke-n, dapat ditentukan oleh

langkah-langkah berikut.

Penentuan angsuran pertama (a1)

Angsuran pertama = a1= A – b1

Utang pada periode pertama = M1=M

Bunga pada akhir periode pertama = b1= b . M

Jadi, angsuran pertama adalah a1= A – b . M

Penentuan angsuran kedua (a2)

Angsuran kedua = a2= A – b2

Utang pada periode kedua =M2=M - a1=M – (A – b . M)

Bunga pada akhir periode kedua = b2= b . M2b2= b [M – (A – b . M)]

Jadi, angsuran kedua = a2= A - b [M – (A – b . M)]

a2 = A –bM+ bA – b2M

a2 = A(1 + b) – b . M(1 + b)

Jadi, a2= (A - bM)(1 + b)

Penentuan angsuran ketiga (a3)

Angsuran ketiga = a3= A – b3

Utang pada periode ketiga

M3=M2 – a2

M3=M – (A – b . M) –[(A - bM)(1 + b)]

Bunga pada akhir periode ketiga = b3= b . M3

Angsuran ketiga

31

a3= A – b . M3

a3= A – b {[M-(A-bM)]-[(A-bM)(1+b)]}

a3= (A – bM) + b(A – bM) + (A - bM)[b(1 + b)]

a3= (A -bM)[(1 + b) + b(1 + b)]

a3= (A - bM)(1+b)(1+b)

Jadi, a3= (A – bM) (1 + b)2

Dari penentuan angsuran pertama, angsuran kedua dan angsuran ketiga,

telah terjadi keteraturan sebagai berikut.

Angsuran pertama = a1= (A – bM) = (A - bM)(1 + b)0

Angsuran kedua = a2= (A - bM)(1 + b)1

Angsuran ketiga = a3= (A – bM)(1 + b)2

Perhatikan bahwa a1 , a2 , a3 membentuk deret geometri berhingga dengan

a1 = suku pertama = (A – bM) dan rasio = r (1 + b). Jadi, suku ke-n dapat

dtentukan dengan rumus berikut

Contoh 27

Hasan mempunyai utang sebesar Rp 5.000.000,00. Utang tersebut akan

dilunasi secara anuitas sebesar Rp 1.060.792,00 dengan suku bunga 2% per

bulan. Hitunglah besar angsuran pada :

a. Bulan ketiga

b. Bulan keempat

Jawab :

Diketahui :

M = 5.000.000, A = 1.060.792, b = 2%= 0,02

Berdasarkan formula , diperoleh :

a. a3 = [1.060.792-(0,02)(5.000.000)](1+0,02)3-1

a3=[1.060.792-100.000](1,02)2

a3= 960.792 (1,0404)

a3=999.608

Jadi, angsuran pada bulan ketiga sebesar Rp 999.608,00.

b. a4 = [1.060.792-(0,02)(5.000.000)](1+0,02)4-1

atau

32

a3=[1.060.792-100.000](1,02)3

a3= 960.792 (1,061208)

a3=1.019.600

Jadi, angsuran pada bulan keempat sebesar Rp 1.019.600,00.

2. Formula penentuan besar pinjaman (M0)

Dalam bagian ini, kita akan menentukan formula perhitungan besar

pinjaman (M) sebagai fungsi anuitas (A) dengan suku bunga b pada periode

angsuran (n). dengan prinsip bunga majemuk, anggap utang sama dengan

jumlah semua NT (nilai tunai dari angsuran).

Jumlah NT ini sama dengan besar utang atau pinjaman yaitu :

Penentuan formula dapat ditentukan oleh formula pada deret

geometri berhingga dengan dan rasio = yaitusebagai berikut.

33

Formula menghitung besar pinjaman (utang )

3. Formula penentuan besarnya anuitas (A)

Berdasarkan formula penentuan besar pinjaman (utang) tersebut, diperoleh

formula penentuan besarnya anuitas sebagai berikut .

Contoh 28

Sebuah pinjaman dilunasi dengan 8 buah anuitas masing-masing sebesar Rp

22.741.448,00 yang dibayar setiap akhir bulan. Tentukan besar pinjaman jika

ditentukan dasar bunga majemuk 4% per bulan.

Jawab :

Diketahui :

(i) Menggunakan tabel daftar bunga

(ii) Menggunakan rumus

34

(i) Menggunakan tabel daftar anuitas

(ii)Menggunakan rumus

A = 22.741.448, b = 4% , n = 8

Ditanya : M

Berdasarkan formula :

Jadi, besar pinjaman adalah Rp 153.112.638,00

Contoh 29

Sebuah pinjaman sebesar Rp 25.000.000,00 harus dilunaskan dengan 5

anuitas akhir tahunan. Jika dasar bunga majemuk ditetapkan 4% per tahun,

hitunglah besar anuitas.

Jawab :

Diketahui M = 25.000.000, b = 4%, n = 5

Ditanya : A

Beradsarkan rumus :

Jadi , anuitas sebesar Rp 5.615.677,50

Contoh 30

Sebuah pinjaman sebesar Rp 5.000.000,00 akan dilunasi dengan 14 anuitas

sebesar Rp 427.684,50. Berapa persen dasar bunga pinjaman per bulannya?

Jawab :

Diketahui : M = 5.000.000, n = 14, A = 427.684,5035

Ditanya : b%

Berdasarkan formula :

Jadi, dasar bunga per bulannya adalah

1. Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu

antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya.

2. Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang mempunyai ciri tertentu

yaitu selisih dua suku yang berurutan selalu mempunyai nilai tetap (konstan).

Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah . Rumus jumlah n

suku pertama barisan aritmetika adalah dimana a

adalah suku pertama, b adalah beda dan n adalah banyaknya suku.

3. Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang memiliki ciri tertentu yaitu

perbandingan dua suku yang berurutan mempunyai nilai tetap (konstan). Rumus

suku ke-n dari barisan geometri adalah dan rumus jumlah n suku

pertama deret geometri adalah atau

4. Deret geometri tak hingga dikatakan

a. mempunyai limit jumlah atau konvergen , jika dan hanya jika

limit jumlah itu ditentukan oleh

b. tidak mempunyai limit jumlah atau divergen , jika dan hanya jika

5. Bunga Tunggal

a. Perumusan model matematika

RANGKUMAN

36

Misalkan modal awal = M0

Besar bunga = B (dalam rupiah)

Besar bunga per satuan waktu ditentukan oleh :

b. Penentuan modal pada masing-masing periode waktu

Sebuah modal sebesar M0 (modal pokok) dismpan di bnak dengan bunga

tunggal sebesar b = i% dalam satu periode waktu. Modal tersebut setelah

periode ke-n ditentukan oleh :

atau

6. Prinsip bunga majemuk

Sebuah modal sebesar M0 (modal pokok / awal), dibungakan dalam jangka waktu n

periode bunga dengan system bunga majemuk sebesar b = i% per periode, modal

tersebut setelah period eke-n ditentukan oleh :

atau

Besar bunga setelah period eke-n ditentukan oleh :

atau

Formula ini merupakan aktualisasi dari deret geometri berhingga dengan suku

pertama = u1=M1 dan rasio = r = (1 + b)

7. Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan deskripsi dari konsep dan deret aritmetika maupun

geometri naik secara umum.

dengan

8. Peluruhan

Peluruhan merupakan kebalikan dari pertumbuhan dan merupakan deskripsi dari

konsep barisan dan deret turun, yaitu :

dengan

9. Anuitas

Anuitas adalah suatu rencana pembayaran tetap yang dilakukan secara berkala

pada jangka waktu tertentu.

Anuitas = Angsuran + Bunga

a. Menghitung angsuran

37

Jika a1 , a2 , a3membentuk deret geometri berhingga dengan suku pertama = a1 =

(A-bM) dan rasio = r = (1 + b), maka suku ke-n adalah an=a1 (1 + b)n-1 atau

an= (A – bM)(1 + b)n-1

b. Formula penentuan besar pinjaman (utang)

(i) Menggunakan tabel daftar bunga

(ii)Menggunakan rumus

c. Formula penentun anuitas

(i) Menggunakan tabel daftar anuitas

(ii)Menggunakan rumus

38

Barisan Aritmetika

1. Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke-n, suku kedua puluh dari barisan

aritmetika berikut ini.

a. 2, 5, 8, …

b. 12, 7, 2, …

c. 100, 90, 80, …

2. Suku ke-3 dari suatu barisan aritmetika sama dengan 9 sedangkan suku ke-8 sama

dengan 4.

a. Carilah suku pertama dan beda barisan aritmetika ini

b. Carilah rumus suku ke-n

c. Carilah suku ke-15 dan suku ke-20

3. Suku ke-8 dari suatu barisan aritmetika sama dengan 15, sedangkan jumlah suku

ke-2 dan suku ke-16 sama dengan 26.

a. Carilah suku pertama dan beda barisan aritmetika ini

b. Carilah rumus suku ke-n

4. Temukan nilai x agar barisan merupakan barisan

aritmetika

Deret Aritmetika

1. Tentukan jumlah 20 suku pertama pada deret aritmetika berikut ini.

a. 1 + 4 + 7 + …

b. 40 + 37 + 34 + …

2. Tentukan jumlah deret aritmetika berikut ini.

EVALUASI

TUGAS

40

a. -10 -11 -12 - …-100

b. 15 + 12 + 9 + …-36

3. Diketahui jumlah deret aritmetika 3 + 6 + 9 + … sama dengan 165.

a. Tentukan banyaknya suku dalam deret aritmetika itu.

b. Tentukan suku terakhirnya.

4. Diberikan merupakan jumlah n suku pertama sebuah deret

aritmetika.

a. Tentukan un

b. Tentukan u20

5. Tentukan jumlah semua bilangan bulat antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5.

Barisan Geometri

1. Tentukan rasio, rumus suku ke-n, dan suku kesepuluh dari tiap barisan geometri

berikut.

a. 1, 4, 16, 64, …

b. 3, -6, 12, -24, …

2. Diketahui barisan geometri

a. Tentukan rasio dan rumus suku ke-n

b. Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 256?

3. Suku ketiga dan suku keenam dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah 32

dan 2.048. Tentukan suku pertama dan rasio dari deret geometri itu.

4. Diketahui barisan geometri dengan . Tentukan a, r dan .

5. Jika (p +1), (p – 2), (p – 8) , … membentuk barisan geometri, maka rasionya

adalah …

Deret Geometri

1. Tentukan jumlah 6 suku pertama pada deret geometri berikut ini.

a. -2 + 10 -50 + 250 + …

b. 128 -64 + 32 – 16 + …

2. Tentukan jumlah deret geometri 5 + 10 + 20 + …+ 320

3. Diketahui suku kelima dan suku kesepuluh dari suatu deret geometri berturut-turut

adalah 8 dan -256.

a. Tentukan suku pertama dan rasio deret geometri itu.

b. Hitunglah jumlah sepuluh suku pertamanya.

41

4. Diketahui barisan geometri dengan a = 4 dan u5= 324. Tentukan jumlah 5 suku

pertama barisan tersebut?

5. Diketahui barisan geometri dengan S2= 72 dan S4= 80. Hitunglah nilai u5.

Deret Geometri Tak Hingga

1. Hitunglah limit jumlah dari deret geometri tak hingga berikut ini.

a.

b.

2. Diketahui deret geometri tak hingga, dengan suku pertama 3, konvergen denganlimit jumlah . Tentukan rasio deret geometri tak hingga tersebut.

3. Rumus suku ke-n dari suatu deret geometri adalah un= 31-2n.

a. Tentukan suku pertama, rasio dan suku keduanya

b. Hitunglah limit jumlah suku-suku sampai tak hingga

4. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 12 m dan memantul kembali dengan

ketinggian kali tinggi semula. Begitu seterusnya hingga bola berhenti. Panjang

lintasan bola adalah …

Bunga Tunggal

1. Pak Anton meminjam di sebuah bank sebesar Rp 200.000.000,00 dengan tingkat

suku bunga tunggal sebesar 24% per tahun. Hitunglah :

a. Besar bunga selama 6 bulan

b. Besar pinjaman yang harus dikembalikan setelah 8 bulan

2. Pak Hotman mendepositokan uangnya sebesar Rp 400.000.000,00 dengan suku

bunga 20% per bulan selama 10 bulan. Hitunglah :

a. Besar bunga

b. Uang Pak Hotman setelah 10 bulan

3. Om Toyib meminjamkan uangnya sebesar Rp 30.000.000,00 dengan suku bunga

tunggal sebesar 3% per bulan. Setelah berapa lamakah uang Om Toyib menjadi Rp

43.500.000,00?

4. Harga sebuah kendaraan jenis minibus sebesar Rp 180.000.000,00 dibayar tunai.

Tante Nina membeli kendaraan itu secara angsuran selama 1 tahun dan harganya

menjadi Rp 240.000.000,00. Berapa besarnya suku bunga tunggal per bulan untuk

pembelian secara angsuran tersebut?

42

Bunga Majemuk

1. Uang sebesar Rp 40.000.000, 00 disimpan di bank selama 4 tahun dengan suku

bunga 12% per tahun. Hitunglah besar bunga, jika bank tersebut menerapkan

system bunga majemuk .

2. Hitunglah besar modal setelah 3 tahun untuk penanaman modal awal Rp

200.000.000,00 dan suku bunga majemuk 10% per tahun.

3. Uang sebesar Rp 300.000.000,00 disimpan di bank atas dasar bunga majemuk.

Hitunglah besar uang itu jika pada permulaan tahun kelima berdasarkan bunga 6 %

per tahun.

4. Berapa besarnya uang mula-mula yang harus disimpan oleh Pak Bambang agar

setelah lima tahun uang tersebut menjadi Rp 1.000.000.000,00 (1 miliar) dengan

sistem bunga majemuk sebesar 6% per tahun?

5. Berapakah besar modal awal yang harus disetor ke bank agar 5 tahun yang akan

datang modal tersebut menjadi Rp 1.000.000.000,00 (1 miliar), jika bank itu

menerapkan suku bunga majemuk sebesar per tahun?

Pertumbuhan dan Peluruhan

1. Sebuah pabrik perakitan motor di daerah Cikarang memulai berproduksi pada

bulan Januari 2008 berusaha untuk dapat menambah produksi pada setiap

bulannya. Pada bulan Januari 2008 pabrik itu memproduksi 3.500 unit, sedangkan

pertambahan produksi setiap bulannya tetap sebesar 3.000 unit. Berapa jumlah

sepeda motor yang diproduksi pada bulan Januari 2015?

2. Jumlah populasi suatu jenis tumbuhan bertambah mengikuti deret aritmetika dari

75.230 menjadi 125.280 dalam 8 tahun. Dengan anggapan rataan pertumbuhannya

konstan, carilah rataan pertumbuhan populasi tersebut.

3. Pak Arifin menyetujui untuk bekerja pada hari pertama dengan honor Rp

100.000,00, hari kedua Rp 200.000,00, hari ketiga Rp 400.000,00, hari keempat Rp

800.000,00, demikian seterusnya. Berapa honor Pak Arifin pada hari ke-15?

4. Sebuah bola tenis jatuh dari ketinggian 12 meter dan memantul kembali denganketinggian kali tinggi semula. Pemantulan ini terus menerus hingga bola berhenti.

Panjang seluruh lintasan bola adalah ….

43

Anuitas

1. Sebuah pinjaman sebesar Rp 100.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan

sebesar Rp 18.067.438,00 dan suku bunga 6% per tahun. Hitunglah besar angsuran

kedua

2. Didi meminjam uang di bank sebesar Rp 250.000.000,00. Pinjaman itu harus

dilunaskan dengan anuitas akhir bulanan selama dua tahun. Hitunglah anuitas yang

ditetapkan bank tersebut dengan suku bunga 5% per bulan.

3. Sebuah perusahaan mempunyai utang sebesar Rp 500.000.000,00. Utang tersebut

harus dikembalikan dalam jangka waktu 20 tahun dengan anuitas akhir tahunan

dan suku bunga yang disepakati per tahun. Berapa besar anuitas yang

diterapkan?

4. Sebuah perusahaan meminjam uang sebesar Rp 750.000.000,00 kepada bank.

Pelunasannya dimulai setelah setahun dengan anuitas sebanyak 10 kali. Jika

anuitasnya Rp 87.922.880,00, berapa persen dasar bunga yang ditetapkan bank

tersebut?

44

1. Suku-suku barisan aritmetika dinyatakan dengan 354, 362, 370, 378, …, 498. Banyak

suku barisan tersebut adalah ….

A. 16 D. 20

B. 18 E. 30

C. 19

2. Suku ke-10 dan suku ke-22 dari suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 22 dan

-14. Suku ke-80 barisan tersebut adalah ….

A. -188 D. -125

B. -152 E. -120

C. -144

3. Suku ketiga dari suatu deret aritmetika adalah 218, sedangkan suku kesepuluhnya 260.

Jumlah 30 suku pertama deret tersebut adalah ….

A. 6.780 D. 8.790

B. 6.880 E. 8.890

C. 7.780

4. Hasil produksi suatu industri pada bulan kedua sebanyak 100 unit dan pada bulan

keenam 200 unit. Jika hasil produksi pada setiap bulannya memenuhi kriteria barisan

aritmetika, jumlah produksi selama 10 bulan pertama adalah ….

A. 1.825 unit D. 1.950 unit

B. 1.875 unit E. 2.000 unit

C. 1.900 unit

5. Suatu industri rumahan memproduksi mainan anak-anak dari bahan spons, kain dan

plastik. Pada minggu pertama, industri tersebut dapat memproduksi sebanyak 300 unit

mainan. Pada minggu-minggu berikutnya terjadi kenaikan hasil produksi yang tetap

sebesar 100 unit disebabkan adanya permintaan yang terus bertambah. Jumlah mainan

yang diproduksi industry tersebut selama tiga bulan pertama adalah …

TES

Soal

Pilihan Ganda

Barisan dan Deret

45

A. 9.600 unit D. 10.500 unit

B. 10.200 unit E. 12.100 unit

C. 10.300 unit

6. Suku kedua dan suku kelima dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah 20 dan

160. Suku ketujuh barisan tersebut adalah ….

A. 300 D. 620

B. 320 E. 640

C. 512

7. Diketahui suatu deret geometri dengan suku ke-2 = 12 dan suku ke-5 = 324. Jumlah 8

suku pertama deret tersebut adalah ….

A. 13.120 D. 118.092

B. 39.360 E. 608.460

C. 40.460

8. Pada tahun pertama, produksi suatu kerajinan tangan sebanyak 10.000 unit. Pada

tahun-tahun berikutnya, hasil produksi menurun menjadi kali dari hasil produksi

tahun sebelumnya. Hasil produksi pada tahun keempat adalah …

A. 16 unit D. 80 unit

B. 60 unit E. 100 unit

C. 64 unit

9. Pada bulan pertama, suatu perusahaan memproduksi sebanyak 500 botol minuman.

Oleh karena permintaan konsumen melalui agen yang terus bertambah, pada bulan-

bulan berikutnya terjadi kenaikan produksi sebesar 100% dari bulan sebelumnya.

Jumlah hasil produksi perusahaan tersebut selama 12 bulan pertama adalah …

A. 1.040.000 botol D. 2.000.000 botol

B. 1.100.000 botol E. 2.047.500 botol

C. 1.400.000 botol

10. Jumlah tak hingga dari deret adalah ….

A. 3 D. 10

B. 6 E. 12

C. 8

46

11. Diketahui jumlah dari suatu deret geometri tak hingga adalah 100. Jika rasionya ,

suku pertama deret tersebut adalah ….

A. 60 D. 80

B. 62 E. 90

C. 75

12. Jumlah tak hingga dari suatu deret geometri adalah 18. Jika suku pertamanya 12, rasio

deret tersebut adalah ….

A. D.

B. E.

C.

13. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 m. ketika bola menyentuh tanah, bola

memantul kembali hingga mencapai kali dari tinggi semula dan begitu seterusnya

untuk pantulan berikutnya. Panjang lintasan bola sampai berhenti adalah ….

A. 68 m D. 74 m

B. 70 m E. 88 m

C. 72 m

14. Pak Amin meminjam uang ke bank sebesar Rp 100.000.000,00 dengan tingkat suku

bunga tunggal 18% per tahun. Besar bunga selama satu tahun adalah ….

A. Rp 15.000.000,00

B. Rp 18.000.000,00

C. Rp 21.000.000,00

D. Rp 24.000.000,00

E. Rp. 28.000.000,00

15. Pak Manugari menabung di bank sebesar Rp 100.000.000,00 selama 10 bulan dengan

suku bunga tunggal sebesar 12% per tahun. Nilai tabungan Pak Manugari setelah 10

bulan adalah ….

A. Rp 100.250.000,00

B. Rp 100.500.000,00

C. Rp 100.750.000,00

D. Rp 110.000.000,00

E. Rp. 110.500.000,00

47

16 .Uang sebanyak Rp 100.000.000,00 didepositokan untuk 3 tahun dengan suku bunga

majemuk 10% per tahun. Besarnya bunga pada akhir tahun ketiga adalah ….

A. Rp 30.000.000,00

B. Rp 33.000.000,00

C. Rp 33.100.000,00

D. Rp 33.300.000,00

E. Rp 36.000.000,00

17. Modal sebesar Rp 69.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk sebesar

10% per tahun. Modal itu setelah 2 tahun akan menjadi ….

A. Rp 83.490.000,00

B. Rp 82.800.000,00

C. Rp 81.500.000,00

D. Rp 75.900.000,00

E. Rp 62.100.000,00

18. Pertambahan penduduk tiap tahun suatu daerah mengikuti aturan deret geometri.

Pertambahan penduduk pada tahun 2006 sebesar 24 orang dan tahun 2008 sebesar 96

orang. Pertambahan penduduk tahun 2011 adalah ….

A. 168 orang D. 526 orang

B. 192 orang E. 768 orang

C. 384 orang

19. Suatu jenis bakteri akan membelah diri menjadi dua setelah satu detik. Jika pada saat

permulaan ada 5 bakteri, maka banyak bakteri menjadi 320 setelah ….

A. 6 detik D. 9 detik

B. 7 detik E. 10 detik

C. 8 detik

20. Sebuah pinjaman sebesar Rp 20.000.000,00 akan dilunasi secara anuitas tahunan

sebesar Rp 4.000.000,00. Jika suku bunga 5% per tahun, besar angsuran ketiga

adalah ….

A. Rp 2.907.500,00

B. Rp 3.007.500,00

C. Rp 3.107.500,00

D. Rp 3.207.500,00

E. Rp 3.307.500,00

48

1. Suku ke-10 dari barisan : 3, 5, 7, 9, ….adalah ….

A. 11 D. 21

B. 15 E. 27

C. 19

2. Banyaknya suku barisan -10, -6, -2, 2, …146 adalah ….

A. 38 D. 41

B. 39 E. 42

C. 40

3. Diberikan sebuah deret aritmetika dengan suku kedua adalah 5. Jumlah suku keempat

dan keenam adalah 28. Suku kesembilan adalah ….

A. 24 D. 27

B. 25 E. 28

C. 26

4. Dari barisan aritmetika, u3+ u5= 20 dan u7= 19, beda barisan itu adalah ….

A. 6 D. -3

B. 3 E. -6

C. 1

5. Jumlah n suku pertama suatu deret didefinisikan sebagai Sn = 3n2 - 4n. Jika un adalah

suku ke-n, maka u10 adalah ….

A. 43 D. 147

B. 53 E. 240

C. 67

6. Suatu deret aritmetika diketahui u3 = 10 dan u7 = 18. Jumlah dua puluh lima suku

pertama deret itu adalah ….

A. 625 D. 1.250

B. 650 E. 1.500

C. 750

Soal

Pilihan Ganda

Persiapan UN

49

7. Jumlah semua bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis dibagi 7 adalah ….

A. 45.692 D. 73.775

B. 54.396 E. 80.129

C. 66.661

8. Dari suatu deret aritmetika, suku ketiga sama dengan 7, sedangkan jumlah suku

keempat dan suku ketujuh sama dengan 29, jumlah 27 suku pertama adalah ….

A. 82 D. 1.040

B. 980 E. 1.080

C. 1.020

9. Dari barisan geometri 3, -6, 12, -24, … nilai suku ke-n barisan itu adalah ….

A. D.

E.

C.

10. Dari barisan geometri , nilai suku kesepuluh barisan itu adalah ….

A. D.

E.

C.

11. Jika merupakan tiga suku berurutan dari barisan

geometri terhingga , maka suku ke-5 barisan geometri itu adalah ….

A. D.

E.

C.

12. Jika membentuk barisan geometri, maka rasionya adalah ….

A. D.

E.

C.

50

13. Diketahui suku ke-4 dan suku ke-8 dari suatu deret geometri berturut-turut adalah 54

dan 4.374. Jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah ….

A. 240 D. 243

B. 241 E. 244

C. 242

14. Jumlah deret geometri tak hingga adalah ….

A. D.

B. E.

C.

15. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 4a. Nilai a adalah ….

A D.

B. E.

C.

16. Sebuah modal sebesar Rp 50.000.000,00 disimpan di bank dengan bunga tunggal (flat)

sebesar 12,5% per tahun. Modal tersebut setelah 4 tahun menjadi ….

A. Rp 65.000.000,00

B. Rp 67.500.000,00

C. Rp 70.000.000,00

D. Rp 72.500.000,00

E. Rp 75.000.000,00

17. Anwar menabung di bank dengan suku bunga majemuk sebesar 30% per tahun dan

besarnya uang yang ditabung Rp 100.000.000,00 selama 3 tahun. Tabungan anwar

setelah 3 tahun adalah ….

A. Rp 129.700.000,00

B. Rp 139.700.000,00

C. Rp 219.700.000,00

D. Rp 319.700.000,00

E. Rp 379.100.000,00

51

18. Sebuah bola yang dijatuhkan dari ketinggian 10 m memantul kembali dengan

ketinggian kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus-menerus

hingga bola berhenti. Panjang lintasa bola adalah ….

A. 60 m D. 90 m

B. 70 m E. 100 m

C. 80 m

19. Seorang produsen berrhasil meningkatkan unit produksinya 10% setiap tahun. Hasil

produksi pada awal tahun ke-5 adalah sebesar 14.641 unit. Hasil produksi pada awal

tahun tahun ke-3 adalah ….

A. 10.000 unit D. 12.100 unit

B. 11.000 unit E. 13.310 unit

C. 11.859 unit

20. Pinjaman sebesar Rp 20.000.000,00 dilunasi secara anuitas sebesar Rp 4.326.308,00

per tahun dengan suku bunga 8% per tahun. Besar angsuran keenam adalah …..

A.

B.

C.

D.

E.

52

Barisan Aritmetika

1. a. u1= 2, b = 3, un= 3n – 1, u20= 59

b. u1= 12, b = -5, un= -5n + 17, u20= -83

c. u1= 100, b = -10, un= -10n +110, u20= -90

2. a. u1= 11, b = -1

b. un = -n + 12

c. u15= -3

u20= -8

3. a. u1= 29, b = -2

b. un= -2n + 31

4. x = -14

Deret Aritmetika

1. a. S20= 590

b. S20= -370

2. a. S91= -5.005

b. S18= -189

3. a. n = 10

b. u10= 30

4. a. un= 4n + 8

b. u20= 88

5. S39= 7.800

KUNCI JAWABAN

TUGAS

53

Barisan Geometri

1. a. r = 4 , un= 4n-1, u10= 49= 262.144

b. r = -2, un= 3 . (-2)n-1, u10= -1.536

2. a. r

b. n = 17

3. a = 2, r = 4

4. a = 12, r = 2 , u6=384

5. r = 2

Deret Geometri

1. a. S6= 5.208

b. S6= 84

2. S6=315

3. a. u1= 0,5, r = -2

b. S10= -170,5

4. S5= 484

5.

Deret Geometri Tak Hingga

1. a.

b.

2.

3. a.

b.

4. 60 meter

Bunga Tunggal

1. a. 24.000.000

b. 232.000.000

2. a. 800.000.000

b. 1.200.000.000

3. 15 bulan

54

4. 25%

Bunga Majemuk

1. 22.940774

2. 266.200.000

3. 401.467.673

4. 747.258.173

5. 802.451.046

Pertumbuhan dan Peluruhan

1. 21.500 unit

2. 7.150

3. 1.638.400.000

4. 60 meter

Anuitas

1. 12.791.484

2. 18.117.725

3. 35.180.550

4. 3%

1. Kunci Jawaban Soal Pilihan Ganda Barisan dan Deret

1 C 6 E 11 D 16 C

2 A 7 A 12 C 17 A

3 D 8 D 13 C 18 E

4 B 9 E 14 B 19 B

5 B 10 A 15 D 20 E

TES

Jumlah jawaban benar = ........

Skor = total jawaban benar dari soal barisan dan deret dikalikan 5

= ........ x 5

= .........

2. Kunci Jawaban Soal Pilihan Ganda Persiapan UN

1 D 6 C 11 B 16 E

2 C 7 C 12 E 17 C

3 C 8 E 13 C 18 B

4 B 9 A 14 B 19 D

5 B 10 B 15 A 20 D

Jumlah jawaban benar = ........

Skor = total jawaban benar dari soal persiapan UN dikalikan 5

= ........ x 5

= .........

55

Kasmina, Toali. 2013. Matematika untuk SMK / MAK Kelas X. Jakarta : PT Gelora AksaraPratama

________. 2018. X-PRESS UN SMK / MAK 2018 Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatandan Pertanian. Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama

Sukino. 2015. Matematika untuk SMA / MA Kelas XII KelompokWajib. Jakarta : PT GeloraAksara Pratama

________. 2015.Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Jakarta : PTGelora Aksara Pratama

Sulistyono.2012.SPMMatematika SMA dan MA. Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama

Widodo, Untung.2015. Mandiri Matematika untuk SMA / MA Kelas XII KelompokWajib.Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama

Wirodikromo, Sartono.2007.Matematika untuk SMA Kelas XII. Jakarta : PT Gelora AksaraPratama

DAFTAR PUSTAKA

57

Melalui pembelajaran berbasis modul, diharapkan pengguna modul dapat belajarsecara mandiri, mengukur kemampuan diri sendiri, dan menilai dirinya sendiri. Terutamadalam memahami materi barisan dan deret serta aplikasi barisan dan deret. Semoga modulini dapat digunakan sebagai referensi dalam proses pembelajaran. Semoga modul inimemberi manfaat bagi pengguna.

PENUTUP

58

A.Pola Bilangan B.Barisan BilanganC.Deret D.Barisan dan Deret AritmetikaSifat-sifat Sn Pada Deret AritmetikaE.Barisan dan Deret Geometri