matematika ekonomi 1nuryanto.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/55353/... · rahmat-nya,...

BUKU AJAR

MATEMATIKA EKONOMI 1

DISUSUN OLEH:

NURYANTO ST., MT

PROGRAM STUDI MANAJEMEN

FAKULTAS EKONOMI

UNIVERSITAS GUNADARMA

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis kami panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, atas

rahmat-Nya, penyusunan Buku Matematika Ekonomi dapat diselesaikan. Buku Ajar ini

disusun untuk menunjang proses belajar mengajar mata kuliah Matematika Ekonomi 1

sehingga pelaksanaannya dapat berjalan dengan baik dan lancar, serta pada akhirnya

tujuan instruksional umum dari mata kuliah ini dapat dicapai.

Diktat ini bukanlah satu-satunya pegangan mahasiswa untuk mata kuliah ini,

terdapat banyak buku yang bisa digunakan sebagai acuan pustaka. Diharapkan

mahasiswa bisa mendapatkan materi dari sumber lain.

Penulis menyadari bahwa diktat ini masih banyak kelemahan dan

kekurangannya. Oleh karena itu kritik dan saran pembaca dan juga rekan sejawat

terutama yang mengasuh mata kuliah ini, sangat kami perlukan untuk kesempurnaan

tulisan ini. Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih.

Depok, Februari 2017

Penulis

Daftar Isi

KATA PENGANTAR i

Daftar Isi ii

MODUL 1: HIMPUNAN DAN SISTEM BILANGAN 1.1

Kegiatan Belajar 1:

Himpunan ...........................................................................................

1.2

Latihan …………………………………………............................... 1.13

Rangkuman ………………………………….................................... 1.17

Tes Formatif 1 ……………………………..…….............................. 1.18

Kegiatan Belajar 2:

Sistem Bilangan ..................................................................................

1.20

Latihan …………………………………………............................... 1.30

Rangkuman ………………………………….................................... 1.33

Tes Formatif 2 ……………………………..…….............................. 1.33

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF .............................................

1.36

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ 1.37

MODUL 2: PANGKAT, AKAR, LOGARITMA DAN DERET

Kegiatan Belajar 1:

Pangkat, Akar, dan Logaritma

............................................................

2.1 2.2

Latihan …………………………………………............................... 2.8

Rangkuman ………………………………….................................... 2.13

Tes Formatif 1 ……………………………..…….............................. 2.14

Kegiatan Belajar 2:

Banjar dan Deret .................................................................................

2.17

Latihan …………………………………………............................... 2.26

Rangkuman ………………………………….................................... 2.26

Tes Formatif 2 ……………………………..…….............................. 2.27

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. 2.30

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ 2.31

MODUL 3: FUNGSI

Kegiatan Belajar 1:

Fungsi .................................................................................................

3.1 3.3

Latihan …………………………………………............................... 3.14

Rangkuman ………………………………….................................... 3.15

Tes Formatif 1 ……………………………..…….............................. 3.16

Kegiatan Belajar 2:

Fungsi Linear .....................................................................................

3.18

Latihan …………………………………………............................... 3.26

Rangkuman ………………………………….................................... 3.29

Tes Formatif 2 ……………………………..…….............................. 3.30


3.32

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ 3.33

MODUL 4: PENGGUNAAN FUNGSI DALAM EKONOMI

Kegiatan Belajar 1:

Fungsi Permintaan dan Penawaran .

....................................................

4.1 4.2

Latihan …………………………………………............................... 4.14

Rangkuman ………………………………….................................... 4.18

Tes Formatif 1 ……………………………..…….............................. 4.18

Kegiatan Belajar 2:

Fungsi Konsumsi dan Tabungan ........................................................

4.21

Latihan …………………………………………............................... 4.24

Rangkuman ………………………………….................................... 4.25

Tes Formatif 2 ……………………………..…….............................. 4.26


4.28

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ 4.29

MODUL 5: FUNSI NON-LINEAR

Kegiatan Belajar 1:

Grafik Kurva Non-Linear ...................................................................

5.1 5.2

Latihan …………………………………………............................... 5.11

Rangkuman ………………………………….................................... 5.13

Tes Formatif 1 ……………………………..…….............................. 5.14

Kegiatan Belajar 2:

Fungsi Kuadratik ................................................................................

5.17

Latihan …………………………………………............................... 5.26

Rangkuman ………………………………….................................... 5.29

Tes Formatif 2 ……………………………..…….............................. 5.29


5.32

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ 5.33

Modul 1

Himpunan dan Sistem Bilangan

impunan adalah bagian dari matematika yang bahannya pernah Anda

pelajari. Materi tersebut akan dibahas sehingga Anda menjadi lebih

memahami konsep himpunan. Selain himpunan, modul ini juga berisi

penjelasan-penjelasan tentang sistem bilangan riil. Dalam kehidupan sehari-

hari kita banyak menjumpai pekerjaan yang berkaitan dengan penggunaan

himpunan dan bilangan riil sehingga pendalaman terhadap materi ini

bukanlah pekerjaan yang sia-sia. Di dalam matematika, himpunan merupakan

dasar dan landasan-landasan dari konsep-konsep lainnya seperti relasi dan

fungsi. Selain itu juga melandasi cabang ilmu lainnya seperti statistika,

khususnya untuk masalah probabilitas.

Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan mampu

untuk memahami himpunan serta operasi-operasinya dan mampu untuk

memahami sistem bilangan riil. Setelah selesai mempelajari modul ini, secara

khusus Anda diharapkan dapat:

a. mendiskripsikan dan mengidentifikasikan suatu himpunan.

b. menyajikan dan membandingkan beberapa himpunan.

c. menunjukkan hasil operasi beberapa himpunan.

d. mendiskripsikan sistem bilangan riil.

e. menjelaskan jenis-jenis bilangan riil dan kaitannya dengan himpunan

untuk bilangan riil tersebut.

f. mencari himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan.

H

PENDAHULUAN

Kegiatan Belajar 1

H i m p u n a n

A. PENGERTIAN HIMPUNAN

Benda-benda yang berada di sekitar kita dapat dikelompokkan menurut

sifat-sifat tertentu. Benda-benda yang dimaksud di sini dapat berupa

bilangan, huruf, nama orang, nama kota dan sebagainya. Daftar kumpulan

benda-benda yang mempunyai sifat-sifat tertentu itu, disebut himpunan.

Benda yang terdapat dalam suatu himpunan disebut unsur, atau sering juga

disebut elemen atau anggota. Untuk selanjutnya, dari ketiga istilah di atas,

kita akan menggunakan istilah anggota untuk benda-benda yang terdapat

pada suatu himpunan.

Suatu himpunan, umumnya ditulis dengan huruf besar, seperti

A , B , C , D , X , Y , ..........

dan benda-benda yang menjadi anggota suatu himpunan, umumnya ditulis

dengan huruf kecil, seperti

a , b , c , d , x , y , .........

Bagaimana cara menulis suatu himpunan? Suatu himpunan ditulis

dengan cara menulis anggota-anggotanya di antara tanda kurawal {}.

Anggota yang satu dipisahkan dari anggota lainnya oleh tanda koma.

Penulisan dengan menggunakan cara seperti itu disebut penulisan cara

daftar.

Contoh 1.1:

Jika A merupakan suatu himpunan yang anggotanya adalah nama

buah-buahan, seperti salak, nanas, pisang, mangga, jambu, maka himpunan A

ditulis:

A = {salak, nanas, pisang, mangga, jambu}

Suatu himpunan dapat disajikan dengan cara yang lain, yaitu dengan

cara kaidah. Penyajian dengan cara kaidah dapat dilakukan dengan

1.2

menyebutkan karakteristik tertentu dari benda-benda yang menjadi anggota

himpunan tersebut.

Contoh 1.2:

Himpunan B yang beranggotakan x sedemikian rupa sehingga x adalah

bilangan genap, dapat ditulis:

B = {x | x = bilangan genap}

Perlu diperhatikan bahwa garis tegak "|" yang dicetak di antara dua tanda

kurung kurawal dapat dibaca sebagai "sedemikian rupa sehingga".

Contoh 1.3:

Himpunan C adalah himpunan penyelesaian persamaan x2 + 3x + 2

= 0 dan dapat ditulis:

C = {x | x2 + 3x + 2 = 0}

dan dibaca: "Himpunan C yang beranggotakan x sedemikian rupa sehingga

x adalah himpunan penyelesaian persamaan x2 + 3x + 2 = 0"

Untuk memperjelas cara penulisan suatu himpunan, baik dengan cara

daftar atau dengan cara kaidah, maka berikut ini disajikan beberapa contoh

lainnya.

Contoh 1.4:

Himpunan bilangan ganjil positif yang lebih kecil dari 10, dapat ditulis A

= {1, 3, 5, 7, 9} atau A = {x | x = bilangan ganjil positif < 10}

Contoh 1.5:

Himpunan huruf-huruf hidup:

B = {a, e, i, o, u} atau B = {y | y = huruf hidup}

Contoh 1.6:

Himpunan merek beberapa mobil Jepang. C = {Mazda, Honda, Suzuki,

Toyota, Datsun} atau C = {Z | Z = merek beberapa mobil Jepang}

Contoh 1.7:

Himpunan beberapa nama buah-buahan:

1.3

D = {Papaya, Mangga, Pisang, Jambu} atau D = {x | x = nama

beberapa buah-buahan}

Suatu benda yang merupakan anggota suatu himpunan A dapat ditulis

x ∈ A dan dibaca "x adalah anggota himpunan A". Suatu benda yang tidak

merupakan anggota dari himpunan A atau sebaliknya yaitu himpunan A tidak

mengandung anggota x, dapat ditulis menjadi x A∉

Contoh 1.8:

Jika A = {a, b, c, d}, maka a ∈ A, b ∈ A dan e A∉

Contoh 1.9:

Jika A = {x | x = bilangan genap}, maka 1 ∉ A, 2 ∈ A, 3 ∉ A, 4 ∈ A.

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, jika keduanya

mempunyai anggota yang sama. Anggota yang dimiliki himpunan A juga

dimiliki oleh himpunan B dan sebaliknya, anggota himpunan B juga menjadi

anggota himpunan A. Persamaan antara himpunan A dan himpunan B ini

dapat ditunjukkan oleh A = B.

Contoh 1.10:

Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {7, 1, 5, 3}, maka A = B karena {1, 3, 5, 7}

= {7, 1, 5, 3} dan setiap anggota yaitu 1, 3, 5, 7 yang dimiliki himpunan A

juga dimiliki oleh himpunan B dan setiap anggota yaitu 7, 1, 5, 3 yang

dimiliki himpunan B juga dimiliki oleh himpunan A.

Perlu diperhatikan, himpunan tidak berubah nilainya meskipun

susunan anggotanya berbeda.

Contoh 1.11:

Jika X = {9, 10, 9, 11} dan Y = {11, 9, 10, 11} maka X = Y karena {9,

10, 9, 11} = {11, 9, 10, 11} dan setiap anggota yang dimiliki Y juga

dimiliki oleh X. Suatu himpunan tidak akan berubah nilainya, bila anggota

yang sama dihilangkan. Jadi himpunan {9, 10, 11} nilainya sama dengan

himpunan X dan Y.

1.4

Dapat terjadi bahwa suatu himpunan tidak mempunyai anggota sama

sekali. Himpunan yang demikian disebut himpunan kosong dan diberi

lambang ∅.

Contoh 1.12:

Misalkan A adalah suatu himpunan manusia yang tinggal di bulan.

Karena sampai saat ini bulan tidak dihuni oleh manusia, maka A adalah

himpunan kosong dan ditulis A = ∅.

Contoh 1.13:

Misalkan B = {x | x = Profesor yang berumur 200 tahun}. Karena

menurut statistik, sampai saat ini tidak ada Profesor yang berumur sampai

200 tahun, maka B adalah himpunan kosong atau B = ∅.

B. HUBUNGAN ANTARHIMPUNAN

Setiap anggota suatu himpunan bisa menjadi anggota himpunan yang

lain. Misalnya, setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan

B, maka himpunan A disebut sebagai himpunan bagian sejati dari

himpunan B dan ditulis A ⊂ B dan dibaca "A adalah himpunan bagian sejati

dari himpunan B, atau A terkandung oleh B". Penulisan cara lain dari

himpunan A yang menjadi himpunan bagian sejati himpunan B adalah B ⊃ A

dan dibaca "B mengandung A". Jika A tidak merupakan himpunan bagian

dari B, maka hubungan tersebut dapat ditulis A ⊄ B.

Contoh 1.14:

C = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian sejati dari A = {1, 2, 3, 4, 5}

karena anggota himpunan C yaitu angka 1, 2 dan 3 juga merupakan anggota

himpunan A dan ditulis C ⊂ A atau A ⊃ C.

Contoh 1.15:

D = {a, c, e} merupakan himpunan bagian sejati dari E = {f, e, d, c, b, a}

karena huruf a, c dan e merupakan anggota himpunan D dan juga merupakan

anggota himpunan E.

1.5

Perhatikan bahwa A merupakan himpunan bagian dari B ditunjukkan

oleh lambang A ⊂ B atau B ⊃ A. Di sini himpunan A tidak sama dengan

himpunan B atau A ≠ B karena bila A = B, maka A akan merupakan

himpunan bagian sejati dari B dan sebaliknya himpunan B juga merupakan

himpunan bagian sejati dari himpunan A, peristiwa tersebut dapat

ditunjukkan dengan lambang:

A ⊆ B atau B ⊇ A

Contoh 1.16:

Bila X = {a, b, c} dan Y = {b, c, a}, maka X = Y dan X merupakan

himpunan bagian sejati dari Y dan sebaliknya Y merupakan himpunan bagian

sejati dari himpunan X, atau ditulis X ⊆ Y atau Y ⊇ X.

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota,

merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Atau dengan perkataan

lain, setiap himpunan selalu mengandung himpunan kosong. Lalu dapatkah

kita menghitung berapa banyak himpunan bagian yang dimiliki oleh suatu

himpunan jika jumlah anggotanya tertentu? Untuk itu, coba kita lihat

himpunan A = {3}. Himpunan ini hanya memiliki satu anggota yaitu angka

3. Himpunan bagian yang dimiliki oleh himpunan A adalah sembarang

himpunan yang beranggotakan angka 3, misalnya P = {3}, dan sembarang

himpunan kosong misalnya K = ∅. Jadi jumlah himpunan bagian yang

dimiliki cacahnya ada 2.

Sekarang kalau himpunan yang akan dicari jumlah himpunan bagiannya

adalah Q = {a, b}, maka himpunan bagian sejatinya adalah A = {a}, B = {b},

C = {a, b} dan D = ∅. Jadi jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh

himpunan Q = {a, b} cacahnya ada 4 himpunan.

Untuk mengetahui secara cepat jumlah himpunan bagian sejati yang

dimiliki oleh suatu himpunan yang memiliki n anggota dapat dengan

menggunakan rumus: 2n

Contoh 1.17:

Jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh A = {3} adalah 21 = 2 yaitu

P = {3} dan K = ∅.

1.6

Contoh 1.18:

Jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh Q = {a, b} adalah 22 = 4

yaitu A = {a}; B = {b}; C = {a, b}; D = ∅.

Himpunan yang dibicarakan umumnya merupakan himpunan bagian

sejati dari suatu himpunan yang memuat seluruh anggota. Himpunan itu

disebut himpunan semesta, dan dilambangkan dengan ∪.

Contoh 1.19:

Berbicara mengenai abjad, maka himpunan semesta adalah himpunan

semua abjad yaitu a sampai z.

Suatu cara yang sederhana untuk menggambarkan hubungan antara

himpunan yang satu dengan himpunan yang lain, adalah dengan memakai

diagram Venn-Euler atau sering disingkat dengan nama diagram Venn.

Suatu himpunan ditunjukkan oleh luas suatu bidang datar yang dapat

berbentuk luas suatu lingkaran atau luas empat persegi panjang.

Contoh 1.20:

Misalkan A ⊂ B dan B ⊄ A, maka A dan B dapat ditunjukkan oleh

diagram berikut:

B

B A

A

Diagram 1.1a Diagram 1.1b

Contoh 1.21:

Jika A = {a, b, c, d} dan B = {c, d, e, f}, maka kedua himpunan tersebut

dapat disajikan melalui diagram Venn sebagai berikut:

1.7

A B

a c e

b d f

Diagram 1.2

Cara lain yang dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara

himpunan yang satu dengan yang lain adalah menggunakan diagram garis.

Untuk menyajikan bahwa A ⊂ B maka dapat ditulis B yang ditempatkan di

atas A dan keduanya dihubungkan dengan garis lurus.

B

A

Diagram 1.3

Contoh 1.22:

Jika A ⊂ B dan B ⊂ C, maka diagram garisnya adalah:

C

B

A

Diagram 1.4

Contoh 1.23:

Jika A = {a}, B = {b} dan C = {a, b}, maka diagram garis dari A, B dan

C adalah:

1.8

C

A B

Diagram 1.5

Contoh 1.24:

Jika D = {d}, E = {d, e}, F = {d, e, f} serta G = {d, e, g}, maka diagram

garis dari D, E, F dan G adalah:

F G

E

D

Diagram 1.6

C. OPERASI HIMPUNAN

Pekerjaan seperti menjumlah, mengurang, mengali dan membagi suatu

bilangan adalah operasi aritmatika. Himpunan meskipun berbeda dengan

bilangan dapat juga dioperasikan secara aritmatika. Operasi yang dapat

dilakukan adalah gabungan, irisan, selisih dan komplemen.

Gabungan (union) dari himpunan A dan himpunan B merupakan suatu

himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota himpunan A atau

anggota himpunan B atau keduanya. Gabungan himpunan A dan himpunan B

ini dilukiskan dengan lambang A ∪ B dan dibaca "gabungan himpunan A

dan B".

1.9

Contoh 1.25:

Pada diagram Venn berikut, A ∪ B adalah luas A dan luas B yang

diarsir.

A B

Diagram 1.7

Contoh 1.26:

Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d, e, f} maka A ∪ B =

{a, b, c, d, e, f}.

B A

Diagram 1.8

Irisan (interseksi) dari himpunan A dan himpunan B adalah suatu

himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A tetapi

juga merupakan anggota himpunan B. Irisan dari himpunan A dan himpunan

B dilukiskan dengan lambang A ∩ B.

Contoh 1.27:

Pada diagram Venn berikut, A ∩ B adalah bagian luas A yang juga

menjadi bagian luas B dan ditunjukkan dalam gambar sebagai bagian luas

yang diarsir.

1.10

A B

Diagram 1.9

Contoh 1.28:

Misalkan A = {a, b, c, d} dan B = {c, d, e, f, g} maka A ∩ B = {c, d}

Contoh 1.29:

Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {7, 3, 5, 6, 8} maka A ∩ B = {3, 5}

Selisih antara himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang

anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A tetapi bukan anggota

himpunan B.

Contoh 1.30:

Pada diagram Venn berikut, A - B adalah bagian A yang tidak menjadi

bagian luas B dan dalam gambar ditunjukkan oleh bagian yang diarsir.

A B

Diagram 1.10

Contoh 1.31:

Misalkan A = {12, 14, 16, 13, 15} dan B = {9, 10, 12, 13}, maka

A - B = {14, 15, 16}

1.11

Contoh 1.32:

Misalkan P = {a, b, c, d} dan Q = {a, b, e, f} maka P - Q = {c,d}

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya

merupakan selisih antara himpunan semesta U dan himpunan A. Komplemen

dari himpunan A ditulis A′.

Contoh 1.33:

Pada diagram Venn berikut, komplemen dari himpunan A adalah bagian

luas yang tidak termasuk bagian luas A dan dalam diagram dilukiskan

sebagai bagian luas yang diarsir. Anggapan yang digunakan di sini adalah

himpunan semesta U merupakan luas segi empat panjang.

U

A

Diagram 1.11

Contoh 1.34:

Misalkan himpunan semesta U anggotanya adalah bilangan 1 sampai

100 dan A = {1, 2, 3}, maka A′ = {4, 5, 6,............, 99, 100}

D. PASANGAN URUT

Himpunan yang urut-urutan anggotanya tertentu yaitu yang bernomer

urut 1, 2, 3...... dan seterusnya disebut himpunan urut. Daftar anggota

himpunan urut tidak ditempatkan di antara dua tanda kurawal akan tetapi di

antara tanda kurung biasa.

1.12

Contoh 1.35:

{a,b,c} adalah himpunan yang mempunyai tiga buah anggota yang

urut-urutan penulisannya boleh sembarang. (a,b,c) adalah suatu himpunan

urut dengan tiga buah anggota yang urut-urutan penulisannya tidak boleh

diubah dan harus seperti itu.

Bila suatu himpunan hanya mempunyai dua anggota di mana satu

anggota dinyatakan sebagai nomor satu dan yang lain dinyatakan sebagai

nomor dua, maka himpunan tersebut dinamakan pasangan urut.

Contoh 1.36:

Pasangan urut (1,4) dan (4,1) adalah berbeda.

Contoh 1.37:

Pasangan urut boleh memiliki anggota pertama dan anggota kedua yang

sama seperti (1,1), (2,2), (5,5)

1) Tulislah pernyataan-pernyataan di bawah ini dengan menggunakan

lambang himpunan:

A. a bukan anggota himpunan A

B. p adalah anggota himpunan Q

C. X adalah himpunan bagian sejati dari Y

D. R bukan himpunan bagian sejati dari S

E. Himpunan M mengandung himpunan N

2) Bila P = {a, b, c} atau dengan kata lain P beranggotakan a, b dan c,

maka dari pernyataan-pernyataan berikut ini manakah yang benar dan

yang salah. Bila salah sebutkan sebabnya

A. a ⊂ P

B. a ∈ P

C. {b} ⊂ P

D. {b} ∈ P

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!

1.13

3) Seandainya himpunan semesta S = {a, b, c, d, e} dan misalkan

A = {a, b, e}, B = {a, c, d} dan C = {b, e}, maka carilah:

A. A ∩ B

B. A - C

C. B ∪ C

D. A ∪ C

4) Dengan menggunakan data pada soal nomer 3 di atas, gambarkan

diagram Venn dari himpunan - himpunan berikut ini:

A. A ∩ B

B. A ∪ B

C. (A ∪ B) ∩ C

D. (A ∩ B) ∪ C

5) Bila diketahui himpunan A = {p, q, r, s}, maka tentukan himpunan

bagian yang dimiliki oleh himpunan A.

6) Bila diketahui:

X = {a, b, c, d, e}

Y = {b, c, d}

Z = {c, d}

Tunjukkan pernyataan-pernyataan berikut ini yang salah dan sebutkan

mengapa.

A. Y ⊂ X

B. Y ⊃ X

C. Z ⊂ X

D. Z ⊃ Y

7) Dapatkan gabungan dari himpunan H1 dan himpunan H2 berikut:

A. H1 = {1, 2, 3}

H2 = {a, b, c}

B. H1 = {a, 1, 2}

H2 = {a, b, c}

C. H1 = {a, b, 2}

H2 = {a, b, c}

8) Dapatkan irisan dari himpunan H1 dan himpunan H2 pada soal nomor 7

di atas.

1.14

9) Dengan menggunakan himpunan-himpunan pada soal nomor 7, carilah

H1 - H2 dan H2 - H1.

10) Dengan menggunakan H1 dan H2 pada soal nomor 7, dapatkan

(H1 - H2) ∪ (H2 - H1)

Petunjuk Jawaban Latihan

1) A. a ∉ A

B. p ∈ Q

C. X ⊂ Y

D. R ⊄ S

E. M ⊃ N

2) A. salah, sebab a bukan himpunan.

B. benar.

C. benar.

D. salah, sebab simbol {b} untuk himpunan dan b adalah elemen.

3) A. A ∩ B = {a}

B. A – C = {a}

C. B ∪ C = {a, b, c, d, e} = S

D. A ∪ C = {a, b, e}

4) A. A ∩ B = bagian yang diarsir

A B

1.15

B. A ∪ B = bagian yang diarsir

A B

C. (A ∪ B) ∩ C = bagian yang diarsir

A B

C

D. (A ∩ B) ∪ C = bagian yang diarsir

A B

C

1.16

5) {p}, {q}, {r}, {s}, {p, q}, {p, r}, {p, s}, {q, r}, {q, s}, {r, s}, {p, q, r},

{p, q, s}, {q, r, s},

{p, q, r, s}, ∅.

6) A. benar

B. salah, sebab a dan c tidak ada di Y

C. benar

D. salah, sebab b tidak ada di Z

7) A. {1, 2, 3, a, b, c}

B. {a, b, c, 1, 2}

C. {a, b, c, 2}

8) A. ∅

B. {a}

C. {a, b}

9) A. H1 – H2 = {1, 2, 3}

H2 – H1 = {a, b, c}

B. H1 – H2 = {1, 2}

H2 – H1 = {b, c}

C. H1 – H2 = {2}

H2 – H1 = {c}

10) A. {1, 2, 3, a, b, c}

B. {1, 2, b, c}

C. {2, c}

Himpunan adalah suatu daftar dari sekumpulan benda-benda yang

mempunyai sifat-sifat tertentu. Himpunan A dikatakan sama dengan

himpunan B jika keduanya mempunyai anggota yang sama. Setiap

anggota suatu himpunan dapat menjadi anggota himpunan lainnya dan

himpunan itu disebut himpunan bagian sejati dari suatu himpunan

tertentu. Himpunan yang memuat seluruh anggota yang ada disebut

himpunan semesta.

Hubungan antara suatu himpunan dengan himpunan lain, dapat

ditunjukkan oleh diagram Venn atau dengan diagram garis. Gabungan

RANGKUMAN

1.17

(union) dari dua himpunan atau lebih merupakan suatu himpunan yang

anggotanya adalah semua anggota yang ada di kedua atau lebih

himpunan tersebut. Irisan (interseksi) antara dua himpunan adalah suatu

himpunan yang anggotanya merupakan anggota di kedua himpunan

tersebut. Selisih dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya

merupakan anggota salah satu dari himpunan tersebut. Komplemen suatu

himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan selisih

antara himpunan semesta dan himpunan tersebut.

Himpunan urut adalah suatu himpunan yang urut-urutan anggotanya

tertentu. Bila himpunan urut mempunyai dua anggota dan satu anggota

dinyatakan sebagai nomor satu dan yang lain dinyatakan sebagai nomor

dua, maka himpunan tersebut dinamakan pasangan urut.

1) X adalah himpunan bilangan-bilangan positif kelipatan tiga dan tidak

lebih dari 20. Maka himpunan X adalah ….

A. X = {1, 3, 9}

B. X = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18}

C. X = {3, 9}

D. X = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

2) Jika A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, A ∩ B = {1, 3}, dan A – B = {2}, maka

himpunan A dan B adalah ….

A. A = {1, 3, 4} dan B = {1, 2, 3}

B. A = {1, 2, 4} dan B = {2, 3, 4}

C. A = {2, 3, 4} dan B = {1, 2, 4}

D. A = {1, 2, 3} dan B = {1, 3, 4}

3) Jika P = {a, b, c} dan Q = {a, d}, maka himpunan (P ∩ Q) adalah ….

A {a, b, c}

B. {a}

C. {d}

D. {b, c}

4) Jika P = {a, b, c} dan Q = {a, d}, maka himpunan (P-Q) adalah ….

A. {a, b, c, d}

B. {a}

TES FORMATIF 1

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1.18

C. {d}

D. {b, c}

5) Jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh P = {1, 3} adalah ….

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,

Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang

belum dikuasai.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar

100%Jumlah Soal

×

1.19

Kegiatan Belajar 2

Sistem Bilangan

A. SISTEM BILANGAN DESIMAL

Di dalam kehidupan sehari-hari sistem bilangan yang biasanya dipakai

adalah sistem bilangan dengan basis 10 dan dikenal dengan nama bilangan

desimal. Angka yang digunakan ada sepuluh yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan

0. Bilangan ditulis dengan menggunakan harga tempat. Tempat, dicacah

dari letak tanda koma ke kiri. Tempat pertama mempunyai harga satuan 100 =

1, tempat kedua 101 = 10, tempat ketiga 102 = 100 dan tempat ke n harga

satuannya 10n-1 dan seterusnya.

Contoh 1.38:

45 artinya 4 × 101 + 5 × 100 = 40 + 5

Contoh 1.39:

1990 artinya

= 1 × 103 + 9 × 102 + 9 × 101 + 0 × 100

= 1000 + 900 + 90 + 0.

Pencacahan tempat untuk angka pecah, dimulai dari tanda koma ke

kanan, tempat pertama mempunyai harga satuan 10-1 = 1

10, tempat kedua

10-2 = 1

100, tempat ketiga 10-3 =

1

1000 dan seterusnya.

Contoh 1.40:

67,85 = 6 × 101 + 7 × 100 + 8 × 10-1 + 5 × 10-2

= 60 + 7 + 8

10 +

5

100

1.20

B. SISTEM BILANGAN BINAR

Sistem bilangan dengan basis 10 bukanlah satu-satunya sistem yang

digunakan. Misalnya sistem bilangan dengan basis 2 digunakan pada

kebanyakan alat komputer. Angka yang digunakan adalah 0 dan 1. Bilangan

yang menggunakan basis 2 dikenal dengan nama bilangan binar. Pada

penulisan bilangan, berlaku juga harga tempat sehingga untuk tempat

pertama mempunyai harga 20, tempat kedua yang berada di sebelah kiri

tempat pertama mempunyai harga 21, tempat ketiga mempunyai harga 22 dan

seterusnya.

Contoh 1.41:

Bilangan 1011 mempunyai harga

= 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20

= 8 + 0 + 2 + 1

= 11

Contoh 1.42:

Bilangan 101010 mempunyai harga

= 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20

= 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42

C. BILANGAN KOMPLEKS

Dalam mencacah atau menghitung, mula-mula manusia menggunakan

bilangan alam atau bilangan bulat positif yaitu 1,2,3,4, ... Bilangan-bilangan

ini digunakan untuk menambah, mengurang, mengali serta membagi.

Bilangan nol dan bilangan negatif kemudian diciptakan agar dapat

menghitung x dari persamaan a + x = b. Nilai a dan b merupakan bilangan

alam sembarang. Bilangan bulat positif maupun negatif dan bilangan nol,

merupakan himpunan bilangan bulat. Kemudian, bilangan pecahan

diciptakan agar dapat menghitung nilai x dari persamaan ax - b = 0

Pada persamaan tersebut di atas, nilai a dan b adalah sembarang

bilangan bulat dengan nilai b ≠ 0. Dengan demikian, dari setiap nilai yang

diberikan kepada a dan b akan diperoleh suatu jawaban untuk x. Bila tidak

ada bilangan pecah, maka harga untuk x tidak bisa dijawab.

1.21

Contoh 1.43:

3x - 2 = 0. 2

x3

=

Bilangan yang ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat disebut

bilangan rasional. Bilangan rasional juga dapat ditulis sebagai bilangan

desimal berulang.

Contoh 1.44:

2

0,6666.......3= (satu angka berulang).

Selain bilangan rasional, juga dikenal adanya bilangan irasional.

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional yaitu bilangan yang

tidak dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Karena tidak dapat

ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, maka dengan sendirinya kita

tidak pernah akan menjumpai bilangan desimal berulang. Bilangan rasional

dan irasional merupakan himpunan bilangan riil.

Contoh 1.45:

Keliling suatu lingkaran dengan diameter satu adalah π yaitu suatu

simbol untuk angka yang nilainya 3,141592. Angka ini merupakan bilangan

irasional karena tidak dapat ditunjukkan sebagai hasil bagi dua bilangan

bulat.

Bilangan irasional diciptakan, agar Anda dapat menyelesaikan suatu

persamaan kuadrat yang bentuk umumnya:

ax2 + bx + c = 0

Pada persamaan di atas nilai a ≠ 0 dan akar persamaan dapat diperoleh

dengan menggunakan kaidah:

2

1,2

-b - 4acb = x

2a

±

Bila diskriminan b2 - 4 ac > 0, maka akar-akar persamaan dapat dicari

karena adanya bilangan irasional. Akan tetapi bila diskriminan b2 - 4 ac < 0,

maka supaya persamaan dapat diselesaikan kemudian diciptakan bilangan

imajiner.

1.22

Untuk menunjukkan bilangan imajiner, dipakai tanda i yang juga disebut

"satuan imajiner". Besarnya i adalah:

i = -1

dengan demikian maka:

i2 = -1

i3 = -1 1−

i4 = 1

i5 = 1−

Contoh 1.46:

Akar persamaan x2 + 6x + 13 = 0 adalah:

1,2

-6 36 - 52 = x

2

-6 -16=

2

= -3 2 -1

±

±

±

karena i = -1 , maka x1,2 = -3 ± 2i

Contoh 1.47:

Akar persamaan x2 - 8x + 17 = 0 adalah

1,2

8 64 - 68 = = 4 -1x

2

±±

karena i = -1 , maka x1,2 = 4 ± i

Bilangan rasional dan irasional merupakan himpunan bilangan riil.

Bilangan riil dan bilangan imajiner, merupakan himpunan bilangan

kompleks. Himpunan bilangan komplex dengan himpunan-himpunan

bagiannya dapat dilukiskan sebagai berikut:

1.23

Bilangan irasional

Bilangan bulat Bilangan pecah

Bilangan rasional

Bilangan riil Bilangan imajiner

Bilangan komplex

Bilangan kompleks

Bila R merupakan himpunan seluruh bilangan irasional, a dan b adalah

sembarang bilangan alam, maka sekarang dapat disusun kaidah-kaidah

bilangan untuk operasi penjumlahan (+) dan perkalian (x).

No. Kaidah Operasi + Operasi X

1. Tutupan ( )a b R+ ∈ ( )a b R× ∈

2. Asosiatif ( ) ( )a b c a b c+ + = + + ( ) ( )a b c a b c× × = × ×

3. Komutatif ( )a b b a+ = + a b b a× = ×

4. Identitas 0 0a a+ = + 1 1a a× = ×

5. Inversi ( ) ( ) 0a a a a+ − = − + = 11

aaa a

× = =

6. Distributif ( )a b c

a b a c

× + =× + ×

D. PERTIDAKSAMAAN

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda

pertidaksamaan. Misalnya: 2x – 3 < 5; 4x + 8 ≥ 2x + 10. Sedangkan

pertidaksamaan adalah pernyataan yang dihubungkan oleh tanda

pertidaksamaan misalnya 2 < 5 ; -2 > -4.

Suatu bilangan a dikatakan lebih besar dari bilangan b dan ditulis a > b

hanya jika b lebih kecil dari a dan ditulis b < a. Tanda " > " dan " < " disebut

tanda pertidaksamaan. Di samping kedua tanda pertidaksamaan itu, masih

ada tanda yang lain yaitu: ≤ yang dibaca "lebih kecil atau sama dengan", dan

≥ yang dibaca "lebih besar atau sama dengan".

1.24

Sifat-sifat Pertidaksamaan

1. a > 0 hanya jika a positif

a < 0 hanya jika a negatif

a > 0 hanya jika -a < 0

a < 0 hanya jika -a > 0

2. Bila a < b dan b < c, maka a < c

Contoh 1.48:

3 < 5 dan 5 < 9, maka 3 < 9

3. Bila a < b, maka untuk setiap nilai c berlaku a + c < b + c.

Contoh 1.49:

3 < 5 dan c = 2, maka 3 + 2 < 5 + 2 atau 5 < 7

4. Bila a < b dan c < d, maka a + c < b + d

Contoh 1.50:

3 < 5 dan 8 < 11 maka 3 + 8 < 5 + 11 atau 11 < 16

5. Bila a < b dan c positif, maka a(c) < b(c)

Contoh 1.51:

3 < 5 dan c = 2, maka 3(2) < 5(2) atau 6 < 10

6. Bila a < b dan c negatif, maka a(c) > b(c)

Contoh 1.52:

3 < 5 dan c = -2, maka 3(-2) > 5(-2) atau -6 > -10

7. Bila 0 < a < b dan 0 < c < d, maka a(c) < b(d)

Contoh 1.53:

2 < 4 dan 3 < 6, maka 2(3) < 4(6) atau 6 < 24.

1.25

Mulai sifat no 2 sampai sifat nomor 7 tanda > dapat diganti dengan

tanda < dan begitu pula tanda < dapat diganti dengan tanda >. Sifat penting

bilangan riil yang lain adalah bahwa setiap bilangan riil dapat digambarkan

pada suatu garis lurus yang disebut garis bilangan. Pada garis bilangan dipilih

satu titik dan diberi nilai 0. Titik ini sebut titik awal. Dari titik awal ini

kemudian dibuat skala dengan satuan tertentu. Di sebelah kanan titik awal

digunakan untuk bilangan- bilangan positif dan bilangan-bilangan negatif

diletakkan di sebelah kiri titik awal.

Contoh 1.54:

-2 -1 0 1 2 3 4

C A B

Bilangan-bilangan di atas garis menunjukkan skala dan bilangan di

bawah menunjukkan nilai bilangan. Misalnya: A = 3/2 ; B = 3; C = - 1/2.

Karena setiap titik pada garis bilangan menggambarkan atau mewakili

suatu bilangan riil tertentu, maka suatu bilangan a dapat disebut dengan titik

A. Suatu bilangan yang nilainya terletak di antara dua nilai yaitu a dan b

disebut dengan selang terbuka dari a ke b ditulis (a,b) dan didefinisikan

sebagai

(a, b) = {x a < x < b}

Disebut selang terbuka karena nilai x tidak pernah akan sama dengan a

ataupun dengan b. Jika nilai x dapat menjadi sama dengan a dan b maka

didefinisikan dengan:

[a, b] = {x a ≤ x ≤ b}

Perhatikan, tanda kurung untuk selang terbuka dan tertutup berbeda!

Suatu kemungkinan dapat pula terjadi pada nilai x yang mungkin sama

dengan a akan tetapi tidak pernah sama dengan b atau sebaliknya tidak

pernah sama dengan a tetapi dapat sama dengan b. Selang yang demikian itu

disebut selang setengah terbuka atau selang setengah tertutup dan ditulis [a,

b) dan (a, b], didefinisikan:

[a, b) = {x a ≤ x < b}

(a, b] = {x a < x ≤ b}

1.26

Selang dapat digunakan untuk mencari himpunan penyelesaian suatu

pertidaksamaan.

Contoh 1.55:

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:

2 + 6x < 4x + 8

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan tersebut di atas usahakan agar

suku yang mengandung x terletak di sebelah kiri tanda <. Bagian kiri dan

kanan tanda pertidaksamaan dikurangi dengan 2 sehingga menjadi:

2 + 6x -2 < 4x + 8 - 2

atau

6x < 4x + 6

Kemudian bagian sebelah kiri dan kanan tanda pertidaksamaan dikurangi

dengan 4x, sehingga menjadi

6x - 4x < 4x + 6 - 4x

atau

2x < 6

x < 3

Jadi himpunan penyelesaian dari 2 + 6x < 4x + 8 adalah {x x < 3}.

Pada contoh di atas, tujuan untuk menambah atau mengurangi bagian

sebelah kanan dan kiri tanda pertidaksamaan adalah agar bilangan yang

mengandung x berada di sebelah kiri tanda pertidaksamaan dan bilangan

yang tidak mengandung x berada di sebelah kanan tanda pertidaksamaan.

Contoh 1.56:

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

x2 + 5x + 6 ≥ 0

Bagian di sebelah kiri tanda pertidaksamaan dapat diuraikan menjadi:

(x + 2)(x + 3) ≥ 0

1.27

Harus diingat bahwa hasil perkalian dua bilangan akan bernilai positif

kalau kedua bilangan itu bertanda positif atau kedua-duanya bertanda negatif.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, pertama kita harus menganggap

bahwa kedua suku bertanda positif dan dicari himpunan penyelesaiannya,

kemudian menganggap bahwa kedua suku bernilai negatif dan dicari

himpunan penyelesaiannya.

Kasus 1:

Bila kedua bilangan yaitu (x + 2) dan (x + 3) bertanda positif. Atau (x +

2) ≥ 0 dan (x + 3) ≥ 0. Ini akan terpenuhi bila x ≥ -2 dan x ≥ -3. Bilangan

yang memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut hanyalah jika x ≥ -2.

Kasus 2:

Bila kedua bilangan yaitu (x + 2) dan (x + 3) bertanda negatif. Atau (x +

2) ≤ 0 dan (x + 3) ≤ 0. Ini akan terpenuhi bila x ≤ -2 dan x ≤ -3. Bilangan

yang memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut hanyalah jika x ≤ -3. Jadi

himpunan penyelesaian pertidaksamaan:

(x + 2)(x + 3) ≥ 0

adalah

{x x ≥ -2} ∪ {x x ≤ -3}

yaitu

{x -2 ≤ x ≤ -3}

Cara lain untuk menyelesaikan soal tersebut di atas adalah dengan

menggunakan garis bilangan. Nilai x yang menyebabkan ruas sebelah kiri

menjadi sama dengan nol adalah untuk x = -2 dan x = -3. Untuk nilai x yang

lain kita selidiki apakah menyebabkan ruas kiri lebih besar atau lebih kecil

dari nol. Untuk nilai x yang menyebabkan ruas kiri bernilai positif pada garis

bilangan diberi tanda + dan nilai x yang menyebabkan ruas kiri bernilai lebih

kecil dari nol (negatif) diberi tanda -. Sehingga garis bilangan dapat

digambarkan seperti:

-2 -1 0 1 2 3 4

C A B

Jadi penyelesaian dari (x + 2) (x + 3) ≥ 0 adalah

1.28

{x x ≥ -2} ∪ {x x ≤ -3} dan ditulis {x -2 ≤ x ≤ -3}

Dalam beberapa kasus, suatu bilangan mungkin tidak dipentingkan

tandanya apakah bertanda positif atau negatif, tetapi yang dipentingkan

adalah nilai absolutnya atau nilai mutlaknya. Nilai mutlak suatu bilangan riil

a ditulis dengan simbol a dan didefinisikan sebagai:

x = x jika x > 0

x = -x jika x < 0

Sifat-sifat penting pada nilai mutlak adalah:

1. a ≥ a

Contoh 1.57:

7 ≥ 7 dalam hal ini 7 = 7

-12 ≥ -12 dalam hal ini 12 > -12

2. ab = ab

Contoh 1.58:

12 = 4 . 3

3. aa

b b=

Contoh 1.59:

1111

13 13=

4. a + b ≤ a + b

Contoh 1.60:

Bila a = -3 dan b = 5, maka (-3) + 5 ≤ -3 + 5

atau 2 ≤ -3 + 5 karena 2 < 8

1.29

5. a - b ≥ a - b

Contoh 1.61:

Bila a = -3 dan b = 5 maka (-3) - 5 ≥ -3 - 5

atau -8 ≥ -3 - 5 karena 8 > -2

6. x ≤ a untuk a > 0, hanya jika -a ≤ x ≤ a

Contoh 1.62:

x ≤ 3 untuk -3 ≤ x ≤ 3

7. x ≥ a untuk a > 0, hanya jika x ≥ a atau x ≤ -a

Contoh 1.63:

x ≥ 4 untuk x ≥ 4 atau x ≤ -4

Perhatikan sifat no 6 dan 7, berlaku juga untuk pertidaksamaan dengan

tanda < atau > dengan cara mengganti tanda ≥ dengan tanda > atau

mengganti tanda ≤ dengan tanda <.

Contoh 1.64:

Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan x - 3 ≥ 5

Dari sifat no 7 maka diperoleh penyelesaian x - 3 ≥ 5 atau x - 3 ≤−5 jadi

agar pertidaksamaan terpenuhi, maka x ≥ 8 atau x ≤ -2, dan himpunan

penyelesaiannya adalah {x x ≥ 8 atau x ≤ -2}

1) 2 – 4x < 1

2) 3 + 5x ≥ 3x + 5

3) 10 – 6x < x – 4

4) x2 – x – 12 > 0

5) x2 – 5x + 4 < 0

6) x2 – 4 > 0

LATIHAN



1.30

7) x 1

0x 5

−<

+

8) x 3 5− <

9) 2x 4 5− >

10) x 4 3 x− < +


1) 2 - 4x < 1

- 4x < -1

x > 1

4

Himpunan penyelesaiannya: {x x >1

4}

2) 3 + 5x ≥ 3x + 5

2x ≥ 2

x ≥ 1

Himpunan penyelesaiannya: { x x ≥ 1 }

3) 10 - 6x < x - 4

-7x < -14

x > 2

Himpunan penyelesaiannya: { x x > 2 }

4) x2 - x - 12 > 0

(x-4)(x+3) > 0

+ + - - - + +

-3 4

Himpunan penyelesaiannya: { x x > 4 atau x < -3 }

5) x2 - 5x + 4 < 0

(x-4)(x-1) < 0

+ + - - - + +

1 4

1.31

Himpunan penyelesaiannya { x 1 < x < 4 }

6) x2 - 4 > 0

(x+2)(x-2) > 0

+ + - - - + +

-2 2

Himpunan penyelesaiannya { x x < -2 atau x > 2 }

7) x - 1

0x + 5

<

+ + - - - + +

-5 1

Himpunan penyelesaiannya { x -5 < x < 1 }

8) x - 3 < 6

-6 < (x - 3) < 6

untuk x - 3 < 6, maka x < 9

untuk x - 3 > -6, maka x > -3

Himpunan penyelesaiannya { x -3 < x < 9 }

9) 2x - 4 > 5

(2x - 4) > 5 atau (2x - 4) < -5

untuk 2x - 4 > 5, maka x > 4,5

untuk 2x - 4 < -5, maka x < -0,5

Himpunan penyelesaiannya { x x < -0,5 atau x > 4,5 }

10) x - 4 < 3 + x atau 4

13

x

x

−<

+

-1 < x - 4

3 + x < 1

Himpunan penyelesaiannya { 3x x<− atau x > 0,5}

1.32

Sistem bilangan yang biasanya digunakan dalam kehidupan sehari-

hari adalah sistem bilangan dengan basis 10 dengan menggunakan

sepuluh angka yaitu 0, 1, 2, …, 9. Sistem bilangan yang lain contohnya

adalah bilangan binar, yaitu sistem bilangan dengan basis 2 dan

menggunakan dua angka yaitu 0 dan 1

Bilangan bulat dan bilangan pecah merupakan himpunan bilangan

rasional. Bilangan rasional dan bilangan irasional merupakan himpunan

bilangan riil. Bilangan riil dengan bilangan imajiner merupakan

himpunan bilangan kompleks.

Sifat-sifat pertidaksamaan

1. a > 0 hanya jika a positip.

a < 0 hanya jika a negatip.

a > 0 hanya jika -a < 0

a < 0 hanya jika -a > 0

2. Bila a < b dan b < c maka a < c.

3. Bila a < b, maka a + c < b + c untuk setiap c.

4. Bila a < b dan c < d, maka a + c < b + d.

5. Bila a < b dan c positip maka a.c < b.c

6. Bila a < b dan c negatip maka a.c > b.c

7. Bila 0 < a dan 0 < c < d, maka a.c < b.a

Sifat-sifat nilai mutlak:

1. a ≥ a

2. ab = a . b

3. aa

b b=

4. a + b ≤ a + b

5. a - b ≥ a - b

6. x ≤ a untuk a > 0, hanya jika -a ≤ x ≤ a

7. x ≥ a untuk a > 0, hanya jika a ≥ a atau x < -a

1) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 - 5x < 1 adalah ….

A. {xx > 2/5}

B. {xx < 2/5}

RANGKUMAN

TES FORMATIF 2


1.33

C. {x x < 2,5}

D. {x x > 2,5}

2) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x + 5 ≥ 3 + 5x adalah ….

A. {xx ≥ 2}

B. {xx ≥ 1}

C. {xx ≤ 2}

D. {xx ≤ 1}

3) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 9 - 5x < 2x - 5 adalah ….

A. {xx < 2}

B. {x5 < x < 9}

C. {xx > 2}

D. {x5 > x > 9}

4) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - x - 20 > 0 adalah ….

A. {xx < -4}

B. {xx > 5}

C. {x-4 < x < 5}

D. {xx < -4 atau x > 5}

5) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - 5x + 6 < 0 adalah ….

A. {xx > 3}

B. {xx < 2}

C. {x2 < x < 3}

D. {xx < 2 atau x > 3}

6) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - 9 > 0 adalah ….

A. {xx < -3}

B. {xx < -3 atau x > 3}

C. {xx > 3}

D. {x-3 < x < 3}

7) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 5

x - 3 > 0 adalah ….

A. {xx < -5}

B. {xx > 3}

C. {x-5 < x < 3}

D. {xx < -5 atau x > 3}

1.34

8) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x - 2 < 5 adalah ….

A. {xx < -3 atau x > 7}

B. {x-3 < x < 7}

C. {xx < -3}

D. {xx > 7}

9) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x - 5 > 4 adalah ….

A. {xx < 0,5 atau x > 4,5}

B. {x0,5 < x < 4,5}

C. {xx < 0,5}

D. {xx > 4,5}

10) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 4>x - 3 adalah ….

A. {xx >1

3 atau x < -7}

B. {x-7 < x < 1

3}

C. {xx > 1

3}

D. {xx < -7}






80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang




belum dikuasai.


100%Jumlah Soal

×

1.35

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1

1) D

2) D

3) B

4) D

5) D

Tes Formatif 2

1) A

2) D

3) C

4) D

5) C

6) B

7) D

8) B

9) A

10) B

1.36

Daftar Pustaka

Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner. (1996). Mathematical

Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher.

Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul. (1996). Introductory Mathematical

Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences,

Eighth Edition, Prentice Hall International Inc.

Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis

Stengos. (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher

Limited,

Jacques, Ian. (1995). Mathematics for Economics and Business, Second

Edition, Addison-Wesley Publishing Company,

Silberberg, Eugene and Wing Suen. (2001). The Structure of Economics a

Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill,

1.37

Modul 2

Pangkat, Akar, Logaritma dan Deret

odul ini menjelaskan pengertian pangkat, akar, logaritma, banjar dan

deret yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi ini disajikan

kembali untuk membantu Anda mengingat kembali sehingga Anda menjadi

lebih paham tentang konsep ini.

Di dalam modul-modul selanjutnya akan tampak bahwa konsep pangkat,

akar dan logaritma sering sekali digunakan. Demikian juga untuk banjar dan

deret. Dengan demikian pendalaman terhadap materi ini bukanlah merupakan

pekerjaan yang sia-sia.

Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu untuk

memahami pengertian perpangkatan, akar, logaritma, banjar dan deret dan

mampu memahami kaidah-kaidah yang berlaku serta penerapannya di dalam

ekonomi.

Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat:

1. mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma.

2. mengidentifikasikan pangkat, akar dan logaritma.

3. menyebutkan kaidah-kaidah yang berlaku dalam perpangkatan, akar dan

logaritma.

4. menggunakan kaidah-kaidah pangkat, akar dan logaritma untuk

menyelesaikan soal-soal

5. menjelaskan fungsi eksponensial.

6. membedakan pengertian banjar dan deret.

7. membedakan antara banjar hitung dan deret hitung.

8. membedakan antara banjar ukur dan deret ukur.

9. menentukan suku-suku banjar maupun deret.

10. menghitung jumlah suku.

M

PENDAHULUAN

2.2 Matematika Ekonomi 1 ”

Kegiatan Belajar 1

Pangkat, Akar, dan Logaritma

A. PANGKAT

Suatu ekspresi an dibaca "a pangkat n"; a disebut basis dan n disebut

pangkat. Jika n merupakan suatu bilangan bulat positif, maka

an = a x a x ........x a

di mana a merupakan perkalian sebanyak n kali.

Menurut definisi di atas, jika n = 0 dan a ≠ 0, maka a0 = 1. Jadi untuk a

yang berupa bilangan riil tidak sama dengan nol berlaku a0 = 1. Hal tersebut

sama dengan peristiwa berikut ini: m

m - m 0

m

a = = = 1a a

a

Jika n merupakan bilangan bulat positif dan a ≠ 0, maka

-n

n

1 = a

a

Kaidah-kaidah Perpangkatan:

1. m n m + n x = a a a

2. m

m - n

n

a = a

a

3. nm m.n( = )a a

4. nm m mn mn( . = .)a b a b

5.

m m

m

a a =

b b

untuk b ≠ 0

6. -m

m

1 = a

a

Contoh 2.1:

a. 4 7 11 x = 6 6 6

a=0,4 y y a=10 a=e a=0,6

a=2

a=0,9

0 0

0<a<1 x a>1 x

b. 7

7 - 3 43

4 = = 4 4

4

c. 32 2x3 6( = = )3 3 3

d. 2 2 2(3x4 = x = 9 x 16 = 144) 3 4

e. 2

2

2

3 3( = )5 5

f. -2

2

1 = 3

3

Suatu fungsi yang variabelnya berpangkat suatu konstan disebut fungsi

berpangkat. Contoh dari fungsi berpangkat adalah y = xa, di mana a

merupakan suatu konstan. Apabila suatu fungsi mempunyai konstan yang

berpangkat variabel, maka fungsi itu disebut fungsi eksponensial. Contoh

dari fungsi eksponensial adalah y = ax, di mana x adalah variabel dan a

adalah konstan. Fungsi eksponensial yang sederhana mempunyai bentuk

umum

y = ax di mana a > 0

Grafik fungsi y = ax terletak pada kuadran I dan kuadran II. Grafik fungsi

eksponensial tersebut akan merupakan kurva yang menaik untuk nilai a > 1

dan merupakan kurva yang menurun untuk 0 < a < 1. Pada kedua kasus di

atas, kurva memotong sumbu y di titik (0,1). Ingat nilai a0 = 1.

Gambar 2.1a Gambar 2.1b

2.3


Dari kedua gambar di atas tampak bahwa besarnya nilai a menentukan

kelengkungan kurva. Untuk a = 1 maka y = ax menjadi y = 1 atau suatu garis

lurus yang sejajar dengan sumbu x. Untuk nilai a yang lain, fungsi akan

mendekati sumbu x secara asimetris.

Fungsi eksponensial yang sering digunakan adalah fungsi yang

konstannya bernilai e yaitu bilangan alam yang besarnya adalah e = 2,718.

Bentuk umumnya adalah

y = aekx + c

di mana a, k dan c adalah konstan dan e = 2,718. Di dalam ilmu ekonomi,

fungsi eksponensial yang digunakan kebanyakan menggunakan bilangan

alam e sebagai basis. Mengenai keuntungan serta manfaat penggunaan

bilangan e ini, akan dibahas pada bagian lain. Kurva yang menyajikan fungsi

y = aekx + c ini adalah kurva yang memotong sumbu y di titik (0, a + c) dan

asimtotis terhadap garis y = c.

y

k = 3 k = 2

k = 1

a+c

0 x

Diagram 2.2

B. AKAR

Kaidah-kaidah perpangkatan untuk an pada bab sebelumnya dinyatakan

untuk nilai a yang tidak sama dengan nol dan n merupakan bilangan bulat

positif atau negatif. Sesungguhnya nilai n pada bentuk an dapat berupa setiap

bilangan rasional. Ingat, bilangan rasional adalah sembarang bilangan yang

dapat ditunjukkan oleh pembagian dua bilangan bulat p/q, untuk q ≠ 0 serta p

dan q merupakan bilangan bulat.

Pengembangan kaidah-kaidah perpangkatan untuk pangkat suatu

bilangan pecahan (yaitu bilangan rasional) menghendaki agar bentuk ap/q

didefinisikan sesuai dengan kaidah-kaidah perpangkatan yang berlaku.

Misalnya ada suatu ekspresi dalam bentuk a1/n dan berlaku kaidah (am)n maka

dengan menganggap m = 1/n akan berlaku pula:

(a1/n)n = an/n = a

Bentuk a1/n disebut akar pangkat n dari a dan disimbolkan n a

Contoh 2.2:

(a) a1/2 menunjukkan akar kuadrat dari a atau hanya disebut akar dari a dan

ditulis 2 a atau hanya a .

(b) a1/3 menunjukkan akar pangkat tiga dari a dan ditulis 3 a .

(c) a3/4 menunjukkan akar pangkat empat dari a pangkat tiga dan ditulis

4 3a .

Seperti telah disebut di atas, bentuk a1/2 dapat ditulis menjadi a dan

a1/n dapat ditulis n a . Lebih umum lagi untuk bentuk am/n dapat ditulis

menjadi:

am/n = n ma

Dengan cara seperti itu, maka ekspresi dalam bentuk eksponensial dapat

diubah menjadi bentuk akar dan begitu pula sebaliknya.

Contoh 2.3:

a. 23 32/3 2 3 = = ( = 4)8 8 2

b. 32/3 24 = 4x x

c. 3 2 2/3 = 4 4

d. -2/4

4 2

3 = 3x

x

2.5


Kaidah-kaidah Akar

m n n/m = a a

m m ma.b = a. b

m 1/ma = a

m n m.n = aa

m

mm

a a =

b b

Contoh 2.4:

a. 3 3 2 2/34 = = 2 2

b. 3 3 3 3 33216 = 8.27 = . = 632

c. 4 1/4 4/416 = = = 216 2

d. 3 66 6 = = 22 2

e. 36 36 6

= = = 29 39

C. LOGARITMA

Logaritma merupakan bentuk perpangkatan juga. Secara definisi,

logaritma menunjukkan pangkat yang dimiliki oleh suatu basis sehingga

bentuk perpangkatan itu nilainya sama dengan bilangan tertentu. Dengan

menggunakan simbol, maka bila ada:

y = an untuk a > 0 dan a ≠ 1

maka n merupakan logaritma dari y dengan basis a atau ditulis:

n = alog y

Kaidah-kaidah Logaritma

Untuk setiap bilangan riil positif x dan y, setiap bilangan riil r dan

bilangan riil positif b = 1, berlaku:

(1) alog x.y = alog x + alog y

(2) alog x/y = alog x - alog y

(3) alog xr = r a log x

(4) alog x = alog b . blog x

(5) alog b . blog a = 1 atau a

b

1log b) = (

log a)(

(6) alog a = 1

(7) alog 1 = 0

Contoh 2.5:

a. 2log (8 . 16) = 2log 8 + 2log 16

= 3 + 4 = 7

b. 5log (625/125) = 5log 625 - 5log 125

= 4 - 3 = 1

c. 10log 1000 = 10log 103

= 310log 10 = 3

d. Mengubah basis 2 menjadi basis 4

2log 16 = 2log 4 . 4log 16 = 2 . 2 = 4

e. 6log 6 = 1

f. 8log 1 = 0

Seperti telah disebutkan di atas nilai a sebagai basis harus merupakan

bilangan yang positif dan tidak sama dengan satu. Dari sekian banyak

bilangan, yang paling banyak digunakan sebagai basis adalah 10 dan

e = 2,7182818. Logaritma yang mempunyai basis angka 10 dinamakan

logaritma persepuluhan atau logaritma Brigg, sedangkan logaritma

dengan basis e yang nilainya e = 2,7182818 dinamakan logaritma alam atau

logaritma Napier. Logaritma Brigg ditulis 10 log x atau hanya log x tanpa

mencantumkan basisnya. Sedangkan logaritma Napier menggunakan simbol

ln x. Baik logaritma Brigg maupun Napier, keduanya tunduk pada

kaidah-kaidah seperti yang telah ditulis di atas.

2.7


Contoh 2.6:

a. 2

2 3

3

10log = log - log = 2 - 3 = 110 10

10

−

b. log 100 = log 102 = 2

c. log 3 10 1 = log 101/3 = 1/3

d. log 103 = 3log 10 = 3

e. ln e = 1

f. ln e 2 = ln e1/2 = 1/2

g. ln 1 = 0

Sederhanakan ekspresi berikut ini!

1) 4-2 . 43

2) (23)2

3) (4y)2

4) (12 . 5)2

5) 23x

( )5y

6) 22 3( . )3 x

7) 24

33

yx

yx

8) 3

-2

2

3( )4

9) 3-1( )4

10) (103)2

11) -2

-2

-3

2xz( )3yz

12) 3 3

-3 -2

2 2

2 x( () )3 y

LATIHAN



13) 3x-1(3y)

14) (3x)-1(2y)

15) -3-2

1-4

yx

yx−

16) (3x)2 + (5y)0

17) (2x)-1 (y)2 (y-1)2

Gambarkan fungsi berikut.

18) y = 2x

19) y = 22x

20) y = ax

Untuk a = 1, 2, e dan 10

Sederhanakan ekspresi berikut ini :

21) 251/2

22) 163/4

23) 32-2/5

24) 6251/4

25) 16-1/4

26) 8-2/3

Ubahlah ke bentuk perpangkatan.

27) ( )21 2

28) 4

35 5

29) 3 x

y

30) -1/2y-1/4x

Ubahlah ke bentuk akar.

31) 2X2/3

32) X1/3Y-1/4

33) (3X)4/5

34) X-1/2Y-1/4

35) 4X-1/5

2.9


Sederhanakan ekspresi berikut ini:

36) 4log (4.32)

37) 8log 64-3

38) 5log (25/625)

39) 3log (1/27)

40) 7log (49/343)

Tukar basisnya dengan yang ditunjukkan berikut :

41) 25log 625 dengan basis 5



44) 3log 81 dengan 9



1) 4

2) 26

3) 16y2

4) 602

5) 2

2

9x

25y

6) 4 6.3 x

7) x

y

8) 4

6

4

3

9) 3

1

4

10) 106

11) 2

2 2

9y

4x z

12)

46

9 6

3 y

2 x

13) 9y

x

14) 2y

3x

15) 2

2

x

y

16) 9x2 + 1

17) 1

2x

18) Gambar fungsi y = 2x

y

0 x

19) Gambar fungsi y = 22x

y

0 x

2.11


20) Gambar fungsi y = ax untuk a = 1, 2, e dan 10

y

a=10 a=e

a=2

a=1

0 x

21) 5

22) 8

23) 1

4

24) 5

25) 1

2

26) 1

4

27) 12

28)

5

35

29)

1

3

1

2

x

y

30) 1 1

2 4

1

x y

31) 3 22 x

32) 3

4

x

y

33) 45 (3x)

34) 4

1

( x )( y)

35) 5

4

x

36) 4log (4.32) = 3 4log 2

37) 8log 64-3 = -6

38) 5log (25/625) = -2

39) 3log (1/27) = -3

40) 7log (49/343) = -1

41) 25log 625 = 5log 25

42) 64log 8 = 2log 4-1

43) 9log 243 = (½)3log 243

44) 3log 81= 2. 9log 81

45) 4log 2 = 2. 16log 2

Perpangkatan merupakan suatu bentuk singkat dari bentuk perkalian

sesuatu yang sama lebih dari satu kali.

Bentuk akar merupakan pengubahan bentuk perpangkatan dengan

pangkat bilangan pecahan, demikian juga sebaliknya, bentuk

perpangkatan dapat ditemukan dari bentuk akar. Pengakaran memiliki

sifat-sifat sebagai berikut:

m n n/m = a a

m m ma.b = a. b

m 1/ma = a

m n m.n = aa

m

mm

a a =

b b

RANGKUMAN

2.13


Logaritma merupakan proses penentuan pangkat apabila bilangan

dasar dan nilai perpangkatan telah diketahui. Sifat-sifat dasar logaritma

yang dapat digunakan dalam operasi logaritma adalah:

(1) alog x.y = alog x + alog y

(2) alog x/y = alog x - alog y

(3) alog xr = r a log x

(4) alog x = alog b . blog x

(5) alog b . blog a = 1 atau a

b

1log b) = (

log a)(

(6) alog a = 1

(7) alog 1 = 0

1) Hasil perpangkatan bilangan

1 24

3 3

5 36.

6 8

−

adalah ….

A. 0,014305114

B. 0,00170859375

C. 69,90506667

D. 585,2766347

2) Nilai dari

1 5

2 225 9.

49 16

adalah ….

A. 135

448

B. 448

135

C. 7168

1215

D. 1215

7168

TES FORMATIF 1


3) Hasil dari ( )( )4 45 9 2 9 adalah ….

A. ( )410 9

B. 90

C. 63

D. 30

4) Jika diketahui log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 maka hasil dari log 12

adalah ….

A. 2,778

B. 1,556

C. 1,079

D. 0,2872

5) ( )53 47 7 jika diubah ke bentuk perpangkatan adalah ….

A. 5

127

B. 7

127

C. 17127

D. 1257






80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang


100%Jumlah Soal

×

2.15





belum dikuasai.

Kegiatan Belajar 2

Banjar dan Deret

A. BANJAR

Banjar dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi yang wilayahnya

merupakan himpunan bilangan alam. Setiap bilangan yang merupakan

anggota suatu banjar dinamakan suku. Bentuk umum dari banjar adalah:

a1, a2, a3, . . . . . an

di mana

suku ke 1 = S1 = a1

suku ke 2 = S2 = a2

suku ke 3 = S3 = a3

..

..

suku ke n = Sn = an

Banjar di atas dapat disimbolkan dengan [an], sehingga kalau ditulis lagi

dengan lengkap menjadi:

[an] = a1, a2, a3 , . . . . . an

Suatu banjar yang tidak mempunyai akhir atau banyaknya suku tidak

terbatas dinamakan banjar tak terhingga. Sedangkan banjar yang banyaknya

suku tertentu dinamakan banjar terhingga.

Bilangan alam yang terdapat pada suatu banjar pada umumnya tersusun

secara teratur dengan suatu pola tertentu. Dengan memperhatikan pola yang

terdapat pada suku - sukunya, banjar dapat dibedakan menjadi banjar hitung,

banjar ukur dan banjar harmoni.

Banjar hitung adalah banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai

selisih yang besarnya sama. Jadi, suatu banjar

[an] = a1, a2, a3 , . . . . . an

akan disebut dengan banjar hitung apabila

2.17


a2 - a1 = b

a3 - a2 = b

a4 - a3 = b

...

an - an-1 = b

di mana b merupakan beda yang besarnya tetap dan dapat bernilai positif atau

negatif.

Contoh 2.7:

a. [n] = 1 , 2 , 3 , 4, . . . . . n

b = Sn - Sn-1 = 1

b. [5n] = 5 , 10 , 15 , 20 , . . . 5n

b = Sn - Sn-1 = 5

c. [12 - 2n] = 10 , 8 , 6 , 4 , .... (12 - 2n)

b = Sn - Sn-1 = -2

Banjar ukur adalah banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai hasil

bagi yang sama besarnya. Jadi untuk banjar :

[an] = a1 , a2 , a3 , . . . . . an

akan disebut sebagai banjar ukur kalau

S2 / S1 = p

S3 / S2 = p

...

Sn / Sn-1 = p

di mana p merupakan nilai banding (= ratio) yang besarnya tetap dan dapat

bertanda positif atau negatif.

Contoh 2.8:

a. [apn-1] = a , ap , ap2 , . . . ,apn-1

b. [5. 2n-1] = 5 , 10 , 20 , 40 , ...., 5(2n-1)

Banjar harmoni adalah banjar yang sukunya merupakan kebalikan dari

suku banjar hitung.

Contoh 2.9:

a. 1 1 1 1 1

= 1 , , , , . . . , n 2 3 4 n

b. 1 1 1 1 1 1

= , , , , . . . , 5n 5 10 15 20 5n

B. DERET

Bila suku-suku pada suatu banjar dijumlah, maka jumlah tersebut

dinamakan deret. Jadi deret merupakan penjumlahan semua suku suatu

banjar. Seirama dengan pembedaan banjar, maka deret dapat dibedakan

menjadi deret hitung, deret ukur dan deret harmoni.

Deret hitung merupakan jumlah suku-suku banjar hitung, deret ukur

merupakan jumlah suku-suku banjar ukur dan deret harmoni merupakan

jumlah suku-suku banjar harmoni.

Contoh 2.10:

a. Deret hitung : 1 + 2 + 3 + . . . + n

b. Deret ukur : 5 + 10 + 20 + . . + 5(2n-1)

c. Deret harmoni: 1 1 1

1 + + + . . . +2 3 n

Karena sampai saat ini belum diketemukan rumus untuk menjumlahkan

deret harmoni, maka untuk selanjutnya deret harmoni tidak akan dibahas.

Secara umum suatu deret dapat ditulis sebagai:

Jn = a1 + a2 + a3 + . . . . + an

Untuk menyingkat cara penulisan, dapat dipakai tanda ∑ dan dibaca

"sigma", sehingga deret dapat ditulis menjadi :

n

i

i=1

a∑ untuk deret terhingga

dan

2.19


i

i 1

a

∞

=∑ untuk deret tak terhingga

Deret ukur dan deret hitung sering digunakan dalam matematika

ekonomi. Sebagai Contoh, Malthus, seorang ahli ekonomi teori, pernah

menyatakan bahwa penduduk mempunyai kecenderungan untuk tumbuh

seperti deret ukur, sedangkan bahan makanan tumbuh menurut deret hitung.

Anda telah mengenal deret ukur dan deret hitung, maka pernyataan Malthus

tersebut mengandung arti bahwa pertumbuhan penduduk sangat cepat dan

lebih cepat dibanding pertumbuhan makanan.

Apabila a adalah suku pertama suatu banjar dan b adalah beda antara dua

suku yang berurutan, maka sesuai dengan pengertian deret hitung:

suku pertama = a

suku kedua = a + b

suku ketiga = a + 2b

suku keempat = a + 3b

.....

suku ke n = a + (n - 1)b = Sn

Jadi suku ke n suatu banjar hitung, ditentukan oleh

Sn = a + (n - 1)b

Deret hitung jumlahnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

J = n

1n(a + )S

2

di mana n = banyaknya suku

a = suku pertama

Sn = suku ke n

Contoh 2.11:

Jika ingin mengetahui suku ketujuh suatu banjar hitung yang suku

pertamanya = 1 dan beda = 2 adalah:

Sn = a + (n - 1)b

= 1 + (7 - 1)2

= 13

Deret hitung dengan jumlah tujuh suku tersebut adalah:

Jn = n

1n(a + )S

2

J7 = 1

7(1+13)2

= 49

Selain banjar hitung, kita telah mengenal banjar ukur. Suatu banjar ukur

ditandai oleh banjar yang hasil bagi suatu sukunya dengan suku sebelumnya

merupakan bilangan konstan. Atau suku suatu banjar ukur diperoleh dari

hasil kali suku sebelumnya dengan suatu pengali yang besarnya konstan. Bila

suatu banjar ukur memiliki suku pertama a dan pengali sebesar p, maka

secara matematis dapat ditulis:

suku pertama = a

suku kedua = ap

suku ketiga = ap2

...

suku ke n = apn-1 = Sn

Jadi suku ke n suatu banjar ukur ditentukan oleh Sn = apn-1

Jumlah n suku suatu banjar ukur dapat ditentukan dengan rumus

J = n

na pS1 pa

1 p 1 p

−−=

− −

2.21


Rumus di atas tidak berlaku untuk p = 1. Pada kasus p = 1, telah

diketahui bahwa satu dipangkatkan berapa saja hasilnya adalah satu, sehingga

suku ke n nilainya akan sama dengan suku pertamanya. Sehingga jumlah n

sukunya sama dengan hasil kali antara a dengan n. Bila ŇpŇ < 1 dan jumlah

sukunya tak terhingga, maka jumlahnya dihitung dengan menggunakan

rumus:

aJ =

1 - p

Contoh 2.12:

Bila ada suatu banjar ukur yang suku pertamanya a = 1 dan pengalinya

p = 2 , maka besarnya suku ke 5 adalah:

Sn = apn-1

S5 = 1(25-1)

= 16

dan jumlah 5 sukunya adalah:

J = n

na - pS1 - pa =

1 - p 1 - p

= 1 - 2.16 1 - 32

1 = 1 - 2 -1

= 31

1. Bunga Pinjaman

Bunga pinjaman selama setahun atau kurang, sering dihitung dengan

menggunakan cara yang sederhana, yaitu bunga yang hanya dikenakan pada

jumlah pinjaman. Jumlah yang dipinjam ini untuk selanjutnya akan disebut

dengan pokok pinjaman. Jika besarnya pokok pinjaman adalah p dengan

bunga sebesar r persen setahun dan lama meminjam adalah t tahun, maka

besarnya bunga yang harus di bayar yaitu I adalah hasil perkalian antara

pokok pinjaman dan bunga dan lama meminjam, atau

I = P.r.t

Contoh 2.13:

Berapakah jumlah yang harus dikembalikan oleh seseorang yang

meminjam uang sebanyak Rp2.500,00 pada tanggal 5 Juni 1992 dan

dikembalikan pada tanggal 5 Pebruari 1993 dengan bunga sebesar 14 persen?

Mulai tanggal 5 Juni 1992 sampai 5 Pebruari 1993 ada 8 bulan, atau

waktu peminjamannya 8/12 = 2/3 tahun. Besarnya bunga pinjaman:

I = P.r.t

= 2.500 (0,14) (2/3)

= 233,33

Jumlah yang harus dikembalikan adalah pokok pinjaman ditambah dengan

bunga, atau

Rp2.500,- + Rp233,33 = Rp2.733,33

2. Nilai Sekarang

Nilai sekarang dari jumlah yang diperoleh di masa mendatang atau

sering pula disebut dengan present value adalah nilai sejumlah uang yang

saat ini dapat dibungakan untuk memperoleh jumlah yang lebih besar di masa

mendatang. Misalkan P adalah nilai sekarang dari uang sebanyak A pada t

tahun yang akan datang. Bila kemudian diumpamakan tingkat bunga adalah r,

maka bunga yang dapat diperoleh dari P rupiah adalah:

I = P.r.t

dan uang setelah t tahun menjadi:

P + P.r.t = P(1 + rt)

Karena A adalah nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang, maka

P(1 + rt) = A

atau

AP =

1 + rt

2.23


Contoh 2.14:

Setahun lagi Asbun akan menerima uang sebanyak Rp10.000,00.

Berapakah nilai sekarang uang tersebut jika tingkat bunga adalah 13 persen

setahun? Dalam masalah ini, A = 10.000,- r = 0,13 dan t = 1

10.000

P = 1 + (0,13)(1)

= 8.849,56

3. Bunga Majemuk

Bunga sederhana seperti yang dibahas sebelumnya adalah bunga yang

umumnya diterapkan untuk pinjaman dalam jangka waktu satu tahun atau

kurang. Dengan bunga majemuk, bunga selain dikenakan pada pokok

pinjaman, juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan. Misalkan seseorang

membungakan uangnya sebanyak P dengan bunga sebesar i pertahun. Setelah

satu tahun ia mendapatkan bunga sebesar:

bunga tahun pertama = P.i

Bunga dan pokok pinjaman pada akhir tahun menjadi:

P + P.i = P(1 + i)

Jumlah sebanyak itu, menjadi pokok pinjaman yang baru sehingga pada akhir

tahun kedua bunga yang diterima sebesar :

P(1 + i)(i)

Jumlah uang keseluruhan sekarang menjadi ;

P(1 + i) + P(1 + i)(i) = P(1 + i)(1 + i)

= P(1 + i)2

Dengan cara yang sama, maka di tahun ke tiga seluruh uangnya menjadi

= P(1 + i)3

dan dalam n tahun seluruh uangnya menjadi

= P(1 + i)n

Penggandaan uang atau penghitungan bunga dapat dilakukan lebih dari

satu kali dalam setahun. Misalkan pembayaran bunga dilakukan dalam m kali

setahun (dalam 5 periode setahun), pada tingkat bunga i pertahun, maka

tingkat bunga setiap periode adalah i/m dan jumlah periode pembungaan

(penghitungan bunga) adalah sebanyak nxm. Seandainya bunga yang

diperoleh dibungakan lagi selama n periode, maka rumus yang digunakan

untuk menghitung seluruh uangnya menjadi:

n.miA = P(1 + )

m

Contoh 2.15:

Misalkan ada uang sebanyak Rp1.000,00 dibungakan selama 6 tahun

dengan bunga majemuk sebesar 5 persen per tahun dan diambil setahun

sekali, maka berapakah jumlah uang tersebut setelah 6 tahun?

Dari rumus

n.miA = P(1 + )

m

P = 1.000, i = 5% = 0,05 , m = 1 ,dan n = 6.

Jumlah uangnya setelah 6 tahun menjadi:

6.10,05A = 1.000(1 + )

1

= 1.000(1,05)6

= 1.000(1,34010)

= 1.340,10

2.25


1) Bila suku pertama deret hitung adalah 2 dan bedanya tiga, hitunglah

suku ke-5 dan suku ke-8!

2) Bila suku kelima dari suatu deret hitung ditambah dengan suku

ketiganya sama dengan 22 dan suku kelima dikurangi dengan suku

ketiga sama dengan empat, maka berapakah nilai suku keempatnya?

3) Badu meminjam uang sebanyak Rp100.000,00 dengan bunga sebesar 18

persen pertahun. Berapa lamakah ia meminjam uang tersebut kalau

bunga yang kemudian harus dibayar ternyata sebanyak Rp27.000,00

4) Godril memiliki uang sebesar Rp500.000,00. Berapakah nilai uang

tersebut pada lima tahun yang akan datang bila tingkat bunga per tahun

adalah 17 persen?

5) Paijo pada saat berumur 10 tahun pernah menyimpan uang di bank

sebanyak Rp2.000,00 dengan bunga majemuk sebesar 15 persen yang

dibayar oleh bank setiap bulan. Kini Paijo berumur 25 tahun dan ingin

mengambil uang simpanannya itu. Berapa jumlah yang akan diterima

Paijo?


1) suku ke-5 = 14 dan suku ke-8 = 23

2) Suku ke-4 = 11

3) 1,5 tahun.

4) Rp925.000,-.

5) Rp16.274,12

Banjar Hitung merupakan banjar yang memiliki pola perubahan

tambah dengan besar tambahan tetap. Nilai sukunya mengikuti Rumus:

Sn = a + (n - 1) b

Deret hitung merupakan jumlah suku-suku banjar hitung. Deret

ditentukan dengan Rumus-rumus:

LATIHAN



RANGKUMAN

Jn = n.a + {1 + 2 + 3 + ... + (n - 1)} b

Jn = nn (a + S )

2

Banjar Ukur merupakan banjar yang memiliki pola perubahan

kelipatan yang tetap. Faktor pelipat disimbolkan dengan r dan banjar

ukur biasa disajikan dalam bentuk:

a, ap, ap2, ..., ..., ..., ap(n-1)

Nilai suku banjar ukur mengikuti rumus:

Sn = a . p(n-1)

Deret ukur merupakan jumlah suku-suku banjar ukur. Ditentukan

dengan rumus:

Jn = n

na pS (1- )pa

1- p 1 p

−=

−

1) Diketahui suatu banjar hitung = 90, 78, 66, … , … , …

A. 18

B. 6

C. -6

D. -12

2) Sebuah banjar hitung mempunyai suku pertama 500, suku terakhir 60

dan jumlah suku sebanyak 12. Maka deret banjar tersebut adalah ….

A. 6720

B. 3360

C. 1680

D. 572

3) Diketahui suatu banjar ukur = 9, -18, 36, … , …

Maka deret 10 suku pertama adalah ….

A. 3069

B. 1533

C. -1533

D. -3069

TES FORMATIF 2


2.27


4) Diketahui suatu banjar ukur memiliki suku pertama: a, r = 6 dan jumlah

sukunya 7, maka deret banjar ukur tersebut adalah ….

A. 7(1 6 )

.a5

−−

B. 7(1 6 )

.a5

+−

C. 7(1 6 )

.a7

−

D. 7(1 6 )

.a7

+

5) Suatu banjar ukur mempunyai deret ukur = -1364, r = -2 dan jumlah

sukunya 10, maka suku pertama deret ukur tersebut adalah ….

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

6) Diantara pernyataan di bawah ini yang paling menguntungkan, jika

bunga 18% setahun adalah ….

A. sekarang menerima uang Rp1.700.000,00

B. 2 tahun kemudian menerima Rp2.500.000,00

C. 3 tahun kemudian menerima Rp3.000.000,00

D. 5 tahun kemudian menerima Rp4.000.000,00

7) Total penerimaan sebuah perusahaan pada bulan 2 sebesar Rp8 juta,

bulan 3 Rp10,4 juta dan bulan 4 Rp13,52 juta. Apabila perusahaan

tersebut berkembang seperti bulan-bulan tersebut maka total penerimaan

perusahaan tersebut pada bulan 10 adalah ….

A. Rp31,92 juta

B. Rp65,2584 juta

C. Rp84,836 juta

D. Rp110,2872 juta

8) Ratih menyimpan uangnya di Bank sebesar Rp800.000,00 dengan bunga

sederhana 14% setahun. Maka uang Ratih setelah 10 tahun adalah ….

A. Rp1.920.000,00

B. Rp2.720.000,00

C. Rp2.965.777,05

D. Rp11.200.000,00






80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang




belum dikuasai.


100%Jumlah Soal

×

2.29



Tes Formatif 1

1) B

2) D

3) D

4) C

5) C

Tes Formatif 2

1) C

2) B

3) D

4) A

5) C

6) C

7) B

8) A

Daftar Pustaka





Eighth Edition, Prentice Hall International Inc,



Limited.




Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill.

Weber, Jean E., (1982). Mathematical Analysis: Business and Economic

Applications, New York: Harper & Row.

2.31

Modul 3

F u n g s i

alam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel

ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lain-

lain. Hubungan kait-mengkait antara variabel yang satu dengan variabel

yang lain ditunjukkan oleh suatu fungsi. Penjelasan mengenai fungsi serta

kegunaannya dalam ekonomi akan Anda jumpai di dalam modul ini.

Modul ini dimulai dengan penjelasan mengenai sumbu koordinat dan

cara-cara menggambar grafik dari suatu fungsi, meskipun Anda mungkin

pernah mempelajari bagaimana mencari persamaan suatu garis lurus dari

beberapa titik yang diketahui, dalam modul ini hal tersebut akan dibicarakan

lagi sehingga Anda akan lebih memahami konsep ini. Karena seperti

disebutkan di atas bahwa kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel

ekonomi yang saling pengaruh-mempengaruhi, dan proses saling pengaruh-

mempengaruhi ini dapat diselidiki dengan menggunakan fungsi, maka

pendalaman terhadap materi ini bukanlah merupakan pekerjaan yang sia-sia.

Fungsi yang akan dibicarakan dalam modul ini dilandasi oleh teori

himpunan yang terdapat dalam modul sebelumnya. Penjabaran-penjabaran

dari fungsi selanjutnya akan dibahas dalam modul-modul berikutnya.

Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan mampu

untuk memahami fungsi linear beserta penggunaannya dalam ekonomi.

Setelah selesai mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan dapat:

a. mendiskripsikan dan mengidentifikasikan konstan, dan variabel.

b. menggambar grafik suatu garis.

c. mencari gradien suatu fungsi.

d. mencari persamaan garis lurus.

D

PENDAHULUAN


e. menentukan dua buah garis lurus apakah berimpit, sejajar, berpotongan atau

saling tegak lurus.

f. mencari koordinat titik potong dua garis lurus.

Kegiatan Belajar 1

F u n g s i

A. LETAK SUATU TITIK

Suatu titik yang terletak di sebuah bidang datar dapat ditentukan

letaknya dengan menggunakan garis penolong yang disebut Sumbu

Koordinat. Sumbu koordinat adalah garis lurus yang saling berpotongan

tegak lurus. Garis yang horisontal biasanya disebut sumbu x dan yang

vertikal disebut sumbu y. Dikatakan biasanya, karena sumbu tersebut tidak

harus dinamakan dengan x dan y. Suatu Contoh misalnya, dalam literatur

ekonomi sumbu x sering dinamakan sumbu Q dan sumbu P untuk sumbu y.

Perpotonngan antara sumbu x dengan sumbu y disebut titik origin

atau titik asal atau titik nol. Disebut demikian karena jarak pada sumbu selalu

dihitung mulai dari titik asal ini. Simbol untuk origin adalah O. y

+

Kuadran II Kuadran I 0 x

+

Kuadran III Kuadran IV

Diagram 3.1

Sumbu x yang ada di sebelah kanan 0 dan sumbu y yang berada di atas

0 digunakan untuk nilai yang positif dari himpunan nilai x di sumbu x dan

nilai y di sumbu y, sedangkan untuk himpunan nilai yang negatif digunakan

sumbu x yang berada di sebelah kiri 0 dan sumbu y yang berada di sebelah

bawah 0.

Sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat bagian. Setiap bagian

dinamakan kuadran. Masing-masing kuadran diberi nomor secara berurutan

3.3


y

Kuadran I

A(3,2)

2

ņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņ x O 1 2 3

dimulai dari bidang sebelah atas kanan sebagai kuadran I, kemudian dengan

arah menurut kebalikan arah putaran jarum jam ditentukan kuadran II,

kuadran III dan IV (lihat gambar di atas). Jadi, suatu bidang datar dibagi oleh

sumbu koordinat menjadi empat kuadran.

Suatu titik, yang sebidang dengan sumbu koordinat, letaknya ditentukan

oleh suatu pasangan urut (x, y). Anggota pertamanya dinamakan koordinat x

atau absis dan anggota keduanya dinamakan koordinat y atau ordinat. Suatu

titik (a,b) yang mana a > 0 dan b > 0 menunjukkan bahwa x = a dan y = b.

Titik ini dapat dilukiskan dengan bergeser dari origin a unit ke kanan dan b

unit ke atas. Titiknya ditentukan oleh perpotongan dua garis yang ditarik dari

kedudukan yang baru karena pergeseran tadi dan sejajar dengan sumbu

koordinat.

Contoh 3.1:

Titik (3,2) menunjukkan bahwa x = +3 dan y = +2. Titik ini didapat

dengan bergeser ke kanan 3 unit dari origin dan dibuat garis yang sejajar

sumbu y, kemudian dari origin bergeser 2 unit ke atas dan dibuat garis yang

sejajar sumbu x. Maka diperoleh letak titik (3,2) pada kuadran I dan

selanjutnya titik ini dapat diberi nama, misalnya titik A.

Diagram 3.2

Contoh 3.2:

Titik (-2,4) menunjukkan bahwa x = -2, y = +4, dan dapat diperoleh

dengan bergeser dari origin 2 unit ke kiri (ke arah negatif) dan kemudian 4

unit ke atas. Maka diperoleh letak titik (-2,4) pada kuadran II dan misalnya

titik ini dinamakan titik B.

B(-2,4) y

4

3

Kuadran II

2

1

ņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņ x -2 -1 0

Diagram 3.3

Contoh 3.3:

Titik (-4,-4) menunjukkan bahwa x = -4, y = -4 dan gambarnya seperti

berikut ini:

y

ņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņņ x -4 -3 -2 -1

1

Kuadran III

2

3

C(-4,-4) 4

Diagram 3.4

B. FUNGSI

Fungsi didefinisikan sebagai himpunan pasangan urut dengan

anggota-anggota pertama pasangan urut yang dinamakan wilayah (domain)

dan anggota-anggota kedua pasangan urut yang dinamakan jangkau (range),

3.5


dihubungkan sedemikian rupa sehingga tidak ada dua pasangan urut yang

anggota pertamanya sama. Ada 3 cara untuk menunjukkan suatu fungsi yaitu:

a. Cara daftar lajur

b. Cara penulisan dengan lambang

c. Cara grafik

Contoh-Contoh untuk menunjukkan suatu fungsi dengan cara-cara

tersebut di atas adalah sebagai berikut:

Contoh 3.4:

Fungsi ditunjukkan dengan cara daftar lajur.

X Y

1 2 3 4 5

-1 0 3 8 15

Lajur pertama mengandung elemen-elemen pertama pasangan urut dan

lajur kedua mengandung elemen kedua pasangan urut. Perhatikan di sini,

pada daftar lajur tersebut tidak terdapat pasangan urut yang anggota

pertamanya sama. Anggota kedua pada himpunan pasangan urut bisa terjadi

sama.

Contoh 3.5:

Fungsi ditunjukkan dengan cara lambang:

a. y = x2 - 2x atau

b. f(x) = x2 - 2x atau

c. f(x, y) ialah fungsi yang pasangan urutnya (x, x2 - 2x) atau

d. {(x, y) | y = x2 - 2x }

Cara penulisan dengan lambang yang sering dipakai adalah cara a atau b,

karena lebih singkat bila dibandingkan dengan cara yang lain.

Contoh 3.6:

Fungsi ditunjukkan dengan cara grafik.

Misalkan fungsi yang akan dilihat grafiknya adalah y = x2 - 2x. Agar

supaya grafiknya dapat dilukis, maka harus dibuat dahulu daftar lajurnya

kemudian menentukan letak titik-titiknya menurut pasangan urutnya. Grafik

dari fungsi diperoleh dengan menghubungkan titik-titik tersebut.

X y

-2 8 -1 3 0 0 1 -1 2 0 3 3 4 8

Y

0 X

(1, -1)

Diagram 3.5

C. KONSTANTA DAN VARIABEL

Suatu fungsi biasanya terdiri dari konstanta dan variabel. Konstanta

adalah jumlah yang nilainya tetap dalam suatu masalah tertentu. Konstanta

dapat dibedakan menjadi konstanta absolut dan konstanta parametrik atau

parameter. Konstanta absolut, adalah jumlah yang nilainya tetap untuk segala

macam masalah, misalnya jumlah penduduk pada tahun tertentu untuk setiap

3.7


masalah biasanya dianggap sama. Jumlah penduduk Indonesia pada tahun

1997 misalnya sebanyak 200 juta. Apabila kemudian ada yang membahas

pendapatan perkapita negara Indonesia, atau kesehatan penduduk Indonesia

pada tahun 1997, maka jumlah penduduk pada saat itu dianggap sebanyak

200 juta orang.

Konstanta parametrik atau parameter adalah jumlah yang mempunyai

nilai tetap pada suatu masalah akan tetapi dapat berubah pada masalah yang

lain. Variabel adalah jumlah yang nilainya berubah-ubah pada suatu

masalah. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel tak

bebas. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya menentukan nilai fungsi,

atau himpunan yang anggotanya adalah anggota pertama pasangan urut.

Variabel tak bebas adalah variabel yang nilainya sama dengan nilai fungsi

setelah variabel bebas ditentukan nilainya, atau himpunan yang anggotanya

adalah anggota kedua pasangan urut.

Contoh 3.7:

Pada persamaan garis lurus y = a + bx, maka a dan b adalah konstanta, x

adalah variabel bebas dan y adalah variabel tak bebas.

Contoh 3.8:

Pada persamaan garis lurus x y

1a b+ = , angka 1 adalah konstanta absolut, a

dan b adalah parameter, x dan y adalah variabel.

Dalam matematika murni, biasanya huruf-huruf permulaan susunan

alphabet seperti a, b, c, d, digunakan untuk lambang parameter, dan

huruf-huruf akhir susunan alphabet seperti x, y, z digunakan untuk lambang

variabel. Akan tetapi pada matematika terapan banyak pengecualian dari

konvensi ini. Variabel seringkali diberi lambang huruf pertama dari namanya.

Contohnya, p untuk harga (price), q untuk kuantitas (quantity), c untuk

ongkos (cost), s untuk tabungan (saving) dan lain-lainnya.

Contoh 3.9:

Fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan D = 10 - 3P ; D dan P

adalah variabel. D menunjukkan demand (permintaan) dan P menunjukkan

price (harga).

Agar lebih mudah memahami apa yang telah dibahas di atas, maka

berikut ini diberikan contoh-contoh penggunaannya.

Contoh 3.10:

Gambarkan titik-titik berikut ini pada sistem sumbu koordinat: A(1,6),

B(-3,4), C(-4,-5), D(3,-6)

y

B

A

x

C

D

Diagram 3.6

Contoh 3.11:

Gambarkan titik-titik (0,0); (1,1); (2,2) dan (3,3). Tunjukkan bahwa

titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis lurus.

3.9


y

3

2

1

x

0 1 2 3

Diagram 3.7

Bila titik-titik tersebut di hubungkan satu sama lain, ternyata titik-titik

terletak pada sebuah garis lurus.

Contoh 3.12:

Hitung jarak antara titik-titik A(0,2) dan B(-3,-2)

y

A

O x

B C

Diagram 3.8

AC = 4 , BC = 3

ABC adalah segitiga siku-siku. Kemudian dengan dalil Phytagoras dapat

dihitung:

2 2AB AC BC

AB 16 9

AB 25

= += +=

AB = 5

Jadi AB = 5

Contoh 3.13:

Hitung jarak antara titik-titik (1,1) dan (3,4)

y

B

4

3

2

1 A C

0 x

1 2

Diagram 3.9

AC = 2, BC = 3

ABC adalah segitiga siku-siku. Dengan menggunakan dalil Phytagoras dapat

dihitung:

2 2AB AC BC

AB 4 9

AB 13

= += +=

Contoh 3.14:

Apabila diketahui y = f(x) = 4 + x - x2 berapakah f(0), f(-2), f(3), f(-1)?

f(0) = 4 + (0) - (0)2

= 4

3.11


f(-2) = 4 + (-2) - (-2)2

= 4 - 2 - 4

= -2

f(3) = 4 + 3 - (3)2

= 4 + 3 - 9

= - 2

f(-1) = 4 + (-1) - (-1)2

= 4 -1 -1

= 2

Contoh 3.15:

Apabila y = f(x) = 3x /(x2 -1)

a. Berapakah f(0), f(-3), f(4)?

b. Apakah nilai x = 1 dan x = -1 boleh dimasukkan ke dalam fungsi?

1) f(0) = 3.0 /(02-1) = 0

f(-3) = 3.(-3)/(-3)2 -1) = -9/8

f(4) = 3.4 /(42 -1) = 12/15

2) Nilai x = 1 dan x = -1 tidak boleh dimasukkan ke dalam fungsi

karena f(x) nilainya menjadi tak tentu.

Contoh 3.16:

Apabila y = ax2 + bx + c, di mana a, b dan c adalah konstanta. Berapakah f(0),

f(1), f(a), f(a+b)?

f(0) = a.0 + b.0 + c = c

f(1) = a.12 + b.1 + c = a + b + c

f(a) = a.a2 + b.a + c = a3 + ab + c

f(a + b) = a(a + b)2 + b (a + b) + c

= a (a2 + 2ab + b2) + ab + b2 + c

= a3 + 2a2b + ab2 + ab + b2 + c

Contoh 3.17:

Gambarkan fungsi y = 3 - 2x untuk jangkau x = -3 sampai x = 4.

X y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

9 7 5 3 1 -1 -3 -4

3.13


1) Gambarkan titik-titik berikut ini pada sistem sumbu koordinat: A(4,3),

B(3,-4), C(-3,-2), D(-4,2)

2) Gambarkan titik-titik (0,8), (2,4), (4,0) dan (6,-4)! Tunjukkan bahwa

titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis lurus.

3) Hitung jarak antara titik A(4,0) dan B(0,3)!

4) Hitung jarak antara titik A(-4,-3) dan B(-2,1)!

5) Apabila f(x) = 9 - x2, berapakah f(0), f(2), f(-2), f(3).


1)

y

3 A(4,3)

D(-4,2) 2

-4 -3 O 3 4 x

C(-3,-2)

-4 B(3,-4)

LATIHAN



2)

y

8

4

0 2 4 6 x

-4

3) AB = 22 + 34

= 25

= 5

4) AC = 2

BC = 4

2 2AB AC BC= +

= 2 22 4+

= 4 16+

= 20

= 2 5

5) f (x) = 9 - x2

f (0) = 9

f (2) = 5

f (-2) = 5

f (3) = 0

Sumbu koordinat adalah dua garis lurus yang saling berpotongan tegak

lurus. Perpotongan antara kedua sumbu tersebut dinamakan titik origin atau

titik asal atau titik nol. Sumbu koordinat membagi bidang menjadi 4 kuadran.

RANGKUMAN

3.15


Suatu titik letaknya ditentukan oleh koordinat X atau absis dan koordinat

Y atau ordinat. Fungsi adalah himpunan pasangan urut dan dihubungkan

sedemikian rupa sehingga tidak ada dua pasangan urut yang anggota

pertamanya sama. Fungsi dapat ditunjukkan dengan 3 cara yaitu: cara daftar

lajur, cara penulisan dengan lambang dan cara grafik.

Konstan adalah jumlah yang nilainya tetap dalam suatu masalah tertentu.

Konstan dapat dibedakan menjadi konstan absolut dan parameter.

Variabel adalah jumlah yang nilainya berubah-ubah pada suatu masalah.

Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel tak bebas.

1) Jarak antara titik A(2, 0) dan B(-1, 4) adalah ….

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

2) Jarak antara titik P(0, 1) dan Q(5, 6) adalah ….

A. 2 5

B. 5 2

C. 5

D. 10

3) Jika diketahui f(x) = x2 – 3x, maka besarnya f(2) adalah ….

A. -1

B. -2

C. 1

D. 2

4) Jika diketahui y = f(x) = x – x2 + 5, maka besarnya f(3) adalah ….

A. -1

B. -2

C. 1

D. 2

TES FORMATIF 1


5) Jika diketahui y = f(x) = x3 – 3x, maka besarnya f(-2) adalah ….

A. -1

B. -2

C. 2

D. 14






80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang




belum dikuasai.


100%Jumlah Soal

×

3.17


Kegiatan Belajar 2

Fungsi Linear

A. FUNGSI LINEAR

Bentuk umum dari fungsi linear adalah:

ax + by + c = 0

Di mana a, b dan c adalah konstan dengan ketentuan bahwa a dan b

bersama-sama tidak bernilai nol. Persamaan ini disebut linear dalam x dan y

sedangkan grafik persamaan ini merupakan sebuah garis lurus. Koordinat x

dan y dari setiap titik (x, y) yang terletak pada garis lurus, harus memenuhi

persamaan garis tersebut.

Garis lurus yang ditarik melalui titik-titik yang koordinat - koordinatnya

memenuhi persamaan disebut grafik persamaan atau lokus persamaan. Cara

yang termudah untuk menggambar suatu grafik garis lurus yang diketahui

persamaannya adalah dengan mencari penggal - penggal garis sumbu yang

dipotong oleh garis lurus tersebut. Panjang penggal garis sumbu di ukur dari

titik origin sampai titik potong antara garis lurus dengan sumbu-sumbu

koordinat. Perpotongan garis dengan sumbu x merupakan suatu titik yang

ditentukan oleh pasangan y = 0 pada persamaan garis lurus tersebut. Begitu

pula perpotongan garis lurus dengan sumbu y merupakan suatu titik yang

ditentukan oleh pasangan x = 0 pada persamaan garis tersebut. Bila kedua

titik potong tersebut digambar, maka garis lurus yang dicari adalah garis yang

melalui kedua titik tersebut.

Contoh 3.18:

Gambarkan garis dengan persamaan 3x + 4y = 12

Langkah pertama adalah mencari titik potong garis dengan sumbu x dan

sumbu y. Titik potong dengan sumbu x diperoleh bila y = 0. Untuk y = 0,

maka 3x = 12 atau x = 4. Jadi titik potong dengan sumbu x adalah (4, 0).

Titik potong dengan sumbu y diperoleh bila x = 0 Untuk x = 0, maka 4y

= 12 atau y = 3. Jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0, 3). Kemudian

kedua titik potong tersebut digambar dan dihubungkan dengan garis lurus.

Garis lurus itu adalah garis yang persamaannya adalah 3x + 4y - 12 = 0 dan

merupakan garis yang melalui titik (4, 0) dan (0, 3).

y

3

3x + 4y = 12

0 4 x

Diagram 3.11

B. CURAM

Setiap garis lurus mempunyai arah. Arah suatu garis lurus ditunjukkan

oleh curam (gradien) yang didefinisikan sebagai tangens dari sudut yang

dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x. Sudut yang dibentuk oleh garis

di titik A dengan sumbu x misalnya dinamakan sudut ∝. Jika pada garis

tersebut ditentukan sebuah titik sembarang B dan kemudian melalui B dibuat

garis tegak lurus ke sumbu x dan memotong sumbu x di titik C, maka curam

garis dapat didefinisikan sebagai:

m = tg α = AC

BC

y

B

α

x

A C

Diagram 3.12

3.19


Untuk sudut ∝ yang besarnya lebih dari 900, maka m bernilai negatif,

sehingga:

m = tg α = BC

-AC

Untuk garis yang sejajar dengan sumbu x, curamnya sama dengan nol atau:

m = tg 0 = 0

C. BENTUK DUA TITIK

Persamaan suatu garis lurus dapat ditentukan bila diketahui koordinat

dua titik yang terletak pada garis tersebut atau apabila diketahui curam

garisnya dan sebuah titik yang terletak di garis tersebut. Ada beberapa rumus

yang dapat digunakan untuk mencari persamaan suatu garis lurus. Rumus

mana yang harus digunakan, tentunya tergantung pada masalah yang sedang

dihadapi.

Garis lurus mempunyai sifat bahwa curam garisnya adalah konstan.

Curam dapat ditentukan dengan menggunakan dua titik yang terletak pada

sebuah garis lurus. Misalnya ada dua buah titik sembarang A (x1,y1) dan B

(x2,y2) yang terletak di garis lurus. (lihat gambar berikut ini).

y

y2 B

A

y1 D

α C

x

E 0 x1 x2

Diagram 3.13

Curam garis tersebut adalah :

m = tg α

akan tetapi dengan menggunakan ilmu ukur, dapat dibuktikan bahwa

BC BD

= EC AD

Padahal BD = y2 - y1 dan AD = x2 - x1, sehingga:

m = tg α = 2 1

2 1

- y y

- x x

Selanjutnya bila diambil sebuah titik sembarang (x,y) dan bersama titik

(x1,y1), digunakan lagi untuk mencari curam garis, maka besarnya curam

garis adalah

m = tg α = 1

1

y - y

x - x

Karena sifat suatu garis lurus mempunyai curam yang konstan, maka itu

berarti dua curam yang dicari tadi besarnya pasti sama. Jadi

1

1

y - y

x - x = 2 1

2 1

- y y

- x x

atau dapat ditulis :

2 111

2 1

- y yy - = (x - )y x

- x x

Persamaan di atas, merupakan persamaan garis lurus yang melalui titik

A(x1,y1) dan titik B(x2,y2).

Contoh 3.19:

Cari persamaan garis yang melalui titik (3,2) dan titik (4,5).

Misalkan (x1,y1) = (3,2) dan (x2,y2) = (4,5)

3.21


2 111

2 1

- y yy - = (x - )y x

- x x

5 - 2

y - 2 = (x - 3)4 - 3

y - 2 = 3(x -3)

y = 3x -9 + 2 atau

y = 3x -7 (persamaan yang dicari)

Untuk membuktikan bahwa garis tersebut melalui titik (3, 2) dan (4, 5),

maka masukkan (3,2) ke dalam y = 3x -7

2 = 3(3)-7

2 = 2 (terbukti)

Masukkan (4,5) ke dalam y = 3x -7

5 = 3 (4) -7

5 = 12 -7

5 = 5 (terbukti).

Karena terbukti melalui (3,2) dan (4,5), maka persamaan y = 3x-7 adalah

persamaan yang dicari.

D. BENTUK PENGGAL GARIS

Untuk kasus tertentu di mana titik (x1,y1) merupakan penggal x yang

ditunjukkan oleh (a,0) dan titik (x2,y2) merupakan penggal y yang

ditunjukkan oleh (0,b), maka persamaan garisnya diperoleh dengan

memasukkan x1 = a, y1 = 0 dan x2 = 0, y2 = b ke dalam persamaan :

2 111

2 1

- y yy - = (x - )y x

- x x

b - 0

y - 0 = (x - a)0 - a

b

y = (x - a)-a

bx ab

y = + -a a

bx

y = + b-a

Jika ke dua ruas dibagi dengan b, maka :

y -x

= + 1b a

atau

x y

+ = 1a b

dan grafiknya adalah sebagai berikut :

y

b

1b

y

a

x=+

0 a x

Diagram 3.14

Contoh 3.20:

Cari persamaan garis yang mempunyai penggal (0,5) dan (-4,0). Untuk

a = -4 dan b = 5, nilainya dimasukkan ke

x y

+ = 1a b

x y

+ = 1-4 5

Ruas kiri dan kanan persamaan dikalikan 20

-5x + 4y = 20 atau

5x -4y + 20 = 0

Jadi persamaan 5x -4y + 20 = 0 adalah persamaan yang dicari.

3.23


E. BENTUK CURAM - TITIK

Bentuk ini dapat digunakan untuk menentukan persamaan suatu garis

lurus yang diketahui curam garisnya dan titik (x1,y1) yang terletak di garis

tersebut.

Telah dibicarakan bahwa curam garis ditunjukkan oleh persamaan:

2 1

2 1

- y ym =

- x x

maka persamaan:

2 111

2 1

- y yy - = (x - )y x

- x x

dapat ditulis sebagai :

y - y1 = m(x - x1)

Contoh 3.21:

Cari persamaan garis yang melalui titik (2,5) dan mempunyai curam 3.

Nilai m = 3 dan (x1,y1) = (2,5) dimasukkan ke dalam persamaan:

y - y1 = m (x - x1)

y - 5 = 3 (x - 2)

y = 3x - 6 + 5

y = 3x - 1

Jadi persamaan y = 3x -1 adalah persamaan yang dicari.

Rumus-rumus di atas tidak dapat digunakan untuk mencari persamaan

garis yang vertikal, karena curam garis vertikal besarnya tak terhingga. Garis

vertikal yang melalui titik (x1, y1) mempunyai persamaan: x = x1

Berbeda dengan garis vertikal, untuk garis horisontal rumus-rumus yang

dituliskan tadi masih dapat digunakan. Garis horisontal yang melalui titik (x1,

y1)mempunyai persamaan: y = y1

y x = x1 y

(x1,y1) y=y1

(x1,y1)

0 x 0 x

Diagram 3.15a Diagram 3.15b

F. GARIS SEJAJAR, TEGAK LURUS DAN BERPOTONGAN

Dua garis lurus yang terletak di satu bidang kemungkinannya dapat

saling berimpit, sejajar, tegak lurus dan berpotongan satu sama lain.

Sifat 1:

Dua garis lurus akan saling berimpit kalau persamaan garis yang satu

merupakan kelipatan persamaan garis yang lain.

Sifat 2:

Dua garis akan sejajar bila curamnya sama.

Sifat 3:

Dua garis lurus akan saling berpotongan tegak lurus apabila curam garis

yang satu merupakan kebalikan negatif dari curam garis yang lain, atau

perkalian kedua curamnya sama dengan - 1. Jadi garis y = m1x + b1 dan

garis y = m2x + b2 akan berpotongan tegak lurus bila dipenuhi syarat

12

1 = -m

m atau m1.m2 = -1. Dua garis yang berpotongan, koordinat titik

potongnya harus memenuhi kedua persamaan garis lurus. Koordinat titik

potong ini diperoleh dengan mengerjakan kedua persamaan secara

serempak.

3.25


Contoh 3.22:

Perpotongan antara garis 3x-4y+6=0 dan garis x-2y-3=0 diperoleh

dengan mengeliminir x yaitu mengalikan persamaan ke dua dengan -3 dan

menambahkan dengan persamaan pertama.

3x - 4y + 6 = 0 | x 1 | 3x - 4y + 6 = 0

x - 2y – 3 = 0 | x-3 |-3x + 6y + 9 = 0

+

2y + 15 = 0

2y = - 15

y = - 7,5

Substitusi y = -7,5 ke dalam persamaan pertama

3x -4 (-7,5) + 6 = 0

3x + 30 + 6 = 0

x = - 36

x = - 12

Jadi titik potongnya adalah (-12, -7,5).

Untuk menguji kebenarannya, koordinat titik potong ini dimasukkan ke

dalam persamaan-persamaan tersebut. Bila memenuhi persamaan, maka

artinya titik potong tersebut merupakan titik yang dicari.

Persamaan 1: 3 ( -12) -4 (-7,5) + 6 = 0

-36 + 30 + 6 = 0

0 = 0

Persamaan 2: -12 -2 (-7,5) -3 = 0

-12 + 15 -3 = 0

0 = 0

1) Dari titik-titik berikut ini, tentukan mana yang terletak di garis

2x+y-9=0

LATIHAN



A. ((0,5),8)

B. ( 4,1)

C. (5,2)

D. (3,3)

E. (9,-9)

2) Gambarkan garis-garis berikut ini :

A. 4x -3y = 12

B. y = 25 - 2x

3) Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik

A. (2, 1) dan (4, 5)

B. (0, 0) dan (3, 4)

C. (-2, 3) dan (2, -3)

D. (-5, 2) dan (4, 1)

E. (0, 8) dan (5, 0)

4) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, 3) dan mempunyai

curam :

A. m = -2

B. m = 0

C. m = 1

D. m = 6

5) Tunjukkan hubungan (apakah berpotongan, berimpit atau sejajar) antara

garis 3x - 4y -8 = 0 dengan garis

A. y = 3

4x - 2

B. 2x + 2

3y + 1 = 0

C. y = 5 -3x

D. 6y = 8x + 16

6) Tentukan koordinat titik potong garis y = 50 -2x dengan:

A. y = 3x

B. y = 1

3x + 15

C. x -2y + 20 = 0

D. 2y + x = 160

3.27



1) Garis 2x + y - 9 = 0 atau y = 9 - 2x

A. untuk x = 0,5 maka y = 8. Jadi ((0,5),8) terletak pada garis

B. untuk x = 4 maka y = 1. Jadi (4,1) terletak pada garis

C. untuk x = 5 maka y = -1. Jadi (5,2) tidak terletak pada garis

D. untuk x = 3 maka y = 3. Jadi (3,3) terletak pada garis

E. untuk x = 9 maka y = -9. Jadi (9,-9) terletak pada garis

2) A. Garis 4x - 3y = 12

Untuk y = 0, maka x = 3

x = 0, maka y = 4

y

0 3 x

-4

B. Garis y = 25 - 2x

Untuk y = 0, maka x = 12,5

x = 0, maka y = 25

y

25

0 12,5 x

3) A. Y = 2x - 3

3y - 4x = 0 atau 4

y x3

=

3y x

2= −

x + 9y = 13

x y1

5 8+ = atau 8x + 5y = 40

4) Jika diketahui y = f(x) = x – x2 + 5, maka besarnya f(3) adalah ….

A. y = 11 - 2x

B. y = 3

C. y = x - 1

D. y = 6x - 21

5) Jika diketahui y = f(x) = x3 – 3x, maka besarnya f(-2) adalah ….

A. -1

B. -2

C. 2

D. 14

Fungsi Linier mempunyai bentuk umum: ax + by + c = 0 di mana a

dan b secara bersama-sama tidak bernilai nol. Grafik dari fungsi linier

merupakan garis lurus. Setiap garis lurus mempunyai arah yang

ditunjukkan oleh curam garis dan didefinisikan sebagai tangens dari

sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x. Persamaan

suatu garis lurus dapat dicari apabila diketahui koordinat dua titik yang

berada di garis tersebut atau bila diketahui curam garisnya dan sebuah

titik.

Persamaan garis yang melalui titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2) adalah:

2 111

2 1

-y yy - = (x - )y x

-x x. Persamaan garis yang melalui A(a,0) dan B(0,b)

adalah persamaan: x y

+ = 1a b

. Persamaan garis lurus yang curamnya m dan

melalui titik (x1, y1) adalah persamaan: y - y1 = m (x - x1).

RANGKUMAN

3.29


y

5

O 4 x

• Dua buah garis lurus yaitu y = m1x + a dan y = m2x + b akan:

• berimpit bila m1 = m2 dan a = b

• sejajar bila m1 = m2

• berpotongan tegak lurus bila m1 . m2 = -1

• berpotongan bila m1 m2

1) Garis di samping ini persamaannya adalah ….

A. 5y + 4x = 20

B. 5x + 4y = 20

C. 5x – 4y = 20

D. 5x – 4y = -20

2) Persamaan garis yang melalui titik (-4, 6) dan mempunyai curam = 1

3−

adalah ….

A. x – 3y + 6 = 0

B. 3x – y – 6 = 0

C. 3x + y – 14 = 0

D. x + 3y – 14 = 0

3) Garis 2

5y =

1

2− x +

3

4 akan berpotongan tegak lurus dengan garis ….

A. y = 2x + 4

B. 2x + 4y – 4 = 0

C. 5y – 4x = 20

D. 2

5y = 2x + 3

4) Persamaan garis yang melalui titik (2, -5) dan sejajar dengan garis

4 1 2x y 0

5 3 3− + = adalah …

A. 5y = 12x – 49

B. 3y – 10x + 4 = 0

TES FORMATIF 2


C. x = 5

y 312

− −

D. 12y – 5x + 1 = 0

5) Koordinat titik potong antara garis 5x + 2y – 16 = 0 dengan garis

2 1y 1 x 1

3 2− =− adalah ….

A. (3, -2)

B. (-3, 2)

C. (-2, 3)

D. (2, 3)






80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang




belum dikuasai.


100%Jumlah Soal

×

3.31



Tes Formatif 1

1) C

2) B

3) B

4) A

5) B

Tes Formatif 2

1) B

2) D

3) C

4) A

5) D

Daftar Pustaka




Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences, Eighth

Edition, Prentice Hall International Inc.



Limited.

Jacques, Ian. (1995). Mathematics for Economics and Business, Second Edition,

Addison-Wesley Publishing Company.


Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill

Weber, Jean E., (1982). Mathematical Analysis: Business and Economic

Applications, New York: Harper & Row.

3.33

Modul 4

Penggunaan Fungsi dalam Ekonomi

atematika adalah suatu alat untuk menyederhanakan penyajian dan

pemahaman suatu masalah. Dengan menggunakan bahasa matematika,

penyajian suatu masalah menjadi lebih sederhana sehingga mudah untuk

dipahami, dianalisis serta dipecahkan. Di dalam ilmu ekonomi yang

berkembang dengan pesat, berbagai konsep matematika digunakan sebagai

alat analisis. Salah satu konsep di antaranya adalah fungsi linier. Bila dalam

modul-modul sebelumnya secara ringkas telah disajikan model-model

matematika murni, maka modul ini menyajikan penerapan model matematika

itu dalam konsep ekonomi dan disertai contoh-contoh praktisnya.

Dengan mempelajari modul ini, Anda mendapat banyak manfaat. Selain

lebih memahami konsep-konsep matematika juga akan memudahkan Anda

dalam mempelajari teori ekonomi mikro dan makro. Setelah mempelajari

modul ini, Anda diharapkan, mampu untuk memahami penggunaan fungsi

linier sebagai alat untuk menjelaskan beberapa konsep ekonomi. Secara

khusus Anda diharapkan mampu untuk:

1. menjelaskan fungsi permintaan dan fungsi penawaran;

2. menghitung harga dan jumlah keseimbangan;

3. menjelaskan pengaruh pajak dan subsidi;

4. menjelaskan fungsi konsumsi dan fungsi tabungan.

M

PENDAHULUAN


Kegiatan Belajar 1

Fungsi Permintaan dan Penawaran

A. FUNGSI PERMINTAAN

Dalam ilmu ekonomi, konsep tentang permintaan merupakan bagian

yang penting. Fungsi permintaan adalah persamaan yang menunjukkan

hubungan antara jumlah sesuatu barang yang diminta dan semua

faktor-faktor yang mempengaruhi-nya. Fungsi permintaan akan sesuatu

barang dapat ditunjukkan oleh persamaan:

Qx = f( Px, Py, Pz, M , S)

di mana : Qx = Jumlah barang X yang diminta

Px = harga barang X

Py = harga barang Y

Pz = harga barang z

M = pendapatan konsumen

S = selera konsumen

Pada Contoh di atas, fungsi permintaan tidak dapat disajikan dengan

diagram dua dimensi. Diagram dua dimensi hanya dapat digunakan untuk

menggambar grafik fungsi yang mengandung dua variabel saja. Suatu fungsi

yang mengandung tiga variable grafiknya harus menggunakan diagram tiga

dimensi. Agar fungsi permintaan dapat digambar grafiknya, maka

faktor-faktor selain jumlah yang diminta dan harga barang tersebut dianggap

tidak berubah selama dilakukan analisis. Faktor-faktor yang dianggap tetap

ini disebut ceteris paribus.

Dengan anggapan ceteris paribus tersebut, sekarang bentuk fungsi

menjadi lebih sederhana karena hanya terdiri dari dua variabel yaitu variabel

harga dan variabel jumlah yang diminta. Faktor-faktor yang dianggap tetap

pengaruhnya dapat dilihat dari besarnya konstanta pada persamaan

permintaan. Fungsi permintaan tunduk pada hukum permintaan yang

mengatakan bahwa "bila harga suatu barang naik, maka ceteris paribus

jumlah yang diminta konsumen akan barang tersebut turun; dan sebaliknya

bila harga barang turun, maka jumlah barang yang diminta akan bertambah".

Bila hukum permintaan itu dipenuhi, maka fungsi permintaan

mempunyai curam yang nilainya negatif. Di dalam grafik, sumbu Y

digunakan untuk harga per unit dan sumbu X digunakan untuk jumlah barang

yang ditawarkan. (Ingat cara penggambaran ini menyimpang dari cara yang

lazimnya digunakan dalam matematika).

Contoh 4.1:

Sepuluh jam tangan merek tertentu akan terjual kalau harganya (dalam

ribuan) Rp80,00 dan 20 jam tangan akan terjual bila harganya Rp 60,00.

Tunjukkan bentuk fungsi permintaannya dan gambarkan grafiknya.

Q1 = 10, P1 = 80 dan Q2 = 20, P2 = 60.

Rumus yang digunakan:

y - y1 = 2 1

2 1

y y

x x

−−

(x - x1)

Dengan mengganti X dengan Q dan Y dengan P, maka

P - P1 = 2 1

2 1

P P

Q Q

−−

(Q - Q1)

P - 80 = 60 80

20 10

−−

(Q - 10)

P - 80 = -2 (Q - 10)

P - 80 = - 2Q + 20 atau 2Q + P - 100 = 0

Persamaan di atas biasanya ditulis dalam bentuk

Q = 100 P

2

− atau Q = 50 - 0,5 P

Ditulis demikian karena Q merupakan variabel tak bebas dan P adalah

variabel bebasnya.

4.3


Gambar grafiknya

P

25

Q = 50 - 0,5P

0 50 Q

Diagram 4 .1

Contoh 4.2:

Suatu fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan Q = 25 – 5P.

Pertanyaan:

1. Berapakah jumlah yang diminta bila harga permintaannya Rp3,00?

2. Misalkan jumlah yang diminta adalah 18 unit, berapakah tingkat harga

yang berlaku?

3. Kalau barang tersebut adalah barang bebas (tidak mempunyai harga),

berapakah jumlah yang diperlukan oleh konsumen?

4. Berapakah harga tertinggi yang mau dibayar oleh konsumen?

Jawaban:

Fungsi permintaan Q = 25 – 5P

1. Masukkan P = 3 ke dalam persamaan, maka

Q = 25 – 5(3)

= 25 – 15

= 10

Jadi jumlah yang diminta pada harga Rp3,00 per unit adalah 10 unit

2. Jumlah yang diminta 18 unit, atau Q = 18

Masukkan Q = 18 ke dalam persamaan:

18 = 25 – 5P

5P = 25 – 18

5P = 7

P = 7

5

= 1,4

3. Bila barang tersebut barang bekas maka P = 0

Untuk P = 0 maka:

Q = 25 – 5(0)

= 25

Jadi jumlah maksimum yang dibutuhkan konsumen adalah 25 unit

4. Jika sangat tinggi, maka konsumen tidak mau membeli barang tersebut.

Tidak ada barang yang dibeli ditunjukkan oleh Q = 0 ke dalam

persamaan, maka diperoleh:

0 = 25 – 5P

5P = 25

P = 25

5

P = 5

Pada tingkat harga adalah Rp5,00 tidak ada yang dibeli oleh konsumen.

Jadi harus kurang dari Rp5,00 per unit agar ada barang yang dibeli oleh

konsumen.

B. FUNGSI PENAWARAN

Fungsi penawaran menghubungkan harga barang di pasar dengan jumlah

barang yang ditawarkan produsen. Menurut hukum penawaran, pada

umumnya bila harga suatu barang naik maka ceteris paribus (faktor-faktor

lain dianggap tetap) jumlah yang ditawarkan akan naik. Curam kurva

penawaran umumnya positif. Dalam kasus-kasus tertentu mungkin juga dapat

terjadi bahwa curam kurva penawaran nol atau tak terhingga.

Seperti halnya pada kurva permintaan, sumbu y digunakan untuk harga

barang setiap unitnya dan sumbu x untuk jumlah barang yang ditawarkan.

Bentuk umum

fungsi penawaran:

Q = a + bP

Contoh 4.3:

Jika harga kamera jenis tertentu Rp 65,00 (dalam ribuan), maka ada 125

kamera yang tersedia di pasar. Kalau harganya Rp 75,00 maka di pasar akan

tersedia 145 kamera. Tunjukkan persamaan penawarannya!

4.5


Rumus yang dapat digunakan adalah persamaan :

y - y1 = 2 1

2 1

y y

x x

−−

(x - x1)

Kemudian simbol untuk Y diganti P dan X diganti Q

P1 = 65 Q1 = 125 dan P2 = 75 Q2 = 145

Masukkan ke dalam rumus :

P - 65 = 75 65

145 125

−−

(Q - 125)

P - 65 = 10

20(Q - 125)

P - 65 = 1 1

Q 622 2

+

P = 1 1

Q 22 2

+

Jadi persamaan penawarannya adalah :

P = 1 1

Q 22 2

+ atau Q = 2P - 5

Contoh 4.4:

Seandainya untuk suatu jenis barang tertentu fungsi penawarannya

ditunjukkan oleh persamaan

Q = 3P – 2

Pertanyaan:

1. Pada tingkat harga 5, berapakah jumlah yang ditawarkan?

2. Jika produsen bersedia menawarkan sebanyak 10, berapa harga per unit

barang tersebut?

3. Berapakah harga terendah yang produsen mau menjual barangnya?

Persamaan penawaran: Q = 3P – 2

1. Bila harga = 5, maka masukkan P = 5 ke dalam persamaan:

Q = 3(5) – 2

= 15 – 2

= 13

Jadi jumlah yang ditawarkan = 13 unit.

2. Untuk Q = 10, maka masukkan ke dalam persamaan

10 = 3P – 2

-3P = -10 – 2

3P = 12

P = 4

Jadi harga barang tersebut adalah 4.

3. Pada saat produsen tidak bersedia menawarkan barangnya dapat diberi

simbol Q = 0, dan itu terjadi pada

0 = 3P – 2

-3P = -2

atau P = 2

3

Jadi harga terendah yang produsen mau menjual barangnya harus pada

tingkat harga yang lebih tinggi dari 2

3.

Fungsi permintaan dan fungsi penawaran bersama-sama membentuk

keseimbangan pasar. Keseimbangan pasar terjadi apabila jumlah barang yang

ditawarkan sama dengan jumlah barang yang diminta dan harga yang

ditawarkan sama dengan harga yang diminta. Keseimbangan ditunjukkan

oleh koordinat titik potong antara kurva penawaran dan kurva permintaan.

Secara aljabar, jumlah keseimbangan dan harga keseimbangan diperoleh

dengan mengerjakan persamaan penawaran dan persamaan permintaan secara

serempak.

Contoh 4.5:

Dapatkan titik keseimbangan dari fungsi permintaan Pd = 10 - 2Qd dan fungsi

penawaran Ps = 3

2Qs + 1

di mana :

Pd = harga yang diminta,

Qd = adalah jumlah yang diminta

Ps = adalah harga yang ditawarkan

Qs = adalah jumlah yang ditawarkan

4.7


Keseimbangan pasar akan terjadi apabila dipenuhi syarat:

Qd = Qs dan Pd = Ps

Karena syarat tersebut di atas harus dipenuhi, maka sekarang kita dapat

mengabaikan subscript yang ada pada variabel Q dan P sehingga kedua

persamaan dapat ditulis menjadi:

P = 10 - 2Q

P = 3

2Q + 1

Dengan cara substitusi, diperoleh:

10 - 2Q = 3

2Q + 1

3

-2

Q - 2Q = 1 - 10

7

-2

Q = -9

Q = 4

27

P = 10 - 2Q

P = 10 - 2(4

27

)

P = 10 - 1

57

P = 6

47

Jadi keseimbangan tercapai pada tingkat harga 6

47

dan jumlah 4

27

.

P Ps = 3

2Qs + 1

46

7

Pd = 10 – 2Qd

0 24

7 Q

P

10

8

6

-10 -2 0 6 Q

Diagram 4.2

Contoh 4.6:

Dapatkan titik keseimbangan dari persamaan permintaan dan persamaan

penawaran berikut ini.

Pd = 6 – Qd

Ps = 10 + Qs Keseimbangan tercapai apabila Ps = Pd atau Qs = Qd

Jadi dengan cara substitusi dapat dicari:

6 Q 10 Q

2Q 4

Q 2

P 6 ( 2) 8

− = +− =

= −= − − =

Dalam contoh ini keseimbangan tidak tercapai karena jumlah

keseimbangannya bernilai negatif atau perpotongan antara kurve permintaan

dan penawaran tidak terjadi pada kuadran I. Gambarnya dalam grafik adalah

sebagai berikut:

4.9


Kurve seperti yang ditunjukkan di atas dapat terjadi pada suatu jenis barang

yang ditawarkan pada tingkat harga yang tinggi sehingga harga terendah dari

penawarannya pun sudah melebihi harga tertinggi yang konsumen masih mau

beli.

C. PAJAK DAN SUBSIDI

Ceteris paribus (faktor-faktor yang dianggap tetap) dalam fungsi

penawaran adalah teknologi, pajak dan subsidi. Apa yang terjadi kalau

pemerintah mengenakan pajak atau subsidi ?

Bila faktor-faktor yang dianggap tetap itu berubah, maka fungsi

penawaran akan berpindah tempat atau bergeser. Misalkan pemerintah

mengenakan pajak terhadap rokok yang dijual (cukai tambahan). Jenis pajak

ini dikenakan pada setiap bungkus rokok yang terjual dan besarnya pajak

yang dikenakan untuk setiap bungkus misalnya t, maa produsen berusaha

untuk menggeser beban pajak tersebut kepada konsumen dengan cara

menaikkan harga sebesar pajak yang harus dibayar kepada pemerintah.

Tindakan seperti ini sama saja dengan menggeser kurva penawaran ke atas

sebesar pajak (t) yang dikenakan.

Dengan adanya pajak maka posisi keseimbangan berubah karena

produsen menawarkan harga jual yang lebih tinggi. Akibatnya, harga

keseimbangan yang tercipta menjadi lebih tinggi dari harga keseimbangan

sebelum ada pajak dan jumlah keseimbangannyapun menjadi lebih sedikit.

Contoh 4.7:

Bila fungsi permintaan dan penawaran akan suatu barang ditunjukkan oleh

persamaan:

Qd = 15 - Pd dan Qs = 2Ps - 6

Pajak yang dikenakan oleh pemerintah Rp 3,00 per unit. Berapa harga dan

jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah ada pajak ?

Sebelum pajak, keseimbangan tercapai bila Pd = Ps dan Qd = Qs atau

15 – P = 2P - 6

-3P = -21

P = 7

Q = 15 - P

Q = 15 - 7

Q = 8

Jadi harga keseimbangan P = 7 dan jumlah keseimbangan Q = 8

Setelah ada pajak, fungsi permintaan tidak berubah yaitu:

Qd = 15 - Pd

Fungsi penawaran yang baru:

Qs = 2(Ps1 - 3) - 6.

atau

Qs = 2Ps1 - 6 - 6.

Qs = 2Ps1 - 12

Keseimbangan yang baru tercapai bila Pd = Ps1 dan Qd = Qs.

15 - P = 2P - 12.

-3P = -27

P = 9

Q = 15 - P

Q = 15 - 9

Q = 6

Keseimbangan yang baru terjadi pada P = 9 dan Q = 6.

Dari contoh di atas ternyata pajak menyebabkan harga jual menjadi

lebih tinggi. Hal ini disebabkan produsen berusaha untuk menggeser beban

pajak ke konsumen. Sebenarnya produsen menginginkan agar seluruh beban

pajak itu ditanggung oleh konsumen. Akan tetapi dalam kenyataannya

konsumen tidak menanggung seluruh beban pajak. Ini berarti ada sebagian

pajak yang masih harus ditanggung oleh produsen. Beban pajak yang

ditanggung oleh konsumen besarnya merupakan selisih antara harga

keseimbangan setelah ada pajak dengan harga keseimbangan sebelum ada

pajak. Dari contoh di atas, beban pajak yang ditanggung oleh konsumen

= P2 – P1 = 9 – 7 = 2. Sisa pajak (yaitu selisih antara besar pajak yang

dikenakan dengan bagian pajak yang ditanggung oleh konsumen), menjadi

4.11


tanggungan produsen. Beban pajak yang ditanggung produsen = t – (P2 – P1)

= 3 – 2 = 1.

Pajak yang dikenakan pemerintah pada setiap unit barang yang dijual

diterima oleh pemerintah. Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah

dapat dihitung dengan mengalikan jumlah unit barang yang dijual dikalikan

dengan besarnya pajak yang dikenakan untuk setiap unitnya. Jumlah

keseimbangan setelah pajak adalah 6, dan besarnya pajak untuk setiap unit

barang yang dijual adalah 3. Jadi penerimaan pemerintah dari pajak = 6 × 3 =

18.

Subsidi merupakan kebalikan pajak dan menyebabkan harga jual barang

tersebut menjadi lebih murah karena biaya produksi menjadi lebih ringan.

Akibatnya setelah dilakukan subsidi harga keseimbangannya menjadi lebih

rendah dari pada sebelumnya dan jumlah keseimbangan menjadi lebih

banyak.

Contoh 4.8:

Fungsi permintaan dan penawaran sesuatu barang ditunjukkan oleh

persamaan:

Qd = 10 - Pd dan Qs = -6 + 2Ps

Pemerintah mengenakan subsidi sebesar Rp 2,00 untuk setiap unit barang

yang dijual.

Pertanyaan:

a. Hitung harga dan jumlah keseimbangan sebelum ada subsidi!

b. Hitung harga dan jumlah keseimbangan setelah ada subsidi!

c. Berapakah bagian subsidi yang dinikmati oleh produsen?

d. Berapakah pengeluaran pemerintah untuk subsidi?

e. Gambarkan grafiknya!

a. Persamaan permintaan dan penawaran sebelum ada subsidi :

Qd = 10 - Pd

Qs = -6 + 2Ps

Keseimbangan tercapai bila Pd = Ps dan Qd = Qs.

Jadi :

Q = 10 - P

Q = -6 + 2P

10 - P = -6 + 2P

-3P = -16

P =1

53

Q = 10 - P

Q = 10 - 1

53

Q = 2

43

Jadi harga keseimbangan P1 = 1

53

dan jumlah keseimbangan Q1 = 2

43

b. Setelah ada subsidi sebesar S = 2

Persamaan permintaan:

Qd = 10 - Pd

Persamaan penawaran:

Qs = -6 + 2 ( sP′ + s) atau

Qs = -6 + 2 sP′ + 4

Qs = -2 + 2 sP′ Keseimbangan baru tercapai bila Pd = sP′ dan

Qd = Qs

Q = 10 - P

Q = -2 + 2P

10 - P = -2 + 2P

-3P = -12

P = 4

Q = 10 - P

Q = 10 - 4 = 6

Jadi setelah ada subsidi, harga keseimbangan P2 = 4 dan jumlah

keseimbangan Q2 = 6.

4.13


c. Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen

P1 - P2 =1

53

- 4 = 1

13

Bagian subsidi yang dinikmati oleh produsen: = S - (P1 - P2) = 2 - 1

13

= 2

3

d. Pengeluaran pemerintah untuk subsidi:

Q2 x S = 6 x 2 = 12

e. Gambar grafiknya :

P

Q=10-P

Q=-6+2P

Q=-2+P

51

3

4

3

1

0 42

3 6 Q

Diagram 4.3

1) Suatu fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan Q = 100 - 5P.

a. Berapakah jumlah yang diminta bila harganya adalah 50 dan 16?

b. Berapakah harga yang diminta bila jumlah yang diminta adalah 19

dan 10?

c. Berapakah jumlah maksimum yang dibutuhkan konsumen?

d. Gambarkan kurvanya!

LATIHAN



2) Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 2P - 1.

a. Berapakah jumlah yang ditawarkan bila harganya adalah 2 dan 10?

b. Berapakah harga yang ditawarkan bila jumlah yang ditawarkan

adalah 25 dan 100?

c. Berapakah harga terrendah yang produsen bersedia untuk menjual

barangnya?

d. Gambarkan kurvanya!

3) Bila fungsi permintaan untuk suatu barang ditunjukkan oleh persamaan

Q = 10 - 3P dan penawarannya Q = 2P - 1.

a. Berapakah harga dan jumlah keseimbangannya?

b. Buatlah gambar grafik fungsi-fungsi tersebut di atas!

4) Bila ditentukan kurva permintaan Q = 20 - 2P dan kurva penawaran

Q = -4 + 3P.

a. Berapakah besarnya jumlah dan harga keseimbangannya?

b. Berapakah besarnya jumlah dan harga keseimbangan yang baru bila

pemerintah mengenakan pajak sebesar Rp 2,00?

c. Berapakah beban pajak yang ditanggung konsumen dan berapakah

beban pajak yang ditanggung produsen?

d. Berapakah penerimaan pemerintah dari pajak?

e. Gambarkan grafiknya!

5) Bila ditentukan kurva permintaan dan penawaran seperti pada soal

nomor 4.

a. Berapakah besarnya jumlah dan harga keseimbangan bila

pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp 1,00 per unitnya?

b. Berapakah bagian subsidi yang dinikmati konsumen dan berapa

yang dinikmati produsen?

c. Gambarkan grafiknya!


1) a. Fungsi permintaan Q = 100 - 2P

Untuk P = 50, maka Q = 0


4.15


P

20 Q = 100 – 5P

0 100 Q

P

Q = 2P - 1

0,5

-1 0 Q

b. Untuk Q = 19, maka P = 161

5

Untuk Q = 10, maka P = 18

c. Jumlah maksimum yang dibutuhkan konsumen adalah 100

d. Grafiknya

2) Fungsi penawaran Q = 2P - 1

a. Untuk P = 2, maka Q = 3


b. Untuk Q = 25, maka P = 13

Untuk Q = 100, maka P = 50,5

c. Harga penawaran terendah P = 0,5

d. Grafiknya

3) Fungsi permintaan Q = 10 - 3P, dan penawaran Q = 2P - 1

a. Harga keseimbangan P = 2,2

Jumlah keseimbangan Q = 3,4

P

Q = 2P - 1

3,5

2,5

0,5 Q = 10 - 3P

-1 0 3,4 10 Q

P

10

Q = 20 – 2P

Q = 10 – 3P

6 Q = -4 + 3P

4,8

3,3

1,3

-4 0 8 10,4 20 Q

b.

4) Kurva permintaan Q = 20 -2P dan kurva penawaran Q = -4 + 3P



b. Setelah ada pajak

Harga keseimbangan P = 6

Jumlah keseimbangan Q = 8

c. Beban pajak yang ditanggung konsumen = Rp1,20

Beban pajak yang ditanggung produsen = Rp0,80

d. Penerimaan pemerintah dari pajak = Rp16,00

e. Grafiknya

5) Kurva permintaan Q = 20 -2P dan kurva penawaran Q = -4 + 3P



b. Subsidi yang dinikmati konsumen = 0,6

Subsidi yang dinikmati produsen = 0,4

c. Grafiknya

4.17


P

10

Q = 20 – 2P

Q = -4 + 3P

4,8

4,2 Q = -1 + 3P

1,3

0,3

-4 0 10,4 11,6 20 Q

Fungsi permintaan adalah persamaan yang menunjukkan hubungan

antara jumlah sesuatu barang yang diminta dan harga barang tersebut.

Fungsi penawaran menghubungkan antara harga barang di pasar dengan

jumlah barang yang ditawarkan. Fungsi permintaan bersama-sama fungsi

penawaran membentuk harga dan jumlah keseimbangan (keseimbangan

pasar).

Bila pemerintah mengenakan pajak atau subsidi maka kurva

penawaran akan bergeser dan harga serta jumlah keseimbangan akan

berubah. Pengenaan pajak akan berakibat bergesernya kurva penawaran

ke atas dan sebaliknya subsidi akan menyebabkan kurva penawaran

bergeser ke bawah.

1) Suatu fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan 3P + Q = 45.

Misalkan jumlah yang diminta adalah 18. maka tingkat harga yang

berlaku adalah ….

A. 6

B. 18

C. 27

D. 45

2) Seandainya untuk suatu jenis barang tertentu fungsi penawarannya

ditunjukkan oleh persamaan Q = 5P – 3, maka harga terendah yang

produsen mau menjual barangnya adalah ….

A. 0,6

RANGKUMAN

TES FORMATIF 1


B. lebih tinggi dari 0,6

C. kurang dari 0,6

D. 0

3) Suatu fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan Pd = 12 – 3 Qd dan

fungsi penawarannya ditunjukkan oleh persamaan Ps = 4/5 Qd + 2.

Maka titik keseimbangannya adalah ….

A. (3, 3)

B. (2 5

4 ,77 7

)

C. (4,2)

D. (6,4)

4) Bila fungsi permintaan dan penawaran akan suatu barang ditunjukkan

oleh persamaan Qd = 25 – 2Pd dan Qs = 4Ps – 11, sedang pajak yang

dikenakan Rp.5,00 per unit, maka harga keseimbangan sebelum dan

sesudah pajak adalah ….

A. 6 dan 13

B. 13 dan 61

3

C. 91

3 dan 6

1

3

D. 6 dan 91

3

5) Fungsi permintaan dan penawaran sesuatu barang ditunjukkan oleh

persamaan Qd = -Pd + 14 dan Qs = -10 + 3P. Pemerintah mengenakan

subsidi sebesar Rp4,00 untuk setiap unit barang yang dijual, maka

pengeluaran pemerintah untuk subsidi adalah ….

A. 44

B. 32

C. 24

D. 12





4.19



80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang




belum dikuasai.


100%Jumlah Soal

×

C,S C=Y

C=a+bY

E

a

S=-a+(1-b)Y

0 YE Y

-a

Kegiatan Belajar 2

Fungsi Konsumsi dan Tabungan

eorang ahli dalam ilmu ekonomi yaitu Keynes mempunyai pendapat

bahwa pengeluaran seseorang untuk konsumsi dipengaruhi oleh

pendapatannya. Semakin tinggi tingkat pendapatannya maka tingkat

konsumsinya juga semakin tinggi. Sejalan dengan pemikiran tersebut,

kiranya mudah untuk dimengerti bahwa seseorang yang tingkat

pendapatannya semakin tinggi, semakin besar pula tabungannya karena

tabungan merupakan bagian dari pendapatan yang tidak dikonsumsikan.

Secara matematis, hubungan fungsional antara konsumsi dan pendapatan

dapat ditulis:

C = f(Y) atau C = a + bY (a > 0, b > 0)

di mana:

C = pengeluaran untuk konsumsi

a = besarnya konsumsi pada saat pendapatannya nol

b = MPC yaitu besarnya tambahan konsumsi karena adanya tambahan

pendapatan.

Y = pendapatan.

Pendapatan (Y) digunakan untuk konsumsi (C) dan tabungan (S), atau

Y = C + S

S = Y - C

S = Y - (a + bY)

S = Y - a - bY

S = -a + (1 - b) Y

(1 - b) disebut hasrat menabung marjinal (MPS).

Diagram 4.4

S

4.21


C,S C=Y

C=10+0.75Y

E

40

10 S=-10+0,25Y

0 40 Y

-10

Keterangan:

a adalah perpotongan antara fungsi dengan sumbu vertikal C

C = Y adalah garis impas karena semua titik pada garis tersebut

menunjukkan bahwa semua pendapatan tepat habis dikonsumsikan.

E adalah titik impas yaitu titik perpotongan antara garis konsumsi

dengan garis impas. Pada titik tersebut semua pendapatan

dikonsumsikan habis atau S = 0.

OYE adalah besarnya pendapatan yang hanya cukup untuk konsumsi.

Contoh 4.9:

Bila diketahui bahwa fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan C =

10 + 0,75 Y, maka carilah fungsi tabungannya. Berapakah besarnya

konsumsi pada saat tabungan sama dengan nol. Gambarkan grafik fungsi

konsumsinya dan fungsi tabungannya!

Tabungan = S = Y - C

S = Y - (10 + 0,75 Y)

S = -10 + 0,25 Y

Pada tabungan = 0, maka:

0 = -10 + 0,25 Y

-0,25 Y = -10

Y = 40

Y = C + S pada saat S = 0, maka Y = C.

Jadi besarnya konsumsi pada saat tabungan nol adalah 40.

Gambar grafiknya:

Diagram 4.5

Contoh 4.10:

Pak Santosa mengatakan bahwa pada saat menganggur ia harus

mengeluarkan Rp 30.000,00 untuk kebutuhannya sebulan. Sekarang setelah

bekerja dengan penghasilan Rp 100.000,00 bisa menabung Rp10.000,00 per

bulan. Berapakah tabungannya perbulan bila penghasilannya telah mencapai

Rp120.000,00 perbulan?

Saat pak Santosa menganggur berarti penghasilannya (Y) = 0 dan

konsumsinya = Rp30.000,00 Andaikan fungsi konsumsinya adalah

C = a + bY, maka a = Rp30.000,00 atau C = 30.000 + bY.

Pada tingkat penghasilan Rp100.000 tabungan (S) = Rp 10.000 berarti

C = Rp100.000,00 - Rp10.000,00 = Rp90.000,00

Dengan mensubstitusikan Y = 100.000 dan C = 90.000 ke dalam

persamaan C = 30.000 + bY diperoleh:

90.000 = 30.000 + b(100.000)

- 100.000 b = - 60.000

b = 60.000

100.000

Jadi persamaan konsumsinya adalah: C = 30.000 + 0,6Y

Pada tingkat pendapatan (Y) = 120.000, maka

C = 30.000 + 0,6 (120.000).

C = 30.000 + 72.000

C = 102.000

S = Y - C

S = 120.000 - 102.000

S = 18.000

Jadi tabungan pak Santosa pada saat penghasilannya mencapai

Rp120.000,00 adalah Rp18.000,00 per bulan. Untuk memperoleh persamaan

konsumsi dapat pula digunakan rumus persamaan garis yang melalui 2 titik :

2 11 1

2 1

- Y YY - = (X - )Y X

- X X

4.23


C,S

C=Y

C=30.000+0,6Y

S=-30.000+0,4Y

30.000

0

E Y

-30.000

Sumbu Y digunakan untuk konsumsi dan sumbu X untuk pendapatan,

sehingga persamaan menjadi:

2 111

2 1

- C CC - = (Y - )C Y

- Y Y

C1 = 30.000 ; Y1 = 0

C2 = 90.000 ; Y2 = 100.000

90.000 - 30.000

C - 30.000 = (Y - 0)100.000 - 0

60.000

C - 30.000 = Y100.000

atau

C = 30.000 + 0,6 Y

Diagram 4.6

1) Pada tingkat pendapatan sebesar Rp25.000,00 konsumsi yang dilakukan

adalah Rp20.000,00 dan bila pendapatannya sebesar Rp35.000,00

besarnya konsumsi adalah Rp25.000,00. Bagaimanakah bentuk fungsi

konsumsinya?

LATIHAN



2) Suatu masyarakat tidak bisa menabung bila pendapatannya hanya Rp20

juta dan meskipun pendapatannya nol, mereka masih harus melakukan

konsumsi sebesar Rp10 juta. Bagaimanakah bentuk fungsi tabungannya?

3) Bila fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan C = 20 + 0,55 Y.

Tunjukkan fungsi tabungannya dan tentukan titik impasnya.

4) Pak Anu dengan penghasilan Rp80.000,00 per bulan dapat menabung

Rp10.000,00 per bulan. Bila pendapatannya naik menjadi Rp120.000,00

ia memperkirakan dapat menabung Rp20.000,00. Berapakah

konsumsinya jika ia tidak bekerja (penghasilannya nol)?

5) Suatu fungsi konsumsi yang ditunjukkan oleh persamaan C = a + bY,

diketahui bahwa b = 0,75 dan titik impasnya 80 milyar. Tentukan

besarnya tabungan bila konsumsi mencapai 95 milyar!


1) C = 7500 + 0,5Y

2) S = -10 + 0,5Y

3) S = -20 + 0,45Y

Titik impas terjadi pada C = Y = 4

449

dan S = 0

4) Fungsi tabungan S = -10.000 + 0,25Y

Fungsi konsumsi C = 10.000 + 0,75Y

Untuk Y = 0, maka C = 10.000

5) Fungsi tabungan S = -20 + 0,25Y

Fungsi konsumsi C = 20 + 0,75Y

Untuk C = 95 milyar, maka tabungan S = 5 milyar

Konsumsi dipengaruhi oleh tingkat pendapatan. Semakin tinggi

tingkat pendapatan maka semakin tinggi pula tingkat konsumsinya.

Demikian pula dengan tabungan, dipengaruhi oleh tingkat pendapatan.

Semakin tinggi tingkat pendapatan, semakin besar pula tabungannya.

Secara matematis fungsi konsumsi dapat ditulis sebagai: C = a + by

dan fungsi tabungan: S = -a + ( 1-b )Y. Perpotongan antara garis C = Y

dan C = a + bY disebut dengan titik impas. Titik pendapatan pada saat

RANGKUMAN

4.25


C = Y hanya cukup untuk konsumsi saja dan pada saat tersebut tabungan

(= S) sama dengan nol.

1) Pada saat pendapatannya per bulan Rp300.000,00 Pak Andi tidak pernah

bisa menabung karena semua uang yang diterima persis habis untuk

konsumsi. Sekarang dengan penghasilan Rp580.000,00 per bulan ia

dapat menabung Rp40.000,00 per bulan. Maka bentuk fungsi konsumsi

pak Andi adalah ….

A. 1

Y 42.857,147

+

B. 6

Y 42.857,147

+

C. 1

Y 42.857,147

−

D. 6

Y 42.857,147

+

2) Fungsi konsumsi suatu masyarakat ditunjukkan oleh persamaan

C = 50 + 0,6Y. Tabungan masyarakat itu = 80 pada tingkat

pendapatan ….

A. 98

B. 125

C. 225

D. 325

3) Suatu fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan: C = a + by. Apabila

b = 0,8 dan titik impasnya 86 juta, maka besarnya tabungan bila

konsumsi mencapai 98 juta adalah ….

A. 3 juta

B. 9,6 juta

C. 12 juta

D. 101 juta

4) Pak Badu dapat menabung Rp25.000,00 per bulan bila pendapatannya

Rp360.000,00 dan akan menabung Rp60.000,00 per bulan bila

TES FORMATIF 2


pendapatannya Rp500.000,00 per bulan. Apabila pendapatannya

mencapai Rp800.000,00 per bulan, maka besarnya tabungan per bulan

adalah….

A. Rp85.000,00

B. Rp110.000,00

C. Rp135.000,00

D. Rp265.000,00

5) Bila fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan C = 30 + 0,45Y, maka

titik impasnya adalah ….

A. 45,55

B. 54,55

C. 56,67

D. 66,67






80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang




belum dikuasai.


100%Jumlah Soal

×

4.27



Tes Formatif 1

1) C

2) B

3) A

4) D

5) A

Tes Formatif 2

1) B

2) D

3) A

4) C

5) B

Daftar Pustaka





Eighth Edition, Prentice Hall International Inc,


Stengos, (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher

Limited,



Pindyck, Robert S and Daniel L Rubinfeld. (1998). Microeconomics, Fourth

Edition, Prentice Hall International Inc.

Prakin, Michael and Robin Bade. (1995). Modern Macroeconomics, Prentice

Hall Canada Inc Scarborough Ontaro,

Silberberg, Eugene and Wing Suen. (2001). The Structure of

Economics a Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill.

4.29

Modul 5

Fungsi Non-Linear

ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika

untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang

menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh

sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan

memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teori-

teori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat

dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi non-

linier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi,

karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi

yang menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya persamaan-

persamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat

dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk

fungsi permintaan dan penawaran

Dalam modul ini dijelaskan cara membuat grafik fungsi non-linier,

sehingga persamaan-persamaan yang ditampilkan pada modul-modul

berikutnya dapat digambarkan secara cepat tanpa menggunakan titik-titik

yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang terlalu banyak.

Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan dapat

memahami berbagai macam bentuk fungsi non-linier, mengenai sifat-sifatnya

dan dapat menggambarkan grafiknya. Di samping itu, Anda diharapkan

mampu untuk:

a. menggambarkan grafik fungsi non-linier.

b. menggunakan sifat-sifat fungsi kuadratik untuk membuat gambar

grafiknya.

c. membedakan bentuk-bentuk fungsi kuadratik seperti lingkaran, elips,

parabola dan hiperbola.

d. menentukan jika ada: format, jari-jari, asimtot dari fungsi kuadratik serta

batasan-batasan nilai untuk variabel-variabelnya.

F

PENDAHULUAN


Kegiatan Belajar 1

Grafik Kurva Non-Linear

olinom atau suku banyak dalam x dan y dilambangkan f(x) adalah

ungkapan yang mengandung suku-suku kxrys, di mana k adalah konstan,

r dan s adalah bilangan bulat. Nilai tertinggi (r + s) pada suku f(x,y)

dinamakan pangkat polinom. Jika polinom f(x,y) berpangkat n dan

disamakan dengan nol, maka diperoleh persamaan pangkat n dalam x dan y

yaitu f(x,y) = 0. Persamaan ini disebut persamaan aljabar. Suatu grafik yang

melukiskan persamaan aljabar disebut sebagai kurva aljabar. Suatu contoh

kurva aljabar adalah garis lurus.

Persamaan dalam x dan y yang bukan persamaan aljabar disebut

persamaan transcendental dan grafiknya disebut kurva transcendental.

Contoh-contoh kurva transcendental adalah grafik fungsi trigonometri,

logaritma, dan fungsi berpangkat.

Cara membuat grafik yang akan dibahas dapat digunakan untuk

membuat grafik aljabar maupun grafik transcendental. Cara ini merupakan

cara yang umum untuk melukis suatu grafik. Kemudian akan dibahas cara

lain yaitu cara yang lebih khusus untuk melukiskan jenis fungsi tertentu. Cara

ini lebih efisien untuk melukis grafik dari fungsi jenis tertentu, seperti fungsi

kuadratik (lingkaran, elips, parabola dan hiperbola), fungsi perpangkatan dan

fungsi logaritma.

Menggambar grafik fungsi non-linear, dilakukan dengan menentukan

titik-titik yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang cukup banyak. Akan

tetapi titik-titik yang jumlahnya banyak itu, mungkin masih belum

memberikan informasi yang lengkap tentang bentuk kurva sesungguhnya.

Sebaiknya suatu persamaan yang hendak dibuat grafiknya diuji dulu

dengan memperhatikan kaidah-kaidah yang berhubungan dengan fungsi

tersebut, sehingga titik-titik yang digunakan jumlahnya tidak terlalu banyak.

Kaidah-kaidah dalam membuat grafik kurva non-linear dan kegunaannya

adalah sebagai berikut:

P

A. TITIK PENGGAL

Titik penggal suatu kurva adalah titik perpotongan antara kurva dan garis

sumbu. Titik penggal dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan y = 0

ke dalam persamaan dan kemudian mencari nilai x nya. Titik penggal dengan

sumbu x diperoleh dengan memasukkan x = 0 ke dalam persamaan dan

kemudian mencari nilai y nya. Untuk menggambar grafik suatu fungsi,

titik-titik penggal ini harus dicari.

B. SIMETRIS

Dua titik dikatakan simetris terhadap suatu garis bila garis tersebut

terletak di antara dua titik dan jarak masing-masing titik ke garis tersebut

sama.

Contoh 5.1:

(-x,y) (x,y)

(x,-y) Titik (x,y) simetris dengan titik (x,-y) terhadap sumbu x. Titik (x,y) simetris

dengan titik (-x,y) terhadap sumbu y.

Dua titik simetris terhadap titik ke tiga, jika titik ke tiga itu terletak di

tengah-tengah garis yang menghubungkan ke dua titik tersebut.

Contoh 5.2:

Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,-y) terhadap titik origin.

5.3


Y

(x,y)

X

0

(-x,-y)

Y

(x,y)

X

0

(x,-y)

Suatu kurva juga dapat simetris terhadap garis sumbu atau terhadap titik

origin. Kurva simetris terhadap sumbu x bila untuk setiap titik (x,y) pada

kurva, simetris dengan titik (x,-y) yang juga terletak pada kurva.

Contoh 5.3:

Kurva simetris terhadap sumbu y, bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva

simetris dengan titik (-x,y) yang juga terletak pada kurva.

Y

(-x,y) (x,y)

X

Y

(x,y)

X

(-x,-y)

Contoh 5.4:

Kurva simetris terhadap titik origin apabila setiap titik (x,y) pada kurva

simetris dengan titik (-x,-y) yang juga terletak pada kurva.

Contoh 5.5:

Dari tiga contoh terakhir dapat dilihat bahwa grafik persamaan f(x,y) = 0

simetris terhadap:

a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0

b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0

c. Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0

Perlu diperhatikan di sini bahwa suatu fungsi yang simetris terhadap

sumbu x dan sumbu y tentu simetris terhadap origin. Akan tetapi sebaliknya,

kurva yang simetris terhadap origin belum tentu simetris terhadap sumbu x

dan y.

5.5


Y

0 X

Y

0

X

Contoh 5.6:

Kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2y + y + x3 = 0 merupakan fungsi

dengan kurva yang simetris terhadap origin tetapi tidak simetris terhadap

salah satu sumbu.

f(x,-y) = -x2y - y + x3 ņ> f(x,-y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi

f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu x.

f(-x,y) = x2y + y - x3 ņ> f(-x,y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi

f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu y.

f(-x,-y) = -x2y - y - x3 = 0 ņ> f(-x,-y) = 0 sama dengan f(x,y) = 0. Jadi

f(x,y) = 0 simetris terhadap origin.

Contoh 5.7:

Kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x3y + xy = 0 merupakan fungsi

yang simetris terhadap sumbu x,y dan titik origin, karena:

f(x,-y) = -x3y - xy = 0 = f(x,y)

f(-x,y) = -x3y - xy = 0 = f(x,y)

f(-x,-y) = x3y + xy = 0 = f(x,y)

Y

x = h

(h-c,y) (h+c,y)

Ji Ji

0 X

Y

(x,k+c)

J2

y = k

J2

X

0 (x,k-c)

Di dalam menggambar suatu grafik, kadang-kadang harus diperhatikan

kesimetrisan kurva terhadap garis yang bukan garis sumbu atau titik lain

selain titik origin. Grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap garis x =

h, jika f(h + c,y) = f(h - c,y) = 0 untuk semua nilai c dan y.

Contoh 5.8:

Pada gambar di bawah j1 = c dan c > 0 dan f(x,y) simetris terhadap garis

x = h

Grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap garis y = k, jika f(x, k + c) =

f(x,k - c) = 0 untuk semua nilai c dan x.

Pada gambar di atas j2 = c dan c > 0; f(x,y) simetris terhadap garis x =

k. Grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap titik (h,k), jika f(h + c, k +

d)= f(h - c,k - d)= 0 untuk semua c dan d.

5.7


Y

(h+c,k+d)

J3

*

J3

(h-c,k-d)

0 X

Contoh 5.9:

Pada gambar di atas j3 = 2 2c d+ dan c > 0, d > 0 sehingga f(x,y)

simetris terhadap titik (h,k).

C. BATAS NILAI

Pada sistim sumbu koordinat, titik (x,y) mempunyai koordinat bilangan

riil. Jadi untuk titik (x,y) di mana nilai x merupakan bilangan riil tetapi y

bilangan imajiner atau nilai y merupakan bilangan riil tetapi x bilangan

imajiner harus dikecualikan dan titiknya tidak digunakan. Hal ini disebabkan

variabel-variabel yang berpangkat genap dalam persamaan, penyelesaiannya

melibatkan akar dan bilangan negatif tidak mempunyai akar bilangan riil.

Akibatnya kurva harus dibatasi sedemikian rupa sehingga semua titik

mempunyai koordinat bilangan riil. Setiap variabel pada suatu persamaan,

sebaiknya dilihat apakah nilainya mempunyai batas.

Contoh 5.10:

Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2 + y2 = 25

mempunyai batas?

x2 = 25 - y2

x = 225 y± −

Nilai di bawah tanda akar yaitu 25 - y2 akan bertanda negatif bila:

25 - y2 < 0

- y2 < - 25 atau y > 5±

dan batas untuk y adalah -5 < y < 5

Batas untuk x:

y2 = 25 - x2

y = ± 225 X−

Nilai di bawah tanda akar bertanda negatif bila:

25 - x2 < 0

- x2 < 25 atau x > 5±

dan batas untuk x adalah -5 < x < 5

D. ASIMTOTIS

Asimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva

dengan jarak yang semakin dekat dengan nol bila kurva tersebut semakin

jauh dari origin atau dapat pula dikatakan bahwa garis y = mx + b

merupakan asimtot kurva y = f(x), jika f(x) semakin dekat mx + b maka x

dan y nilainya bertambah tanpa batas. Jadi, f(x) ņ mx + b jika x dan y ņ ∞.

Pada umumnya garis asimtot yang banyak digunakan adalah garis

asimtot yang sejajar sumbu x atau sumbu y. Garis asimtot yang sejajar

dengan sumbu x disebut asimtot horisontal dan yang sejajar sumbu y disebut

asimtot vertikal dan didefinisikan:

Garis y = k adalah asimtot horisontal kurva y = f(x) bila y → k untuk

x → ∞.

Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva y = f(x) bila x → h untuk y →

∞. Untuk kepentingan penggambaran suatu kurva, akan dibedakan arah

gerakan suatu kurva apakah x dan y nilainya terus bertambah besar tanpa

batas (x → +∞ ; y → +∞) atau x dan y nilainya terus berkurang tanpa batas (x

→ -∞; y → -∞). Di samping itu harus diperhatikan juga nilai variabel yang

tidak bertambah atau berkurang tanpa ada batasnya. Hal ini sangat berguna

untuk menentukan apakah suatu kurva mendekati asimtot dari kiri atau dari

kanan (untuk asimtot vertikal) atau mendekati asimtot dari atas atau dari

bawah (untuk asimtot horisontal).

5.9


Asimtot vertikal Asimtot horisontal

Y Y

0 X 0 X

Y

y = 3

xy - 3x - 4y - 2 = 0

x = 4

Contoh 5.11:

Contoh 5.12:

Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan xy-3x-4y-2= 0

mempunyai asimtot horisontal atau vertikal?

Langkah pertama adalah mengeluarkan x:

4y + 2

x = y - 3

Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa, jika y → +∞, maka x → 4

dan x > 4. Jika y → -∞, maka x → 4 dan x < 4. Jadi x = 4 merupakan

asimtot vertikal yang didekati oleh kurva dari kiri dan kanan.

Langkah kedua adalah mengeluarkan y:

3x + 2

y = x - 4

Jika x → +∞, maka y → 3 dan y > 3, tetapi bila x → -∞ maka y → 3

dan y < 3. Jadi y = 3 merupakan asimtot horisontal yang didekati kurva dari

atas dan bawah.

Y

2x - y = 0

X

x + 2y = 0

E. FAKTORISASI

Persamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat terjadi sebagai hasil perkalian

antara dua faktor atau lebih, atau f(x,y) = g(x,y) . h(x,y) = 0. Dengan

demikian maka grafik f(x,y) = 0 terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) = 0 dan

h(x,y) = 0, dan titik (x,y) yang memenuhi persamaan g(x,y) = 0 atau h(x,y) =

0 terletak pada f(x,y) = 0.

Contoh 5.13:

Buatlah grafik persamaan 2x2 + 3xy - 2y2 = 0

Faktorisasi:

2x2 - xy + 4xy - 2y2 = 0

x(2x - y) + 2y(2x - y) = 0

(2x - y) (x + 2y) = 0

Jadi grafik persamaan 2x2 + 3xy - 2y2 = 0 terdiri dari grafik dua garis

lurus yaitu:

2x - y = 0 dan x + 2y = 0.

1) y = (x + 2)(x - 3)2

2) y3 + xy2 - xy - x2 = 0

LATIHAN



5.11


3) y2 - 4xy - 1 = 0

4) xy - y - x - 2 = 0

5) x2y - x2 - 4y = 0


X(3,0)

(0,18)

(-2,0)

y = (x + 2) (x – 3)2

X

Y

y = (x + 2) (x – 3)2

1)

2)

3)

Y

y = 1

y2 - 4xy - 1 = 0

x = 1

y = -1

x = -1

4)

Y

xy - x - y - 2 = 0

5)

Y

y = 1

x2y- x

2 – 4y = 0

x = 2

Dalam menggambar grafik suatu kurva perlu diperhatikan Titik

penggal, Simetris, Asimtot, Faktorisasi. Titik penggal dengan sumbu x

diperoleh dengan memasukkan y = 0. Titik penggal dengan sumbu y

diperoleh dengan memasukkan x = 0.

Grafik persamaan f(x,y) simetris terhadap:

a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0

b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0

c. Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0

Batas nilai untuk variabel x dan y harus dicari sehingga dapat

diketahui selang untuk variabel x dan y yang menyebabkan titik (x,y)

mempunyai koordinat bilangan riil. Suatu kurva perlu diselidiki apakah

mempunyai garis asimtot. Garis y = k adalah asimtot horisontal kurva y

= f(x) bila y → k untuk x → ∞. Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva

RANGKUMAN

5.13


y = f(x) bila x → h untuk y → ∞. Apabila f(x,y) = g(x,y) . h(x,y) = 0,

maka grafik f(x,y) terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) dan h(x,y) = 0.

1) Batas kurva yang ditunjukkan oleh persamaan 2 2x y 16+ = adalah ….

A. y 4≥ atau y 4≤ −

B. y 4≥− atau y 4≤

C. x 4≥ atau x 4≤ −

D. x 4≥− atau x 4≤

2) Di bawah ini yang bkan titik penggal persamaan 2(x 5)(x 3)− +

adalah ….

A. (0, -45

B. (0, -15)

C. (5, 0)

D. (-3, 0)

3) Suatu kurva yang ditunjukkan oleh persamaan 3 2x x y y 5 0+ − + =

adalah ….

A. simetris terhadap sumbu x

B. simetris terhadap sumbu y

C. simetris terhadap origin

D. simetris terhadap sumbu x dan origin

TES FORMATIF 1


4) Grafik dari persamaan 02512 22 =−− yxyx adalah ….

A.

y

3x – 2y = 0

x

4x + y

B.

4x - y

3x – 2y

4

2

0 1 2 x

C.

y

x

3x + 2y

4x + y

5.15


D. y

4x - y

3x + 2y

5) Titik penggal dari grafik persamaan 3 2y x x 12x 12= + − − adalah ….

A. (3, 0), (-2,0), (0, 12)

B. (-3, 0), (2, 0), (0, -12)

C. (-3, 0), (-2, 0), (0, 12)

D. (3, 0), (-2, 0), (0, -12)






80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang




belum dikuasai.


100%Jumlah Soal

×

Kegiatan Belajar 2

Fungsi Kuadratik

A. FUNGSI KUADRATIK

Suatu persamaan kuadrat mungkin dapat berbentuk suatu lingkaran elips,

parabola, hiperbola atau bentuk yang lain. Bentuk umum persamaan

kuadratik:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

di mana: A,B,C,D,E dan F adalah konstan dan paling tidak salah satu dari

A,B dan C tidak bernilai sama dengan nol. Kurva yang menggambarkan

persamaan di atas dapat diperoleh dengan mengiris dua buah kerucut dengan

suatu bidang datar.

Parabola Hiperbola Elips Lingkaran

Irisan yang didapat bisa berbentuk lingkaran, elips, parabola atau hiperbola.

Selain itu mungkin diperoleh pula bentuk-bentuk yang lebih khusus, yaitu

dua garis lurus yang berpotongan dan dua buah garis sejajar.

Dari persamaan kuadratik Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 dengan

mudah dapat diketahui secara cepat apakah kurvanya berbentuk lingkaran,

elips, parabola atau hiperbola.

Jika B = 0 dan A = C, maka irisan berbentuk lingkaran.

Jika B2 - 4 AC < 0, maka irisan berbentuk elips.

Jika B2 - 4 AC = 0, maka irisan berbentuk parabola.

Jika B2 - 4 AC > 0, maka irisan berbentuk hiperbola.

5.17


Y

(h,k)

X

0

Untuk kasus yang lebih khusus yaitu B = 0 dan paling tidak salah satu

dari A dan C tidak bernilai nol, maka irisan kerucut bentuknya dapat

diidentifikasi dengan menggunakan kriteria berikut ini:

Jika A = C, maka irisan berbentuk lingkaran.

Jika A=/ C, tetapi A dan C bertanda sama, maka irisan berbentuk elips.

Jika A = 0 atau C = 0 akan tetapi tidak sama dengan nol bersama-sama,

maka irisan berbentuk parabola.

Jika A dan C tandanya tidak sama, maka irisan berbentuk hiperbola.

1. Lingkaran

Secara ilmu ukur, lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan

titik-titik pada bidang datar yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap. Titik

tertentu itu dinamakan pusat dan jarak titik-titik pada lingkaran ke pusat

dinamakan jari-jari lingkaran. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah:

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0

Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

di mana (h,k) merupakan pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Gambar

lingkaran tersebut adalah sebagai berikut:

Contoh 5.14:

Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan:

x2 - 4x + y2 = 0

Y

(2,0) X • 0

Bentuk umum lingkaran:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

x2 – 4x + y2 = 0 → ruas kiri dan kanan ditambah 4

x2 - 4x + 4 + y2 = 4

(x - 2)2 + (y - 0)2 = 22

Titik pusat (2,0), jari-jari = 2.

Contoh 5.15:

Dari persamaan berikut tentukan bentuk standar dari lingkaran.

Tentukan letak titik pusat dan jari-jari lingkarannya.

2 2x y 6x 8y 16 0+ − − + =

Bentuk umum lingkaran:

2 2 2

2 2

2 2 2

(x h) (y k) r

(x 6x 9) (y 8y 16) 16 9 16

(x 3) (y 4) 3

− + − =− + + − + =− + +− + − =

Titik pusat (3, 4), jari-jari = 3.

2. E l i p s

Secara ilmu ukur, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik

pada bidang datar yang jumlah jaraknya dari dua buah titik tetap. Kedua titik

tersebut dinamakan fokus. Suatu elips dibagi secara simetris oleh dua sumbu

yang berpotongan tegak lurus. Yang panjang dinamakan sumbu panjang dan

yang pendek dinamakan sumbu pendek. Perpotongan kedua sumbu disebut

pusat elips.

Bentuk umum persamaan Elips adalah Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 di

mana A, C, A dan C berlainan tanda. Persamaan Elips dapat ditulis dalam

bentuk standar:

5.19


2 2

2 2

(x - h (y - k) ) + = 1

a b

Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar

dengan sumbu x. Akan tetapi bila a < b, maka sumbu panjang sejajar dengan

sumbu y. Sumbu panjangnya 2a dan sumbu pendeknya 2b. Sumbu panjang

disebut jari-jari panjang dan sumbu pendek disebut jari-jari pendek.

Contoh 5.16:

Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang

ditunjukkan oleh persamaan:

4x2 + 9y2 + 16x - 18y - 11 = 0

4(x2 + 4x + 4) + 9(y2 - 2y + 1) = 11 + 16 + 9

4(x + 2)2 + 9(y - 1)2 = 36

2 2

(x + 2 (y - 1) ) + = 1

9 4

Pusat elips (-2,1)

Jari-jari panjang = 9 = 3

Jari-jari pendek = 4 = 2

Y

(2,1)

X

0

Contoh 5.17:

Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang

ditunjukkan oleh persamaan 9x2 + y2 + 36x + 2y + 28 = 0.

Bentuk umum persamaan elips:

2 2

2 2

(x - h (y - k) ) + = 1

a b

9(x2 + 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) = -28 + 36 + 1

9(x + 2)2 + (y + 1)2 = 9

2 2

(x + 2 (y + 1) ) + = 1

1 9

Pusat elips (-2, -1).

Jari-jari panjang = 3

Jari-jari pendek = 1

Y

(-2,-1) X

3. Parabola

Secara ilmu ukur, parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan

titik-titik pada suatu bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu

garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokus dan garisnya disebut

"directrix". Suatu parabola simetris terhadap suatu garis yang disebut sumbu.

Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan "vertex"

parabola. Persamaan umum dari suatu parabola yang sumbunya sejajar

sumbu y adalah:

Ax2 + Dx + Ey + F = 0,

Jika sumbunya sejajar sumbu x, persamaannya:

Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

Bentuk persamaan standar dari parabola adalah:

(x - h)2 = 4p (y - k)

di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbunya sejajar dengan sumbu y;

atau

(y - k)2 = 4p (x - h)

5.21


di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbu parabola sejajar dengan

sumbu x, sedang p adalah parameter yang tanda serta besarnya menentukan

keadaan bentuk parabola.

Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu y:

Jika p < 0, maka parabola terbuka ke bawah.

Jika p > 0, maka parabola terbuka ke atas.

Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu x:

Jika p < 0, maka parabola terbuka di sebelah kiri.

Jika p > 0, maka parabola terbuka di sebelah kanan.

Besarnya jarak antara titik fokus dan garis directrix adalah 2p. Apabila nilai p

semakin besar, maka parabola semakin cepat membuka. Bagian-bagian

parabola dapat Anda perhatikan pada gambar berikut.

Y

directrix

fokus

vertex

sumbu

2p

0 X

Contoh 5.18:

Jadikan bentuk standar persamaan parabola:

x2 - 4x + 4y + 16 = 0

dan tentukan vertexnya.

Bentuk standar parabola:

(x - h)2 = 4p(y - k)

x2 - 4x + 4y + 16 = 0

x2 - 4x + 4 = -4y - 16 + 4

(x - 2)2 = -4 (y + 3)

Jadi parabola mempunyai vertex (2, -3); p = -1; sumbu sejajar dengan

sumbu y dan parabola terbuka ke bawah.

Y

0 X

x2 - 4x + 4y + 16 = 0

4. Hiperbola

Secara ilmu ukur hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan

titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu

besarnya tetap. Hiperbola mempunyai dua sumbu yang membagi dua

hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu

"transverse". Pada suatu hiperbola terdapat dua buah garis asimtot yang

saling berpotongan. Titik potongnya disebut pusat hiperbola.

Bentuk umum persamaan hiperbola yaitu Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

di mana A dan C berlawanan tanda. Persamaan tersebut dapat dijadikan

bentuk standar untuk hiperbola.

( ) ( )2 2

2 2

x h y k1

a b

− −+ = atau

( ) ( )2 2

2 2

y k x h1

b a

− −+ =

di mana (h,k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan

sumbu x. Asimtot ditunjukkan oleh persamaan:

x h y k

a b

− −= ±

Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus.

5.23


Contoh 5.19:

Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui

persamaan hiperbola adalah 9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0.

Bentuk umum persamaan hiperbola:

2 2

2 2

(x - h (y - k) ) + = 1

a b atau

2 2

2 2

(y - k (x - h) )- = 1

b a

9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0

9(x2 - 2x + 1) - 4(y2 + 4y + 4) = 43 + 9 - 16

9(x - 1)2 - 4(y + 2)2 = 36

2 2

(x - 1 (y + 2) )+ = 1

4 9

Jadi titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3.

Sumbu transverse sejajar dengan sumbu x.

Persamaan asimtot:

x h y k

a bx 1 y 2

2 3

− −= ±

− += ±

3x - 3 = ±(2y + 4)

Asimtot 1: 3x - 3 = 2y + 4 atau

3x - 2y - 7 = 0

Asimtot 2: 3x - 3 =-2y - y atau

3x + 2y + 1 = 0

Y

0 X

9x2 - 4y

2 - 18x - 16y - 43 = 0

Telah disebutkan bila a = b, maka asimtot hiperbola akan saling berpotongan

tegak lurus. Apabila asimtot hiperbola sejajar dengan sumbu x dan sumbu y,

maka bentuk persamaan standar hiperbola menjadi:

(x - h) (y - k) = c

di mana (h,k) merupakan pusat hiperbola, x = h dan y = k merupakan

asimtotnya. Hal ini merupakan keadaan yang khusus dari hiperbola karena

dari Ax2 + bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, nilai A = C = 0 dan 0.

Bila asimtot hiperbola berimpit dengan sumbu x dan sumbu y, maka

bentuk persamaan hiperbola menjadi xy = c. Ini merupakan bentuk yang

lebih khusus lagi dari hiperbola karena h = k = 0 dan persamaan (x - h)(y -

k) = c. Jenis hiperbola xy = C ini mempunyai titik pusat yang berimpit

dengan origin. Bila C > 0, maka kurva hiperbola terletak pada kuadran I dan

III dan bila C < 0, maka kurva hiperbola terletak pada kuadran II dan IV.

Persamaan xy = C menunjukkan hubungan kebalikan yang proporsional

antara x dan y yaitu bila suatu variabel nilainya bertambah besar, maka yang

lain akan turun nilainya secara proporsional. Suatu variabel y merupakan

kebalikan secara proporsional dengan variabel x apabila ada konstanta C

sedemikian rupa sehingga:

y = C

X atau xy = C

Dengan definisi tersebut di atas, secara umum dapat pula dikatakan

bahwa variabel y merupakan kebalikan secara proporsional dengan variabel x

berpangkat bilangan positif, jika ada konstanta C sedemikian rupa sehingga:

5.25


y = n

C

X atau x

ny = C

Hiperbola ini mempunyai pusat di origin dengan asimtot yang berimpit

dengan sumbu x dan y dan disebut hiperbola Fermat.

Apabila n merupakan bilangan ganjil dan C > 0, maka hiperbola terletak

di kuadran I dan III pada sistim sumbu koordinat. Akan tetapi jika C < 0,

maka hiperbola terletak di kuadran II dan IV. Persamaan XnY = C, bila

dengan n yang nilainya genap, maka hiperbola terletak di kuadran I dan II

untuk C > 0 dan terletak di kuadran III dan IV untuk C < 0. Akan tetapi untuk

persamaan XYm = C dan m bernilai genap sedangkan C > 0, maka kurva akan

terletak pada kuadran I dan IV dan bila C < 0, maka kurva berada kuadran II

dan III.

Contoh 5.20:

Gambarkan persamaan x(y - 1) = - 2

Titik pusat: (0,1); Asimtot: x = 0 dan y = 1

Y

y =1

0 X

x(y - 1) = -2

1) x2 +y2 -6x -2y -6 = 0

2) xy -4y = 4

3) x2 +9y2 -8x +7 = 0

LATIHAN



4) y2 - 4x2 -4y +4 = 0

5) y2 -2y -8x +25 = 0


1) Lingkaran dengan bentuk standarnya (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4

Y

(3,1) X

0

2) Hiperbola dengan bentuk standarnya (x – 4) + (y – 0) = 4

x =4

xy – 4y = 4

Y

0 X

5.27


3) Elips dengan titik pusat (4,1); jari panjang 3 dan pendek 1

Y

(3,1)

X

0

4) Hiperbola dengan bentuk standarnya (y – 4) + (x – 0) = -4

y =4

Y

0 X

5) Parabola, dengan persamaan (y – 1)2 = 8 (x – 3)

(3,1)

y2 -2y -8x +25 = 0

Y

0 X

Bentuk umum fungsi kuadratik adalah:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Bentuk irisan kerucut untuk:

B = 0 dan A = C adalah lingkaran

B2 - 4AC < 0 adalah elips

B2 - 4AC = 0 adalah parabola

B2 - 4AC > 0 adalah hiperbola

Bila B = 0, maka irisan kerucut untuk:

A = C adalah lingkaran

A ≠ C tetapi A dan C tandanya sama, adalah elips

A = 0 atau C = 0 akan tetapi tidak nol bersama-sama adalah parabola

A dan C tandanya tidak sama adalah hiperbola

Bentuk-bentuk standar untuk:

Lingkaran : (x - h)2 + (y - k)2 = r2

Elips : 2 2

2 2

(x - h (y - k) )+ = 1

a b

Parabola : (y - k)2 = 4p (x - h) atau (x - h)2 = 4p (y - k)

Hiperbola : 2 2

2 2

(x - h (y - k) )= 1

a b−

1) Titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran

2 2x y 8x 10y 32 0+ + − + = adalah….

A. titik pusat (4, 5) jari-jari = 3

B. titik pusat (-4, 5), jari-jari = 3

C. titik pusat (-4, 5), jari-jari = 4

D. titik pusat (5, -4), jari-jari = 4.

2) Jari-jari panjang dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan 2 29x 4y 90x 32y 253 0+ − − + = adalah ….

A. 9

B. 4

C. 3

RANGKUMAN

TES FORMATIF 2


5.29


D. 2

3) Pernyataan di bawah ini yang benar untuk parabola dengan persamaan 2y 10y 8x 1 0− + + =

adalah ….

A. parabola terbuka ke bawah, vertex = (3, 5)

B. parabola terbuka ke bawah, vertex = (-5, 3)

C. parabola terbuka di sebelah kiri, vertex = (5, 3)

D. parabola terbuka di sebelah kiri, vertex = (-3, 5)

4) Diketahui hiperbola dengan persamaan 2 29x y 36x 10y 2 0− − + + = .

Persamaan asimtot hiperbola itu adalah ….

A. 3x – y = 1 dan x + 3y = 11

B. 3x + y = 1 dan 3x – y = 11

C. 3x + y = 11 dan x – 3y = 1

D. 3x – y = 1 dan 3x + y = 11

5) Bentuk kurva dari persamaan 2 2x 9y 14x 36y 4 0− − + + = adalah ….

A. lingkaran

B. elips

C. parabola

D. hiperbola






80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang


100%Jumlah Soal

×




belum dikuasai.

5.31



Tes Formatif 1

1) C

2) B

3) C

4) A

5) D

Tes Formatif 2

1) B

2) C

3) A

4) D

5) D

Daftar Pustaka





Eighth Edition, Prentice Hall International Inc.



Limited,


Edition, Addison-Wesley Publishing Company.


Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill.

5.33

matematika ekonomi 1nuryanto.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/55353/... · rahmat-nya,...

Documents