FAKULTET ZA MENADMENT I POSLOVNU EKONOMIJU MATEMATIKA ZA EKONOMISTETEMA: SLOENI KAMATNI RAUNMentor: prof.dr. Rasim DaciStudent: Armin Avdi br. Indeksa 2060, Armin Hodi 2046Kiseljak, maj 2014/15 godinaSadraj:SLOENI KAMATNI RAUN..3DEKURZIVNO UKAMAIVANJE4ANTICIPATIVNO UKAMAIVANJE6VRSTE KAMATNJAKA8RELATIVNI KAMATNJAK..9KONFORMNI KAMATNJAK10LITERATURA.13SLOENI KAMATNI RAUNPod pojmom kamata podrazumijeva se naknada koju dunik plaa za posuenu glavnicu. Kamate se uvijek obraunavaju za neki osnovni vremenski interval koji nazivamo razdoblje ukamaivanja ili razdoblje kapitalizacije, to se propisuje zakonom ili definira u ugovoru. Razdoblje kapitalizacije najee je jedna godina, ali to moe biti i mjesec, polugodite ili bilo koji drugi vremenski interval. Pod pojmom kamatna stopa ili kamatnjak podrazumijeva se iznos koji se plaa za 100 novanih jedinica za neki osnovni vremenski interval. Odatle dolazi i najea oznaka za kamatnu stopu, p (percent).Imamo dvije vrste obrauna kamata:dekurzivni obraun kamata: raunamo kamate na posueni iznos i pribrajamo ih iznosu na kraju vremenskog razdoblja; anticipativni obraun kamata: obraunavamo kamate unaprijed za neko vremensko razdoblje pri emu se kamate obraunavaju na konanu vrijednost zadanog iznosa. Dekurzivna kamatna stopa najee se oznaava slovom p, a anticipativna slovom q.Primjenjuje se jednostavni i sloeni kamatni raun:jednostavni kamatni raun: kamate se raunaju uvijek na poetnu vrijednost glavnice; sloeni kamatni raun: kamate se u svakom sljedeem razdoblju raunaju na prethodnu vrijednost uveanu za kamate. Ubudue emo, ako ne bude drukije naglaeno, pod ukamaivanjem podrazumijevati samo sloeno ukamaivanje.Kod kamatnog rauna primjenjuju se ove oznake ili simboli:C0 = poetna, sadanja vrijednost1 Predavanja i vjebe su napisane prema knjizi: Babi, Z., Tomi Plazibat N., Poslovna matematika, Ekonomski fakultet Split, Split, 2003.Cn = konana vrijednost n = broj razdobljap = kamatna stopa ili kamatnjak ako je kamata obraunata dekurzivnoq = kamatna stopa ili kamatnjak ako se kamata obraunava anticipativno I = kamataKONANE VRIJEDNOSTI JEDNE SVOTEDekurzivno ukamaivanjePretpostavimo da je u banku uloena glavnica C0 uz sloenu kapitalizaciju i uz dekurzivni obraun kamata po stopi p. Zanima nas kolika e biti konana vrijednost te svote (dakle suma poetnog iznosa i sloenih kamata) na kraju n-tog razdoblja.C= C+ I = C+ Cp= C+p110010010000C= C+ Cp= Cp= C+p+p= C+p21 +111100100100100211110000Analogno naprijed izvedenom slijedi da je:pnCn = C0 1 +(*)100Izraz, 1 +pnazivamo dekurzivnim kamatnim faktorom i oznaavamo sa r. Dakle,100r =1 +p100Relaciju (*) moemo prema tome pisati i u oblikuCn = C0 r n .Napomenimo da razlika izmeu konane i poetne vrijednosti predstavlja ukupne sloene kamate, tj. I = Cn C0 .Zadatak 1. tedia je danas uloio na banku 80000 N.J.. Banka odobrava 7.5% kamata godinje. Kolikim e iznosom raspolagati tedia na kraju este godine ako je obraun kamata sloen, godinji i dekurzivan?Rjeenje:C0 =80000 , p = 7.5 , n = 6 , C6 = ?C6 = C0 r 6 , r =1 + 100p =1 + 1007.5 =1 + 0.075 =1.075C6 = C0 r 6 =80000 (1.075)6 =123464.13Zadatak 2. Uz koji je kamatnjak banka obraunala sloene kamate na svotu od 15000 N.J. za 3 godine ako je odobrila 3120 N.J. kamata?Rjeenje:C0=15000 , n = 3, I = 3120 I = Cn C0 C3= C0 + I =18120 , p = ?C3= C0 r3 r 3=C3=1.208 r = 3 1.208 =1.065C01 +p= rp= r 1/100 p =100(r 1)=100(1.065 1) = 6.5100100Zadatak 3. Za koje se vrijeme neki ulog poveao zajedno sa sloenim kamatama za 250% ako se kamate obraunavaju po godinjoj kamatnoj stopi 7.5. Obraun kamata je godinji i dekurzivan.Rjeenje:Cn = C0 + 2.5C0 = 3.5C0 , p = 7.5 , n = ?Cn = C0 r n3.5C0 = C0 r n /: C0(1.075)n = 3.5 / loglog(1.075)n = log 3.5n log1.075 = log 3.5n =log 3.5log1.075=17.322 ANTICIPATIVNO UKAMAIVANJE U sluaju anticipativne kapitalizacije vrijednost C0 na poetku prvog razdoblja dobijemoako od vrijednosti na kraju prvog razdoblja C1oduzmemo kamate unaprijed:C= C Cq= Cq= C100 qC= C1001100100100100 q0111110Analogno,C= C Cq= Cq= C100 q1.10010012221002Uvaimo li prethodnu relaciju za C1 , imamo:100100 q1001001002C0 = C2 C2= C0 = C0100 q100100 q100 q100 qMoe se pokazati da vrijedi:100n(**)Cn = C0 100 qIzraz100naziva se anticipativni kamatni faktor i oznaava sa , tj.100 q=100.100 qPrema tome, formulu (**) moemo pisati i u obliku:Cn = C0 n .Zadatak 1. Kolika je konana vrijednost glavnice od C0 = 8000 N.J. nakon 6 godina uzsloenu kapitalizaciju i godinju kamatnu stopup = 4 ( q = 4 )?Rjeenje:a)dekurzivno: C6 = C0 r 6 =8000 (1.04)6=10122.55anticipativno: C6 = C0 61006b)= 8000 =10220.2896Primijetimo da smo anticipativnim obraunom dobili veu konanu vrijednost nego dekurzivnim. Oito je da su kamate obraunate anticipativno uvijek vee jer se obraunavaju od konane, a dekurzivne od poetne vrijednosti. Primijetimo da je za dunika povoljnije dekurzivno ukamaivanje jer plaa manje kamata.Zadatak 2. Uz koju kamatnu stopu iznos od 500000 N.J. kroz 3 godine naraste na 976562.5 N.J. ako je obraun godinji i anticipativni?Rjeenje:C0= 500000 , n = 3 ,C3= 976562.5 , q = ?C3= C0 33=C3=976562.5=1.953125 / 3 =1.25C0500000=100 (100 q) =100100 q100 q =100q =100 100 / : q =100( 1)=100 0.25= 201.25VRSTE KAMATNJAKANominalna (zadana) kamatna stopa je propisana kamatna stopa za osnovno vremensko razdoblje. Meutim, osnovni vremenski interval (najee jedna godina) na koji se odnosi nominalna kamatna stopa i vremenski interval u kojem se obavlja kapitalizacija (odnosno kamate pripisuju glavnici) ne moraju biti jednake duljine. Oznaimo:n1 = vremenski interval na koji se odnosi zadana kamatna stopa, n2 =vremenski interval u kojem se pripisuju kamatem = n1 = broj koji pokazuje koliko se puta u toku osnovnog vremenskog intervala kamate n2pripisuju glavniciNpr. ako je zadana godinja kamatna stopa, a kamate se pripisuju svaka 4 mjeseca vrijedi:n = 1 godina = 12 mjeseci, n2=4 mjeseca m =n1=12= 3 .1n24Najeese razmatra situacija kad jen> n2, tj.m =n1>1 i tada govorimo o1n2ispodgodinjem (ispodnominalnom ukamaivanju). Meutim, mogua je i obrnuta situacija, tj. da je nominalna kamatna stopa zadana za neko krae razdoblje nego to je razdoblje kapitalizacije. Pitanje je kako (tj. sa kojom kamatnom stopom) pripisati kamate za takva (kraa ili dua) vremenska razdoblja. Postoje dvije mogunosti i to nas dovodi do pojmova relativnog i konformnog kamatnjaka.Relativni kamatnjakNeka je p kamatna stopa zadana za osnovni vremenski interval ( n1 ), ali neka se obraunkamata vri u nekom drugom vremenskom intervalu ( n2 ). Tada kamatnjak pr = mp nazivamo relativni kamatnjak i odnosi se na vremenski interval n2 .Npr. ako je godinji kamatnjak p, tada je relativni polugodinji p/2, kvartalni p/4 i mjeseni p/12.Zadatak 1. Odredite konanu vrijednost uloga od 50000 KN nakon 8 godina uz nominalni godinji kamatnjak p =12 , ako se obraun kamata vri:godinje, polugodinje uz primjenu relativne kamatne stope, dvomjeseno uz primjenu relativne kamatne stope. Rjeenje:C0 = 50000, n =8, p =12 C8 = C0 r 8 = 50000 (1.12)8 =123798.16 C0 = 50000, p =12 n = 12 (mjeseci), n2=6 (mjeseci) m =n1=12= 2 1n26pr =p=12= 6 (relativni kamatnjak koji se odnosi na polugodite) r =1.06m2Konana vrijednost rauna se ponovo po istoj formuliCn = C0 r n , samo to je sada brojrazdoblja (polugodita) 16, pa imamo:C16 = C0 r16 = 50000 (1.06)16 =127017.58Primijetimo da je konana vrijednost sada vea nego pod a). Naime, budui se radi o sloenom kamatnom raunu kamate se pripisuju na uveanu vrijednost glavnice. Na taj nain ve nakon prvog polugodita kamate se raunaju na glavnicu uveanu za pripisane kamte to rezultira veom konanom vrijednou.C0 = 50000, p =12 n =12 (mjeseci), n2=2 (mjeseca) m =n1=12= 6 1n22pr =p=12= 2 (relativni kamatnjak koji se odnosi na dvomjeseje) r =1.026mBroj razdoblja (dvomjeseja) sada je 8 6 = 48 , pa je konana vrijednost:C48 = C0 r 48 = 50000 (1.02)48 =129353.52Zadatak 2. Odredite konanu vrijednost uloga od 20000 KN nakon 4 godine uz zadani mjeseni kamatnjak p =1.5 , ako je kapitalizacija:mjesena, dvomjesena, polugodinja, sve uz primjenu relativne kamatne stope.Rjeenje:a)C0 = 20000,n =12 4 = 48 (mjeseci), p =1.5m =n1=1=1 pr= pn21C48= C0 r 48 = 20000 (1.015)48 = 40869.57b)m =n1=1 pr =p=1.5= 3 (dvomjeseni) r =1.03, n = 24n22m0.5C24= C0 r 24 = 20000 (1.03)24 = 40655.88c)m =n1=1 pr =p=1.5= 9 (polugodinji) r =1.09, n = 8n26m16C8 = C0 r 8= 20000 (1.09)8 = 39851.25Vidimo da primjena relativne kamatne stope ne daje istu konanu vrijednost ni u ovom sluaju kad je m