muhammadahmadkamal.files.wordpress.com · web viewpersamaan boolean : y = b c kumpulan 1 1 0 0 0 0...

Operasi-Operasi Boolean

u nit

Mengetahui dan memahami kaedah memudahkan persamaan. Boolean dan meringkaskannya menggunakan hukum-hukum aljabar Boolean.

Menyatakan hukum-hukum Boolean.

Meringkaskan ungkapan Boolean dengan kaedah peta karnaugh.

Mendapatkan ungkapan Boolean dari suatu jadual kebenaran dalam bentuk : Jumlah hasildarab dan Hasildarab jumlah .


11.0 Pengenalan

Kita telah pun mempelajari bagaimana aljabar Boolean boleh digunakan

untuk menolong menganalisa litar logik dan mengungkap kendaliannya

secara matematik. Sekarang kita akan sambung pelajaran aljabar

Boolean kita dengan memeriksa pelbagai teoram Boolean yang boleh

menolong kita memudahkan ungkapan litar logik. Di dalam unit ini kita

akan membincangkan lapan teoram asas Boolean serta kegunaannya.

11.1 Hukum-hukum aljabar Boolean

Hukum aljabar Boolean dan Teoram De Morgan merupakan salah satu

cara yang boleh digunakan untuk mempermudahkan ungkapan dan litar

logik. Terdapat 8 teoram asas seperti yang dinyatakan di bawah.

Perhatikan bahawa di dalam setiap teoram, x merupakan pembolehubah

logik yang boleh menjadi logik 0 atau 1. Setiap teoram disertai dengan

gambarajah litar logik yang menunjukkan kesahihannya.

Mulakanlah unit ini dengan tenang tetapi bersungguh–sungguh.Selamat mencuba, semoga anda berjaya.


11.1.1 Hukum DAN

Hukum ini menyatakan jika sebarang pembolehubah diDANkan

dengan 0, hasilnya akan menjadi 0. Ini mudah diingati kerana

kendalian DAN seperti pendaraban biasa, iaitu sebarang nombor

apabila didarab dengan 0, hasilnya adalah 0.

Rajah 11.1 Get DAN

a) X . 0 = 0

b) X . 1 = X

c) X . X = X

d) X . X = 0

11.1.2 Hukum ATAU

Hukum ATAU adalah seperti penambahan di mana keluaran get

ATAU akan menjadi 1 apabila salah satu daripada masukannya

adalah 1 tanpa menghiraukan nilai masukan yang lain.

Rajah 11.2 Get ATAU

a) X + 0 = X

b) X + 1 = 1

c) X + X = X

0X

0

X X

O


d) X + X = 1

11.1.3 Hukum TAK

Hukum TAK menyatakan bahawa keluarannya adalah terbalik

daripada masukkannya. Jika masukan X adalah 1 maka

keluarannya akan menjadi 0 dan begitulah sebaliknya.

Rajah 11.3 Get Tak

11.1.4 Hukum Tukar-tertib

Teoram seterusnya melibatkan lebih daripada satu pembolehubah.

Hukum tukar-tertib menunjukkan bahawa turutan mengATAU atau

mengDANkan 2 pembolehubah adalah tidak penting, hasilnya

adalah sama.

X + Y = Y + X

X . Y = Y . X

11.1.5 Hukum Sekutuan

Hukum ini membolehkan kita mengelompokkan pembolehubah

dalam ungkapan DAN atau ungkapan ATAU mengikut cara yang

diingini.

X X


X ( Y Z ) = ( X Y ) Z = X Y Z

X+ ( Y + Z ) = ( X + Y ) + Z = X + Y + Z

11.1.6 Hukum Taburan / Agihan

Hukum ini menyatakan bahawa sesuatu ungkapan itu boleh

dikembangkan dengan mendarab sebutan demi sebutan. Teoram

ini juga menunjukkan yang kita boleh mengfaktorkan sesuatu

ungkapan.

X ( Y + Z ) = X Y + X Z

( W + X ) ( Y + Z ) = WY + XY + WZ + XZ

11.1.7 Hukum Penyerapan

X + XY = X

X + XY = X + Y

X ( X + Y ) = X

X ( X + Y ) = XY

11.1.8 Teoram De Morgan

Teoram ini berguna dalam memudahkan ungkapan hasildarab atau

hasiltambah pembolehubah yang disongsangkan.

( X + Y ) = X . Y (a)


( X . Y ) = X + Y (b)

Teoram (a) menyatakan bahawa apabila hasiltambah ATAU dua

pembolehubah disongsangkan, ini adalah sama seperti

menyongsang setiap pembolehubah satu per satu dan seterusnya

menDANkan songsangan pembolehubah tersebut.

Teoram (b) pula menyatakan bahawa apabila hasildarab DAN bagi

dua pembolehubah disongsangkan, ini adalah sama seperti

menyongsang setiap pembolehubah satu per satu dan seterusnya

mengATAUkan songsangan pembolehubah tersebut.

Kita telahpun membincangkan lapan teoram asas aljabar Boolean.

Seterusnya marilah kita fahamkan contoh-contoh di bawah

mengenai penggunaan teoram-teoram tersebut. Untuk

memudahkan anda, Jadual 11.1 adalah ringkasan dari apa yang

telah dibincangkan di atas.

JADUAL 11.1 – RINGKASAN TEORAM BOOLEAN

RINGKASAN

1) Hukum tukar-tertib A + B = B + A A.B = B.A2) Hukum sekutuan A.( B. C ) = (A.B) . C A + (B+C) =( A +B)+C3) Hukum taburan A+(B.C) = (A+B).(A+C) A.(B+C) = (A.B)+(A.C)4) Hukum ATAU – DAN A + 0 = A A . 1 = A

A + A = A A . A = A A + 1 = 1 A . 0 = 0 A + A = 1 A . A = 05) Teoram De morgan A . B = A + B A + B = A . B


Contoh 11.1a

Permudahkan persamaan Boolean berikut dengan menggunakan

hukum aljabar Boolean.

Q = A B + A B C

Penyelesaian

Q = A B + A B C

= A + B + A + B + C

= ( A + A ) + ( B + B ) + C

= A + B + C

= A B C

Contoh 11.1b

Permudahkan persamaan Boolean berikut dan seterusnya lukiskan

litar logik dan jadual kebenaran yang sepadan.

Y = A B C + A B C + A B C + A B C

Penyelesaian

Y = A B C + A B C + A B C + A B C

= A B C + A B C + A B C + A B C

= A B ( C + C ) + A C ( B + B )


= A B ( 1 ) + A C ( 1 )

= A B + A C

Litar logik :

Jadual kebenaran :

A B C

Y = A B + A C

0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0

Y = A B + A C

A B

C


Contoh 11.1c

Ringkaskan litar logik di bawah menggunakan aljabar Boolean.

Penyelesaian Y = B ( A + C ) + C

= B A + C ( B + 1 )

= B A + C

Litar Logik yang telah dimudahkan :

Contoh 11.1d

Tuliskan persamaan Boolean bagi litar di bawah. Gunakan teoram

De Morgan dan hukum aljabar Boolean bagi memudahkan litar.

Seterusnya lukiskan litar logik yang telah diringkaskan.

Y = C + B ( A + C )

A C

B

A B + C

A B

C

X

A B


Penyelesaian

X = A B . B

= ( A + B ) . B

= A B + B . B

= A B

@X = ABA

BX = A B

A B


Ujikan kefahaman anda sebelum meneruskan input seterusnya.Semaklah jawapan anda pada maklumbalas di halaman berikut.selamat mencuba !!!

ARAHAN : BULATKAN JAWAPAN YANG BETUL.

11a-1 Jika masukan A dan B diDANkan dan keluarannya diATAUkan dengan masukan C, apakah ungkapan Boolean untuk operasi ini ?

a. Y = AB + BC b. Y = ( A + B ) C c. Y = AB + C d. Y = AB + AC

11a-2 Ungkapan Boolean Y = A + B ialah 2 masukan ……..

a. Get Tak Atau b. Get Tak Dan c. Get Dan d. Get Atau

11a-3 Teoram De Morgan yang kedua ialah …………..

a. A. B = A + B b. A + B = A + B c. A + B = A . B d. A . B = A . B

11a-4 Permudahkan Y = A + B C menggunakan teoram De Morgan .

a. A B + C b. A + BC c. A B + C d. A B + C

11a-5 Litar logik dengan ungkapan Boolean Y = (A.B) + ( A.C) mempunyai masukan …………

a. 6 masukan b. 2 get Atau dan 1 get Dan c. 2 get Dan dan 1 get Atau d. 4 masukan


SUDAH MENCUBA KESEMUA SOALAN ? BANDINGKAN JAWAPAN ANDA

PADA HALAMAN DI BAWAH .

AKTIVITI 11a

11a –1. C

11a – 2. A

11a – 3. C

11a – 4. A

11a – 5. C


11.2.1Ungkapan logik Jumlah Hasildarab ( SOP- Sum of Product )

Bentuk persamaan Boolean boleh ditulis dalam bentuk jumlah

hasildarab atau dikenali sebagai sebutan minima ataupun dalam

bentuk darab hasiljumlah ( POS ) yang dikenali sebagai sebutan

maksima. Jumlah hasildarab adalah kaedah memudahkan dan mereka

bentuk litar logik yang akan kita pelajari. Beberapa contoh bentuk

jumlah hasildarab ialah :

i) A B + A B + A B

ii) A B C + A B C

iii) A B + A B C + C D + C

Perhatikan bahawa, setiap ungkapan jumlah hasildarab terdiri

daripada 2 atau lebih sebutan DAN( hasildarab) yang diATAUkan

bersama.

Setiap sebutan DAN terdiri daripada satu atau lebih pembolehubah

dalam bentuk pelengkap atau tidak berpelengkap.

TIP PENTING


Perhatikan bahawa tanda penyongsang tidak boleh muncul lebih

daripada satu pembolehubah dalam satu sebutan. ( Contohnya :

ABC atau ADB )

11.2.2Hasildarab Jumlah ( POS- Product of sum )

Hasildarab jumlah dikenali juga sebagai sebutan minima. Setiap

ungkapan hasildarab jumlah terdiri daripada 2 atau lebih sebutan

ATAU ( hasiltambah ) yang diDANkan bersama.

Contohnya :

X = ( A + B ) . ( B + C )

X = ( B + C + D ) . ( B C + E )

X = ( A + C ) . ( B + E ). ( C + B )

Di dalam kebanyakan reka bentuk litar logik ungkapan SOP lebih

kerap digunakan kerana ianya lebih mudah membentuk jadual

kebenaran, rajah masa ataupun peta karnaugh ( peta – k ).

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh ungkapan logik yang ditulis

dalam bentuk jumlah hasildarab ataupun hasildarab jumlah.

Contoh 11.2a

Diberi F( a,b,c,d,e ) = a b d. Tuliskan fungsi F dalam bentuk jumlah

hasildarab ( SOP ) .

Penyelesaian


F ( a,b,c,d,e ) = a b d

= a b c d e + a b c d e + a b c d e + a b c d e

Contoh 11.2b

Permudahkan litar logik yang ditunjukkan dalam rajah 12.2b.

Penyelesaian

Ungkapan Y = ( A + B ) ( A + B )

Darabkan untuk mendapat ungkapan jumlah hasildarab :

Y = A A + A B + B A + B B

0 0

Y = A B + B A

Litar yang didapati adalah litar logik setara bukannya lebih ringkas :

Y

A

B

Y = A B + B A

A

B


Contoh 11.2c

Mudahkan ungkapan X = ( A + B ) ( A + B + D ) D dalam bentuk

jumlah hasildarab.

Penyelesaian

Bentuk jumlah hasildarab :

X = A A D + A B D + A D D + B A D + B B D + B D

0 0 B

X = A B D + A B D + B D

X = B D ( A + A + 1 )

= B D

Contoh 11.2d

Berpandukan kepada jadual kebenaran di bawah, ungkapkan

persamaan Boolean dalam bentuk jumlah hasildarab. Seterusnya

lukiskan litar logik dari persamaan tersebut .


A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

Penyelesaian Y = A B C + A B C

Y = ABC + ABC

A C

B

UJI KEFAHAMAN ANDA DENGAN MENCUBA SEMUA SOALAN AKTIVITI


UJIKAN KEFAHAMAN ANDA DENGAN MEMBUAT LATIHAN DI BAWAH. SEKIRANYA

ANDA BERJAYA MENJAWAP KESEMUA SOALAN, TERUSKAN KE INPUT

SETERUSNYA. SELAMAT MENCUBA !

11b-1 Nyatakan ungkapan yang manakah antara berikut yang tidak dalam bentuk jumlah hasildarab:

a. RST + RST + T b. ADC + ADC

c. MNP + ( M + N )P d. AB + ABC + ABCD

11b-2 Mudahkan litar dalam rajah 12b-2 untuk mendapatkan litar dalam rajah

12b-2i.

Rajah 12b-2

Rajah 12b-2i

A

C

B ABC

A C

Y= ABC +AB(AC) AB(AC)

Y = A ( B + C ) B C

A

B + C


11b-3. Ungkapkan persamaan Boolean jumlah hasildarab bagi jadual kebenaran

11b di bawah dan seterusnya lukiskan litar logik yang sepadan .

Jadual 11b

A B C Y 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

11b-4 Lukiskan litar logik bagi ungkapan Boolean Y = AB + C + DE

11b-5 Tuliskan ungkapan Boolean bagi litar logik di bawah dan nyatakan

samada ia di dalam bentuk jumlah hasildarab ataupun hasildarab jumlah.

Y

A

B

C

TAHNIAH !!!! ANDA TELAHPUN BERJAYA

MENJAWAB KESEMUA SOALAN……..


BANDINGKAN JAWAPAN ANDA PADA HALAMAN DI BAWAH !

11b-1. B dan C

11b-2. Z = ABC + AB . ( A C )

= ABC + AB ( A + C )

= ABC + AB ( A + C )

= ABC + ABA + ABC

= ABC + AB + ABC ( bentuk jumlah hasildarab )

= AC ( B + B ) + AB

= AC ( 1 ) + AB

= AC + AB

= A ( C + B )

11b-3 Y = A B C + A B C + A B C + A B C

A B C

Y


11b-4

11b-5.

( A + B + C ) ( B + A + C ) Bentuk hasildarab jumlah

AB

C

DE

A

B

C

D E


11.3 PETA KARNAUGH ( PETA – K )

Pada unit sebelumnya kita telahpun mengetahui dengan

menggunakan aljabar Boolean dan teoram de Morgan, kita boleh

meminimakan jumlah get yang diperlukan untuk membina litar

logik. Pengurangan penggunakan get-get logik sebenarnya akan

menurunkan kos litar, saiz fizikal dan juga kegagalan get yang

digunakan. Peta-k adalah salah satu cara termudah untuk

mendapatkan persamaan Boolean yang paling ringkas.

11.3.1 Angkubah peta – K

Untuk mengisi peta – k kita perlu adakan pemetaan bagi

angkubah-angkubah seperti kaedah di bawah. Terdapat 3

keadaan angkubah yang boleh menggunakan kaedah peta –

k iaitu : a) 2 angkubah

b) 3 angkubah

c) 4 angkubah


11.3.1.1 Dua Angkubah

Peta – k dengan 2 angkubah memerlukan 22 = 4

sel

A B A B

A B A B

Terdapat 3 keadaan untuk mengisi peta – k dengan 2

angkubah iaitu :

a)

1 1

1 1

b)

1 1

0 0

B

B

A A

A A

B

B

Apabila semua keluaran adalah 1 maka keempat-empat keluaran boleh dikumpulkan dalam satu kumpulan. Persamaan Boolean : Y = 1

A A

B

B

Apabila 2 keluaran adalah 1 maka kedua-dua keluaran boleh dikumpulkan dalam satu kumpulan. Persamaan Boolean Y = B


c)

1 0

0 1

11.3.1.2 Tiga Angkubah

Peta – k dengan 3 angkubah memerlukan 23 = 8

sel.

ABC ABC ABC ABC

ABC ABC ABC ABC

Terdapat 4 keadaan untuk mengisi peta-k dengan

3 angkubah iaitu :

a) Kumpulan 8

a) Kumpulan 8

1 1 1 1

1 1 1 1

A A

B

B

Apabila 2 keluaran adalah 1 tetapi kedudukan mereka adalah bersilang antara satu sama lain, kedua-duanya tidak boleh dikumpulkan dalam satu kumpulan. Persamaan Boolean : Y = A B + A B

AB AB AB AB

C

C

C

C

AB AB AB AB


Apabila semua keluaran adalah 1, maka kelapan-

lapan keluaran boleh dikumpulkan dalam satu kumpulan. Persamaan Boolean : Y = 1

b) Kumpulan 4

1 1 1 1

0 0 0 0

Persamaan Boolean : Y = C

1 0 0 1

1 0 0 1

Persamaan Boolean : Y = B

Perhatikan bahawa apabila 4 keluaran adalah 1, keempat- empat keluaran boleh dikumpulkan dalam satu kumpulan.

AB AB AB AB

C

C

C

C

AB AB AB AB


c) Kumpulan 2

1 1 0 0

0 0 1 1

Persamaan Boolean : Y = A C + A C

1 0 0 1

0 0 0 0

Persamaan Boolean : Y = B C

d) Kumpulan 1

1 0 0 0

0 0 0 1

Persamaan Boolean : Y = A B C + A B C

C

C

AB AB AB AB

C

C

AB AB AB AB

C

C

AB AB AB AB

Terdapat empat keluaran 1 yang tidak boleh dikumpukan dalam satu kumpulan. Oleh itu ia dua keluaran 1 dikumpulkan menjadi satu kumpulan.

Dua keluaran adalah 1, tetapi kedua-dua data tidak boleh dikumpulkan dalam satu kumpulan.


11.3.1.3 Empat Angkubah Peta – k dengan 4 angkubah memerlukan 24 = 16

sel.

0000 0111 1100 1000

0001 0101 1101 1001

0011

0111

1111

1011

0010

0101

1110

1010

Terdapat 4 keadaan untuk megisi peta – k dengan 4

angkubah iaitu :

a) Kumpulan 16

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

Persamaan Boolean : Y = 1

AB AB AB AB

CD

CD

CD

CD

AB AB AB AB

CD

CD

CD

CD

Apabila semua keluaran adalah 1, maka kesemua data boleh dikumpulkan dalam satu kumpulan.


b) Kumpulan 8

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

Persamaan Boolean : Y = C

c ) Kumpulan 4

1 1 0 0

1 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Persamaan Boolean : Y = A C

AB AB AB AB

CD

CD

CD

CD

Apabila lapan keluaran adalah 1, kelapan-lapan keluaran boleh dikumpulkan dalam satu kumpulan.

CD

CD

CD

CD

AB AB AB AB


d) Kumpulan 2

1 1 0 0

0 0 0 0

0 0 1 1

0 0 0 0

Persamaan Boolean : Y = A C D + A C D

Contoh 11.3a

Permudahkan persamaan Boolean di bawah

menggunakan kaedah peta – k .

X = A B + A B C + A B C + A B C

CD

CD

CD

CD

AB AB AB AB

Apabila 2 keluaran adalah 1, kedua-dua keluaran boleh dikumpulkan dalam satu kumpulan.


Penyelesaian

Terdapat 3 angkubah, oleh itu ia memerlukan peta-k 8

dengan 8 sel. Perhatikan A B hanya mempunyai 2

angkubah bermakna angkubah C boleh jadi TINGGI

atau RENDAH.

1 1 1 1

1

Persamaan Boolean : X = A B + C

Contoh 11.3b

Permudahkan persamaan Boolean berikut :

X = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +

ABCD

Penyelesaian

Persamaan ini mempunyai 4 angkubah, oleh itu

peta -k 16 sel diperlukan.

AB AB AB AB

C

C


1

1

1 1 1

1

Persamaan Boolean : X = A B D + A B C + C D

Contoh 11.3c

Permudahkan persamaan Boolean berikut :

X = B ( CD + C ) + C D ( A + B + A B )

Penyelesaian

Sebelum mengisi peta- k, persamaan di atas mestilah

ditukarkan dalam bentuk jumlah hasildarab terlebih

dahulu.

X = B C D + B C + C D ( A B + A B )

= B C D + B C + A B C D + A B C D

CD CD CD CD

AB

AB

AB

AB


1 1 1 1

1

1 1

X = A B + B C + B D + A B C D

CD CD CD CD

AB

AB

AB

AB

Jangan lupa buat aktiviti supaya anda akan lebih memahamai unit ini !!!!


UJIKAN KEFAHAMAN ANDA DENGAN MEMBUAT LATIHAN DI

BAWAH. DIHARAP ANDA DAPAT MENJAWAP KESEMUA SOALAN .

SELAMAT MENCUBA ! ! !

11c-1 Permudahkan persamaan Boolean berikut menggunakan peta – k

i) X = A D + A B D + A C D + A C D

ii) Y = A B D + A C D + A B C + A B C D + A B C D

11c-2 Tuliskan persamaan Boolean jumlah hasildarab bagi jadual kebenaran

di bawah. Seterusnya dapat persamaan Boolean yang dimudahkan

dengan menggunakan peta – k.

A B C D Y A B C D Y

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 0 1 1 0

0 1 0 0 1 1 1 0 0 0

0 1 0 1 0 1 1 0 1 0

0 1 1 0 1 1 1 1 0 0

0 1 1 1 0 1 1 1 1 1


SUDAH MENCUBA SEMUA SOALAN ? SEMAK JAWAPAN ANDA PADA

HALAMAN DI BAWAH .

AKTIVITI 11C

11c-1i.

1 1

1 1

1 1

1 1

X = B D + B C

11c-1ii)

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

X = A D + A B D + A C D + A C D

= A + B D

CD CD CD CD

AB

AB

AB

AB

CD CD CD CD

AB

AB

AB

AB


11c-2. Y = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D

1 1

1 1

1

Y = A D + A B C D

AB

AB

AB

AB

CD CD CD CD


TAHNIAH ! ANDA TELAH MENGHAMPIRI KEJAYAAN. SILA CUBA SEMUA SOALAN DALAM

PENILAIAN KENDIRI DAN SEMAK JAWAPAN PADA MAKLUMBALAS DI AKHIR UNIT INI.

SELAMAT MENCUBA ! ! !

SOALAN 1

Diberi x = A . B + A . ( A + C )

a) Lukiskan litar logik bagi persamaan di atas.

b) Seterusnya permudahkan persamaan di atas dan bina jadual kebenaran untuk

persamaan tersebut.

SOALAN 2

Permudahkan persamaan di bawah menggunakan kaedah peta – k :

a) X = B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D

b) X = A D + A B D + A C D + A C D

SOALAN 3

Litar logik pada rajah 3a menunjukkan untuk ‘ON ‘ kan buzzer x , ia bergantung kepada

keadaan masukan A, B dan C.

a) Permudahkan keluaran X menggunakan aljabar Boolean.

b) Lukiskan litar logik bagi keluaran pada (a).

Rajah 3a

Buzzer

AC

B

PENILAIAN KENDIRI


SOALAN 4

Ulang soalan 3 untuk mendapatkan litar seperti dalam rajah 4a.

Rajah 4a

SOALAN 5

Ulang soalan 3 untuk mendapatkan litar seperti dalam rajah 5a.

Rajah 5a

X A B

C

X

A

B C

Tahniah ! Anda berjaya menjawab kesemua soalan. Selamat maju jaya ! ! !

MAKLUMBALASPENILAIAN KENDIRI


SUDAH MENJAWAP KESEMUA SOALAN ? BANDINGKAN JAWAPAN ANDA PADA

HALAMAN DI BAWAH .

PENILAIAN KENDIRI

SOALAN 1.

a)

X

b)

X = A B + A ( A + C )

= ( A + B + ( A + A + C )

= A + B + A + A C

= A + A + A C + B

= A + A C + B

= A + C + B

JADUAL KEBENARAN

A

B

CA . ( A + C )

A . B


A B C X

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

SOALAN 2

a)

1 1 1

1 1 1

X = BD + BC

b)

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

X = A + B D

SOALAN 3

a) X = B ( A + C ) + C

= B A + B C + C

= B A + C ( B + 1 )

= B A + C = A B + C

CD CD CD CD

AB

AB

AB

AB

CD CD CD CD

AB

AB

AB

AB

AB

C


b)

SOALAN 4

X = ( A + B ) BC + A

= ABC + BBC + A

= ABC + BC + A

= BC ( A + 1 ) + A

= BC . 1 + A

= BC + A

SOALAN 5

X = ( ( A + B ) ( B + C ) ) B

= ( AB + AC + BB + BC ) B

= ( AB + AC + BC ) B

= ABB + ABC + BBC

= AB + ABC + 0

= AB ( 1 + C )

= AB

X

X = BC + A

AB

C

X = ABAB

muhammadahmadkamal.files.wordpress.com · web viewpersamaan boolean : y = b c kumpulan 1 1 0 0 0 0...

Documents