ma1101 m8-1 16-10-13

MA1101 MATEMATIKA 1AMA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2013/2014Semester I, 2013/2014

16 Oktober 2013

Latihan (Kuliah yang Lalu)Latihan (Kuliah yang Lalu)

1. Diketahui g(x) = x3/3, x є [‐2,2]. Hitung nilairata‐rata g pada [‐2,2] dan tentukan c є (‐2,2) sedemikian sehingga g’(c) sama dengan nilairata‐rata g pada [‐2,2].

2. Buktikan jika f ’(x) = 0 untuk setiap x є (a,b), j f ( ) p ( , ),maka f(x) bernilai konstan pada selang (a,b).

10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 2

Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

3 8 Anti‐Turunan dan Integral Tak Tentu3.8 Anti Turunan dan Integral Tak Tentu

Menentukan anti‐turunan atau integral taktentu dari suatu fungsi yang diberikantentu dari suatu fungsi yang diberikan.

3.9 Pengantar Persamaan Diferensial

Menyelesaikan persamaan diferensial seder‐hana, dengan atau tanpa syarat tambahan.g p y

10/16/2013 3(c) Hendra Gunawan

3.8 ANTI‐TURUNAN DAN INTEGRAL TAKMA1101 MATEMATIKA 1A

TENTUMenentukan anti‐turunan atau integral taktentu dari suatu fungsi yang diberikan.


Anti TurunanAnti‐Turunan

Fungsi F disebut anti‐turunan f pada I apabilaFungsi F disebut anti turunan f pada I apabilaF’(x) = f(x)

untuk setiap x є I. p

Sebagai contoh, F1(x) = x4 + 1 merupakan anti‐turunan f(x) = 4x3 pada R. Demikian juga F2(x) = x4 + 5turunan f(x) 4x pada R. Demikian juga F2(x) x 5 merupakan anti‐turunan f(x) = 4x3 pada R.

Secara umum, keluarga fungsi F(x) = x4 + C (dengan CSecara umum, keluarga fungsi F(x) x + C (dengan Ckonstanta) merupakan anti‐turunan f(x) = 4x3 pada R, karena F’(x) = 4x3 = f(x) untuk setiap x є R.( ) f( ) p


Integral Tak TentuIntegral Tak Tentu

Keluarga fungsi anti‐turunan dari f(x) disebutKeluarga fungsi anti turunan dari f(x) disebutintegral tak tentu dari f(x), dan dilambangkandengan ∫ f(x) dxdengan ∫ f(x) dx.

Jadi, sebagai contoh,

∫ 4 3 d 4 C∫ 4x3 dx = x4 + C,

dengan C menyatakan konstanta sembarang.


Ilustrasi: Integral Tak TentuIlustrasi: Integral Tak Tentu

Secara grafik, bila kitamengetahui sebuah anti‐turunan dari f(x), makai l k d i f( )integral tak tentu dari f(x)adalah keluarga fungsi yang anggotanya merupakananggotanya merupakanpergeseran ke atas atau kebawah dari anti‐turunan tsb. Semua anggota keluargafungsi tsb mempunyai

Keluarga fungsi yang turunan-nya sama


turunan yang sama, yaitu f(x).

Aturan Integral Tak Tentu (1)Aturan Integral Tak Tentu (1)

Terkait dengan aturan turunan yang telah kitapelajari sebelumnya, kita mempunyai teorema‐teorema berikut tentang integral tak tentu.

Teorema 1 (Aturan Pangkat). Jika r є Q, r ≠ ‐1, maka ∫ xr dx = xr+1/(r+1) + C.

Contoh 1(a) ∫ x2 dx = x3/3 + C. (b) ∫ x‐2 dx = ‐ x‐1 + C.



Teorema 2 (Integral Tak Tentu sin x dan cos x)

∫ sin x dx = –cos x + C;

∫ cos x dx = sin x + C.

Catatan. Jangan tertukar: turunan dari sin xadalah cos sedangkan anti t r nan dari sinadalah cos x, sedangkan anti‐turunan dari sin x adalah –cos x + C.



Teorema 3 (Kelinearan Integral Tak Tentu)Teorema 3 (Kelinearan Integral Tak Tentu)

Jika f dan g fungsi dan k adalah konstanta, maka

∫ k f( ) d k ∫ f( ) d∫ k.f(x) dx = k.∫ f(x) dxdan

∫ [f( ) ( )] d ∫ f( ) d ∫ ( ) d∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx.

C h 3 ∫ (6 2 i ) d 2 ∫ 3 2 d ∫ i dContoh 3. ∫ (6x2 + sin x) dx = 2 ∫ 3x2 dx + ∫ sin x dx= 2x3 – cos x + C.



Teorema 4 (Aturan Pangkat yang Diperumum)Jika r є Q, r ≠ ‐1 dan g adalah fungsi yang mem‐punyai turunan, maka

∫ [g(x)]r.g’(x) dx = [g(x)]r+1/(r+1) + C.

Bukti. Dengan Aturan Rantai, turunan fungsi di ruasg gkanan adalah [g(x)]r.g’(x). Terbukti.

2 5Contoh 4. Tentukan ∫ (x2 + 1)5.2x dx.

Misal u = g(x) = x2 + 1, du = 2x dx. Maka

∫ (x2 + 1)5.2x dx = ∫ u5 du = u6/6 + C = (x2 + 1)6/6 + C. 10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 11

Contoh 5. Jika g(x) = sin x, maka g’(x) = cos x. g( ) , g ( )Jadi, menurut Aturan Pangkat yang Diperumum,kita perolehp

∫ sin x.cos x dx = ∫ g(x) g’(x) dx

= [g(x)]2/2 + C= [g(x)] /2 + C

= (sin x)2/2 + C.


LatihanLatihan

Tentukan integral tak tentu di bawah ini.

1. ∫ (x2 + x‐2) dx.

2. ∫ (x3 + 1).x2 dx.

3. ∫ sin2 x.sin 2x dx.


3.9 PENGANTAR PERSAMAANMA1101 MATEMATIKA 1A

DIFERENSIALMenyelesaikan persamaan diferensial seder‐hana, dengan atau tanpa syarat tambahan.


Persamaan DiferensialPersamaan Diferensial

Jika F’(x) = f(x), maka ∫ f(x) dx = F(x) + C. Dalam( ) f( ), ∫ f( ) ( )bahasa diferensial: Jika F’(x) = f(x), maka

(*) dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx( ) ( ) ( ) f( )

sehingga∫ dF(x) = ∫ f(x) dx = F(x) + C.∫ ( ) ∫ f( ) ( )

Persamaan (*) merupakan contoh persamaandiferensial yang (paling) sederhanadiferensial yang (paling) sederhana.

Persamaan diferensial banyak dijumpai dalammatematika fisika dan bidang ilmu lainnyamatematika, fisika, dan bidang ilmu lainnya.


Contoh 1Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (1,2)dan mempunyai turunan 2x di setiap titik (x,y) yang

Jawab. Misalkan persamaan kurva tersebut adalah

dilaluinya.

py = f(x). Maka, dalam bahasa diferensial, informasidi atas mengatakan bahwa

d 2 ddy = 2x dx.Integralkan kedua ruas,

∫ dy = ∫ 2x dx.∫ dy ∫ 2x dx.sehingga kita peroleh

y + C1 = x2 + C2atau y = x2 + C, dengan C = C2 – C1.10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 16

Persamaan y = x2 + C menyatakankeluarga kurva yang mempunyaiturunan 2x di titik (x,y).k k kSekarang kita akan mencari

anggota keluarga kurva tersebutyang melalui titik (1 2) (1,2)yang melalui titik (1,2). Dalam hal ini kita mempunyaipersamaan

( , )

persamaan2 = 12 + C,

sehingga mestilah C = 1. Jadi persamaan kurva yang kitacari adalah

2 1y = x2 + 1.10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 17

Contoh 2Contoh 2Sebuah benda jatuh dari ketinggian 100 m dengankecepatan awal 0 m/s Karena gravitasi benda tsbkecepatan awal 0 m/s. Karena gravitasi, benda tsbmengalami percepatan ‐9,8 m/s2. Tentukanketinggian benda tsb pada saat t.

Jawab. Misal v = v(t) = kecepatan benda dan h = h(t)= ketinggian benda pada saat t Maka ketinggian benda pada saat t. Makadv = ‐9,8 dt, sehingga v = ‐9,8t + C. Karena v(0) = 0, maka C = 0. Selanjutnya dh = ‐9,8t dt, sehingga

h = ‐4,9t2 + D. Diketahui h(0) = 100, maka D = 100. Jadi

h = 100 – 4,9t2.10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 18

CatatanCatatan

Persamaan ketinggian h = 100 – 4 9t2Persamaan ketinggian h = 100 4,9ttentu saja berlaku ketika benda ber‐ada di atas permukaan tanah Karenaada di atas permukaan tanah. Karenaitu daerah asal fungsi ini adalahhimpunan bilangan t ≥ 0 yanghimpunan bilangan t ≥ 0 yang membuat h ≥ 0, yaitu 0 ≤ t ≤ √4,517. Dalam hal ini benda tsb mencapaiDalam hal ini, benda tsb mencapaipermukaan tanah dalam √4,517 detik.


Contoh 3: lkKecepatan Meninggalkan Bumi

Gaya gravitasi Bumi pada benda bermassa m danb k d d l h 2/ 2berjarak s dari pusat Bumi adalah F = ‐mgR2/s2, dengan g = 9,8 m/s2 dan R ≈ 6.400 km. Dapat di‐buktikan bahwa benda yang diluncurkan ke atasbuktikan bahwa benda yang diluncurkan ke atasdengan kecepatan awal v0 ≥ √2gR ≈ 11 km/s takkanjatuh kembali ke Bumi (bila gesekan dengan udaradiabaikan) Menurut Hukum II Newton F = m a shgdiabaikan). Menurut Hukum II Newton, F = m.a, shg

F = m.dv/dt = m.dv/ds.ds/dt = mv.dv/ds.Akibatnya v dv = ‐mgR2s‐2 ds dan dari sini diperolehAkibatnya, v.dv mgR s .ds, dan dari sini diperoleh

v2 = 2gR2s‐1 + v02 – 2gR.Untuk s besar, suku pertama di ruas kanan dapat, p pdiabaikan. Jadi, v akan tetap positif bila v0 ≥ √2gR.10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 20

LatihanLatihan

1. Tentukan fungsi y = f(x) sedemikian sehinggag y f( ) ggf ’(x) = 3x2 + 1 dan f(1) = 4.

2 Diketahui suatu persamaan kurva melalui2. Diketahui suatu persamaan kurva melaluititik (0,3) dan mempunyai turunan x/y disetiap titik (x y) yang dilaluinya Tentukansetiap titik (x,y) yang dilaluinya. Tentukanpersamaan kurva tersebut.

3 Sebuah benda jatuh dari ketinggian 80 m3. Sebuah benda jatuh dari ketinggian 80 m dengan kecepatan awal ‐5 m/s. Tentukan ke‐cepatan dan ketinggiannya pada saat t 1 scepatan dan ketinggiannya pada saat t = 1 s.


ma1101 m8-1 16-10-13

Documents