laporan gelombang dalam ruang 2 dan 3 dimensi.doc

Gelombang Optik

BAB II

PEMBAHASAN

Semua gejala gelombang yang telah dibahas, sejauh ini merupakan

peristiwa fisis yang memenuhi persamaan gelombang bebas dalam ruang satu

dimensi (R1), kita bisa memisalkan dengan gelombang pada tali. Dengan

mengikat salah satu ujung tali pada sebuah tiang dan memegang ujung tali yang

lainnya. Selanjutnya sentakkan ujung tali tersebut. Setelah ujung tali disentakkan,

akan timbul pulsa gelombang yang merambat sepanjang tali tersebut. Dalam hal

ini, persamaan diferensial umum gelombang memenuhi persamaan,

- = 0 …………………………………………...(1)

yang menyatakan gelombang merambat pada arah x dengan laju v.

Namun, kecuali dalam medium berdimensi satu seperti pada tali,

gelombang terjadi dalam ruang bebas pada umumnya memenuhi persamaan yang

berbentuk lebih umum, tergantung dari dimensi mediumnya.

Pada gelombang dua atau tiga dimensi sering berhubungan dengan muka

gelombang. Seperti pada riak air saat menjatuhkan sebuah batu ke dalam

genangan air. Ketika batu mengenai genangan air maka akan muncul riak atau

gelombang air yang berbentuk lingkaran yang menyebar keluar dari pusat

lingkaran. Lingkaran riak tersebut dikenal dengan nama muka gelombang. Muka

gelombang yang bentuknya hampir lurus dikenal dengan julukan gelombang

bidang. Contohnya gelombang laut. Ketika mendekati garis pantai, bentuk muka

gelombang laut biasanya hampir lurus. Jika gelombang dua atau tiga dimensi

menemui suatu penghalang maka gelombang tersebut akan dipantulkan.

Misal untuk berdimensi dua (R2), seperti gelombang selaput tipis,

gelombang permukaan air, persamaan (1) dapat dikembangkan menjadi

…………………………………..(2)

yang menyatakan gelombang merambat pada arah x dan y dengan laju v.

Gelombang dalam Ruang Dua dan Tiga Dimensi 1

Gelombang Optik

Begitu juga untuk gelombang pada medium berdimensi tiga (R3), seperti

gelombang silinder, dan gelombang bola, persamaan umum gelombangnya

memenuhi persamaan

…………………...(3)

Secara umum bentuk umum persamaan gelombang yang memenuhi ketiga

persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

…………………………………………………...(4)

dengan 2 adalah operator Laplace

…………………………………………...(5)

…………………………………………………...(6)

Sedangkan dengan menggunakan transformasi sistem koordinat persamaan

gelombang pada persamaan (2) dan (3) dapat dipandang sebagai gelombang yang

merambat dalam medium satu dime nsi, misal sepanjang r, dengan r memenuhi

hubungan (6). Bentuk dan solusi gelombang baik pada ruang dua maupun tiga

akan dibahas juga lebih mendalam pada bab ini.

2.1 GELOMBANG DATAR HARMONIK DAN VEKTOR PROPOGASI

Dalam bentuk sinusoidal, fungsi gelombang datar harmonik satu dimensi

yang merambat sepanjang sumbu-X dengan laju v

(x,t)=osin(kx-t) …………………………………………………...(7)

Bentuk fungsi ini sebagai solusi persamaan gelombang datar harmonik

satu dimensi ini dapat dikembangkan untuk solusi gelombang datar harmonik dua

dan tiga dimensi dalam batasan umum sistem koordinat kartesian XYZ, menurut

hubungan (6) dan

…………………………………………………...(8)

Bentuk kx pada persamaan (7) sebenarnya adalah ungkapan dari

…………………………………………...(9)


Gelombang Optik

dengan adalah vektor propogasi, menyatakan jumlah fasa radian per satuan

perpindahan sepanjang arah propagasinya, artinya kx, ky, dan kz berturut-turut

adalah jumlah fasa radian per satuan perpindahan sepanjang sumbu-X, sumbu-Y

dan sumbu-Z.

Dengan menggunakan hubungan (9), maka persamaan (7) dapat

dinyatakan sebagai fungsi gelombang untuk medium dua dan tiga dimensi

…………….(10)

Dengan (x,y) dan (kx, ky) untuk medium dua dimensi, dan (x,y,z) dan (kx, ky,

kz) untuk medium tiga dimensi. Dalam hal ini, fasa gelombangnya, ( ,t)

memenuhi

( ,t)=

Berdasarkan konsep muka

gelombang (wavefront) dari Huygens, menyatakan pada t tertentu tempat-

tempat tertentu dengan fasa ( , t) yang sama akan mendefinisikan sebuah

bidang seperti ditunjukan pada Gambar 1, sehingga

d ( ,t)=0 ………………………………………………………….(11)

yang terjadi hanya jika , yang artinya

(a) (b)

Gambar 1. (a) Muka Gelombang dan Arah Rambat Gelombang Datar,

(b) Tempat Kedudukan Ujung Vektor r yang Memenuhi Syarat

= Konstan pada t Tertentu (Suardana, 2002)


trktr o sin),(

k

r

r’

Gelombang Optik

Adapun kecepatan fasa gelombang, u, adalah

……………………….…………(12)

Dengan

…………………………………….……….(13)

Contoh Soal 1:

Tinjau kembali persamaan gelombang dua dimensi (persamaan 2).

a. Dengan melakukan trasformasi koordinat dari sistem koordinat Kartesian

ke dalam sistem koordinat polar, bentuk persamaan gelombang tersebut

dapat dinyatakan sebagai

b. Tunjukan bahwa adalah solusi umum dari

persamaan gelombang di atas.

c. Interpretasikan fungsi gelombang pada b).

Penyelesaian:

a. Gunakan hubungan

untuk merubah 2 (x,y) 2(r). Lakukan perhitungan seperti persamaan

(53), dan akan diperoleh bentuk persamaan gelombang seperti pada soal.

b. Substitusi ke dalam persamaan gelombang yang

dimaksud, dan hasilnya akan ditemukan kembali persamaan gelombang

tersebut


kdtrdu

222zyx uuuu

Gelombang Optik

c. Menurut pengertian kecepatan fasa yang telah diuraikan di atas,

gelombang pada b), mempunyai cepat rambat dan amplitudo yang sama

dalam semua arah (tak bergantung pada ) pada permukaan medium.

Gelombang ini mempunyai muka gelombang (kr=konstan) yamg berupa

lingkaran (disebut gelombang sirkular). Gelombang ini sering disebut

gelombang riak pada permukaan air yang timbul akibat lemparan batu

kecil ke dalam air tersebut.

2.2 GELOMBANG PERMUKAAN PADA ZAT CAIR

Perambatan gangguan pada medium cairan dalam bentuk gelombang

permukaan terjadi karena pengaruh gaya gravitasi (g) terhadap kolom-kolom

vertikal larutan dan efek tegangan permukaan. Untuk gerakan yang tak berolak

dan tak termampatkan, dapat ditelaah persamaan diferensial dengan penyelesaian

yang menampilkan suatu gelombang yang ciri-cirinya bergantung pada ke

dalaman cairan (h) dan besar kecilnya tegangan permukaan (T). Dalam

gelombang pada permukaan air berlaku sifat-sifat sebagai berikut (Ramalis,

2003):

a. Non viskositas, karena pengaruh gaya internal dalam zat cair diabaikan;

b. Amplitudo gelombang relatif lebih kecil dibandingkan dengan panjang

gelombangnya;

c. Gaya-gaya yang bekerja hanyalah gaya gravitasi dan tegangan permukaan;

d. Inkompresibel, volume tidak berubah karena perubahan tekanan jadi rapat

massanya konstan.

Tinjau suatu cairan yang tak termampatkan ( tetap) dalam suatu

akuarium, seperti Gambar 2. Dalam penelahannya, akan melibatkan koordinat x

(arah perambatan) dan y (tinggi permukaan dari dasar kolam) untuk koordinat

ruangnya (kasus dua dimensi). Unsur cairan yang terletak di (x,y) mempunyai

kecepatan lokal v berkomponen (vx,vy) yang memenuhi persamaan tak berolak dan

persamaan kekontinuan sebagai manifestasi hukum kekekalan massa


y=0

h

Gelombang Optik

…………………………..

(14)

Persamaan kontinuitas memberikan

………………………………………….(15)

untuk tetap , diperoleh

………………………………………….(16)

Dengan menggunakan hubungan (14) diperoleh

konstan ………………………………………….(17)

Sedangkan hubungan : memberikan

………………………………………….(18)

dengan (x,y;t) adalah fungsi potensial. Akibatnya persamaan (16) dapat ditulis

kembali sebagai

=0 …………………………………………………….(19)

Gambar 2. Bentuk Sinusoidal Gelombang Permukaan Air (Suardana, 2002)

Apabila tekanan pada kedalaman y dan posisi perambatan x dalam cairan

adalah p(x,y;t), maka menurut hukum II Newton, persamaan gerak untuk

subvolume cairan V adalah

………………………………….(20)

Yang merupakan resultan dari gaya volume (gravitasi) dan gaya permukaan di

perbatasan S volume V


dasar kolam

x=-L/2 x=0 x=L/2

Gelombang Optik

………………………………………….(21)

Dengan menggunakan teorema Gauss, suku terakhir persamaan (21) dapat ditulis

sebagai

……………………………………….…(22)

dan mengingat dan persamaan (18), maka persamaan (21) dapat ditulis

sebagai

…………………….……………(23)

Untuk subvolume yang dipilih sembarang, diperoleh

, (c dapat diambil=0) ………………………….(24)

Gelombang pada kedalaman y bergerak ke arah x dengan fungsi

gelombang yang memeiliki simetri translasi ke arah sumbu Z. Bila unsur cairan

yang terletak di (x,y) pada saat t mengalami ayunan ke arah sumbu Y dengan

simpangan (x,y,t), maka pada unsur di permukaan cairan dengan kedalaman y=0

dan tekanan po berlaku

………………………………….(25)

sedang pada kedalaman y,

……………………………….…(26)

Dengan mengatur bentuk dapat diusahakan agar suku po tak muncul, sehingga

………………………………………….(27)

Untuk simpangan vertikal yang kecil di permukaan cairan, turunan parsial ke

waktu yaitu /t = kecepatan vertikal ayunan di permukaan = (/y)y=0 ,

sehingga dengan memanfaatkan kaitan ini dan mendeferensial persamaan (27) ke

t, diperoleh

………………………………………….(28)


Gelombang Optik

Peninjauan di atas, tanpa memperhitungkan efek tegangan permukaan

cairan (T). Selanjutnya pada pembahasan berikut ini efek tegangan permukaan

akan diperhitungkan. Tinjau suatu segmen luas permukaan cairan berbentuk

segiempat lengkung ABCD berousat di titik O dan tepi s1=R11, s2=R22

(Gambar 3), dengan R1 dan R2 adalah jejari kelengkungan lengkung l1 dan l2 yang

saling tegak lurus di permukaan dan masing-masing tegak lurus pada sumbu Z dan

sumbu X. Sumbangan gaya pada unsur cairan di O akibat tegangan permukaan T

cairan mempunyai arah vertikal sebesar

FT= -2T s2 sin (1/2)-2Ts1sin (2/2)

Untuk , maka sin () tan(), maka

FT -Ts1 s2(R1-1+R2

-1) ………………………………….(29)

Gambar 3. Gaya Tegangan Permukaan pada Unsur ABCD di Permukaan Cairan

Efek tekanan yang mengakibatkan tegangan permukaan ini besarnya

pT=Ftm/s1s2 = -T (R1-1+R2

-1) ……………………………….…(30)

Apabila =(x,z) adalah persamaan untuk luasan permukaan cairan yang

melengkung, maka persamaan (30) dapat ditulis

……………………………………….…(31)

Karena lengkungan hanya terjadi ke arah sumbu X ( akibat simetri

translasi ke arah sumbu Z), maka turunan parsial kedua ke z lenyap, sehingga


Gelombang Optik

suku yang harus ditambahkan ke ruas kiri persamaan (25) adalah , dan

pada syarat batas di permukaan (y=0), persamaan ini akan menjadi

……………….…(32)

Untuk sembarang y, peubah potensial (x,y,t) memenuhi persamaan

Laplace (19). Selain syarat batas (24) di dasar kolam (y=-h), berlaku syarat batas

. Selanjutnya akan ditinjau suatu penyelesaian yang berbentuk suatu

gelombang potensial selaras yang merambat ke arah sumbu X dengan frekuensi

sudut , bilangan gelombang k, dan kecepatan fase u = /k. dalam bentuk fungsi

cosinus, fungsinya memenuhi persamaan

(x,y,t)=Ay cos (kx-t) ……………………………….…(33)

Dengan memperhatikan persamaan (19) terhadap persamaan (33) diperoleh

Atau

………………………………………………….(34)

Solusi persamaan (34) dapat dicari dengan mengalikan persamaan (34) dengan

faktor 2.dAy, kemudian mengintegrasinya, diperoleh

………………………………………….(35)

Dengan A0 adalah A(y=0), diperoleh dari hasil integrasi pertama. Dengan

menggunakan hubungan Ay+=Aocosh, maka

……………………….....(36)

Sehingga diperoleh

Sehingga


Gelombang Optik

Ay=Aocosh(ky+o)

Dengan demikian bentuk eksplisit fungsi potensial (33) adalah

(x,y,t)= Aocosh(ky+o) cos (kx-t) ……………………….…(37)

Untuk dipermukaan cairan (y=0) penerapan persamaan (32) memberikan

………….(38)

Yang akan menghasilkan kaitan dispersi gelombang permukaan

……………………………….…(39)

Untuk kh1 (gelombang permukaan dalam kolam yang dalam), maka

tanh (kh)1, yang memebrikan kaitan dispersi

…………………………………………………(40)

Sedangkan untuk kh1 (gelombang permukaan dalam kolam yang dangkal),

maka tanh (kh) kh, yang memberikan kaitan dispersi

………………………………………….(41)

Untuk gelombang permukaan sangat pendek, suku pertama pada

persamaan (40) dapat diabaikan, sehingga dapat diperoleh gelombang beriak atau

gelombang kapiler dengan kecepatan fasa v= , yamg dijumpai apabila suatu

angin sepoi bertiup di atas permukaan cairan atau pada suatu cairan dalam bejana

yang mengalami suatu getaran berfrekuensi tinggi dan amplitudo kecil. Dalam hal

ini makin panjang , makin lambat perambatannya.

Pada perambatan gelombang panjang dalam kolam yang dangkal, maka

suku tegangan permukaan pada persamaan (41) dapat diabaikan, sehingga untuk

jenis gelombang ini tidak ada dispersi gelombang, kecepatan fasa v= . Di

pinggir lautan yang landai di mana kedalaman laut h naik dengan makin

menjauhnya air laut dari tepi laut (x makin besar) sesuai dengan kaitan h=

x.tan(), dengan adalah sudut lereng dasar laut, maka gelombang dari laut yang

bergerak menuju pantai akan bergerak makin lambat. Ini akan mengakibatkan


)tanh(3

2 khTkgk

Gelombang Optik

akan mengakibatkan lebar paket gelombang menjadi makin sempit dan semakin

tinggi sewaktu mendekati pantai (agar supaya tenaga yang dibawa gelombang

tetap terangkut) sampai pada suatu ketika gelombang menjadi tak stabil dan

puncaknya terdorong ke depan untuk akhirnya pecah berderai.

Contoh Soal 2:

Tentukan kecepatan group vg(=d/dk) dari gelombang permukaan dalam

kolam yang dalam (kh1) dan untuk gelombang permukaan dalam kolam yang

dangkal (kh1), untuk kasus T kecil.

Penyelesaian:

Untuk gelombang permukaan dalam kolam yang dalam, hubungan dispersi

memenuhi persamaan (40). Untuk kasus T kecil suku kedua pada persaaan ini

dapat diabaikan, sehingga

Sedangkan gelombang permukaan dalam kolam yang dangkal, hubungan

disperse memenuhi persamaan (41). Untuk kasus T kecil suku kedua pada

persaaan ini dapat diabaikan, sehingga

2.3 GELOMBANG SILINDER

Tinjau kembali persamaan gelombang tiga dimensi (3). Bila fungsi

gelombang mempunyai simetris terhadap sumbu Z maka fungsi gelombang pada

persamaan (3) ini merupakan fungsi gelombang silinder. Gelombang silinder

tiga dimensi dapat dipandang sebagai gelombang berdimensi satu dalam koordinat

ruang , yang diperoleh melalui transformasi koordinat kartesian (XYZ) ke sistem

koordinat silinder (, z, ), menurut hubungan

…………………(42)


r

Z

X

Gelombang Optik

(a) (b)

Gambar 4. (a) Muka Gelombang Arah Rambat Gelombang Silinder, (b) Sistem

Koordinat Silinder (Suardana, 2002)

Persamaan (42) memberikan,

Hubungan ini akan memberikan

………...(43a)

………...(43b)

………………………………………...(43c)

Dengan menjumlahkan persamaan (43), diperoleh

………………………….(44)

Sehingga persamaan (3) menjadi

………………………….(45)

Yang merupakan bentuk umum persamaan gelombang silinder. Untuk mencari

solusi persamaan (45), bentuk persamaan (45) dapat diubah menjadi

………………………….(46)

Suku pertama persamaan (46) ini dapat diganti dengan


0),(11

2

2

22

2

ttv

S

Gelombang Optik

………………………………….(47)

Dengan suku kedua yang dapat diabaikan sumbangannya untuk nilai yang besar

(di daerah asimtot ). Oleh karena itu untuk tempat yang sangat jauh dari

sumbu silinder, persamaan (46) asimtotis ke bentuk

……………….…(48)

Sehingga solusi asimtotis untuk gelombang silinder berbentuk

Atau

………………………(49)

2.4 GELOMBANG BOLA

Berikut akan dibahas gelombang dalan ruang tiga dimensi yang fungsi

gelombangnya mempunyai simetri bola (sferis),

= f(r,t) ………………………………………………….(50)

dengan r adalah jarak dari titik sumber getaran (O) ke titik pengukuran, seperti

ditunjukan pada Gambar 5.

Terhadap arah pemancaran, gelombang ini bersifat isotrop. Persamaan

diferensialnya tetap diberikan oleh persamaan (3) juga, hanya operator 2 harus

dapat dinyatakan dalam koordinat r saja.


tkft ),(

tkft

1),(

Gelombang Optik

Gambar 5. Gelombang Bola (Suardana, 2002)

Transformasi operator derivatif Kartesian (x,y,z) ke operator derivati r

dapat dicari dengan menggunakan kaitan

r2= x2+y2+z2 ………………………………………………….(51)

Yang memberikan

………………………………………….(52)

Jadi

………...(53a)

………...(53b)

………...(53c)

Dengan demikian maka persamaan gelombang yang bersimetri bola

tersebut berbentuk

………………………….(54)

Solusi persamaan (54) dapat dicari, terlebih dahulu dengan mengubah bentuk ini

menjadi

Atau

……………………………….....(55)

Yang mempunyai solusi


0),(122

2

22

2

tr

tvrrr

Gelombang Optik

Atau

…………………(56)

Penyelesaian yang pertama melukiskan suatu gelombang bola

yang memancar ke luar dari pusat O secara isotrop, sedangkan penyelesaian kedua

melukiskan gelombang yang menyusut masuk dan terserap di O.

Jadi pada gelombang bola, amplitudo gelombang yaitu Ao/r atau Bo/r,

berkurang dengan bertambahnya jarak r. Sedangkan intensitas gelombang yang

ditentukan oleh kuadrat modolus amplitudo, akan berbanding terbalik dengan

kuadrat r. Di tempat yang jauh dari sumber gelombang (r), kepingan

permukaan sefase yang berbentuk sebagian dari luasan bola dapat dianggap

sebagai suatu kepingan bidang datar meliputi nilai r tetap, yang berarti bahwa di

sekitar titik yang jauh gelombang bola dapat didekati dengan gelombang datar.

Contoh Soal 3:

Sebuah stasiun radio memancarkan gelombang sferis (bola) berdaya 50

kWatt.

a. Tentukan intensitas gelombang 2 km dari stasiun dengan mengandaikan

radiasi pancaran yang isotrop.

b. Berapa jarak terjauh dari stasiun yang masih memungkinkan pemanfaatan

pesawat penerima radio yang mempunyai intensitas terkecil yang dapat

dideteksi sebesar 3W/m2


)(),( tkrftrr

)(1)(1),( tkrgr

tkrfr

tr

Gelombang Optik

Penyelesaian:

a. Intesitas gelombang bola (I) didefinisikan sebagai jumlah daya (P)

persatuan luas bola (A) yang sampai pada suatu titik yang berjarak r dari

pusat bola. Dengan menganggap pancaran bersifat isotrop, diperoleh

I= =

b. Daya yang sampai pada suatu titik adalah tetap, berarti

(I1=I=1mWatt/m2, r1=2 km)

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 MODULASI GELOMBANG

Modulasi merupakan proses mengubah-ubah parameter suatu sinyal (sinyal

pembawa atau carrier) dengan menggunakan sinyal yang lain (yaitu sinyal

pemodulasi yang berupa sinyal informasi (Susilawati, 2009). Sinyal informasi

dapat berbentuk sinyal audio, sinyal video, atau sinyal yang lain. Melalui

modulasi, karakteristik gelombang kedua dapat ditimpangkan pada gelombang

pertama, dan kemudian dipisahkan kembali bila diperlukan. Dalam teknik

komunikasi, gelombang atau sinyal pita dasar, baseband pada umumnya

dikirimkan kepada sasaran yang berjarak jauh dengan memodulasi suatu

gelombang pembawa, carrier wave, berfrekuensi dan berdaya relatif tinggi.

Dalam komunikasi, teknik modulasi memiliki beberapa keuntungan sebagai

berikut lain (Suardana, 2002).

1) Memungkinkan pengiriman sinyal lemah dengan membonceng gelombang

pembawa yang berdaya tinggi

2) Reduksi ukuran antena karena pengiriman sinyal dilaksanakan melalui

gelombang pembawa yang memiliki frekuensi tinggi (panjang gelombang

pendek)


Gelombang Optik

3) Memungkinkan pengaturan dan alokasi daerah pada frekuensi terpisah

bagi penyaluran sejumlah sinyal secara serempak melalui medium sama

4) Memungkinkan pergeseran frekuensi sinyal kepada daerah yang frekuensi

yang lebih mudah diolah oleh peralatan tersedia.

2.1.1 Modulasi Double Side Band (DSB)

Pada modulasi DSB, gelombang pembawa pada umumnya berbentuk

gelombang sinusoidal yaitu:

tt ccc cos ............................................................................…….(1)

Andaikan gelombang modulasi (gelombang signal) juga berbentuk

sinusoidal yang dinyatakan dengan persamaan:

tt mmm cos ...................................................................................(2)

Maka hasil modulasi dapat diperoleh dari operasi perkalian (mixing)

dari persamaan (1) dan (2).

ttt mcDSB

tt mmcc coscos

tt mcmcmc coscos21

.....................................(3)

yang menghasilkan perluasan frekuensi sebesar mc pada dua sisi

samping (side band). Representasi kawasan frekuensi untuk masing-masing

gelombang pada persamaan (1), (2), (3) dapat diperoleh dengan Transformasi

Fourier, yaitu:

mmmm

cccc

gg

mcmc

mcmcmcDSBg

...........................(4)

Dari gambaran spektrum di atas terlihat bahwa akibat modulasi sebagai

translasi frekuensi gelombang modulasi sejauh c dari m menjadi mc .

Efek modulasi DSB dalam kawasan frekuensi sebagaimana diuraikan di atas

diperjelas dalam gambar 2.


(c)

(b)

(a)

Gelombang Optik

Gambar 1. Ilustrasi hasil modulasi DSB dalam kawasan t dan ω. (a) Gelombang

modulasi; (b) Gelombang Pembawa; (c) Gelombang DSB


)0(21

mc gg (ω- ωc)g (ω+ ωc)

USBLSB

(a)

(b)

Gelombang Optik

Di samping itu, akibat modulasi lebar pita gelombang DSB menjadi 2

kali gelombang signal, namun amplitudonya menjadi ½ kalinya, seperti

ditunjukan gambar 3. Pelebaran pita tersebut berhubungan dengan munculnya

komponen pada kedua sisi c yang disebut pita sisi atas (USB) dan pita sisi

bawah (LSB). Terlihat pada gambar 3, lebar pita transisi B untuk gelombang

DSB sama dengan 2 kali lebar pita gelombang signal.

mB 2 ......................................................................................................(5)

Gambar 2. Ilustrasi akibat modulasi DSB dalam kawasan frekuensi, (a)

Spektrum signal; (b) Spektrum gelombang DSB

Daya rata-rata N yang diteruskan yaitu:

...............................................................................................(6)

Dengan mensubsitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (6) diperoleh daya

rata-rata signal DSB,

................................................................................................(7.a)

dengan


Gelombang Optik

...........................................(7.b)

........................................(7.c)

2.1.2 Modulasi Amplitudo

Pada modulasi amplitudo besarnya amplitudo sinyal pembawa akan

diubah-ubah oleh sinyal pemodulasi sehingga besarnya sebanding dengan

amplitudo sinyal pemodulasi tersebut. Frekuensi sinyal pembawa biasanya jauh

lebih tinggi daripada frekuensi sinyal pemodulasi. Frekuensi sinyal pemodulasi

biasanya merupakan sinyal pada rentang frekuensi audio (AF, Audio Frequency)

yaitu antara 20 Hz sampai dengan 20 kHz. Sedangkan frekuensi sinyal pembawa

biasanya berupa sinyal radio (RF, Radio Frequency) pada rentang frekuensi

tengah (MF, Mid-Frequency) yaitu antara 300 kHz sampai dengan 3 Mhz.

Pada hakikatnya, signal AM adalah signal DSB ditambah dengan

komponen pembawanya. Dalam kawasan t, ungkapan signal AM berbentuk:

......………………...……………(8)

Atau,

)(cos)()( ttAt cAM ....................…………………………………(9)

dengan,

)(1)( ttA mc ……………………………………………

(10)

Yang merupakan faktor modulasi yang mengungkapkan perubahan selubung

amplitudo gelombang AM yang terjadi.

Dalam kawasan , persamaan (11) memiliki transformasi Fourier sebagai

berikut,


tAM

t

tA

(b)

tm

t

(a)

0 ωωm-ωm

gm(ω)

(a)

0ωc -ωm

-ωc

pembawa

(b)

ωcωc +ωm

USBLSB

2ωm2ωm

Gelombang Optik

...................................................................................................................……….(11)

Gambar 4. (a) Signal sinusoidal tm ; (b) Hasil modulasi AM dalam kawasan

t

Hasil modulasi amplitudo untuk kasus signal sinusoidal dan kasus lebih

umum dapat diperjelas lebih lanjut dalam gambar (4) dan (5). Dari gambar 4.b

terlihat bahwa fungsi amplitudo A(t) untuk gelombang AM tidak pernah

memotong sumbu t. Ini terjadi karena pada umumnya gelombang signal dibuat

memenuhi ketentuan 1)( tm (agar proses demodulasi lebih mudah

dilakukan).


Gelombang Optik

Gambar 5. (a) Spektrum signal tm ; (b) Spektrum gelombang AM

2.1.2.1 Indeks Modulasi AM

Derajat modulasi merupakan parameter penting dan juga sering disebut

indeks modulasi AM, dinotasikan dengan m. Indeks modulasi merupakan ukuran

dari kecenderungan perubahan amplitude terhadap sinyal pembawa tanpa

modulasi. Indeks modulasi juga diketahui sebagai kedalaman modulasi atau

derajat modulasi.Besarnya indeks modulasi mempunyai rentang antara 0 dan 1.

Indeks modulasi sebesar nol, berarti tidak ada pemodulasian, sedangkan indeks

modulasi sebesar satu merupakan pemodulasian maksimal yang dimungkinkan.

Untuk signal berbentuk sinusoidal yang memenuhi

)(cos)( tmt mm .............................................................................(12)

Pada persamaan tersebut maka indeks modulasinya m memenuhi persamaan:

1

)()()()(

minmax

minmax

tAtAtAtA

m ....................................................................(13)

Beberapa nilai m dalam bentuk sinyal AM dapat digambarkan sebagai

berikut.

Gambar 5. (a)Sinyal AM untuk m 1 ; (b) Sinyal AM untuk m=1


(b)(a)

Gelombang Optik

Jika m>1, maka fungsi selubung A(t) akan mengalami distorsi dan menyimpang

dari bentuk )(tm , seperti ditunjukkan dalam gambar 6.

Gambar 6. Distorsi bentuk t dalam kasus m>1 akibat pembalikan fase

(tanda) tA ; (c) Bentuk fungsi t ; (d) bentuk selubung tA

2.1.2.2 Daya rata-rata signal AM

Daya rata-rata signal AM, diperoleh dengan cara berikut. Kita sudah

mengetahui bahwa signal AM dalam kawasan t memiliki bentuk :

Kemudian untuk mencari daya rata kita dapat menggunakan persamaan :

…………………………………………………….

(14)

Masukkan persamaan (8) ke persamaan (14) diperoleh


c

)(tA

c

t

(c)

)(tADistorsi selubung

t

c

(d)

Gelombang Optik

……………………………………………………………………………………

(15)

Untuk suku kedua pada ruas kanan persamaan tersebut sama

dengan nol dan

Hal tersebut menyebabkan daya rata-rata dapat ditulis menjadi

…………………………………………………………………(16)

Karena dalam signal AM, komponen pembawa tidak mengandung

informasi dan oleh karena merupakan bagian yang “tidak berguna”, maka dapat

didefinisikan efisiensi daya transmisi.

........................................................................(17)

Mengingat bahwa , jelas untuk gelombang AM

secara umum, khusus untuk gelombang AM jika memenuhi persamaan

maka efisiensi daya transmisi adalah

2.1.3 Modulasi Frekuensi


Gelombang Optik

Modulasi frekuensi (FM) adalah modulasi sudut yang merupakan proses

pengubahan sudut fase dari gelombang pembwa menurut pola perubahan

gelombang signal (modulasi) yang bersifat non linear (tidak dapat diuraikan

dengan prinsip superposisi). Ditinjau dari segi teknis, modulasi sudut lebih sulit

daripada modulasi linear dan memerlukan lebar pita transmisi yang lebar pula.

Keuntungannya terutama terletak pada peningkatan mutu signal dengan

memperbesar perbandingan S/N.

Sinyal pembawa dapat berupa gelombang sinus, sedangkan sinyal

pemodulasi (informasi) dapat berupa gelombang apa saja (sinusoidal, kotak,

segitiga, atau sinyal lain misalnya sinyal audio). Gambar 1 mengilustrasikan

modulasi frekuensi sinyal pembawa sinusoidal dengan menggunakan sinyal

pemodulasi yang juga berbentuk sinyal sinusoidal.

Gambar 3 (a) Sinyal pembawa; (b) Sinyal pemodulasi; (c) Sinyal termodulasi FM

Tinjaulah gelombang pembawa dinyatakan oleh fungsi:

tt ccc cos .........................................................................(18)

Maka modulasi sudut berarti mengubah karakteristik konstanta menjadi fungsi

t sesuai dengan karakteristik gelombang modulasi yang bersangkutan. Untuk

merumuskan hubungan antara t dan signal modulasi kita tuliskan hasil

modulasi dalam bentuk:


Gelombang Optik

t

ttt

c

ccFM

coscos

..................................................................(19)

Maka, tdt

tdt c ' .........................................................................(20)

Jika gelombang signal yang ditinjau adalah tm , maka deviasi frekuensi sudut

t' dan deviasi fase t jelas memenuhi hubungan:

tkdt

tdt mF ' .......................................................................(21)

Atau, n

mF dttkt0

...............................................................................(22)

Dimana kF adalah konstanta deviasi frekuensi. Sehingga hasil modulasi FM

selengkapnya dapat dituliskan sebagai berikut.

n

mFccFM dttktt0

cos ....................................................(23)

Jika gelombang signal merupapkan suatu fungsi sinusoidal yaitu:

tt mmm cos , maka persamaan (22) akan menjadi:

tkdttkt m

m

mFn

mmF

sincos0

..........................................(24)

Menurut persamaan (21), maka diperoleh:

tdt

tdt m cos'' ...................................................................(25)

Dengan, mFk ' .............................................................................................(26)

Berdasarkan hal tersebut didefinisikan suatu parameter yang disebut dengan

indeks modulasi FM yaitu:

mm

mFk

' .................................................................................................(27)

Jadi ungkapan hasil modulasi FM untuk signal tunggal dalam indeks modulasi

FM yaitu:

ttt mccFM sincos ........................................................(28)

Karakteristik spectral fungsi pada persamaan (28) dapat dipelajari dengan

uraian deret fourier. Sehingga persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk.


Gelombang Optik

t)(ωsin βtω i expRe ψtψ mccFM .....................................................(29)

Mengingat fungsi eksponensial kompleks bersifat periodic

mm ω

2πtsin(ω β i exp...................................................................................(30)

Dengan periode Tm = 2π/ωm, maka fungsi tersebut dapat diuraikan dalam deret

fourier sebagai berikut:

...............................................................(31)

Dengan

...............................................................................(32)

Dengan

...............................................................................................(33)

Bentuk integral persamaan (32) merupakan fungsi Bessel jenis pertama orde ke-n,

yang bersifat real, sehingga

Dalam fungsi Bessel, persamaan (31) menjadi:

Dalam bentuk deret, Jn(β) dinyatakan sebagai

Yang memenuhi hubungan (untuk n bulat)

J-n(β) = (-1)n Jn (β)................................................................................................(33)


Gelombang Optik

Jn(β) = (-1)n Jn (-β)...............................................................................................(34)

1)(Jn

2n

......................................................................................................(35)

Secara keseluruhan ungkapan persamaan (29) menjadi

tnJt mcn

ncFM )ωω()()(

...................................................................(36)

Sedangkan spectral kawasan frekuensi gelombang FM dengan TF menghasilkan

g (ω) = π (ψc)

nJn (β) [δ(ω-ωc-nωm)+δ(ω+ωc+nωm)]....................................(37)

Gambar 4. Ilustrasi pola pokok variasi (osilasi dengan amplitude mengecil)

beberapa fungsi Bessel jenis pertama

Berdasarkan ungkapan (37) dapat disimpulkan:

1. Signal FM dengan signal nada tunggal mengandung komponen pembawa dan

komponen frekuensi pita sisi yang tak berhingga jumlahnya:

ω = ωc ± n ωm , n = 1,2,3,…................................................................(38)

2. Amplitude masing-masing komponen frekuensi bergantung pada β, yang

bergantung pula dengan karakeristik ψm.


Gelombang Optik

3. Untuk kasus pita sempit

J0 (β) ≈ 1.....................................................................................................(39a)

J1 (β) ≈ β/2..................................................................................................(39b)

J0 (β) ≈ 0 , n>1............................................................................................(39c)

Jadi dalam kasus β<< 1 (narrow band), spectrum fekuensi hanya

mengandung komponen ωc dan ωc ± ωm seperti halnya gelombang AM. Sedangkan

dalam kasus pita lebar (wide band) β >> 1, gelombang FM jelas mengandung

komponen side band yang cukup besar, dan oleh karenanya memiliki lebar pita

yang besar namun tetap terbatas.

Berikut akan ditinjau daya dan lebar pita transisi, ratio S/N pada gelombang

FM. Seperti pada gelombang AM, untuk menentukan pita transmisi pada

gelombang FM akan ditinjau perbandingan harga rerata daya transmisi total NT

dan daya Nn untuk pita transmisi yang mengandung komponen frekuensi paling

rendah.

An = Nn/NT...............................................................................................(40)

dengan Nn memenuhi persamaan (7) dan tnJt mcn

ncn )ωω()()(

atau

l

lc JNn )(21 22 .......................................................................................(41)

Karena suku-suku silang dalam penjumlahan ψn2 (t) menghasilkan harga rerata

nol. Dan sejalan dengan itu dapat pula dirumuskan untuk NT.

222

21)(

21

cl

lcT JN

..........................................................................(42)

Setelah digunakan identitas (39b). Hasil ini menunjukkan bahwa amplitude signal

FM adalah konstan. Dengan hasil-hasil di atas, maka persamaan (40) menjadi

l

ln Ja )(2 .................................................................................................(43)

Secara numeric dapat ditunjukkan bahwa signal FM dengan modulasi nada

tunggal,

an ≥ 98%, untuk n ≥ β+1...................................................................................(44)

Jadi lebar pita transmisi yang bersangkutan dapat dinyatakan oleh.


Gelombang Optik

B ≈ 2 (β+1) ωm = 2 (ω’+ ωm).............................................................................(45)

Jelas bahwa untuk pita sempit B ≈ 2 ωm. Untuk signal FM yang lebih umum

(nonsinusoidal), indeks modulasi β tidak dapat didefinisikan, dan untuk B berlaku

kaidah Carson :

B = 2 (D+1) ωm = 2 (ω’+ ωm)............................................................................(46)

Dengan D menyatakan perbandingan

D = ω’max / ωm....................................................................................................(47)

Sebagai catatan kecil tentang keunggulan modulasi sudut dapat disebutkan bahwa

ratio S/N dari hasil modulasi ideal itu berbanding lurus dengan (kF)2 untuk signal

FM. Ini berarti peningkatan harga S/N dapat dicapai dengan memperbesar

sensitivitas modulator yang bersangkutan (kF). Namun akibat lain yang akan

terjadi adalah pelebaran B karena D berbanding lurus dengan kF tanpa

memperbesar daya transmisi, karena amplitude gelombang pembawa tetap sama.

Selanjutnya parameter-parameter ini, B, S/N akan menentukan kapasitas

saluran signal FM menurut rumus Shannon-Hartley untuk sistem ideal:

C = B log2 (1 + S/N) bits/s....................................................................(48)

2.2 Penerapan Konsep Modulasi Pada Radio

Salah satu penerapan dari modulasi gelombang adalah pada siaran radio.

Siaran radio dalam pengoperasiannya menggunakan teknik modulasi, di mana

sinyal yang menumpang adalah sinyal suara, sedangkan yang ditumpangi adalah

sinyal radio yang disebut sinyal pembawa (carrier) (Nandi, 2007). Dari banyak

teknik modulasi, AM dan FM adalah modulasi yang banyak diterapkan pada

siaran radio. Kedua teknik tersebut dipakai karena relatif lebih mudah

dibandingkan dengan teknik-teknik lain. Dengan begitu, rangkaian pemancar dan

penerima radionya lebihsederhana dan mudah dibuat.

Pada stasiun permancar radio, gelombang radio dihasilkan oleh muatan-

miatan listrik yang dipercepat melalui kawat penghantar. Muatan listrik

dibangkitkan oleh isolator. Sebelum dipancarkan melalui antena pemancar,

gelombang radio terlebih dulu dimodulasikan (dipaketkan) dengan sinyal audio.

Gelombang radio yang membawa sinyal audio ini yang akan ditransmisikan


Gelombang Optik

melalui antena pemancar. Dalam hal ini gelombang radio berfungsi sebagai

gelombang pembawa (carrier wave) yang membawa sinyal audio.

Pada pemancar radio dengan teknik modulasi amplitude (AM), amplitudo

gelombang carrier akan diubahseiring dengan perubahan sinyal informasi (suara)

yang dimasukkan. Frekuensi gelombang carrier relatif tetap kemudian dilewatkan

ke RF (Radio Frequency) Amplifier untuk dikuatkan agar bisa dikirim ke jarak

yang jauh. Setelah itu, dipancarkan melalui antena.

Dalam perjalanannya mencapai penerima, gelombang akan mengalami

redaman (fading) oleh udara, mendapat interferensi dari frekuensi-frekuensi lain,

noise, atau bentuk-bentuk gangguan lainnya. Gangguan-gangguan itu umumnya

berupa variasi amplitudo sehingga mau tidak mau akan memengaruhi amplitudo

gelombang yang terkirim. Hal ini mengakibatkan informasi yang terkirim akan

berubah dan mutu informasi akan berkurang.

Cara mengurangi kerugian yang diakibatkan oleh redaman, noise, dan

interferensi cukup sulit. Pengurangan amplitudo gangguan (yang mempunyai

amplitudo lebih kecil), akan berdampak pada pengurangan sinyal asli. Sementara,

peningkatan amplitudo sinyal asli juga menyebabkan peningkatan amplitudo

gangguan. Dilema itu bisa saja diatasi dengan menggunakan teknik lain yang

lebih rumit. Tetapi hal ini menyebabkan rangkaian penerima akan menjadi mahal,

sementara hasil yang diperoleh belum kualitas Hi Fi dan belum tentu setara

dengan harga yang harus dibayar. Konsekuensinya, mereka juga harus pindah

frekuensi carrier karena aturan lokasi frekuensi carrier untuk siaran AM berbeda

dengan siaran FM. Frekuensicarrier untuk siaran AM terletak di Medium

Frequency (300 kHz - 3 MHz/MF), sedangkanfrekuensi carrier siaran FM terletak

di Very High Frequency (30 MHz - 300 MHz/VHF).

Pada pemancar radio dengan teknik modulasi FM, frekuensi gelombang

carrier akan berubah seiring perubahan sinyal suara atau informasi lainnya.

Amplitudo gelombang carrier relatif tetap. Setelah dilakukan penguatan daya

sinyal (agar bisa dikirim jauh), gelombang yang telah tercampur tadi dipancarkan

melalui antena. Seperti halnya gelombang AM, gelombang ini juga akan

mengalami redaman oleh udara dan mendapat interferensi dari frekuensi

frekuensi lain, noise, atau bentuk-bentuk gangguan lainnya. Tetapi, karena


Gelombang Optik

gangguan itu umumnya berbentuk variasi amplitude, kecil kemungkinannya dapat

mempengaruhi informasi yang menumpang dalam frekuensi gelombang carrier.

Hal ini mengakibatkan, mutu informasi yang diterima tetap baik. Kualitas

audio yang dimodulasi juga lebih tinggi daripada kualitas audio AM. Jadi,

musik yang kita dengar akan serupa dengan kualitas musik yang dikirim oleh

stasiun radio. Teknik pengiriman suara stereo juga tidak terlalu rumit sehingga

rangkaiannya mudah dibuat.

BAB II

PEMBAHASAN

Pengembangan teori elektromagnetik di awal abad ke-19 oleh

Oersted, Ampere, dan yang lainnya sebetulnya tidak benar-benar dibuat dalam

konteks medan listrik dan magnet. Gagasan mengenai medan dikemukakan

kemudian oleh Faraday, dan tidak digunakan secara umum hingga akhirnya

Maxwell menunjukkan bahwa fenomena listrik dan magnet dapat digambarkan

dengan menggunakan empat persamaan yang melibatkan medan listrik dan

magnet.

Persamaan yang dinamakan persamaan Maxwell ini merupakan persamaan-

persamaan dasar untuk elektromagnet. Pada dasarnya persamaan ini memiliki

kedudukan sama dengan tiga hukum Newton mengenai gerak dan hukum

mengenai gravitasi universal dalam mekanika. Di sisi lain, persamaan Maxwell

bahkan lebih fundamental, karena mereka konsisten dengan teori relativitas.

Karena seluruh karakteristik elektromagnetik tertampung dalam empat persamaan

tersebut, maka persamaan Maxwell dianggap sebagai suatu kemenangan besar

bagi pemikiran manusia (Giancoli, 2001).


Gelombang Optik

2.1 Persamaan Maxwell

Persamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medan listrik E dan medan

magnet B. Seluruh persamaan Maxwell terdiri dari empat persamaan medan, yang

masing-masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan dan distribusi

sumber, baik sumber muatan maupun sumber arus. Untuk ruang vakum tanpa

sumber muatan, persamaan Maxwell dalam satuan SI dirumuskan sebagai berikut

(Ramalis, 2003) :

1. 0. E

2. 0. B

3.tBE …………………………………..(2.1)

4.tEB

00

Persamaan Maxwell yang dinyatakan oleh persamaan inilah yang merupakan

dasar dari pengembangan persamaan gelombang elektromagnet yang disesuaikan

dengan keadaan medium dari gelombang.

Sistem persamaan Maxwell merupakan landasan teori elektromagnet yang dapat

mengungkap berbagai gejala elektromagnetik, misalnya saja perambatan

gelombang elektromagnet dalam ruang hampa dengan kelajuan c yang sama untuk

semua pengamat dan sifat E

dan B

yang transversal secara mutlak (tegak lurus

pada arah perambatan gelombang ditinjau dari semua kerangka acuan yang

inersial) dan kesalingtegaklurusan antara arah keduanya, kemungkinan proses

terpancarnya gelombang ini dari suatu sistem muatan listrik yang mengalami

percepatan, modifikasi persamaan medan dan perambatannya oleh hadirnya

medium, proses serapan dan hamburan gelombang oleh medium dan lain-lainnya

(Muslim, 1996).

Karl Friendrich Gauss (1777-1855) seorang Fisikawan dan

Matematikawan Jerman yang banyak sumbangannya kepada ilmu fisika teori dan

fisika eksperimental. Rumusnya yang dikenal sebagai hukum Gauss merupakan


Gelombang Optik

ungkapan tentang suatu sifat penting medan elektrostatik (Sears, 1986).

Persamaan pertama Maxwell merupakan ungkapan dari hukum Gauss, yang

menyatakan bahwa “ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu

permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang dilingkupi

permukaan tersebut.” Secara matematis, hukum Gauss ini dituliskan dengan :

).2.2....(............................................................1ˆ.

).2.2.......(............................................................1ˆ.

).2.2(......................................................................ˆ.

0

0

0

cdVdAnE

bdqdAnE

aqdAnE

Melalui teorema divergensi, ruas kiri persamaan (2.2.c) dapat kita tuliskan

menjadi :

).3.2.......(............................................................1.0

adVEdV

atau

).3.2.....(.................................................................................0

bE

Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka =0, sehingga :

)4.2...(................................................................................0. E

Persamaan Maxwell kedua merupakan hukum Gauss magnetik, yang menyatakan

“Fluks medan magnet yang menembus suatu permukaan tertutup sama dengan

nol, tidak adanya sumber medan berupa muatan magnetik.” Atau dengan kata lain

garis gaya medan magnet selalu tertutup, tidak ada muatan monopol. Melalui

teorema Gauss, persamaan Maxwell kedua ini dapat kita tuliskan dalam bentuk

integral sebagai berikut :

).5.2...(................................................................................0ˆ.

).5.2...(......................................................................0ˆ.

bdAnB

adAnBB

Dengan menggunakan teorema divergensi, maka persamaan (2.5.b) dapat kita

tuliskan menjadi :

)6.2.......(................................................................................0. B


Gelombang Optik

Persamaan Maxwell ketiga, mengungkapkan pengaruh medan magnet yang

berubah dengan waktu, yang tidak lain merupakan hukum Faraday-Lenz sebagai

berikut :

).7.2.......(......................................................................ˆ.

).7.2........(................................................................................

bdAnBt

at

Kita ketahui bahwa dE. , sehingga persamaan (2.7.b) tersebut dapat kita

tuliskan menjadi :

)8.2.....(......................................................................ˆ..

dAnBt

dE

Kemudian melalui teorema Stokes, ruas kiri dapat kita tuliskan menjadi :

).9.2..(................................................................................

).9.2..(............................................................ˆ.ˆ.

btBE

adAnBt

dAnE

Persamaan Maxwell keempat merupakan hukum Ampere. Seperti yang sudah kita

pelajari pada Fisika Dasar, hukum Ampere ini dirumuskan dengan :

)10.2..(................................................................................. 0idB

Melalui penerapan teorema Stokes pada ruas kiri, dan dengan mengingat

hubungan dAnJi ˆ. , maka persamaan di atas dapat kita tuliskan menjadi bentuk

:

).11.2.........(................................................................................

).11.2.(......................................................................ˆ.ˆ.

0

0

bJE

adAnJdAnB

Sedangkan rapat arus tEJ 0 , sehingga persamaan (2.11.b), menjadi :

)12.2(................................................................................00 tEB

Dari persamaan III Maxwell, kita dapat menarik kesimpulan bahwa medan

listrik timbul karena perubahan medan magnet, dan dari persamaan IV

Maxwell mengungkapkan medan magnet timbul karena perubahan medan


Gelombang Optik

listrik. Interaksi antara kedua medan ini, akan menghasilkan gelombang

elektromagnetik, baik di ruang vakum maupun dalam suatu bahan.

2.1.1 Persamaan Gelombang Elektromagnetik

Persamaan gelombang elektromagnetik dapat diturunkan dari persamaan

Maxwell. Dari persamaan III Maxwell :

tBE

Kemudian ruas kiri dan ruas kanan kita diferensialkan dengan operasi rotasi, akan

diperoleh :

)13.2.....(..................................................).........()( BtBE

Dengan mengingat vektor identitas EEE 2).()( , maka persamaan

)()( BtBE

dapat kita tuliskan menjadi :

)14.2.......(........................................).........().( 2 BtBEE

Kemudian persamaan I dan persamaan IV Maxwell, kita substitusikan ke dalam

persamaan )().( 2 BtBEE

, akan diperoleh :

).15.2.(................................................................................2

2

002 a

tEE

atau

).15.2..(................................................................................012

2

22 b

tE

cE

dengan 00

1

c , kecepetan gelombang elektromagnetik di ruang vakum.

Melalui cara yang sama, untuk medan magnet B, dapat kita turunkan dari

persamaan IV Maxwell, dan akan diperoleh :

)16.2.(................................................................................012

2

22

tE

cB


Gelombang Optik

Persamaan 012

2

22

tE

cE dan 01

2

2

22

tE

cB ini adalah persamaan

gelombang elektromagnetik dalam bentuk diferensial. Masing-masing

mengandung tiga persamaan diferensial yang terpisah sebagai berikut :

).17.2.......(........................................01

).17.2......(........................................01

).17.2......(........................................01

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

cEtE

czyx

bEtE

czyx

aEtE

czyx

z

y

x

Untuk medan magnet

).18.2.........(........................................01

).18.2........(........................................01

).18.2.......(........................................01

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

cBtE

czyx

bBtE

czyx

aBtE

czyx

z

y

x

Solusi paling sederhana dari persamaan 012

2

22

tE

cE dan 01

2

2

22

tE

cB

adalah :

E(z,t)=E0 cos (kz-t)……………………….………………(2.19)

B(z,t)=B0 cos (kz-t)…………………………………..(2.20)

Bentuk solusi ini merupakan contoh eksplisit dari bentuk umum f(kz-t), yang

dikenal sebagai gelombang datar (plain wave). Gelombang datar (plain wave)

adalah gelombang yang apabila sebuah bidang tegak lurus dengan arah

perambatannya, maka titik potong gelombang tersebut pada bidang yang tegak

lurus itu memiliki sudut fase yang sama (Effendi,2007:126). Gelombang datar

merambat dengan kecepatan k

v , dengan sifat-sifat sebagai berikut (Ramalis,

2003):

Mempunyai arah jalur tertentu (dalam persamaan tadi, arah z).

Tidak mempunyai komponen pada arah rambat.


Gelombang Optik

Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada koordinat transversal

(pada contoh ini koordinat transversalnya adalah x dan y).

Sehingga dengan mengacu pada sifat tersebut, solusi persamaan gelombang

menjadi :

)22.2..(........................................).........,(ˆ),(ˆ),(ˆ

)21.2..(........................................).........,(ˆ),(ˆ),(ˆ

tzBktzBjtzBiB

tzEktzEjtzEiE

zyx

zyx

Sebutan datar berkaitan dengan bentuk muka gelombangnya yang berbentuk

bidang datar tegak lurus pada k , jadi bidang ini dinyatakan dengan :

konstan.ˆ zk

Dan ditunjukkan seperti pada gambar (2.1) berikut ini :

Gambar 2.1

Ilustrasi muka gelombang dari gelombang datar

Gelombang datar atau gelombang bidang memiliki sifat perambatan yang berbeda

untuk medium penghantar gelombang yang berbeda. Medium penghantar

gelombang bidang dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok, yaitu :

1. Medium dielektrik sempurna

2. Medium konduktor atau medium dielektrik merugi

Kedua medium ini memiliki nilai faktor atenuasi yang berbeda, untuk medium

dielektrik faktor atenuasi gelombang hampir mendekati 1, sedangkan untuk

gelombang yang merambat di medium dielektrik merugi faktor atenuasi (e-x)


Gelombang Optik

cukup besar. Sehingga gelombang bidang yang merambat di medium dielektrik

merugi atau konduktor akan mengalami redaman yang hebat, sehingga muncul

istilah kedalaman penetrasi (Effendi, 2007).

2.1.2Transversalitas Gelombang Elektromagnetik

Sifat lain dari gelombang datar adalah transversalitasnya. Untuk

memperlihatkan hal ini, kita substitusikan persamaan

),(ˆ),(ˆ),(ˆ tzEktzEjtzEiE zyx ke dalam persamaan I Maxwell, diperoleh :

)23.2........(..............................0),(),(),(

ztzE

ytzE

xtzE zyx

Suku pertama dan kedua ruas kiri dari persamaan (2.23) sama dengan nol,

sehingga :

)24.2.(......................................................................0),(

ztzEz

Dari persamaan 0),(

ztzEz ini, berarti Ez tidak bergantung pada z.

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (2.22) dan (2.23) ke dalam

persamaan IV Maxwell, kita akan memperoleh :

)25.2(..................................................00 tE

yB

xB zxy

Ruas kiri sama dengan nol, sehingga :

)26.2(............................................................0),(

ztzEz

Hal ini berarti bahwa Ez tidak bergantung pada t.

Dari persamaan (2.24) dan (2.26), dapat ditarik kesimpulan bahwa

Ez(z,t)=konstan=0. Dengan kata lain arah getar dari gelombang medan listrik

adalah tegak lurus pada arah gerak rambatnya, karena medan listrik E

hanya mempunyai komponen-komponen pada arah yang tegak lurus pada

arah rambat.

Cara yang sama dapat kita turunkan untuk gelombang medan magnetnya, dan

akan diperoleh kesimpulan bahwa arah getar gelombang medan magnet pun tegak


Gelombang Optik

lurus terhadap arah rambatnya. Sehingga dapat kita simpulkan bahwa gelombang

elektromagnetik merupakan gelombang transversal.

Selanjutnya akan dicari hubungan matematis antara medan listrik dan medan

magnet dari gelombang elektromagnetik. Untuk itu dimisalkan gelombang

menjalar dalam arah z, dan ditunjukkan seperti pada gambar (2.2) berikut :

Gambar 2.2

Gelombang elektromagnetik menjalar dalam arah z

Pada gelombang ini dapat kita tuliskan :

Untuk medan listrik :

Ex=E;Ey=Ez=0;

dengan

E=E0 cos (kz-t)……………………………………………..(2.27)

dan untuk medan magnet :

Bx=B;By=Bz=0;

dengan

B=B0 cos (kz-t)…………………………………………(2.28)

Persamaaan E=E0 cos (kz-t) kita substitusikan ke dalam persamaan III Maxwell,

akan diperoleh :

)cos(ˆ)cos(ˆˆˆˆ00 tkzBj

ttkzEi

zk

yj

xi


Gelombang Optik

k E0 = B0

00 Bk

E

Mengingat =kc, maka :

k E0 = c B0……………………………………………(2.29.a)

E0 = c B0………………………………………...……...(2.29.b)

Persamaan (2.29.a) dan (2.29.b) dapat pula kita peroleh dengan cara

mensubstitusikan persamaan (2.28) ke dalam persamaan IV Maxwell.

Dari pembahasan di atas, maka hubungan antara vektor propogasi k, medan listrik

E, dan medan magnet B, dapat ditunjukkan seperti pada gambar (2.3).

Gambar 2.3

Hubungan antara E dan B

(a) arah rambat ke kanan. (b) arah rambat ke kiri.

2.1.3 Vektor Poynting dan Kekekalan Energi

Salah satu ciri penting dari sebuah gelombang elektromagnetik ialah bahwa

gelombang tersebut dapat mengangkut tenaga dari titik ke titik (Halliday,1992).

Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dari energi medan listrik dan

energi medan magnet. Rapat energi medan magnet sudah kita peroleh, yaitu :

2

021 BuB

Dan rapat energi medan listrik sudah kita pelajari dari Fisika Dasar, yaitu :

202

1 EuE


Gelombang Optik

Sehingga rapat energi medan elektromegnetik dapat kita tuliskan dengan

u = uB + uE

u = 2

021 BuB

+ 202

1 EuE ……………………..…(2.30)

Perubahan rapat energi terhadap waktu, atau laju perubahan rapat energi, adalah :

).31.2(..............................).........(1)(1

).31.2...(..................................................1

00

00

bBEEBdtdu

atEE

tBB

dtdu

Dengan mengingat vektor identitas ).().().( BEEBBE , maka

persamaan (2.31.b) dapat kita tuliskan menjadi :

).32.2......(............................................................0.

).32.2.....(........................................)..........(1

0

bSdtdu

aBEdtdu

dan

)33.2...(..................................................).........(1

0

BES

Dalam pembahasan mengenai sirkuit listrik, energi kita anggap diangkut

oleh muatan bergerak, yang memperoleh energi potensial dari sebuah sumber lalu

melepaskan energi ini ke bagian-bagian lain sirkuit. Ada pula pandangan lain,

yaitu bahwa energi itu dibawa bukan oleh muatan bergerak, melainkan oleh

medan elektromagnetik yang ada hubungannya dengan muatan itu. Aliran energi

dari matahari, dari pemanas radian, maupun dari antena radio, di mana energi

harus diangkut oleh gelombang elektromagnetik (Sears, 1986).

Perhatikanlah kabel transmisi yang digambarkan terdiri atas dua pelat paralel

seperti tertulis dalam gambar (2.4).


Gelombang Optik

Gambar 2.4

Medan listrik dan medan magnet di dalam ruang dekat salah satu ujung

garis

Input daya ke kabel itu adalah P=VI. Tetapi, seperti telah kita tunjukan,

V = El, I = Hw

sehingga,

P = VI = (EH)(lw)

Perkalian lw sama dengan luas penampang lintang A medan

elektromagnetik antara kedua pelat, sehingga

EHAP

Persamaan ini mengandung arti bahwa energi diangkut sepanjang kabel

itu oleh medan elektromagnetik, per satuan luas dan per satuan waktu, sama

dengan perkalian EH. Pendapat ini mula-mula dikemukakan oleh J.H. Poynting,

dan vektor Poynting S didefinisikan sebagai perkalian vektor E dan H :

S = E H

Dalam gambar (2.4) dapat dilihat bahwa vektor poynting S arahnya menurut arah

rambat gelombangnya, sehingga besar S sama dengan aliran energi, per satuan

luas dan per satuan waktu, dan arah S menurut arah rambatan (Sears, 1986).

Pengertian fisik dari vektor poynting yaitu menggambarkan laju energi per

satuan waktu per satuan luas penampang medium yang dilalui oleh

gelombang, baik harga sesaat maupun harga rata-rata (Effendi, 2007). Di


Gelombang Optik

dalam satuan-satuan SI maka S dinyatakan dalam watt/m2; arah S memberikan

arah pergerakan tenaga. Vektor-vektor E dan B menunjukkan nilai-nilai sesaatnya

di titik yang ditinjau (Halliday, 1992).

Apabila untuk vektor E dan vektor H kita gunakan harga-harga sesaatnya

maka vektor poynting juga merupakan harga sesaat dan apabila vektor E dan

vektor H merupakan harga rata-ratanya maka akan diperoleh harga rata-rata dari

vektor poynting. Nilai vektor poynting yang besar, berarti menggambarkan

intensitas gelombang elektromagnetik yang besar juga. Perbedaan antara

intensitas gelombang dan vektor poynting adalah intensitas gelombang merupakan

suatu besaran skalar, sedangkan vektor poynting adalah besaran vektor yang

menggambarkan arah perambatan gelombang dan besarnya kerapatan energi

gelombang per satuan waktu, atau laju energi gelombang dalam satuan Joule per

sekon per meter persegi (MKS) atau Erg per sekon per centimeter persegi (CGS)

(Effendi, 2007).

Di dalam bilangan kompleks, vektor poynting kompleks adalah setengah

dari produk E kompleks dan H kompleks.

HES 21

Vektor poynting kompleks hanya bisa terjadi di medium konduktor karena

medium konduktor ini memiliki impedansi intrinsik kompleks sebagai akibat dari

konduktivitas listriknya yang cukup besar. Hal yang perlu diperhatikan juga sudut

fase antara medan E dan H berbeda (Effendi, 2007:132).

Persamaan (2.32.b) merupakan ungkapan kekekalan energi. Coba kita bandingkan

dengan persamaan kontinuitas :

0. Jdt

Tampak adanya kesetaraan antara kedua persamaan tersebut. Rapat muatan

digantikan dengan rapat energi u, rapat arus J digantikan dengan vektor poynting

S. Jelas bahwa vektor poynting mengungkapkan aliran energi, analog dengan

rapat arus mengungkapkan aliran muatan.

Berikut ini suatu contoh adanya energi yang muncul pada kawat yang

dialiri arus. Bila ini terjadi, maka ada usaha elektromagnet yang hailnya berbentuk


Gelombang Optik

kalor Joule pada sebatang kawat. Anggap medan listrik pada kawat LVE ,

dengan V beda potensial dan L panjang kawat. Sedangkan medan magnet karena

adanya arus I adalah rIB

2

0 , yang arahnya menyinggung permukaan kawat

gambar (2.5) (Loeksmanto, 1993:162).

Gambar 2.5

Harga vektor poynting

RLVIEBEHS 20

, dengan arah S menuju ke sumbu kawat.

Energi yang melewati permukaan kawat per satuan waktu diperoleh dengan

mencari integral.

RIVIRLSadS 2)2(.

Hasil ini tak lain adalah kalor yang muncul pada sebatang kawat, dikenal sebagai

pengeluaran energi joule.

2.2 Gelombang Elektromagnetik dalam Medium

Dalam pembahasan persamaan Maxwell yang telah dibahas sebelumnya,

diasumsikan bahwa rapat muatan , dan rapat arus J = 0, hal ini berlaku

untuk vakum dan medium dielektrik (Ramalis,2003). Di dalam medium konduktif

rapat arus J tidak sama dengan nol, besarnya sebanding dengan medan medan

listrik E, yang secara matematis diungkap dengan hukum Ohm: .

Dalam hal pembahasan hukum Maxwell lebih lanjut diberlakukan asumsi dan

bersifat tetap tidak beragantung pada posisi dan waktu. Dengan mengasumsikan

bahwa pada medium tidak ada muatan listrik dan arus listrik bebas dari luar, arus

yang muncul dipandang sebagai arus listrik internal yang diakibatkan oleh adanya


Gelombang Optik

medan listrik pada medium sesuai dengan hukum Ohm, dengan menyatakan

harga konduktivitas medium maka persamaan Maxwell akan menjadi (Yasa,

2003);

I. . E = 0

II. .B = 0

III. x E = -t

B

IV. x B = . E + t

E…………………………………

(2.34)

2.2.1 Gelombang Elektromagnet pada Medium Dielektrik

Tinjaulah kasus untuk medium yang tidak bersifat penghantar (non konduktif )

yaitu medium dielektrik = 0 dan dalam medium tidak ada muatan dari luar,

dengan kata lain bahwa medium tidak dimuati listrik (Yasa, 2003). Jika

persamaan Maxwell di atas pada iii dan iv masing-masing di curl dengan dan

menggunakan identitas operasi vektor x (x A) = ( . A) - 2A, maka

diperoleh persamaan differensial gelombang elektromagnet :

2E - 2

2

t E = 0………………………………(2.35)

dan

2B - 2

2

t B = 0……………………………….(2.36)

dalam bentuk komponen vektor medan dalam arah tiga dimensi dapat dinyatakan :

zyx2

2

zyx2

2

2

2

2

2

EÊÊˆt

EÊÊˆzyx

zyxzyx

.…(2.37)

dan

zyx2

2

zyx2

2

2

2

2

2

ˆˆˆt

ˆˆˆzyx

BzByBxBzByBx

…..(2.38)


Gelombang Optik

Jika (r,t) menyatakan fungsi vektor medan, k untuk medan E dan medan B maka

bentuk persamaan differensial gelombang elektromagnet di atas dapat dinyatakan

dalam bentuk yang sederhana yaitu:

2 - 2

2

t = 0………………..…………..(2.39)

Persamaan (2.39) merupakan persamaan differensial gelombang elektromagnet,

yang dikenal dengan persamaan gelombang elektromagnet tiga dimensi.

Berdasarkan persamaan umum gelombang :

2 - 2v1

2

2

t = 0…………………………………(2.40)

maka kecepatan gelombang elektromagnet yang dimaksud adalah:

v = 1

………………………………………..…(2.41)

Berdasarkan teori listrik magnet telah diketahui bahwa oo me K dan K di

mana oo dan masing-masing menyatakan permiabilitas listrik dan permitivitas

magnet di ruang hampa atau udara. Sedangkan Ke dan Km masing-masing

menyatakan tetapan listrik dan tetapan magnetik medium. Dengan memasukkan

nilai-nilai tersebut ke persamaan (2.41) maka diperoleh(Yasa, 3003):

v = oooo

1KK1

KK1

meme

……………………….(2.42)

Persamaan (2.42) dapat disederhanakan menjadi v = c/n dengan c = oo

1

kecepatan gelombang elektromagnet di ruang hampa atau di udara yang nilainya

mendekati 3 x 108 m/s. Sedangkan n = me K.K yang menyatakan indeks bias

medium terhadap gelombang elektromagnet. Hasil eksperimen menunjukkan

bawa Ke 1 dan Km 1 dengan demikian harga indeks bias suatu medium akan

selalu 1. Persamaan (2.42) menunjukkan bahwa medium penjalaran gelombang

yang bukan ruang hampa atau udara selalu lebih besar dari 1(Yasa, 2003).

Untuk memperoleh penyelesaian dari persamaan (2.39) secara lebih

sederhana tinjaulah kasus penjalaran gelombang dalam arah satu dimensi

misalnya dalam arah sumbu z. Kemudian pandanglah kasus gelombang pada


Gelombang Optik

mana variabel posisi dan waktu saling tidak bergantung yang dikenal dengan

fungsi sevarabel. Dengan demikian fungsi gelombang dapat dinyatakan dalam

bentuk:

(z,t) = Z(z) T(t)……………………….…………(2.43)

Dengan mensubstitusi persamaan (2.42) ke dalam persamaan (2.39) dan membagi

dengan Z.T maka diperoleh persamaan dalam bentuk:

22

2

22

2

ktT

Tv1

zZ1

Z

…………………………(2.44)

dalam bentuk terpisah persamaan (2.44) dinyatakan dengan:

0kz

Z1 22

2

ZZ

…………………………………(2.45)

dan

0TtT 22

2

…………………….……………..(2.46)

Dengan = k/v yang menyatakan frekuensi gelombang elektromagnet. Dengan

menerapkan teknik penyelesaian persamaan differensial orde dua maka dapat

diperoleh penyelesaian umum dari persamaan (2.45) dan persamaan (2.46) yaitu:-ikz

kikz

kk ee )(Z z.t-i

ee t)(T k. i

kk

t …………………….…………….(2.47)

Dengan , , , dan masing-masing merupakan tetapan. Karena ada banyak

kemungkinan harga k maka penyelesaian umum gelombang yang diperoleh dapat

ditentukan dalam bentuk;

(z.t) =

kkkk

kkkk

.t k.z-i.t k.zik

.t-k.z-i.t-k.zik eeee ..(2.48)

Persamaan (2.48) merupakan superposisi dari sejumlah gelombang datar yang

memenuhi syarat untuk harga k. Jika dan k keduanya merupakan bilangan

positif maka persamaan (2.48) merupakan persamaan gelombang sinusoidal

dalam arah rambatan ke sumbu z positif. Jika k berharga negatif maka dapat

dituliskan dalam k = - k sehingga fungsi gelombang menjadi e-i(k.z +.t) yang

menyatakan gelombang merambat pada arah sumbu z negatif.


Gelombang Optik

Persamaan (2.48) di atas merupakan pasangan komplek konjugate, dengan

demikian persamaan gelombang yang sesuai dapat dinyatakan dalam bentuk

persamaan kompleks yaitu:

(z,t) = o ei(k.z - .t)……………………….……………….(2.49)

yang merupakan sebuah persamaan gelombang datar (Yasa, 2003). Karena

merupakan komponen dari fungsi gelombang medan E dan B maka secara fisis

haruslah merupakan besaran riil. Seperti telah dikemukakan bahwa merupakan

komponen dari medan E dan B maka bentuk persamaan gelombang elektromagnet

yang dimaksud dapat diperoleh yaitu:

E = Eo ei(k.z - .t) …………………………..…………..(2.50)

B = Bo ei(k.z - .t) ………………………………………(2.51)

Jika persamaan gelombang elektromagnet yang diperoleh sesuai persamaan (2.50)

dan (2.51) disubstitusikan kembali ke persamaan Maxwell maka akan diperoleh:

i . E = zx ik.EE

z= 0 ……………………….(2.52a)

ii .B = zx ik.BB

z= 0………………………….(2.52b)

iii x E = i.k(-EyyEx x

) = -i B ………..…...(2.52c)

iv x B = ik ( - By)yB x x

= -i 2v

E……………(2.52d)

Dengan menyatakan : Ez = .z E , Bz = B.z dan (-EyyEx x

) = x z E , ( - By

)yB x x= B x z maka persamaan (2.52) di atas menjadi;

i . E = k .z E = 0 ……………………….(2.53a)

ii .B = k B.z = 0…………………………..(2.53b)

iii x E = k x z E = B…………………..(2.53c)

iv x B = k B x z = - 2

2

v E ……………..(2.53d)

Persamaan (2.53a) dan (2.53b) menyatakan E dan B masing-masing tegak lurus

arah z , sedangkan persamaan (2.53c) dan (2.54d) menyatakan bahwa E saling

tegak lurus dengan B. Untuk menentukan arah E terhadap arah B bisa dilakukan


Gelombang Optik

aturan putaran skrup: putarlah arah skrup dari arah z ke E maka arah majunya

skrup merupakan arah dari B. Sedangkan hubungan antara besaran B dengan E

dapat ditentukan yaitu:

EEBcnk

…………………….………(2.54)

untuk gelombang elektromagnet di udara atau di ruang hampa (n = 1) diperoleh

hubungan E = cB. Berdasarkan hubungan vektor arah penjalaran gelombang

dengan arah interaksi medan listrik dan medan magnet maka untuk satu harga k

dalam arah penjalaran gelombang ke sumbu z dapat digambarkan seperti berikut:

Gambar 2.6

Hubungan E dan B dalam Gelombang Elektromagnet

2.2.2Gelombang Elektromagnetik Pada Medium Konduktif

Dalam medium konduktif yang bebas dari sumber muatan listrik luar ( = 0 ),

arus listrik masih akan terjadi (J 0). Hal ini merupakan kasus sebuah medium

konduktif yang dikenakan medan listrik dari luar (Yasa, 2003).

)55.2......(........................................tEJB

Untuk mencari bentuk persamaan gelombangnya, dapat kita turunkan seperti pada

bagian persamaan gelombang elektromagnetik, dan kita akan peroleh:

)56.2.........(..............................02

2

tJ

tEE

Kemudian dengan mengingat hukum Ohm


B

E

k

Gelombang Optik

……………………………………………(2.57)

Maka persamaan (2.36) dapat kita tuliskan menjadi:

)58.2.........(..............................02

22

tE

tEE

Solusi dari persamaan ini adalah gelombang bidang dengan persamaan:

)59.2(..................................................cos, 0 tkzEtzE

atau dalam bentuk komplek:

)60.2.........(.................................................., 0tkzeEtzE

Substitusi persamaan (2.60) ke dalam persamaan (2.59), akan menghasilkan

persamaan:

022 i

atau

)61.2..(..................................................22 i

Dari persamaan (2.61) jelas bahwa bilangan gelombang berupa bilangan

komplek (Ramalis, 2003). Bilangan gelombang ini dapat kita tentukan dengan

memisalkan = a + i b. Kemudian kita kalikan dengan konjugetnya, maka akan

diperoleh:

)62.2(..................................................112

222

a

)63.2......(........................................112

222

b

Dan besarnya bilangan gelombang adalah:

)64.2...(..................................................12

22

Persamaan ini menyatakan bahwa merupakan fungsi dari . Karena

berkaitan dengan cepat rambat, maka pada medium konduktif, cepat rambat

gelombang bergantung pada frekuensi. Medium yang demikian sudah kita kenal

dan disebut dengan medium dispersif (Ramalis, 2003). Untuk medium yang


Gelombang Optik

berkonduktifitas tinggi, maka besar. Jika jauh lebih besar dari , maka dari

persamaan (2.62) dan (2.63) diperoleh:

)65.2........(............................................................12

ba

ba

dengan

)66.2....(............................................................2

Besarnaya ini disebut tebal kulit (skin depth).

Untuk medium yang konduktifitasnya rendah (konduktor buruk), jauh lebih

kecil dari . Pada medium ini skin depth menjadi:

)67.2....(............................................................2

yang lagi bergantung pada frekuensi.

Bilangan gelombang untuk medium dengan konduktifitas tinggi pada frekuensi

tinggi, pada frekuensi rendah adalah:

)48.2.....(............................................................1

i

Dari persamaan ini, maka solusi persamaan gelombang pada medium konduktif

dapat dituliskan menjadi:

).69.2........(...................., )(0 aeEtzE tibai

).69.2........(...................., )(0 beeEtzE tazibz

atau:

).69.2.(.............................., 0 ceeEtzEtziz

Dari persamaan (2.49.c) ini, dapat ditafsirkan bahwa setelah menempuh jarak

sebesar , maka amplitudo gelombang akan berkurang menjadi e1

dari amplitudo

semula.

Kembali ke persamaan (2.52):


Gelombang Optik

222 11

2 a

Dengan mengingat kv = , maka persamaan ini dapat kita tuliskan dalam bentuk

222 11

2 ka

)70.2(..................................................112

2/12

ka

Dari persamaan (2.70) jelas terlihat bahwa a > k, hal ini berarti bahwa kecepatan

fase gelombang pada medium konduktif lebih kecil dari pada kecepatan fase

gelombang pada medium non konduktif. Kemudian dengan mengingat hubungan:

)71.2.....(............................................................EB

Maka dengan mensubstitusikan persamaan (2.70) ke persamaan (2.69), maka akan

diperoleh perumusan gelombang medan magnetnya sebagai berikut:

)72.2.....(....................).........cos(, 0 tazeEibatzB bz

Dengan memperhatikan persamaan (2.72) tampak bahwa medan listrik E dan

medan magnet B tidak lagi mempunyai fase yang sama seperti pada medium non

konduktif.

Kita pun dapat menentukan besarnya vektor poynting untuk medium konduktif ini

sebagai berikut:

)73.2........(........................................cos22

20

2

tazeEibaS

ES

z

Persamaan (2.73) ini mengungkapkan bahwa faktor redaman dalam perambatan

energi adalah z

e2

.


Gelombang Optik

Gambar 2.7.

Peredaman Gelombang Elektromagnet pada Medium Konduktif

2.2.3 Elektron Bebas dalam Konduktor dan Plasma

Elektron bebas dalam konduktor bebas di dalam konduktor tidak terlihat pada

atom ataupun molekul, sehingga dapat digunakan persamaan III Maxwell :

tE

tEE

tJ

tEE

tBE

2

02

2

002

02

2

002

………………….(2.74)

Gerakan elektron dapat diungkapkan dengan persamaan:

Eqdtdv

m e…………………….……………………(2.75)

dengan v menyatakan kecepatan elektron.

Kemudian ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan (2.75) ini dikalikan dengan

Nqe, dengan N adalah rapat jumlah elektron, diperoleh:

EqNt

Nvqm e

e 2

…………………………………..(2.76)


Gelombang Optik

Sedangkan J = vqeN, maka persamaan (2.76) menjadi:

EqNtJm e

2

………………………………………(2.77)

Persamaan (2.77) kita substitusikan ke persamaan (2.74), sehingga diperoleh:

02

02

2

002

E

mqeN

tE

E ……………………(2.78)

Misalkan solusi persamaan gelombang tkzE costz,E 0 , dan bila

disubstitusikan ke persamaan (2.78) akan diperoleh:

).79.2........(..............................02

02

002 a

mqeNk

).79.2........(..............................2

02

002 b

mqeNk

).79.2........(........................................1 20

2

200

2

cqeNk

Karena 00

2 1

c dan 22

2 1v

k

Maka persamaan (2.79.c) akan menjadi:

2

0

2

2

2

1m

qeNvc

……………………………………………..(2.80)

Berdasarkan definisi indeks bias n= c/v, maka dari persamaan (2.80) tersebut

dapat ditentukan indeks bias plasma:

2

2

1

pn ……………………………………….(2.81)

dengan,

0

22

mqN e

p ……………………………………(2.82)


Gelombang Optik

Besaran p ini disebut dengan frekuensi plasma.

Jika diperhatikan persamaan (2.81) dan persamaan (2.82) di atas, jika p ,

maka nilai indeks bias n berupa bilangan imajiner, ini berarti bahwa

gelombang di dalam plasma tersebut akan diredam, dan bila p ,maka

nilai indeks bias n berupa bilangan nyata (real), sehingga gelombang akan

diteruskan.

2.3 Pemantulan dan Pembiasan Gelombang Elektromagnetik

Sebelum dibahas lebih jauh mengenai pemantuan dan pembiasan gelombang

elektromagnetik, terdapat hukum yang mendasarinya yaitu hukum Snellius.

Dengan cara yang berbeda di sini akan diturunkan persamaan hukum Snellius

terrsebut untuk gelombang elektromagnmetik.

2.3.1 Hukum Snellius

Tinjau kasus gelombang datang dari medium satu menuju medium dua seperti

ditunjukan pada gambar (2.8) dan gambar (2.9) ini disebut dengan tranverse

electric (TE).

Gambar 2.8.

Gelombang datang dari medium 1 menuju ke medium 2

Dari gambar (2.8) dapat dituliskan persamaan untuk gelombang medan magnet

sebagai berikut:

trkieBtrkBtrB

.

011011

1

.cos),(


Gelombang Optik

trkieBtrkBtrB

.

022022

2

.cos),(

)83.2....(...........cos),(.

033033

3

trkieBtrkBtrB

dengan:

))

3

)

3

)

33

2

)

2

)

22

1

)

1

)

11

cossin

cossin

cossin

Jxir

Jikk

Jikk

Jikk

……………………..(2.84)

Harga-harga dari k1, k2,k3 dan r pada persamaan (2.84) disubstitusikan ke dalam

persamaan gelombang medan magnet (2.83) yaitu:

tyxkieBtrB 111 cossin011 ),(

tyxkieBtrB 222 cossin022 ),( ………(2.85)

tyxkieBtrB 333 cossin033 ),(

Dengan menarapkan syarat batas y=0 akan diperoleh hubungan:

332211

321

coscoscos BBBBBB XXX

Sehingga persamaan (2.85) menjadi :

33

2211

sin33

sin202

sin101

.cos

.cos.cos

ki

kiki

eB

eBeB ……………………..

(2.86)

Untuk menyelesaikan persamaan (2.85), gunakan hubungan matematis sebagai

berikut:


Gelombang Optik

cxbxax CeBeAe

Kemudian dengan menggunakan deret Taylor persamaan ini dapat dituliskan

menjadi:

....

!21....

!21....

!21

222222 xccxCxbbxBxaaxA

Dengan mengabaikan suku ketiga dan suku-suku selanjutnya di dalam kurung

maka diperoleh persamaan:

A + B = C

dan

cxBABbxAaxCcxBbxAax

Persamaan ini akan lebih mudah kita dijabarkan dalam bentuk matriks seperti

berikut

Dari persamaan ini diperoleh bahwa

a = b = c

Dengan memperhatikan contoh hubungan matematis tersebut maka dari

persamaan (2.86), jelas bahwa;

2211 sinsin kk

Karena gelombang datang dan gelomban pantul berada pada satu medium yang

sama, yaitu medium 1 dan k1=k2. Sehingga dari persamaan terakhir akan diperoleh

hubungan;

21 …………………………………………………………….(2.87.a)

Kemudian dari persamaan (2.86) tadi, dapat juga kita dapatkan hubungan :

3311 sinsin kk

Karena ncv

k , jadi k sebanding dengan n, maka k1 dan k3 pada persamaan

terakhir dapat diganti dengan n1 dan n3, sehingga persamaan terakhir tersebut

dapat kita tuliskan menjadi:

3311 sinsin nn ………………………………………(2.87.b)

Persamaan (2.87a) dan (2.87b) disebut dengan hukum Snellius.


Gelombang Optik

2.3.2 Persamaan Fresnell

Setelah dijelaskan tentang hukum Snellius, kali ini akan dibahas perbandingan

amplitudo gelombang pantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombang

datang, hubungan ini dikenal dengan persamaan Fresnell. Untuk itu perhatikan

kasus tranverse magnetic (TM) seperti yang ditunnjukan oleh gambar (2.9)

gelombang pada gambar ini disebut TM. Karena medan magnetnya tegak lurus

bidang datang.

Gambar 2.9

Kasus TM, gelombang datang dari medium 1 menuju medium 2

Dengan syarat batas di y=0 maka dapat diperoleh hubungan:

Untuk medan listrik:

coscos 321

321

EEEEEE xxx

………………………………..(2.88)

Untuk medan magnet:

32211

321

11 Ev

EEv

BBB

Ingat bahwa B =E/c di vakum atau B =E/v di dalam medium.


Gelombang Optik

karena

maka:

32211 EnEEn …………………………………………………(2.89.a)

2

2113 n

EEnE ……………………………………………………(2.89.b)

Persamaan (2.89.b) disubstitusikan ke persamaan (2.88) akan dipeleh:

coscoscoscos

coscos

1

21

2

12

212

121

nn

Enn

E

EEnn

EE

Selanjutnya koefisien refleksi koefisien R, sebagai perbandingan medan pantul

terhadap medan datang, jadi:

coscoscoscos

coscos

coscos

21

21

2

1

2

1

2

2

nnnn

R

nnnn

EE

R

TM

TM

……………………………………………

(2.90)

Dari persamaan (2.89.a) , juga diperoleh hubungan:

1

32112

32211

nEnEn

E

EnEEn

………………………..………………………………..

(2.91)

Persamaan (2.90) disubstitusikan ke persamaan (2.88), maka diperoleh:

coscoscos 31

32111 E

nEnEn

E

…………………………..

(2.92)

Selanjutnya didefinisikan koefisien transmisi T, sebagai perbandingan medan bias

terhadap medan datang, jadi:


Gelombang Optik

cos.cos.

cos..2

21

1

nnn

TTM ……………………………………….(2.93)

coscos.cos.cos.

21

21

nnnnRTE

……………………………………….(2.94)

Persamaan (2.90), (2.92), (2.93), dan (2.94) dikenal dengan persamaan Fresnell.

Apabila n1 > n2 dan sudut bias 090 , maka dari hukum Snellius diperoleh

hubungan:

1

2sinnn

…………………………………………………………(2.95)

Sudut datang yang menghasilkan sudut bias 900 ini, disebut dengan sudut kritis

(Ramalis, 2003). Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis maka terjadi

pemantulan total.

Apabila 090 , maka dari hukum Snellius persamaan (2.87) diperoleh

hubungan:

1

2tannn

……………………………………………………….(2.96)

Sudut datang yang menghasilkan 090 ini, disebut dengan sudut Brewster.

Pada keadaan ini koefisien pantul RTM = 0, artinya gelombang pantul akan

terpolarisasi (Ramalis, 2003).

2.4 Pandu Gelombang

Kita mungkin mengirimkan gelombang elektromagnetik melalui sebuah pipa

logam yang kosong yang tidak mempunyai penghantar pusat. Kita menganggap

bahwa dinding-dinding sebelah dalam dari sebuah pipa seperti itu, atau pandu

gelombang (wave guide) sebagaimana pipa tersebut dinamakan, tidak mempunyai

hambatan dan bahwa penampangnya adalah berbentuk segi empat siku-siku

(Halliday, 1992). Sekarang kita akan mempelajari penjalaran gelombang

elektromagnetik di dalam selubung konduktor kosong. Selubung yang ujung-

ujungnya dibatasi oleh permukaan disebut dengan rongga (cavity). Sedangkan bila


Gelombang Optik

ujung-ujungnya tidak dibatasi oleh permukaan, disebut dengan pandu gelombang

(wave guide) seperti pada gambar (2.10).

Gambar 2.10

Pandu Gelombang

Diasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benar konduktor sempurna, sehingga

di dalam bahan material tersebut berlaku E = 0 dan B = 0. Selanjutnya dimisalkan

gelombang elektromagnetik merambat dengan bentuk fungsi sebagai berikut :

E(x,y,z,t)=E0(y,z)ei(kx-t)

B(x,y,z,t)=B0(y,z)ei(kx-t).......................(2.97)

Persamaan gelombang ini kita substitusikan ke dalam persamaan III Maxwell dan

persamaan IV Maxwell, akan diperoleh :

).98.2......(..............................

).98.2......(..............................

).98.2.......(..............................

).98.2(........................................

).98.2(........................................

).98.2(........................................

2

2

2

fEciikB

yB

eEciikB

zB

dEci

zB

yB

cBiikEy

E

bBiikEz

E

aBiz

Ey

E

zyx

yzx

xyz

zyx

yzx

xyz

Dari persamaan (2.98.b),(2.98.c),(2.98.e), dan (2.98.f), akan menghasilkan solusi

untuk Ey, Ez, By, dan Bz sebagai berikut :


Gelombang Optik

).99.2........(..............................

).99.2.......(..............................

).99.2.........(..............................

).99.2........(..............................

22

2

22

2

22

22

dy

Ecz

Bkk

c

iB

cz

Ecy

Bkk

c

iB

byB

zEk

kc

iE

az

By

Ekk

c

iE

xxz

xxy

xxz

xxy

Dari persamaan (2.99) tersebut tampak bahwa bila komponen longitudinal Ex dan

Bx diketahui, maka komponen lainnya dapat ditentukan. Dengan kata lain, untuk

memecahkan persamaan Maxwell, kita cukup menentukan komponen

longitudinalnya.

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (2.99) ke dalam persamaan

Maxwell, kita juga akan memperoleh persamaan differensial dari komponen

longitudinal sebagai berikut :

).100.2.......(..............................0

).100.2......(..............................0

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

bBkczy

aEkczy

x

x

Dengan menggunakan syarat batas pada permukaan konduktor sempurna, yaitu :

)101.2.....(..................................................0ˆdan 0.ˆ BnBn

Dengan n adalah vektor satuan normal pada konduktor, maka kita akan

memperoleh :

Ex = 0 (di permukaan)…………………………....(2.102.a)

0

nBx (di permukaan)…………………………(2.102.b)

Bila Ex=0, disebut gelombang TE (Transverse Electric), bila Bx=0, disebut

gelombang TM (Transverse Magnetic), dan bila Ex=0 dan Bx=0, disebut

gelombang TEM (Transverse Electric Magnetic).


Gelombang Optik

Pada pandu gelombang berbentuk selubung, kasus TEM tidak pernah terjadi, hal

ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :

Bila Ex=0, maka menurut hukum Gauss haruslah berlaku hubungan :

)103.2........(........................................0

zE

yE

zy

Dan bila Bx=0, maka menurut hukum Faraday berlaku hubungan :

)104.2....(........................................0

zE

yE

zy

Karena E=0 di permukaan logam, maka potensial listrik V=konstan pada

permukaan logam. Menurut hukum Gauss atau persamaan Laplace untuk V,

berlaku pula V=konstan di dalam rongga. Ini berarti E=0 di dalam rongga. Dari

persamaan EtB

, berarti B tidak bergantung pada waktu. Dengan

demikian, tidak ada gelombang di dalam rongga.

Seperti halnya untuk semua gelombang berjalan, maka frekuensi dari

gelombang-gelombang elektromagnet yang berjalan ke bawah sebuah pandu

gelombang dapat diubah secara kontinu. Akan tetapi, di dalam sebuah pandu

gelombang yang dimensinya diberikan, maka untuk tiap-tiap ragam transmisi,

yakni untuk tiap-tiap pola dari E dan B, terdapat apa yang dinamakan frekuensi

pancung (cut off frequency) 0. Sebuah pandu gelombang yang diberikan tidak

akan mentransmisikan gelombang di dalam sebuah ragam yang diberikan jika

frekuensi gelombang-gelombang tersebut berada di bawah nilai pancung untuk

ragam yang ada di dalam pandu gelombang (Halliday, 1992).

2.4.1 Pandu Gelombang dengan Penampang Segi Empat

Sekarang kita perhatikan pandu gelombang dengan bentuk penampang

segi empat seperti pada gambar (2.11)


Gelombang Optik

Gambar 2.11

Pandu Gelombang Segi Empat

Masalah ini merupakan penyelesaian persamaan (2.100) dengan syarat batas

seperti pada persamaan (2.101). Kita dapat menyelesaikannya dengan separasi

variabel sebagai berikut :

Misalkan : Bx(y,z)=Y(y)Z(z)…………………………………………..(2.105)

Substitusi ke dalam persamaan (2.100), menghasilkan :

)106.2.(........................................022

2

2

2

2

YZk

cdzZdY

dyYdZ

Ruas kiri dan ruas kanan persamaan (2.106), kita bagi dengan YZ :

).107.2...(........................................011 22

2

2

2

2

akcdz

ZdZdy

YdY

Persamaan (2.107.a) dapat kita tuliskan dalam bentuk :

).109.2.......(......................................................................1

).108.2......(......................................................................1

).107.2.....(..................................................0

22

2

22

2

22

22

bkdz

ZdZ

akdy

YdY

bkc

kk

z

y

zy

Solusi dari persamaan (2.108.a) adalah :

Y=A sin (kyy) + B cos (kyy)………………………………….(2.109)

Kemudian kita terapkan syarat batas 0dydY

, di y = 0 dan di y = a, diperoleh


Gelombang Optik

)110.2(................................................................................a

m

atau

...0,1,2,3,..mdengan ma maka),asin(0

0A maka ,0

)sin()cos(

y

yyy

y

yyyy

k

kkBk

Ak

ykBkykAkdydY

Dengan cara yang sama, kita terapkan pada persamaan (2.108.b), akan

menghasilkan :

)111.2.(................................................................................b

nzk

Sehingga persamaan (2.105) menjadi :

)112.2....(........................................b

cos.a

cos.),(

znymBzyBx

Untuk mencari bilangan gelombang k, kita substitusikan persamaan (2.110) dan

persamaan (2.111) ke dalam persamaan (2.107), akan diperoleh :

pancung. frekuensidisebut

)114.2(..................................................bn

am

dengan

)113.2.(............................................................1atau

)113.2......(..............................bn

am

22

mn

22

222

2

c

bc

k

ac

k

mn

Frekuensi pancung terendah terjadi pada m=1 dan n=0, jadi :

ac

10

Frekuensi ini merupakan frekuensi ambang, gelombang dengan frekuensi di

bawah frekuensi pancung 10, tidak akan dirambatkan di dalam pandu gelombang.

Kemudian kita dapat mencari kecepatan group, yang merupakan laju di mana

66ystem dirambatkan, yaitu :


Gelombang Optik

ddk

dkdvg

1v

atau

g

Kecepatan group ini dapat disederhanakan, yakni dengan mendiferensialkan

persamaan (2.113) terhadap , kemudian hasilnya disubstitusikan ke dalam

persamaan terakhir, akan diperoleh :

)115.2........(............................................................12

mm

g cv

2.4.2 Pandu Gelombang Jalur Transmisi Koaksial

Gambar (2.12) memperlihatkan pandu gelombang berupa jalur transmisi koaksial

(coaxial transmition line), terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktor

silinder. Kawat panjang ini terletak tepat pada sumbu silinder.

Dengan mengacu pada persamaan (2.98), dapat kita tuliskan :

).118.2..(............................................................0

).118.2.(............................................................0

).118.2.(............................................................0

).118.2.(............................................................0

)117.2......(........................................dan

dz

ByB

cz

By

B

bz

Ey

E

az

Ey

E

EcBEcB

yz

zy

yz

zy

zyyz

Gambar 2.12

Pandu gelombang jalur transmisi koaksial


Gelombang Optik

Persamaan (2.118) di atas dapat kita cari solusinya dengan menggunakan sistem

koordinat silinder. Dalam sistem koordinat ini :

1

ˆ1

00

00

rcEB

rr

EE

Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan (2.97), serta dengan

mengambil bagian realnya, akan kita peroleh :

)120.2........(..................................................ˆ)cos(

)119.2........(..................................................ˆ)cos(

00

00

rtkx

cE

B

rr

tkxEE

BAB III

PENUTUP

3.1 Simpulan

Berdasarkan pemaparan pada bab sebelumnya, maka dapat ditarik

kesimpulan sebagai berikut :

1. Persamaan gelombang elektromagnetik berdasarkan penurunan persamaan

Maxwell adalah :

012

2

22

tE

cE

012

2

22

tE

cB

2. Arah getar dari gelombang medan listrik adalah tegak lurus pada arah

gerak rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyai komponen-

komponen pada arah yang tegak lurus pada arah rambat. Arah getar

gelombang medan magnet pun tegak lurus terhadap arah rambatnya.


Gelombang Optik

Sehingga dapat kita simpulkan bahwa gelombang elektromagnetik

merupakan gelombang transversal. Hal ini dapat kita lihat berdasarkan

persamaan berikut :

0),(

z

tzEz

0),(

z

tzBz

3. Pengertian fisik dari vektor poynting yaitu menggambarkan laju energi per

satuan waktu per satuan luas penampang medium yang dilalui oleh

gelombang, baik harga sesaat maupun harga rata-rata, dengan

persamaannya adalah sebagai berikut :

)(1

0

BES

4. Persamaan Maxwell gelombang elektromagnetik dalam medium non

konduktif dan konduktif adalah :

Medium non-konduktif

2 - 2

2

t = 0

Medium konduktif

02

22

tE

tEE

Kecepatan fase gelombang pada medium konduktif lebih kecil dari pada

kecepatan fase gelombang pada medium non konduktif, dengan faktor redaman

dalam perambatan energi adalah z

e2

.

5. Besarnya frekuensi plasma gelombang elektromagnetik adalah :

0

22

mqN e

p


Gelombang Optik

0

2

mqN e

p

Jika p , maka nilai indeks bias n berupa bilangan imajiner, ini berarti bahwa

gelombang di dalam plasma tersebut akan diredam, dan bila p ,maka nilai

indeks bias n berupa bilangan nyata (real), sehingga gelombang akan diteruskan.

6. Nilai R (koefisien refleksi) dan T (koefisien transmisi) gelombang

elektromagnetik pada kasus pemantulan dan pembiasan adalah :

cos.cos.

cos..2

21

1

nnn

TTM

coscos.cos.cos.

21

21

nnnnRTE

7. Besarnya kecepatan grup gelombang elektromagnetik dengan konsep

pandu gelombang adalah :

ddk

dkdvg

1v

atau

g

3.2 Saran

Adapun saran yang dapat penulis sampaikan kepada pembaca adalah

hedaknya kita memperdalam pengetahuan mengenai persamaan Maxwell dan

gelombang elektromagnetik. Karena persamaan Maxwell merupakan dasar dari

persamaan gelombang elektromagnetik, serta gelombang elektromagnetik tidak

terlepas dari kehidupan manusia sehari-hari.


Gelombang Optik


laporan gelombang dalam ruang 2 dan 3 dimensi.doc

Documents