SEMIKONDUKTORKUMPULAN TUGAS KULIAH

OLEH:

ALVIN RAHMAT

JAMALUDDIN

HELGA DWI FAHYUAN

MELI MUCHLIAN

MERRY THRESSIA

Dosen: Drs. Alimin Mahyudin. M.Si

PROGRAM STUDI FISIKA PASCASARJANAUNIVERSITAS ANDALAS2012

TUGAS I

MENENTUKAN MASSA EFEKTIF DENGAN METODA RESONANSI SIKLOTRON, MASSA EFEKTIF 3D DAN

GAMBARAN MASSA EFEKTIF 3D UNTUK Si, Ge, GaAs

A. Massa Siklotron

Energi partikel elektron bebas dalam komponen vektor gelombang paralel (kz) dan

tegak lurus (k⊥) terhadap medan magnet, energi permukaan ε konstan diperoleh dari

hubungan (kz, k⊥) yang memenuhi persamaan :

(1)

Ruang k ini bersilangan dengan kz adalah :

(2)

Hal ini menyiratkan bahwa :

(3)

Jika persamaan ini disubstitusikan pada persamaan siklotron

(4)

Yang diperoleh untuk elektron bebas.

Perioda dan frekuensi siklotron untuk elektron bebas adalah :

(5)

Spektrum energi partikel dengan massa siklotron mc dapat didefinisikan sebagai :

(6)

Dengan mengulangi langkah perhitungan kasus elektron bebas, kita dapat

menetapkan energi elektron Bloch yang dikarakteristikkan oleh massa efektif skalar m*,

sehingga massa siklotron menjadi sama dengan massa efektif yang diperoleh dari struktur

pita.

mc = m* (7)

Hubungan dispersi umum elektron Bloch dengan energi permukaan konstan,

orientasi ellipsoid berada di sekitar minimum dan maksimum, dimana hubungan dispersi

dapat didekati dengan ekspresi kuadrat, dan persimpangan dari permukaan Fermi tegak

lurus bidang terhadap medan magnetik elips. Seperti terlihat pada Gambar 1 orbit siklotron

bergantung pada titik di permukaan Fermi. Periode dan frekuensi gerak siklotron elektron,

terbebas dari parameter ketinggian (kz) dan yang hanya tergantung pada orientasi medan

magnet yang diterapkan pada sumbu utama permukaan fermi elipsoid. Massa siklotron

adalah komponen rata-rata tensor massa efektif saat diberikan medan magnet sepanjang

sumbu z.

(8)

Gambar 1. Orbit eliptik siklotron pada permukaan Fermi elipsoidal

Cara paling mudah untuk menurunkan ini adalah dengan memecahkan persamaan

gerak elektron yang diterapkan pada persamaan dispersi medan magnet dalam arah z.

(9)

Metode ini akan kita terapkan dalam perhitungan masa elektron setelah tabrakan.

Untuk menyederhanaan notasi, kita akan menggeser asal ke k0. Menghitung

kecepatan dalam persamaan gerak semiklasik hubungan dispersi, didapatkan:

(10)

Karena gerakan ini periodik, kita mencari solusi dari bentuk k e−i ωc t. Rumus di atas

kemudian diarahkan ke persamaan homogen.

(11)

Solusi nontrivial muncul ketika determinan yang dibentuk dari koefisien tersebut

hilang :

(12)

Salah satu solusinya adalah, ωc = 0. Sehingga solusi secara fisika diperoleh dari persamaan

(13)

Dengan mendefinisikan massa siklotron dengan cara lama, dan mengubahnya menjasi

tensor massa efektif M* dari invers tensor massa efektif M*-1, persamaan massa siklotron

(pers. 8) dibawah terselesaikan.

Hasil untuk kasus sumbu koordinat yang dipilih sepanjang sumbu utama di

permukaan Fermi ellipsoid dengan mengabaikan induksi magnetik dot dalam arah keadaan

simetri. Tensor massa effektif menjadi diagonal, sehingga hubungan tersebut dapat ditulis

sebagai :

(14)

dan, menurut asumsi kami, massa positif masing-masing dalam tiga arah. Menentukan

proyeksi dari medan magnet sepanjang sumbu utama dalam arah cosinus α1, α2, dan α3 :

(15)

Persamaan gerak untuk komponen sepanjang sumbu utama adalah :

(16)

Selanjutnya untuk mencari solusi dari bentuk k e−i ωc t

(17)

diperoleh, maka kondisi keberadaan solusi nontrivial adalah:

(18)

Perluasan dari determinan mengarah ke persamaan kubik dalam ωc:

(19)

Hal ini terlihat bahwa solusi pertama adalah ωc = 0. Dua lainnya adalah dalam bentuk :

(20)

Hubungan antara massa siklotron dan frekuensi siklotron, diberikan dalam persamaan (5),

menjadi :

(21)

Dalam kasus khusus ketika energi yang diberikan :

(22)

yaitu, massa longitudinal dan transversal (seperti pada semikonduktor), dan medan magnet

yang membuat sudut θ terhadap sumbu z, maka massa siklotron adalah :

(23)

B. Resonansi Siklotron dan Energi Permukaan Elipsoid

Pertama kita tinjau kasus energi di permukaan bola dan massa efektif skalar. Gaya

Lorentz pada hole (dimisalkan hole dalam sampel tipe-p untuk perhitungan spesifik)

diberikan oleh persamaan :

(1)

Jika massa efektif m p¿ dalam arah sembarang, dan vektor medan listrik berosilasi, frekuensi

ω, maka untuk getaran sepanjang arah x, maka :

(2)

Sementara

(3)

dan komponen gaya Lorentz yang diberikan dalam persamaan gerak :

(4)

(5)

(6)

Dalam menulis persamaan ini vektor medan magnet rf yang dibandingkan medan Bo

konstan diabaikan. Persamaan komponen z (pers. 6) hanya memberitahu kita bahwa partikel

bergerak dengan kecepatan konstan sepanjang arah z. Persamaan komponen x dan y dapat

ditulis

(7)

(8)

dimana ω0 adalah frekuensi

(9)

yang berhubungan dengan efek Hall.

Jika solusi osilasi x=x0 eiωtdan y= y0e iωt` maka

(10)

dan

(11)

yang dapat diselesaikan untuk amplitudo xo dan yo, sehingga

(12)

(13)

Ketika ω=ω0=e B0/mp¿ resonansi terjadi dan amplitudo menjadi sangat besar.

Frekuensi resonansi ω0sering disebut sebagai frekuensi siklotron. Jikaω0 diukur

secara eksperimen dan induksi medan magnet Bo diketahui, massa efektif m p¿, dapat

ditentukan. Dalam prakteknya, efek resonansi siklotron merupakan suatu metode terbaik

untuk mengukur massa efektif. Dari persamaan 12 dan 13 dapat dilihat ω→ ω0

(14)

Dimana

(15)

(16)

Pada saat resonansi, x (t) dan y (t) adalah getaran harmonik ortogonal dari jumlah

amplitudo yang berbeda fase sebesar 90°. Hal ini terlihat bahwa lintasan partikel yang

dihasilkan berbentuk orbit melingkar.

Nilai energi minimum dalam zona tidak selalu berada pada k = 0, tetapi mungkin

berada di tempat lain dalam zona. Keadaan ini diamati pada elektron di pita konduksi

germanium dan silikon. Karena kisi berlian adalah FCC dengan jarak diagonal a√ 34

.

Grafik hubungan E terhadap k sepanjang arah (100) di zona Brillouin untuk elektron pada

pita konduksi silikon ditunjukkan pada Gambar 1. Nilai ε terkecil dicapai saat nilai k 0.8

(2π/a).

Gambar 2. Hubungan ε vs k untuk (a) pita konduksi silikon, diplot sepanjang arah kx (b)

pita konduksi germanium, diplot sepanjang (111) arah ruang k

Energi εc mewakili energi kinetik elektron bebas dalam pita konduksi, dimana

(17)

Gambar 3 adalah elipsoidal energi permukaan dalam ruang k.

Gambar 3. Ellipsoidal energi permukaan konstan dalam ruang k untuk (a) silikon dan (b)

germanium. Dalam silikon sumbu utama dari ellipsoids di sepanjang arah {100}, sementara

di germanium, karena energi minimum pada batas zona, permukaan energi yang konstan

membentuk delapan setengah-ellipsoids yang utama terletak di sepanjang sumbu arah

{111}.

Selanjutnya efek resonansi siklotron material pada energi permukaan ellipsoid.

Pertama dihitung frekuensi resonansi yang berhubungan dengan ellipsoid tunggal, yang

diasumsikan simetris terhadap sumbu kz dan berpusat pada titik kzo, seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 3. Induksi magnetik B, membuat sudut θ dengan sumbu utama

elipsoid. Dalam keadaan ini, persamaan gerak (untuk partikel muatan e positif) dapat ditulis

dalam bentuk tensor

(18)

yang merupakan kebalikan dari massa efektif

(19)

Gambar 4. Geometri vektor yang digunakan untuk perhitungan

Hubungan antara ε dan k untuk kasus energi permukaan ellipsoid ditunjukkan pada

Gambar 4 harus, menurut persaman 17 maka

(20)

Komponen tensor (1/m*)αβ sekarang ditemukan

(21)

Dalam hal ini, ∂2 ε

∂ kα ∂ k β

=0, untuk α ≠β sehingga semua elemen tensor diagonal adalah nol.

Elemen-elemen diagonal mudah dievaluasi, hasilnya menjadi

(22)

Tensor massa efektif memiliki bentuk

(23)

dan

(24)

Dengan memasukkan komponen gaya Lorentz Fx, Fy, dan FZ dan menyamakan ke

komponen dv/dt seperti yang diarahkan persamaan 18, persamaan gerak dapat ditulis :

(25)

Perhatikan bahwa Bx =Bo sin θ, Bz = Bo cos θ, By = 0, E y=E0 e iωt, E x=E y=¿0. Persamaan

ini dapat dinyatakan sebagai :

(26)

Dimana

(27)

Seperti sebelumnya, solusi osilasi diasumsikan dalam bentuk x (t)=x0 e iωt,y (t )= y0 eiωt dan

z (t)= z0 e iωt, disubstitusikan ke dalam persamaan gerak 23 dan amplitudo diselesaikan

untuk mendapatkan

(28)

Amplitudo ini menjadi sangat besar saat

(29)

C. Massa Efektiv 3D

Persamaan gerak semi klasik

(1)

(2)

Selanjutnya persamaan diatas diolah dalam

(3)

Nilai massa didefinisikan dalam hukum Newton adalah :

(4)

Disebut massa efektif dinamis, karena perubahan massa dalam k mengakibatkan perubahan

waktu sesuai yang dengan k. Pengecualian dalam tinjauan 3-D, nilai F dan a tidak selalu

dalam arah titik yang sama.

(5)

dimana

(6)

(7)

Hubungan struktur pita, kecepatan dan massa efektif adalah seperti terlihat pada

Gambar 5.

Gambar 5. Struktur pita, kecepatan dan massa efektif

D. Orientasi Massa Efektiv Si, Ge dan GaAs

Gambar 6. Orientasi Massa Efektif Si, Ge dan GaAs

E. Massa Efektif, Pita energi maksimum dan minimum dari Ge, Si dan GaAs

Tabel 1 : Massa Efektiv, Pita energi maksimum dan minimum dari Ge, Si dan GaAs

TUGAS II

IKATAN LOGAM DAN MENENTUKAN JUMLAH ELEKTRON DALAM LOGAM

A. Ikatan Logam

Atom logam dapat berikatan sambung menyambung ke segala arah sehingga

menjadi molekul yang sangat besar sehingga atom tersebut terikat kuat dan menjadikan

logam berwujud padat (kecuali Hg cair) dan umumnya keras. Mekanisme pembentukan

ikatan logam belum diketahui secara pasti karena atom logam cenderung melepaskan

elektron valensinya (agar sesuai dengan aturan oktet), maka atom logam mampu

melepaskan satu, dua, tiga atau empat elektronnya tapi teori ini tidak ada yang

menerimannya.

Teori (pendekatan) yang menjelaskan tentang ikatan logam :

1. Teori Drude dan Lorentz

Pada tahun 1900 Drude berpostulat bahwa logam terdiri atas pusat-pusat (cores) ion

positif dengan elektron valensi yang bebas bergerak di antara pusat-pusat ion tersebut.

Elektron-elektron valensi tersebut dibatasi untuk bergerak di dalam logam akibat adanya

gaya tarik elektrostatis antara pusat-pusat ion positif dengan elektron-elektron valensi.

Medan listrik seluruh bagian dalam logam ini dianggap konstan, dan gaya tolak antara

elektron-elektron tersebut diabaikan. Tingkah laku elektron-elektron yang bergerak dalam

logam dianggap sama dengan tingkah laku atom atau molekul gas mulia. Karena itu,

elektron-elektron ini juga dianggap bebas dan sering disebut gas elektron bebas. Dan teori

yang membahas gas elektron bebas ini sering disebut model gas elektron bebas.

Namun demikian, sesungguhnya gas elektron bebas berbeda dengan gas biasa.

Perbedaan pertama adalah bahwa gas elektron bebas bermuatan negatif sedangkan molekul-

molekul dari gas biasa netral. Kedua, konsentrasi elektron bebas dalam gas elektron bebas

jauh lebih besar dari pada konsentrasi molekul dalam gas biasa.

Elektron valensi sering disebut sebagai elektron konduksi dan mematuhi prinsip

Pauli. Elektron-elektron ini bertanggung jawab atas hantaran arus listrik dalam logam.

Karena elektron-elektron konduksi bergerak di dalam medan elektrostatis serbasama

(uniform) ditimbulkan oleh pusat-pusat ion, maka energi potensial tetap konstan dan sama

dengan nol. Artinya keberadaan pusat-pusat ion diabaikan. Dengan demikian, energi

elektron konduksi sama dengan energi kinetiknya. Karena gerakan electron konduksi

dibatasi dalam logam, maka energi potensial elektron dalam logam lebih kecil dari pada

energi potensial elektron diluar permukaan logam. Perbedaan energi potensial ini berfungsi

sebagai penghalang dan menyebabkan elektron-elektron dalam logam tidak dapat keluar

meninggalkan permukaan logam tersebut. Oleh karena itu, dalam model gas elektron bebas

gerakan elektron-elektron bebas dalam sebuah logam adalah sama dengan gerakan sebuah

gas elektron bebas di dalam sebuah kotak energi potensial. Elektron konduksi yang

dibicarakan sekarang ini adalah elektron konduksi dalam logam yang belum diberi sumber

tegangan (beda potensial).

Dengan mengacu pada postulat Drude, gas elektron bebas bersifat seperti gas mulia.

Tahun 1909 Lorentz berpostulat bahwa elektron-elektron penyusun gas elektron bebas

dalam keadaan ekuilibirum mematuhi statistika Maxwell-Boltzmann. Kedua postulat ini

sering dipadukan dan sering disebut Teori Drude-Lorentz. Karena teori ini didasarkan pada

statistika klasik Maxwell-Boltzmann, teori ini disebut Teori Klasik. Meskipun teori ini

bersifat klasik, namun telah berhasil digunakan untuk menjelaskan beberapa sifat logam.

Contoh teori ini berhasil membuktikan keabsahan hukum Ohm. Di samping itu, karena

elektron bebas dengan mudah bergerak dalam logam, beberapa logam menunjukkan adanya

konduktivitas listrik dan konduktivitas panas yang tinggi. Ratio antara konduktivitas listrik

( ) terhadap konduktivitas panas ( ) selalu konstan.

= konstan (1)

Persamaan in sering disebut hukum Wiedemann-Franz.

Di samping keberhasilannya, teori ini memiliki kegagalan, diantaranya dalam

menjelaskan ketergantungan resistivitas terhadap temperatur. Menurut teori ini, resistivitas

listrik merupakan fungsi akar kuadrat dari temperatur T. Padahal resistivitas listrik

merupakan fungsi linier dari temperatur. Kegagalan lainnya adalah tentang kapasistas panas

elektron konduksi dan suseptibilitas paramagentik elektron konduksi. Teori ini gagal

menjelaskan kapasitas panas elektron konduksi dan suseptibilitas paramagentik elektron

konduksi. Kapasitas panas dan suseptibilitas paramagnetik yang dihitung oleh teori ini lebih

besar dari nilai yang diamati secara eksperimen.

2. Pendekatan Teori Ikatan Valensi

Logam dalam keadaan padat mempunyai bilangan koordinasi (BK) yang cukup

besar, artinya satu atom berikatan dengan banyak atom tetangganya. Oleh karena itu

elektron valensi atom logam dapat membentuk pasangan terikat dengan elektron valensi

atom lain didekatnya tetapi sifatnya tidak tetap dan hanya sesaat untuk kemudian terikat

kembali dengan atom tetangga yang lainnya.

Sebagai contoh ikatan logam pada Natrium (titik leleh 97,80C), meleleh pada suhu

yang jauh lebih tinggi dibandingkan Neon. Natrium memiliki konfigurasi elektron

1s22s22p63s1. Ketika atom-atom Natrium datang secara bersamaan, elektron pada orbital 2s

dari satu atom natrium membagi ruang dengan elektron yang bersesuaian pada atom

tetangganya untuk membentuk sebuah orbital molekul.

3. Pendekatan Teori Orbital Molekul (TOM)

Menurut TOM dalam senyawa hanya ada orbital molekul (tidak ada orbital atom),

oleh karena itu dalam logam yang berupa molekul raksasa terdapat molekul raksasa karena

semua elektron atom logam berada dalam orbital molekul sehigga atom – atom tersebut

terikat kuat satu sama lain. Orbital s dalam semua atom logam, saling tumpang tindih

untuk memberikan orbital molekul dalam jumlah yang sangat banyak.

Ciri-ciri ikatan logam:

1. Atom logam dapat diibaratkan seperti bola pingpong yang terjejal rapat satu sama lain.

2. Atom logam mempunyai sedikit elektron valensi, sehingga sangat mudah untuk

dilepaskan dan membentuk ion positif.

3. Kulit terluar atom logam relatif longgar (terdapat banyak tempat kosong) sehingga

elektron dapat berpindah dari satu atom ke atom lain.

4. Mobilitas elektron dalam logam bebas, sehingga elektron valensi logam mengalami

delokalisasi yaitu keadaan elektron valensi yang tidak tetap posisinya pada satu atom,

tetapi senantiasa berpindah-pindah dari satu atom ke atom lain.

5. Elektron-elektron valensi tersebut berbaur membentuk awan elektron yang

menyelimuti ion-ion positif logam.

6. Struktur logam dapat menjelaskan sifat-sifat khas logam yaitu :

a. Berupa zat padat pada suhu kamar, akibat adanya gaya tarik-menarik yang cukup

kuat antara elektron valensi (dalam awan elektron) dengan ion positif logam.

b. Dapat ditempa (tidak rapuh), dapat dibengkokkan dan dapat direntangkan menjadi

kawat. Hal ini akibat kuatnya ikatan logam sehingga atom-atom logam hanya

bergeser sedangkan ikatannya tidak terputus.

c. Penghantar / konduktor listrik yang baik, akibat adanya elektron valensi yang

dapat bergerak bebas dan berpindah-pindah. Hal ini terjadi karena sebenarnya

aliran listrik merupakan aliran elektron.

B. Menentukan Jumlah Elektron Dalam Logam

Dalam zat padat masing-masing atom menyumbangkan satu elektron bebas pada

gas elektron. Sehingga dalam satu kilomole logam terdapat No elektron bebas. Jika

elektron-elektron tersebut berkelakuan seperti molekul-molekul dalam gas ideal, maka

masing-masing elektron akan memiliki energi kinetik rata-rata 32

kT, dan dalam tiap

kilomole logam akan terdapat energi kinetik sebesar

U e=32

N okT = 32

RT (1)

Oleh karena itu ada sumbangan panas jenis molar dari elektron bebas sebesar

c ve=(∂U e

∂T )v=3

2R

(2)

Dengan demikian panas jenis molar logam akan menjadi

cv≈ 3R + 32

R ≈ 92

R (3)

Akan tetapi kenyataannya panas jenis zat padat baik logam dan non logam pada suhu tinggi

secara eksperimen diperoleh cv≈ 3R , dari keadaan ini dapat disimpulkan bahwa elektron

bebas tidak memberikan kontribusi terhadap panas jenis padatan sebesar yang dihasilkan

persamaan (2).

Kita dapat memahami sifat-sifat dari logam secara sederhana melalui model

elektron bebas. Menurut model elektron bebas, elektron valensi dari atom-atom penyusun

padatan logam menjadi elektron konduksi dan bergerak bebas disekitar inti logam pada

keseluruhan volume logam. Elektron-elektron bebas dipantulkan oleh medan potensial yang

kuat dari ion inti logam.

Tataran Energi Elektron Fermi

Tinjaulah gas elektron bebas dalam satu dimensi, dengan menggunakan teori

kuantum dan prinsip Pauli. Sebuah elektron dengan massa m dibatasi geraknya sepanjang L

oleh sumur tak berhingga, seperti pada Gambar (1).

Gambar 1. Tingkat Energi dan Keadaan Gelombang Stationer Elektron Bebas

Fungsi gelombang (x) dari elektron merupakan penyelesaian dari persamaan

Schrodinger H = E, dengan mengabaikan energi potensial diperoleh H = p2/2m, di mana

p adalah momentum elektron bebas. Dalam teori kuantum p dapat dinyatakan dengan -iℏ

d/dx, sehingga

HΨ n=− ℏ2

2m

d2Ψ n

dx 2=EnΨ n

(4)

di mana En adalah energi elektron dalam orbital. Orbital menyatakan penyelesaian dari

persamaan gelombang hanya untuk satu elektron. Sesuai dengan gambar (1) maka

persamaan (4) berlaku syarat batas yaitu n (0) = n (L) = 0. Penyelesaian yang cocok dari

persamaan (4) adalah sebuah gelombang sinosoidal

Ψ n=A sin (2 πλn

x ); (5)

dengan 12

nλn= L dan A tetap dan energi En diperoleh

En=ℏ2

2m ( nπL )

2 (6)

Berdasarkan Prinsip Larangan Pauli tidak ada dua elektron yang dapat memeilki

semua bilangan kuantum yang sama, dengan demikian masing-masing orbital paling

banyak hanya bisa ditempati oleh satu elektron. Dalam kisi linier bilangan kuantum dari

orbital elektron konduksi adalah n dan ms, dengan n bilangan bulat positif dan ms = ½

merupakan bilangan kuantum spin magnetik. Jika nF menyatakan tataran energi tertinggi

yang terisi dimana pengisian mulai dari n = 1 sampai semua N elektron terakomodasi, maka

diperoleh

EF=ℏ2

2m ( nF π

L )2

= ℏ2

2 m (Nπ2L )

2 (7)

yang menyatakan tataran energi elektron tertinggi dalam satu dimensi.

Dalam tiga dimensi maka persamaan Schrodinger menjadi;

− ℏ2

2m ( ∂2

∂ x2+ ∂2

∂ y2+ ∂2

∂ z2 )Ψ k (r )=Ek Ψ k (r )(8)

Anggaplah elektron terkurung dalam kotak dengan sisi L maka fungsi gelombang dalam

bentuk gelombang berdiri adalah;

Ψ (r )=A sin ( πnx x

L )sin( πn y y

L )sin( πnz z

L ) (9)

dimana nx, ny, dan nz adalah bialngan-bilangan bulat positif. Dalam hal ini berlaku syarat

batas periodik fungsi gelombang

(x + L,y,z) = (x,y,z)

(x ,y + L,z) = (x,y,z)

(x ,y,z + L) = (x,y,z)

(10)

Penyelesaian dari persamaan Schrodinger untuk tiga dimensi sesuai dengan syarat batas

persamaan (10) adalah.

k (r) = ei(k.r) (11)

dengan

k x= 0; ±2 πL

; ± 4 πL

; .. .(12)

demikian juga untuk ky dan kz . Dengan memasukkan persamaan (11) ke persamaan (8)

persamaan energi orbital dengan vektor gelombang k.

Ek=ℏ2k2

2m= ℏ2

2m(k x

2+k y2 +k z

2)(13)

besaran dari vektor gelombang terkait dengan panjang gelombang yaitu k = 2 / .

Energi sebagai fungsi dari k dilukiskan pada Gambar 2.

Gambar 2. Energi elektron bebas sebagai fungsi k

Fungsi gelombang di atas memenuhi 2 = 1, yang berarti bahwa elektron memiliki

probabilitas yang sama untuk ditemukan pada setiap tempat dalam kisi. Dengan

menganggap elektron berada pada energi potensial yang tetap maka energi elektron yang

digambarkan dengan fungsi gelombang di atas dikaitkan dengan energi kinetik elektron

dengan momentum p = ℏ .k adalah;

E = p2

2me

=ℏ2k2

2m e

(14)

Model elektron bebas mengijinkan semua harga k, akibatnya juga berlaku untuk

semua harga enegi Ek, yang berarti bahwa model elektron bebas tidak menyediakan

informasi tentang lebar sebuah pita energi, tetapi kita dapat menentukan lebar pita energi

dengan cara berikut; tinjaulah sebuah kisi linier dengan panjang L terdiri dari N ion yang

saling berjarak a, sehingga L = N.a. Untuk memperoleh gelombang tegak maka panjang-

gelombang elektron harus memenuhi persyaratan n(/2) = L. Untuk setiap harga n

menyatakan sebuah hasil keadaan stasioner, tapi telah diketahui bahwa pita dalam kisi

disusun oleh N ion yang hanya memiliki N keadaan. Oleh karena itu harga-harga yang

mungkin dari n adalah; 1, 2, 3, ..............., N. Karena k = 2/, maka selanjutnya dapat

diperoleh k =nπ

L

Momentum linier dalam mekanika kuantum dinyatakan dengan operator p = -iℏ ,

dengan demikian untuk persamaan (11) diperoleh hubungan,

pk (r) = -iℏ k (r) = ℏ k k (r) (15)

jadi k merupakan fungsi eigen dengan nilai eigen adalah ℏ k. Kecepatan elektron bebas

dalam orbitel ke k adalah v = ℏ k/m.

Dalam keadaan dasar sebuah sistem N elektron bebas, orbital yang terisi dinyatakan

sebagai titik-titik di dalam ruang bola k. Energi pada permukaan bola merupakan energi

Fermi, dengan vektor gelombang pada permukaan bola adalah kF.

EF=ℏ2

2mkF

(16)

Dari persamaan (12) dapat dipahami bahwa untuk volumen (2/L)3 terdapat satu

pasangan triplet harga k ( kx ,ky dan kz ) dari ruang k. Dengan demikian jumlah orbital

yang tersedia dalam bola dengan volume 43

π k F3

adalah.

243

πk F3

(2 π /L )3= V

3π2k F

3 =N(17)

di mana faktor 2 pada persamaan sebelah kiri muncul dari karga spin magnetik yang

diizinkan. Dari persamaan (17) diperoleh.

k F=( 3π 2 NV )1

3(18)

yang hanya bergantung pada konsentrasi elektron bebas. Dengan demikian energi fermi

dari gas elektron dapat dinyatakan dengan.

EF=ℏ2

2m( 3π 2N

V )23

(19)

dengan harga energi pada persamaan (19) maka kecepatan elektron pada permukaan Fermi

adalah;

vF=( ℏ kF

m )=( ℏm )( 3 π2 N

V )13

(20)

Selanjutnya ditentukan jumlah orbital-orbital per satuan interval energi yang disebut

kerapatan keadaan D(E). Kerapatan keadaan menyatakan bagaimana elektron bebas

terdistribusi dalam sebuah pita energi dari nol sampai energi maksimum. Dari persamaan

(18) jumlah total orbital dengan energi E adalah;

N = V3 π 2 (2 mE

ℏ2 )32

(21)

sehingga kerapatan keadaan dapat diperoleh

D( E )=dNdE

= V2π2 ( 2m

ℏ2 )32 . E

12

(22)

dapat juga ditunjukkan bahwa D(E) =

3 N2E , ini menyatakan jumlah total elektron bebas

dibagi energi Fermi. Jumlah tataran energi dalam interval energi dE yang disediakan untuk

partikel bebas dapat ditentukan yaitu.

dN = V2π2 ( 2m

ℏ2 )32 . E

12 . dE

(23)

masing-masing tataran energi dapat menampung dua elektron bebas (satu dengan spin atas

dan satu dengan spin bawah). Oleh karena itu untuk satu satuan volume, maka jumlah total

elektron persatuan volume dengan energi antara E sampai (E + dE) dalam pita adalah.

dn = 1π2 ( 2 m

ℏ2 )32 . E

12 . dE= g( E ) dE

(24)

Keadaan dari g(E) sebagai fungsi E ditunjukkan oleh gambar (3) di bawah. Jumlah

elektron persatuan volume yang dapat ditampung sampai energi E adalah.

n =∫0

E

g( E ) dE

Gambar 3. Kerapatan keadaan energi elektron bebas

Oleh karena itu dapat diperoleh jumlah total elektron bebas persatuan volume yaitu;

n = 23 π2 ( 2m

ℏ2 )32 . E

32 .

(25)

Jika logam dalam keadaan dasar (pada keadaan suhu absolut nol) semua elektron

akan mengisi tataran energi yang terendah tersedia dengan tetap mengikuti prinsip larangan

Pauli. Jika jumlah total elektron persatuan volume dalam keadaan dasar adalah no lebih

kecil dari pada jumlah tataran energi dalam pita, maka elektron akan mengisi semua

keadaan energi sampai pada energi maksimum yang dinyatakan dengan EF yang disebut

dengan Energi Fermi yang harganya dapat ditentukan yaitu;

EF=ℏ2

2m (3 π2 no )23

(26)

Energi Fermi memiliki harga positif dan memegang peranan penting di dalam

penerapan fisika logam.

Statistik Distribusi Elektron Bebas

Elektron bebas dalam logam merupakan partikel yang paling sesuai dengan

karakteristik dari sistem Fermion, karena elektron bebas merupakan sistem partikel yang

tak terbedakan saling berinteraksi satu dengan yang lainnya dengan mengikuti prinsip

larangan Pauli. Elektron bebas seperti yang telah dijelaskan di atas memiliki kelompok

tataran energi yang disebut pita energi. Pita energi paling rendah terisi penuh dengan

elektron pada semua suhu, elektron pada pita ini tidak menjadi bahan bahasan, tetapi pita

energi lebih atas hanya terisi sebagian elektron sampai pada batas energi tertentu. Pengisian

elektron pada tataran energi ini sesuai dengan yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya.

Hanya elektron-elektron yang mengisi pita paling atas inilah yang memberikan kontribusi

terhadap sifat-sifat termal dari padatan jenis logam tersebut.

Untuk menentukan statistik distribusi elektron hanya akan ditinjau distribusi

elektron pada tataran energi pada pita energi yang terisi sebagian dan tataran energi lebih

di atas yang tidak terisi. Tataran energi dari pita kosong tersebut disebut pita konduksi.

Dalam hal ini diambil acuan energi nol pada batas bawah dari pita konduksi tersebut.

EFEF

Karena spektrum energi pada pita dianggap kontinu maka jumlah elektron dengan energi

antara E sampai E +dE adalah

dn = g(E) fFD (E) dE (27)

dengan g(E)dE sesuai persamaan (24) dan fFD (E) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac.

fFD (E) =

1

e(E - EF )/kT

+1

(28)

Fungsi distribusi ini mengikuti prinsip larangan Pauli. Pada T = 0 K maka fFD (E) =

1 untuk E EF dan fFD (E) = 0 untuk E EF. Untuk setiap keadaan temperatur fFD (E) = ½

untuk E = EF. Pada T = 0 K kemungkinan untuk menemukan elektron pada daerah E EF

adalah satu, artinya tidak ada kemungkinan untuk menemukan elektron pada daerah E EF,

energi tertinggi yang dapat terisi elektron adalah EF. Pada T = 0 semua tataran energi

sampai E = EF terisi sampai penuh sedangkan tataran energi E EF,tidak terisi. Pada T = 0

K semua elektron harus berada pada tataran keadaan dasar (ground state). Kemungkinan

untuk menemukan elektron dengan energi E = EF adalah ½. Keadaan dari fungsi distribusi

elektron digambarkan seperti gambar 5.4 berikut.

fFD(E) T = 0 K fFD(E) T 0 K

1,0 1,0

0,5

0 E 0 E

Gambar 4. Keadaan fungsi didtribusi Fermi Dirac Pada T = 0 K dan T 0 K

Gambar (4) dapat ditunjukkan bahwa pada temperatur lebih tinggi tataran energi E

EF, mulai terisi elektron oleh adanya perpindahan elektron dari tataran energi yang lebih

rendah. Akan tetapi hanya elektron dengan energi yang mendekati EF yang dipengaruhi

oleh kenaikan temperatur kT EF. Sehingga hanya elektron Fermi dengan energi EF dapat

berpindah mengisi tataran energi yang lebih tinggi dengan menyerap energi sebesar kT.

Dari persamaan (24), (27), dan (28) maka jumlah elektron dengan energi antar E

samapai E +dE adalah;

n( E ) dE =

1

π 2 ( 2m

ℏ2 )32 . E

12 dE

e(E - EF )/k . T

+1=

8 π (2m3 ¿h6)12 E

12 dE

e( E - EF )/k . T

+1

(29)

Energi total untuk n elektron pada suhu yang sangat rendah dapat dihitung dengan

mempertimbankan bahwa suhu mendekati 0 K, sehingga fungsi distribusi mendekati 1.

U = ∫E dN =∫E

dNdE

dE(30)

Dari persamaan (23) diperoleh

dNdE

= Vπ2 ( 2 m

ℏ2 )32 . E

12

(31)

dengan demikian diperoleh,

U =

V

π 2 (2m

ℏ2 )32 .∫

0

EF

E32 dE=

2V

5 π2 ( 2m

ℏ2 )32 EF

5/2

(32)

dengan memasukkan persamaan (27) maka persamaan (33) dapat dinyatakan menjadi,

U = U = 35

N EF(33)

Yang menyatakan energi minimum dari sebuah sistem N fermion, dengan demikian

energi arat-rata untuk setiap fermion adalah

U =35

EF(34)

Berikut ini di tunjukkan beberapa besaran energi Fermi dari beberapa logam

Tabel 1. Energi Fermi beberapa logam

Jenis logam Energi Fermi (ev)

Litium (Li) 4,72

Sodium (Na) 3,12

Aluminium (Al) 11,8

Potasium (K) 2,14

Cesium (Cs) 1,53

Tembaga (Cu) 7,04

Seng (Zn) 11,0

Emas (Au) 5,54

Perak (Ag) 5,51

TUGAS III

MENENTUKAN LEVEL FERMISEMIKONDUKTOR INTRINSIK DAN EKSTRINSIK

A. Menentukan konsentrasi elektron pada semikonduktor intrinsik

Distribusi elektron (pembawa) dalam semikonduktor :

KB = Konstanta Bolzman

f e( E)= 1

1+e(E−EF)/KBT ; untuk E EC berlaku E- EF KBT

Menghasilkan f e( E)=e(E¿¿ F−E)/KBT ¿ (1)

Rapat kebolehjadian elektron :

ge (E)=4 π ( 2 meh2 )

32 (E−EC)

12 ; misalkan : γ=4 π ( 2 me

h2 )32

ge (E)=γ (E−EC )12 (2)

Jumlah elektron dalam pita konduksi :

n(E) = ∫EC

ge ( E ) . f e (E ) dE (3)

subtitusi pers (1) & (2) ke pers (3)

n ( E )=∫EC

γ (E−EC)1 /2. 1

1+e(E−E F)/KBTdE

= ∫EC

γ (E−EC)1 /2

. e(EF−E)/KBT dE

= ∫EC

γ (E−EC)1 /2

( KBT )1/2

( KBT )1/2 e(EF−EC−E+EC )/KBT dE

= γ (KBT )1/2 ∫EC

( E−EC)1 /2

(KBT )1/2 e−(E− EC)/KBT e(EF−EC)/KBT dE

= γ (KBT )1/2e(EF−EC)/KBT ∫EC

( E−EC)1 /2

(KBT )1/2 e−(E− EC)/KBT dE (4)

Fungsi dalam integral telah menyerupai fungsi

gamma:

∫0

∞

x12 e−x dx=√π

2 (5)

Dengan permisalan, bahwa :

x=( E−EC )( KBT )

( E−EC )=¿ x . KBT

E=EC+x . KBT

dEdx

=KBT

dE=KBT dx (6)

Untuk E = EC, maka x = 0 dan E = , maka x =

Subtitusi pers (5) & (6) ke pers (4) :

Maka pers (4) menjadi :

n ( E )=¿ γ (KBT )1/2e(EF−EC)/KBT∫0

X1/2e− x KBT dx

= γ (KBT )3/2 e(EF −EC )/KBT∫0

x1 /2 e−x dx

√ π2

= √ π2

γ (KBT )3/2 e(EF −EC )/KBT ; γ=4 π ( 2 meh2 )

32

= √ π2

4 π (2 meh2 )

3/2

(KBT )3/2 e(EF−EC )/KBT

= 2 π 3/2(2 me KBTh2 )

3 /2

e(EF−EC)/KBT

= 2( 2me π KBTh2 )

3 /2

e(EF−EC)/KBT

n ( E )= NC e(EF−EC)/KBT ; NC=2(2 me π KBTh2 )

3/2

B. Menentukan konsentrasi hole pada semikonduktor intrinsik

Distribusi hole dalam semikonduktor :

f h=1−f e

= 1− 1

1+e( E−E F)/KBT (samakan penyebut)

= 1+e(E−E F)/KBT−1

1+e(E−EF)/KBT

= e(E−EF)/KBT

1+e(E−E F)/KBT : e(E−E F)/KBT

= 1e¿ ¿¿ ; jika E<EC maka berlaku untuk

EF−E≫KBT , sehingga :

f h ( E )=e(E−E F)/KBT (1)

Rapat kebolehjadian hole :

gh(E)=4 π ( 2|mh|h2 )

32 (Ev−E)

12 ; misalkan : γ=4 π ( 2|mh|

h2 )32

gh(E)=γ (Ev−E)12 (2)

Jumlah hole dalam pita valensi :

p(E) = ∫EV

gh ( E ) . f h ( E )dE (3)

subtitusi pers (1) & (2) ke pers (3)

p ( E )=∫−

EV

γ (Ev−E)1 /2. 1

e¿ ¿¿

= ∫−

EV

γ (Ev−E)1 /2 . e(E−E F)/KBT dE

= ∫−

EV

γ (Ev−E)1 /2 ( KBT )1/2

( KBT )1/2 e(E−E V−EF+EV )/KBT dE

= γ (KBT )1/2 ∫−

EV (EV −E)1 /2

(KBT )1/2 e−(EV −E )/KBT e(EV−EF )/KBT dE

= γ (KBT )1/2e(EV −EF )/KBT ∫−

EV (EV −E)1 /2

(KBT )1/2 e−(EV −E )/KBT dE (4)

Fungsi dalam integral telah menyerupai fungsi

gamma:

∫0

∞

x12 e−x dx=√π

2 (5)

Dengan permisalan, bahwa :

x=( EV −E )

(KBT )

( EV −E )=¿ x . KBT

E=EV −x . KBT

dEdx

=−KBT

dE=−KBT dx (6)

Untuk E = EV, maka x = 0 dan E = , maka x = −

Subtitusi pers (5) & (6) ke pers (4) :

Maka pers (4) menjadi :

p ( E )=¿ γ (KBT )1/2e(EV −EF )/KBT∫0

x1 /2 e−x (−KBT )dx

= −γ (KBT )3/2 e(EV −E F)/KBT∫0

x1 /2 e− x dx

- √ π2

= √ π2

γ (KBT )3/2 e(EV −E F)/KBT ; γ=4 π ( 2|mh|h2 )

32

= √ π2

4 π (2|mh|h2 )

32 (KBT )3/2 e(EV −E F)/KBT

= 2 π 3/2(2|mh|. KBT

h2 )32 e(EV−EF )/KBT

= 2( 2|mh|. π . KBT

h2 )32 e(EV−EF )/KBT

p ( E )= NV e(EV−EF )/KBT ; NV =2( 2|mh|. π .KBT

h2 )32

C. Menentukan level fermi pada semikonduktor intrinsik (murni)

Untuk semikonduktor murni (intrinsik), konsentrasi hole sama dengan konsentrasi

elektron ( n = p ).

Dimana :

n ( E )=¿ NC e(EF−EC)/KBT

p ( E )=N V e(EV−EF )/KBT

n ( E )=¿ p ( E )

NC e(EF−EC)/KBT ¿ NV e(EV−EF )/KBT

e(EF−EC−EV +E F)/KBT = N V

NC

e2 E F−EC−EV

KBT = N V

NC

(2 EF−EC−EV )

KBT=ln

NV

NC

(2 EF−EC−EV )=KBT lnN V

NC

2 EF=(E¿¿C+EV )+KBT lnNV

NC

¿

EF=(E¿¿C+ EV )

2+KBT ln

NV

NC

¿

D. Menentukan level fermi pada semikonduktor ekstrinsik tipe-n dan tipe-p

1. Tipe n

Konsentrasi pembawa dalam pita konduksi

n=N c e( E F−EC )

KBT dengan N c=2( 2 mn¿ πKBT

h2 )32

Jika semua elektron konduksi berasal dari elektron donor , maka nsama

dengan konsentrasi elektron donor (atau konsentrasi atom donor, karena setiap atom

semikonduktor ekstrinsik hanya menyumbang satu elektron) yang dieksitasi kedalam

pita konduksi. Sehingga, jumlah n sama dengan konsentrasi atom tak-murni N D

dikurangi dengan konsentrasi yang tersisa dalam pita ED (pita energi atom donor)

n=ND−N D f (ED)≅ N D e( E D−EF )

KBT

Dengan demikian

N c e( E F−E C)

KBT =N D e( ED−E F)

KBT

NC

N D

=e( E D−EF +EC−E F)

KBT

NC

N D

=e−2EF +E D+E C

KBT

e2

E F−(E¿¿ D+EC )KBT

=N D

N C

¿

2 EF−(E¿¿ D+EC)=KBT lnND

NC

¿

2 EF=(E¿¿ D+EC)+KBT lnN V

N C

¿

Tingkat energi Fermi untuk semikonduktor tipe- n

2. Tipe p

Konsentrasi hole pada pita valensi

p=N V e( EV −EF )

KBT , dengan NV =2( 2mp¿ πKBT

h2 )32

N A f (EA) aseptor dengan konsentrasi N A diionisasikan negatif dengan memberikan

elektron dari jalur valensi yang menaikkan jumlah hole yang sama disana.

Sehingga

p=N A−N A f (E A)≅ N A e( E F−E A )

KBT ,

Dengan demikian

NV e( EV −EF )

KBT =N A e( EF −E A)

KBT

NV

N A

=e( EF +E F−E A−E V )

KBT

NV

N A

=e2E F−E A−E V

KBT

2 EF−(E¿¿ A+EV )=KBT lnNV

N A

¿

Tingkat energi fermi untuk semikonduktor tipe-p

TUGAS IV

MEMBUKTIKAN HUBUNGAN EINSTEIN

DALAM MENGHITUNG RAPAT ARUS,

PERSAMAAN KONTINUITAS SEMIKONDUKTOR TIPE-n DAN TIPE-p

A. Membuktikkan hubungan Einstein dalam menghitung rapat arus baik tipe-n

maupun tipe-p

Ada dua macam mekanisme yang menyebabkan arus mengalir :

1. Arus drift (hanyut)

Adalah Arus listrik mengalir disebabkan oleh pergerakan partikel bermuatan

(elektron dan hole) karena adanya medan listrik E. Ketika semikonduktor diberi

medan listrik E, maka partikel-partikel bermuatan dalam semikonduktor tersebut

akan bergerak (hanyut) dengan laju/ kecepatan yang berbanding lurus dengan medan

listriknya.

Gambar 1 : Gerakkan elektron dan hole dalam medan listrik

Jika sebuah medan listrik diberikan pada suatu semikonduktor, maka medan listrik

ini akan menghasilkan gaya yang bekerja baik pada elektron bebas ataupun hole,

yang lalu akan mengalami pergerakan dan kecepatan drift. Dari Gambar 1 dapat

dilihat arah gerak elektron berlawanan dengan arah medan listrik, sehingga

menghasilkan gaya pada elektron bermuatan negatif, sedangkan arah gerak hole

searah dengan arah gerak medan listrik, sehingga menghasilkan gaya pada hole

dengan muatan positif. Elektron dan hole tersebut akan memperoleh kecepatan drift

besar :

kecepatan elektron yang bermuatan −q vn=−μn ε (1)

kecepatan hole yang bermuatan +q v p=+μp ε (2)

keterangan : vn = laju / kecepatan elektron (m/s)

v p = laju / kecepatan hole (m/s)

μn= mobilitas elektron (m2/V.s)

μp= mobilitas hole (m2/V.s)

μndan μp (m2/V.s) di sebut dengan mobilitas pembawa. Mobilitas ini dapat dipandang

sebagai sebuah parameter yang mengindikasikan seberapa baik sebuah elektron/hole dapat

bergerak di dalam semikonduktor. Tanda negatif pada persamaan menandakan bahwa

kecepatan drift elektron berlawanan arah dengan medan listrik yang diberikan, sedangkan

tanda positif menandakan bahwa kecepatan drift hole searah dengan medan listrik yang

diberikan . Kecepatan drift ini sendiri akan menghasilkan kerapatan arus drift J (A/m2)yang

besarnya adalah :

Jn= (−q ) nvn=(−q )n (−μn ε )=qn μn ε

J p= (+q ) p v p= (+q ) p (+μ p ε )=qp μp ε

dimana : n = konsentrasi elektron,

p = konsentrasi hole

q = besar muatan listriknya

ε= medan listrik

Jn = kerapatan arus elektron

Jp = kerapatan arus hole

Rapat arus total drift pada semikonduktor adalah :

J=J n+J p=q ε (μn n+μp p) (5)

Arus yang dinyatakan dalam persamaan di atas di sebut arus hanyut, dimana μn ,

μp ,n dan p tidak tergantung pada medan ε , arus dikatakan mengikuti hukum ohm. Maka

kita dapat mendefinisikan konstanta perbandingan atau konduktivitas σ (ohm.m)-1 yang

menghubungkan arus dengan medan.

Untuk elektron : σ n=q μn n

(3)

(4)

Hole : σ p=q μp p

Konduktivitas total : σ=q (μn n+μp p) (6)

Sehingga, rapat arus total diperoleh dengan mensubtitusi pers (6) ke pers (5) :

Maka :

J=σε

2. Arus Difusi

Adalah arus yang mengalir disebabkan oleh pergerakan partikel bermuatan

(elektron dan hole) karena ada perbedaan konsentrasi. Arus difusi dapat terjadi walaupun

tanpa medan listrik. Arus difusi akan mengalir dari daerah yang berkonsentrasi tinggi ke

daerah yang memiliki konsentrasi rendah. Ini adalah fenomena statistikal dan berhubungan

dengan teori kinetik. Untuk menjelaskannya, baik elektron maupun hole pada

semikonduktor selalu berada pada pergerakan yang kontinyu. dengan kecepatan rata-rata

yang ditentukan oleh suhu, dan dalam arah yang acak oleh pengaruh struktur kristal. Secara

statistik, kita dapat mengasumsikan bahwa untuk setiap instan manapun, sekitar setengah

dari partikel pada daerah dengan konsentrasi tinggi akan bergerak keluar dari daerah

tersebut menuju daerah dengan konsentrasi yang lebih rendah. Kita juga dapat

mengasumsikan bahwa pada saat yang bersamaan, sekitar setengah dari partikel dari daerah

dengan konsentrasi rendah bergerak menuju daerah dengan konsentrasi yang lebih tinggi.

Bagaimanapun juga, oleh definisi, terdapat lebih sedikit partikel pada daerah dengan

konsentrasi  rendah daripada yang terdapat pada daerah dengan konsentrasi yang lebih

tinggi, Karenanya, aliran partikel akan bergerak dari daerah dengan konsentrasi tinggi

menuju daerah dengan konsentrasi yang lebih rendah. Ini adalah proses difusi yang paling

dasar.

Gambar 3 : Difusi holeGambar 2 : Difusi elektron

Sebagai contoh, perhatikan konsentrasi elektron yang bervariasi sebagai sebuah fungsi

jarak x, seperti yang terlihat pada Gambar 2. Difusi elektron dari daerah dengan

konsentrasi tinggi menuju daerah dengan konsentrasi yang lebih rendah menghasilkan

aliran elektron dalam arah x negatif. Karena elektron bermuatan negatif, maka arah arus

konvensionalnya akan menjadi x positif.

Maka : Jn∝dndx

Jn sebanding dengan konstanta difusi elektron (Dn) dengan satuan m2/s,

Sehingga : Jn= (−q ) Dn[−dndx ]=q D n

dndx

Untuk hole, prinsip yang sama dapat digunakan. Pada Gambar 3, konsentrasi hole adalah

sebuah fungsi jarak. Difusi hole dari daerah dengan koefisien tinggi ke daerah dengan

koefisien yang lebih rendah akan menghasilkan aliran hole dalam arah x negatif. Karena

hole bermuatan positif, maka arah arus konvensionalnya akan menjadi x negatif.

Maka : J p∝−dpdx

J p sebanding dengan konstanta difusi hole (D p) dengan satuan m2/s,

Sehingga : J p= (+q ) D p[−dpdx ]=−q D p

dpdx

Jika rapat arus disebabkan oleh arus drift dan arus difusi, maka rapat arus total

menjadi :

Rapat arus untuk elektron :

Jn=qn μn ε+q Dndndx

Rapat arus untuk hole :

J p=qp μ p ε−q D pdpdx

Hubungan Einstein untuk dan D

Meskipun arus hanyut dan arus difusi terlihat berbeda proses, namun ada

hubungan antara konstanta mobilitas μ dan konstanta difusi D. Ini karena kedua

(8)

(7)

parameter ini ditentukan oleh gerak termal dan penyebaran pembawa bebas. Untuk

melihat hubungan ini dapat digunakan konsep energy Fermi pada kesetimbangan

fermal.

Hubungan antara konstanta difusi dan mobilitas pembawa muatan saling

dependen, sesuai dengan relasi Einstein :

Gambar 4 : Hubungan antara konstanta difusi dan mobilitas listrik

Tipe-n ; x = 0 ; Ei (0) = EF ; karena semikonduktor intrinsik

Gambar 5 : Gambar 5 : (a) sebuah batang semikonduktor tipe-n(b) diagram pita energi pada kesetimbangan termal

EF - Ei (x) = Ei (0) - Ei (x) = qΨ (9)

Ψ (x) potensial antara x dan 0

n(x) = ni exp ( EF−Ei(x)

kT ) (10)

subtitusi pers (7) ke pers (8) :

n(x) = ni exp ( qΨ (x )kT )

dndx

= q

kTn ( x ) dψ

dx=

−n(x )V T

ε ; V T=kTq

(11)

Subtitusi pers (11) ke pers (7)

Jn=qn μn ε+q Dn .−n(x )V T

ε

q Dn .n(x)V T

ε=qnμn ε

Dn=μn .V T ; untuk elektron

D p=μ p . V T ; untuk hole

Sehingga hubungan Einstein dalam menghitung rapat arus pada semikonduktor tipe-n dan

tipe-p adalah :

Dn

μn

=D p

μp

= kTq

B. Menentukan kontinuitas pada semikonduktor yang berarus

Persamaan kontinuitas : menyatakan perubahan jumlah pembawa dalam suatu

daerah.

; Jn = 0

Gambar 6. Penampang melintang semikonduktor dengan luas A dengan infitesimal dan ketebalan dx

Seperti yang terlihat pada Gambar 6, sebuah semikonduktor tipe-n yang berbentuk

batang dengan penampang A (m2), silinder AΔ x dibatasi oleh dua buah bidang pada x dan

pada x+Δ x.

Jn(x ) = arus elektron yang masuk

Jn(x+dx ) = arus elektron yang keluar

Jumlah pembawa yang terkumpul dalam silinder AΔ x dalam interval waktu Δt adalah :

A d x .dndt

=J n (x+dx ) Aq

−J n(x ) Aq

(1)

Laju timbul dan laju hilangnya pembawa :

Bila Gn = laju timbul pembawa per satuan volum dan per satuan waktu

Rn = laju hilang pembawa per satuan volum dan per satuan waktu

Maka jumlah pembawa yang di timbulkan dalam silinder AΔ x dalam interval waktu

Δt adalah :

Gn . A d x−Rn . A d x (2)

Maka total penanmbahan jumlah elektron adalah :

n (t+ Δt )−n(t)Δt

=Aq

[J n ( x+dx )−J n(x)] Δt+ Δt . A d x (Gn−Rn)

Dengan limit Δ x dan Δt pers di atas menjadi pers difensial :

dn(t )dt

=1q

ddx

[J n(x) ]+(Gn−Rn)

dp(t )dt

=−1q

ddx

[ J p( x)]+(G p−Rp)

TUGAS V

TEGANGAN BARRIER, DAERAH DEPLESI

DAN CARA MENENTUKAN KAPASITANSI DI DAERAH BARRIER PADA

SAMBUNGAN DIODA P-N

A. Tegangan Barrier dan Daerah Deplesi Dioda Sambungan p-n

Di dalam bahan semikonduktor tipe-n, elektron merupakan majority carrier dan

hole merupakan minority carrier (Gambar 1).

Gambar 1. Semikonduktor tipe n

Di dalam bahan semikonduktor tipe-p, hole merupakan majority carrier dan

electron merupakan minority carrier (Gambar 2).

Gambar 2. Semikonduktor tipe p

Dioda semikonduktor dibuat dengan menyambung dua jenis semikonduktor (dari

bahan yang sama, Ge atau Si) Gambar 3.

Gambar 3. Sambungan dioda p-n

Segera setelah kedua jenis bahan semikonduktor di atas disambung, pada bagian

sambungan akan terbentuk daerah "nir carrier". Sesaat setelah terjadi penyambungan, pada

daerah sambungan semikonduktor terjadi perubahan. Semikonduktor tipe-n memiliki

sejumlah elektron yang akan dengan mudah terlepas dari atom induknya. Pada tipe-p, atom

aseptor menarik elektron (atau menghasilkan lubang). Kedua pembawa muatan mayoritas

tersebut memiliki cukup energi untuk mencapai material pada sisi lain sambungan. Pada hal

ini terjadi difusi elektron dari tipe-n ke tipe-p dan difusi lubang dari tipe-p ke tipe-n. Proses

difusi ini tidak berlangsung selamanya karena elektron yang sudah berada di tempatnya

akan menolak elektron yang datang kemudian. Proses difusi berakhir saat tidak ada lagi

elektron yang memiliki cukup energi untuk mengalir.

Daerah deplesi adalah daerah batas antara sambungan semikondiktor tipe-n dan

tipe-p yang menghalangi transfer elektron, kecuali dibantu dengan pemberian bias maju

pada persambungan. Jadi sebelum diberi medan dari luar sedikit sekali elektron yang

berpindah ke tipe-p karena terdapat daerah deplesi.

Muatan ruang positif dan negatif terdapat dalam lapisan deplesi dan ini

menimbulkan medan listrik dalam daerah itu. Menurut persamaan Poison bahwa medan

listrik dinyatakan sebagai domain pada 0 < x < dn yaitu :

dEdx

=+qN D /εε0(1)

Dengan mengintegralkan didapat :

E=qND

εε0

x+Cn(2)

Hal yang sama untuk –dp < x < 0

E=−qN A

εε0

x+CP(3)

Dimana Cn dan CP adalah konstanta integrasi. Harga persamaan di atas harus sama pad x =

0. Persamaan (2) memberikan gradien positif terhadap sumbu-x dan persamaan (3)

memberikan gradien negatif. Jika x = 0 maka Cn = CP dan E = 0 pada x = dn dan -dp

Cn=−qND dn

εε 0 , CP=−

qN A dP

εε 0

Maka : N D dn=N A dP (4)

Yang menunjukkan jumlah muatan ruang positif dan negatif yang sama maka pers (2) dan

(3) menjadi :

E=qND

εε0

( x−dn)(5)

E=−qN A

εε0

( x+dP)(6)

Tegangan elektrostatis didapat dengan mengintegralkan per (5) dan (6) :

V=−∫Edx=−qN D

εε0( x2

2−dn x )+C 'n

untuk 0<x<dn

V=−∫Edx =+qN A

εε0( x2

2+d P x)+C 'P

untuk –dp<x<0

Gambar 4. (a) Distribusi muatan ruang, (b) Distribusi medan listrik(c) Distribusi tegangan elektrostatis pada hubungan p-n

Karena tegangan pada kedua sisi harus sama (x = 0) maka C’n = C’P . Dengan

mengambil daerah p sebagai tegangan referensi yaitu V = 0 pada x = -dP didapat :

0=qN A

εε0(−d

P2

2 )+CP '

CP '=qN A d

P2

2 εε0 (7)

Maka untuk 0<x<dn :

V=−qN D

εε0( x2

2−dn x )+

qN A dp2

2 εε0 (8)

Untuk –dp<x<0 :

V=qN A

εε0( x2

2−dP x)+

qN A dp2

2 εε0 (9)

Dengan membuat V = VB pada x = dn dalam pers (9) maka didapat

V B=qN D d

n2

2 εε0

+qN A d

p2

2 εε0 (Tegangan Barier Hubungan p-n)

Analisis pada dioda semikonduktor:

1. Tanpa bias (no bias, VD = 0 V) Gambar 5.

- -

---

-

---

+++

+++

+++

Tipe-p Tipe-n

I = 0I = 0

Tanpa Eksternal Bias

p n

(a). Difusi Pembawa Muatan Melalui Junction

- -

---

-

---

+++

+++

+++

Daerah Netral Daerah Netral

Lapisan Deplesi

p n

+

+

+

-

-

-

Medan Listrik

(b). Setelah Difusi

Gambar 5. Dioda sambugan p-n tanpa bias

Keterangan:

- Lingkaran dengan positif ditengah adalah atom pentavalen yang kehilangan satu

elektron sehingga berubah menjadi ion positif

- Lingkaran dengan negatif ditengah adalah atom trivalen yang kehilangan satu hole

sehingga berubah menjadi ion negatif

- Sesaat sesudah terbentuk sambungan-pn (pn junction), majority carrier dari bahan

tipe-n (elektron bebas) akan menyeberang ke bahan tipe-p. Elektron bebas ini

ditangkap oleh atom trivalen (kontributor hole pada ikatan kovalen) dan elektron ini

digunakan untuk menutupi hole pada ikatan kovalen. Akibatnya sejumlah atom trivalen

di sekitar pn junction di bahan tipe-p berubah menjadi ion negatif.

- Kondisi sebaliknya terjadi pada bahan tipe-p.

- Pasangan ion negatif dan ion positif yang terbentuk di sekitar junction disebut dipole.

- Peningkatan jumlah dipole di sekitar junction menimbulkan satu area yang terbebas

dari carrier apapun. Area ini dinamakan depletion region.

- Pasangan-pasangan dipole yang terbentuk di sekitar junction menimbulkan potential

barrier yang semakin membesar. Pembentukan dipole akan terhenti ketika carrier

tidak dapat lagi menembus potential barrier yang terbentuk.

- Pada suhu kamar (300°K), potential barrier untuk germanium adalah 0,3 V, sementara

untuk silikon 0,7 V.

• Arus difusi ID

– Konsentrasi holes yang tinggi di daerah p dan yang rendah di daerah n menyebabkan

holes merembas melalui ‘junction’ dari sisi p ke sisi n.

– Sebaliknya, elektron merembas dari sisi n ke sisi p.

– Jumlah kedua arus ini membentuk arus difusi ID dengan arah dari sisi p ke sisi n.

• Daerah deplesi

– Holes yang merembas melalui junction ke daerah n akan berekombinasi dengan

mayoritas elektron di daerah n, sehingga holes ini menghilang demikian juga sebagian

elektron bebas pada daerah n juga menghilang.

– Sebagian dari muatan negatif tidak lagi dinetralkan oleh holes. Muatan ini disebut

‘uncovered’

– Rekombinasi terjadi di dekat junction, sehingga ada daerah dekat junction pada daerah

p yang kekurangan holes (depleted of holes) dan mengandung muatan negatif yang

‘uncovered

– Dari penjelasan di atas, daerah deplesi pembawa (carrier-depletion region) atau daerah

deplesi akan terdapat di kedua sisi junction, pada sisi n bermuatan positif dan di sisi p

bermuatan negatif.

– Muatan pada ke dua sisi daerah deplesi akan menyebabkan adanya medan listrik pada

daerah deplesi, sehingga ada perbedaan tegangan pada daerah deplesi, dengan tegangan

positif pada sisi n dan tegangan negatif pada sisi p.

– Perbedaan tegangan pada daerah deplesi merupakan penghalang (‘barrier’) yang harus

diatasi oleh holes untuk berdifusi ke daerah n dan elektron berdifusi ke daerah p.

– Makin besar tegangan penghalang, makin kecil jumlah pembawa yang dapat mengatasi

‘barrier’ sehingga makin kecil arus difusi.

– Arus difusi tergantung pada perbedaan tegangan V0 pada daerah deplesi.

• Arus drift IS dan keseimbangan

– Selain komponen arus difusi ID, terdapat juga komponen arus drift yang disebabkan oleh

pembawa minoritas.

– Ada dua komponen arus drift, yaitu elektron yang bergerak dari bahan p ke bahan n dan

holes yang bergerak dari bahan n ke bahan p.

– Arah arus drift IS dari sisi n ke sisi p pada junction.

– Karena arus drift disebabkan oleh pembawa minoritas yang dihasilkan secara termal,

harganya sangat tergantung pada suhu, tetapi tidak tergantung pada harga tegangan pada

daerah deplesi.

– Pada kondisi hubung terbuka: ID = IS

• Lebar daerah deplesi

– Daerah deplesi pada kedua sisi junction tergantung pada jumlah muatan (konsentrasi

doping) pada kedua sisi.

– Daerah deplesi akan lebih lebar pada sisi yang mempunyai doping lebih kecil.

qxpANA = qxnAND

xp dan xn: lebar deplesi pada sisi p dan n

A: luas penampang junction

NA dan ND: konsentrasi doping pada sisi p dan n

εs = permivity elektrik dari silicon = 11,7 ε0 = 1,04 x 10-12 F/cm

Harga Wdep berkisar antara 0,1 μm – 1 μm

Lapisan muatan pada daerah diplesi ini dapat dibandingkan dengan kapasitor keping

sejajar yang termuati. Karena terjadi penumpukan muatan yang berlawanan pada masing-

masing keping, maka terjadi perbedaan potensial yang disebut sebagai “potensial kontak”

atau “potensial penghalang” VBi. Keadaan ini disebut diode dalam keadaan rangkaian

terbuka.

Kesimpulan : Tidak ada arus yang mengalir pada p-n junction tanpa external bias

(prategangan luar).

2. Bias maju (forward bias, VD > 0 V) Gambar 6

- -

---

--

-

----

+ +++

++++

++++

Tipe-p Tipe-n

IsIs

Daerah deplesi

External bias

I mayorityIs

V

Id = If = I mayority – Is I may >> Is, makaId = If Imayority

Gambar 6. Dioda sambugan p-n dengan bias maju

Ciri-ciri :

Tipe p dihubungkan ke terminal positif sumber

Tipe n dihubungkan ke terminal negatif sumber

akibat :

Hole di daerah p akan ditolak oleh terminal positif akan ditarik oleh terminal negatif

melalui junction.

Elektron di daerah n akan ditolak oleh terminal negatif dan ditarik oleh terminal positif

melalui junction.

Zone depletion menyempit

Potential barrier turun

maka :

Pembawa muatan mayorits akan mudah melewati junction, Id ≠ 0

Makin besar tegangan bias → Id makin besar

- Hal di atas hanya bisa terjadi jika tegangan luar lebih besar dari potential barrier.

– Arus luar mencatu pembawa mayoritas pada ke dua sisi; holes ke bahan p dan elektron

ke bahan n.

– Pembawa mayoritas ini menetralkan muatan ‘uncovered’, sehingga jumlah muatan di

daerah deplesi berkurang, akibatnya daerah deplesi menjadi lebih sempit dan tegangan

penghalang menurun

– Makin banyak holes yang mengalir dari bahan p ke bahan n dan makin banyak elektron

mengalir dari bahan n ke bahan p

– Arus difusi meningkat sampai mencapai keseimbangan: ID – IS = I

Besarnya komponen arus difusi sangat sensitif terhadap besarnya potensial

penghalang VBi . Pembawa muatan mayoritas yang memiliki energi lebih besar dari eVBi

dapat melewati potensial penghalang. Jika keseimbangan potensial terganggu oleh

berkurangnya ketinggian potensial penghalang menjadi VBi -VF , probabilitas pembawa

muatan mayoritas mempunyai cukup energi untuk melewati sambungan akan meningkat

dengan drastis. Sebagai akibat turunnya potensial penghalang, terjadi aliran arus lubang

dari material tipe-p ke tipe-n, demikian sebaliknya untuk elektron.

Dengan kata lain menurunnya potensial penghalang memberi kesempatan pada

pembawa muatan untuk mengalir dari daerah mayoritas ke daerah minoritas. Jika potensial

penghalang diturunkan dengan pemasangan panjar maju eksternal VF maka arus If akan

mengalir.

3. Bias mundur (reverse bias, VD < 0V) Gambar 7

- -

---

--

-

----

+ +++

++++

++++

Tipe-p Tipe-n

IsIs

Daerah deplesi

External bias

Id = 0Is ≠ 0 Is = Arus oleh pembawa

muatan minoritas

Gambar 7. Dioda sambugan p-n dengan bias mundur

Ciri : - tipe p dihubungkan dengan negatif sumber

- tipe n dihubungkan dengan positif sumber

akibat :

e- akan tertarik menuju terminal positif

hole akan tertarik menuju terminal negatif

zone depletion menjadi lebar

potential barrier naik

Maka tidak ada pembawa muatan mayoritas yang dapat melewati junction sehingga

I = 0; kecuali pembawa minoritas yang berada dekat junction (Is ≠ 0)

– Arus luar I mengalir dari bahan n ke bahan p

– Elektron meninggalkan bahan n dan holes meninggalkan bahan p.

– Elektron bebas yang meninggalkan bahan n menyebabkan meningkatnya

‘uncovered’ muatan positif.

– Holes yang meninggalkan bahan p menyebabkan meningkatnya ‘uncovered’ muatan

negatif.

– Arus balik I akan menyebabkan meningkatnya lebar daerah deplesi dan juga muatan

pada daerah deplesi.

– Akibatnya tegangan pada junction meningkat – artinya tegangan penghalang

meningkat – arus ID menurun.

– Arus IS tidak tergantung dari tegangan penghalang, jadi arus IS tetap.

– Pada keadaan seimbang: IS – ID = I, dan tegangan sama V0 sama dengan tegangan

VR

– Pada keadaan steady ID kecil sekali sehingga I ≈ IS

Jika potensial penghalang dinaikkan menjadi VBi +VR dengan memasang panjar

mundur sebesar VR, maka probabilitas pembawa muatan mayoritas memiliki cukup energi

untuk melewati potensial penghalang akan turun secara drastis. Jumlah pembawa muatan

mayoritas yang melewati sambungan praktis turun ke nol dengan memasang panjar mundur

sebesar sekitar sepersepuluh volt.

Pada kondisi panjar mundur, terjadi aliran arus mundur (Ir) yang sangat kecil dari

pembawa muatan minoritas. Pembawa muatan minoritas hasil generasi termal di dekat

sambungan akan mengalami “drift” searah medan listrik. Arus mundur akan mencapai

harga jenuh -Io pada harga panjar mundur yang rendah. Harga arus mundur dalam keadaan

normal cukup rendah dan diukur dalam mA (untuk germanium) dan nA (untuk silikon).

Secara ideal, arus mundur seharusnya berharga nol, sehingga harga -Io yang sangat rendah

pada silikon merupakan faktor keunggulan silikon dibandingkan germanium. Besarnya Io

berbanding lurus dengan laju generasi termal dimana harganya berubah secara

eksponensial terhadap perubahan temperatur.

B. Cara Menentukan Kapasitansi di Daerah Barrier Sambungan Dioda p-n

Sebagaimana sudah diutarakan di atas bahwa terdapat muatan negatif dan positif

dalam lapisan deplesi dari hubungan p-n terlihat pada Gambar 8. Dipandang dari sudut lain

ini dapat dianggap sebagai kapasitor dengan tegangan VB diberikan pada ujung-ujungnya

Gambar 8. Skema daerah deplesi seperti komponen kapasitor plat sejajar

C=εεo

dn+d p

=εεo

d dimana d=dn+d p(1)

C dapat ditentukan bila dn dan dp diketahui. Kapasitansi pada lapisan deplesi disebut

kapasitansi deplesi atau kapasitansi hubungan. Dengan menggunakan persamaan:

N D dn=N A d p (2)

V B=qN D d

n2

2 εε0

+qN A d

p2

2 εε0 (3)

Dari dua persamaan 2 dan 3 diatas di atas akan diperoleh dn dan dp sebagai.

N D dn=N A d p

d p=N D

N A

. dn

d p2=

N D2

N A2 . dn

2 (*)

V B=q

2 ε ε0(N D dn

2+N A d p2 )

V B 2 ε ε0

q−N D dn

2=N A d p2

d p2=

V B 2 ε ε 0

q N A

−N D dn

2

N A

(**)

Subsitusikan persamaan * ke **

N D2

N A2 . dn

2=V B 2 ε ε0

q N A

−N D dn

2

N A

( N D2

N A2 +

ND

N A )dn2=

V B 2 ε ε0

q N A

dn2=

V B 2 ε ε 0

q N A

.1

(N D2

N A2 +

N D

N A )=√ V B 2 ε ε0

q N A

.1

N D2

N A2 +

N D

N A

dn=√ V B 2 ε ε 0

q.

1

N A (N D2

N A2 +

N D

N A )=√ V B 2 ε ε 0

q.

1

( N D2

N A

+N D)dn=√ V B 2 ε ε 0

q.

1

N D2( 1

N A

+ 1N D

)=√ V B 2 ε ε0

q ( 1N A

+ 1N D

).

1ND

2

dn=1

N D √ V B2 ε ε0

q( 1N A

+ 1N D

) (4)

Karena d p=N D

N A

. dn

d p=N D

N A

.1

ND √ V B 2 ε ε0

q ( 1N A

+ 1N D

)d p=

1N A √ V B 2 ε ε0

q ( 1N A

+ 1N D

) (5)

d=dn+d p=( 1N D

+ 1N A

)√ 2 εε0 V B

q ( 1N A

+ 1N D

)(6)

Persamaan di atas menunjukkan bahwa dn dan dp tergantung pada VB . Jika NA>>ND maka

persamaan di atas menjadi

d≈√ 2 εε0 V B

qN D

≈dn dan jika NA<<ND maka d≈d p

Dengan kata lain lapisan deplesi terjadi lebih panjang pada daerah dengan konsentrasi

doping ketidakmurnian yang lebih rendah. Bila tegangan bias diberikan pada hubungan p-n

dengan kutup positifnya pada daerah tipe-p dan yang negatif pada tipe-n maka barier

menjadi lebih rendah seperti terlihat pada Gambar 9. Bila polaritas tegangan bias dibalik

maka barier menjadi lebih tinggi.

Gambar 9. Kurva pita energi hubungan p-n pada bias maju dan bias mundur

d=√ 2 εε0

q ( 1N A

+ 1N D

)(V B±V ) (7)

Dengan memasukkan nilai d persamaan di atas pada persamaan C=

εε0

d maka didapat

harga kapasitansi :

C=εε0

√ 2 εε0

q ( 1N A

+ 1N D

)(V B±V )

=√ q εε0

2( 1N A

+ 1N D

)(V B±V )(8)