Pertanika 15(2), 151-157 (1992)

Kriterium Majmuk bagi Penganggaran Parameter dan Peramalan Sambutan

KASSIM HARONJabatan Matematik

Universiti Pertanian Malaysia43400 UPM, Serdang, Selangor Darul Ehsan, Malaysia.

Kata kunci: objektif, kriterium, rekabentuk, varians, kecekapan.

ABSTRAK

Kriterium majmuk berdaya darab digunakan untuk menjana suatu rekabentuk unik yang dapat memenuhi dua ob-jektif penting serentak: penganggaran parameter dan peramalan sambutan. Kriterium varians teritlak dipilih untukobjektif pertama manakala kriterium fungsi varians atau kriterium varians terkamir untuk yang kedua.

ABSTRACT

A multiplicative compound criterion is used to generate a unique design which can simultaneously fulfil two importantobjectives: parameter estimation and response prediction. The generalised variance criterion is chosen for the first objectivewhile the variance function or the integrated variance criterion is for the second.

l.PENDAHULUAN

Kebanyakan penyelidikan yang dijalankan ber-hubung dengan rekabentuk permukaan sambutansetakat ini lebih tertumpu kepada masalah pen-janaan rekabentuk terbaik bagi memenuhi objektiftunggal. Dari itu, pertimbangan yang sewajarnyaperlu diberi kepada masalah yang dihadapi olehpenyelidik yang mempunyai beberapa objektiftertentu untuk dicapai daripada sesuatu ujikaji.Dalam hal ini, suatu prosedur penjanaan rekaben-tuk yang lebih sesuai dan praktikal perlu dicari.Menghasilkan sesuatu set data dengan meng-gunakan rekabentuk yang berbeza bagi setiap ob-jektif sudah tentu merugikan kerana prosessedemikian memerlukan masa dan kos perbe-lanjaan yang lebih. Harus diingat bahawa rekaben-tuk yang berbeza diperlukan kerana rekabentukyang cekap bagi memenuhi suatu objektif mungkinkurang cekap bagi memenuhi objektif yang lain.Misalnya, rekabentuk yang cekap bagi objektifmendiskriminasikan beberapa model tak linearmungkin kurang cekap jika digunakan pula bagitujuan menganggar parameter model (Hill et al1968).

Bagi mengatasi masalah objektif berganda,penggunaan suatu kriterium majmuk yang dapat

mengambil kira objektif-objektif seseorang penye-lidik secara serentak perlu difikirkan. Pengop-timuman yang sesuai, jika dilakukan ke atas kri-terium seperti itu dapat menghasilkan suatu re-kabentuk unik yang mampu digunakan bagi men-capai kesemua objektif. Setakat ini kriteriummajmuk yang pernah dibincangkan oleh parapenyelidik di dalam bidang rekabentuk ujikaji dapatdipecahkan kepada dua kategori iaitu kriteriumberdaya tambah (Hill et al. 1968; Lauter 1974;Rasch & Herrendorfer 1980; Cook & Nachtsheim1982) dan kriterium berdaya darab (Lauter 1974;Atkinson & Cox 1974; Smith 1987).

Secara matematiknya, kriterium majmuk ber-daya tambah boleh ditulis sebagai

manakala kriterium berdaya darab pula ditulissebagai

(1.2)

. = 1

dengan

0 < 6 . < 1, m > 2 ,

KASSIM HARON

Dalam kes ini

C. mewakili kriterium ke-i

dan

0. mewakili parameter pemberat yang sepa-dan dengan kriterium ke-i. Nilai yang diberikepada 0. akan mencerminkan tahap keuta-maan objektif ke-i kepada penyelidik.

Di dalam kajian penulis, kriterium majmuk ber-daya darab menjadi pilihan kerana ia bukan sahajamudah dikendalikan tetapi juga rekabentuk multi-tujuanDM yang akan dihasilkan adalah tak varianterhadap perubahan dalam nilai parameter bagimodel y = f (x ; p) (Smith 1987). Di peringkat inijuga, hanya dua kriterium yang mewakili duaobjektif berlainan sahaja dipertimbangkan. Kri-terium-kriterium yang dipilih akan mewakili duaobjektif penting yang biasanya menjadi tumpuankepada para penyelidik. Objektif-objektif tersebutialah:

(a) menganggar parameter model dengan ke-persisan yang tinggi. Ini penting kerana parameter-parameter yang terdapat di dalam sesuatu modelbiasanya mewakili fenomena tertentu dalam ujikajiyang dijalankan.

(b) meramal sambutan, juga dengan kepersi-san yang tinggi, pada aras tertentu sesuatu faktoratau pada aras-aras yang terkandung di dalam suaturantau ujikaji %.

Untuk objektif (a), kriterium yang diketahuipaling sesuai digunakan ialah kriterium variansteritlak (Box & Lucas 1959) manakala kriterium-kriterium fungsi varians atau varians terkamir pulasesuai bagi mencapai objektif (b).

Di sepanjang kajian ini, polinomial songsangkuadratik satu faktor dengan asalan sifar, ditan-dakan dengan lFQIP(p(), P p JJ2) dipilih sebagaimodelnya memandangkan kesuaian model sepertiini dalam memperihalkan banyak ujikaji dalambidang pertanian, biologi dan industri (Nelder1966). Jika ralat ujikaji diandaikan bertabur secaranormal dengan min sifar dan varians malar ay, makasambutan min ke-j, boleh ditulis sebagai

Y = —x > O ; p o , p 2 > O

2. LATAR BELAKANG TEORI

2.1 Penganggaran ParameterSeperti yang telah dinyatakan, kriterium variansteritlak, ditandakan dengan GV, diperlukan bagimemastikan bahawa dengan pemilihan rekaben-tuk yang sesuai, setiap parameter dapat dianggardengan kepersisan yang tinggi secara serentak.Kriterium ini menyarankankan kita supayameminimumkan varians teritlak iaitu penentubagimatriksvarians-kovarians (Ff F ) " ^ 1 terhadaparas-aras faktor x = (x,, x2, ..., xn )'. Secara mate-matiknya, masalah ditulis sebagai

min GV ( x,p) =min{ I ( F' F)l}, andaikan

Matriks varians-kovarian boleh diperoleh denganterlebih dahulu melakukan penglinearan fungsimodel di sekitar nilai anggaran awal p*, cukuphampir dengan p. Seterusnya, dengan meng-gunakan kembangan siri Taylor hingga ke pering-kat pertama, kita peroleh sambutan hampiran

(2.2)Jika ditakrifkan

dengan

S-f (2.3)

maka matriks maklumatnya boleh ditulis sebagai

z, z* z ;F F = .. Z, Z4 (2.4)

.. .. Z5

dengan

Pj x i; r= 1,2,..., 5

dan

(1.3)= 1

152 PERTANIKAVOL. 15 NO. 2, 1992

KRITERIUM MAJMUK BAGI PENGANGGARAN PARAMETER DAN PERAMALAN SAMBUTAN

2.2 Peramalan Sambutan

2.2.1 Kriterium fungsi varians

Sekiranya peramalan sambutan di suatu arastertentu x0 dengan varians minimum menjadimatlamat seseorang penyelidik, maka penggunaanfungsi varians V(x0) diperlukan. Rumus bagi V(xQ)diterbitkan seperti berikut:

Dari (2.2), (2.3) dan (2.4) kita peroleh

Var(y) = Var

dengan

VarB +x"Var

(2.5)dengan

var

var

(z z -z2

F' F

?' F

var B = 'F" F|

F'

2 I?1 F|Jadi, dari takrif fungsi varians (Box 8c Hunter1957), maka

V(x0)«No"2 Var[y(x0) ]

- / b + 2 b x +4 I 00 01 0

}b: <

i = 0 , 1,2r = 0 , l ; s = l , 2

2.2.2 Kriterium varians terkamir

Ada ketikanya pula seseorang penyelidik itu bermi-nat untuk membuat ramalan terhadap nilai-nilaisambutan pada aras faktor yang terkandung didalam suatu rantau ujikaji %. Bagi objektif sepertiini, kriterium varians terkamir IV(x0) dirasakan pa-ling sesuai digunakan kerana ia dapat memastikanbahawa, secara puratanya, varians bagi sambutansuaian y adalah minimum didalam %. Varians terka-mir, IV(x0) ditakrifkan sebagai

J vary(xo)dxo

dengan

Q"!= Jdx0

dan

Var y (x0) seperti yang boleh didapati dalam (2.5)

3. REKABENTUK DWTTUJUAN DM DAN DM,SERTA PERBINCANGAN

Dalam bahagian ini tumpuan diberikan dahulukepada masalah penjanaan rekabentuk tunggalyang mengambil kira objektif-objektif:

(i) menganggar parameter p0, fy dan p2

(ii)meramalkan sambutan di suatu aras/titiktertentu x0.

Bersesuaian dengan model yang dipilih iaitu kua-dratiksongsang lFQIP(p(), p(, p2) yangseringdikaitkandengan pemodelan hasil tanaman/aras baja dalambidang pertanian, maka peramalan hasil di aras

f P o Vbaja maksimum Xmak= dengan kepersisan

\ r t)

yang memuaskan merupakan antara matlamat parapenyelidik dalam bidang tersebut.

Dalam hal ini, dicadangkan penggunaan kri-terium majmuk berdaya darabCM:(GV)e/q(V(xo))1-e ; 0<9 <1 (31)

dengan q mewakili bilangan parameter dalammodel. Dalam kes ini q = 3

Tidaklah begitu sukar untuk menunjukkan, secaraalgebra, bahawa peminimuman CM akan meng-

PERTANIKA VOL. 15 NO. 2, 1992 153

KASSIM HARON

hasilkan penyelesaian optimum yang mempunyaisifat-sifat berikut:

(a) tiga titik berbeza xM = (x1( x2, xs) = xGV

denganxGV mewakili titik D-optimum (Box& Lucas 1959).

(b) nisbah cerapan pada titik-titik xv xl2 dan x3

masing-masing bersamaan pj = p\ p2 = 1 - 2p'danp3 = p';0 p' 1.

Jadual 1 memaparkan rekabentuk dwitujuan DM

yang ditakrifkan sebagai

D =P, P

1s

Jdengan p. mewakili nisbah bilangan cerapan yangdiambil pada titik ke-x., i = 1, 2, 3, dijana untukmodel 1FQIP(9, 1, 1) pada suatujujukan nilai pa-rameter pemberat 9 dengan bantuan rutin peng-optimuman yang sesuai yang terdapat dalam perpus-takaan NAG. Jelas kepada kita rekabentukD M yang terhasil mempunyai sifat-sifat seperti yangdinyatakan di atas.

Kajian seterusnya mendapati bahawa untuksetiap nilai 0 nisbah bilangan cerapan pada ketiga-tiga titik yang berpadanan tidak berubah untuknilai p* yang lain.

Sementara itu, Jadual 2 pula dimuatkan de-ngan darjah kebagusan setiap rekabentuk yang

JADUAL1Rekabentuk dwitujuan D M apabilaxo=-/po/p2

Model 1FQIP 0 D M

(Po, P,, P,)i.o x ro.9o

p L3.001/3

0.8 x T 0.90 3.00p L 0.27 0.46

0.7 x TO.90 3.00

(9,1,1)

p Lo.23 0.54

0.5 x I" 0.90 3.00p L 0.17 0.66

0.2 x I" 0.90 3.00p Lo.07 0.86

0.1 x I" 0.90 3.00p [o.O3 0.94

0.0 x T0.90 3.00p L 0.0 1.0

9.991/3

9.99"0.27_

9.99"0.23

9.990.17

9.990.07

9.99"0.03_

9.99"0.0

dijana dengan P* = (9, 1, 1) dalam memenuhiobjektif yang sepadan. Kebagusan setiap rekaben-tuk tersebut diukur berdasarkan kepada peratuskecekapan E(%) yang ditakrifkan sebagai

C ID

C IDx 100 (3.2)

denganG, i = 1, 2 mewakili nilai kriterium ke-iD* mewakili rekabentuk optimum bagi kri-terium ke-i

JADUAL 2Kecekapan E (%) bagi rekabentuk DM

9

1.00.80.70.50.20.10.0

Kecekapan E ('

100.089.5578.4649.9210.353.66-

_

46.7053.3066.7086.7093.00100.00

Perkara yang menarik yang dapat dirumuskan dari-padaJadual 2 ialah peratus kecekapan E(%) yangagak peka terhadap perubahan dalam nilai 6.Bagaimanapun, kepekaan yang diperlihatkan ti-daklah memeranjatkan keranakitasebenarnyatelahmelakukan suatu kompromi dengan mengga-bungkan dua kriterium yang masing-masing akanmenghasilkan rekabentuk terbaikyangberlawananbentuk. Rekabentuk D-optimum iaitu rekabentukterbaikbagi penganggaran parameter memerlukancerapan yang sama banyak diambil pada tiga aras/titik yang berbeza. Sebaliknya, kriterium fungsivarians V(x0) pula menghasilkan rekabentuk ter-baik dengan kesemua cerapan perlu di ambil hanyapada titik x0 itu sendiri (sila lihat Jadual 1). InilahpuncayangnyatakenapapencapaianE(%) bagi DM

tidak begitu terserlah. Sungguhpun begitu, nilai 0= 0.7masih mampumemberikan peratus kecekapanyangagakbaikiaitu78%jikadigunakan bagi maksudmenganggar parameter dan 53% bagi ramalansambutan di Xmak. Perlu ditegaskan bahawa ke-lemahan dari segi pencapaian peratus kecekapanseperti ini boleh dielakkan sekiranya kompromiyang melibatkan kriterium-kriterium yang lebihsesuai digunakan. Ini akan dijelaskan dalam per-bincangan berikutnya. Sementara itu kecekapan

154 PERTANIKA VOL. 15 NO. 2, 1992

KRITERIUM MAJMUK BAGI PENGANGGARAN PARAMETER DAN PERAMA1AN SAMBUTAN

rekabentuk di dalam keadaan lain iaitu dengannilai P* yang berlainan didapati tidak berubahuntuk setiap nilai 0.

Sekiranya objektif kedua masih dalam me-ramalkan sambutan tetapi kali ini dengan mengam-bil kira sambutan-sambutan pada aras faktor yangterkandung di dalam suatu rantau %, maka dica-dangan kriterium majmuk berikut:

C M . : (GV) 6 / 3 ( IV(x 0 ) ) 1 " 9 ; 0 < 6 < l (3.3)

Satu set rekabentuk DM yang dijana dalam rantau%: (0, 12) dapat dilihat dalam Jadual 3. Jelas ba-hawa, tidak seperti kes terdahulu, rekabentuk opti-mum bagi penganggaran parameter ( 0 = 1 ) danperamalan sambutan (0 = 0) masing-masing me-ngandungi tiga titik yang berbeza. Misalnya, dengan0 = 0

).95 3.12 9.10).22 0.32 0.46

tetapi

_0.90

pi 0.003,00LOO

9.990.00

Selain itu, kitajuga dapati bahawa tidak terdapatperubahan yang banyak di dalam rekabentuk D M

apabila nilai-nilai 0 beralih dari 0 ke 1.

JADUAL3Rekabentuk dwitujuan DM dalam

(042)

Model 1FQIP 9

1.0

0.8

0.6

(9, 1, 1) 0.4

0.2

0.0

x f0.90ptl/3

x |~0.91p LO-32

x f0.91p Lo.30

x FO.92p Lo.28

x fo.93p Lo.26

x fO.95p Lo.22

rantau

3.001/3

3.020.33

3.050.33

3.070.33

3.090.33

3.120.32

ujikaji %:

9.991

i/sj9.88"]0.35J

9.74"]0.37J

9.58"]0.39J

9.49"]0.41J

9.10"]0.46J

Justeru itu, rekabentuk

xTO.92 3.07 9.581pLO.28 0.33 0.39J

yang dijana dengan 0 = 0.4 misalnya, jika diguna-kan bagi menganggar parameter dan meramalsambutan, masing-masing sebagai objektif tunggal,di dalam rantau %:(§, 12), dijangka dapat meng-hasilkan kepersisan yang tinggi. Sebenarnya, de-ngan menggunakan sukatan kecekapan seperti yangdiberikan dalam (3.2), masing-masing didapati men-catatkan kepersisan yang melebihi 97%.

4. PENGGUNAAN DAN ILUSTRASI

Hasil ujikaji yang dijalankan oleh Morrison et al(1980) dipertimbangkan. Dalam kajian tersebut,rekabentuk sama ruang dengan enam aras yangberbeza telah digunakan untuk mengutip data bagimemperihalkan hubungan antara hasil 'ryegrass'dan aras baja nitrogen. Set-set data yang dikutipdaripada 21 kawasan pertanian digunakan untukpenyuaian model. Polinomial songsang kuadratikdidapati model yang sesuai.

Nilai parameter p bagi model yang mewakiliKawasan 6 (Kassim 1989) dipilih sebagai nilaipenganggar awal P*. Sekiranya menganggar pa-rameter model p sebagai objektif utama dan me-ramal hasil maksimum sebagai objektif sampinganpenyelidik maka penggunaan kriterium CM dengan0 = 0.7 menghasilkan

D -xT28L4 689.6 1690"

.23 0.54 0.23

Rekabentuk yang terhasil menyarankan supayapengutipan data dilakukan dengan mengambil 23%daripada keseluruhan cerapan masing-masing padaaras baja 281.4 kg/ha dan 1690.0 kg/ha manakalacerapan selebihnya dikutip pada aras 689.6 kg/ha.Data yang dikutip kemudiannya digunakan untukmenganggar p dan juga untuk meramal hasilmaksimum dengan menggunakan kaedah statistikyang sedia ada atau menggunakan pakej statistikseperti SAS (PROC NLIN).

Sebagai ilustrasi, dua set data yang mengan-dungi 30 bacaan sambutan untuk menganggar pa-rameter model dijana secara simulasi denganmenggunakan kedua-dua jenis rekabentuk iaitu:

(i) rekabentuk klasik sama ruang dengan 5bacaan masing-masing dicerap pada aras baja(dalam Kg) 281, 563, 844, 1125, 1406 dan 1690.

(ii) rekabentuk yang terhasil dengan meng-

PERTANIKAVOL 15 NO. 2, 1992 155

KASSIM HARON

gunakan kriterium majmuk CM dengan 0 = 0.7 se-perti yang dicadangkan.

Proses simulasi dengan 50 larian dilakukandengan menggunakan nilai parameter p0 - 4.00 xIO-2, p, = -4.04 x IO5 dan p2 = 8.41 x 10* yang dian-daikan nilai sebenar parameter-parameter model(Kassim 1989). Ralatujikaji (andaikan bertaburannormal dengan min sifar dan varians malar) den-gan pekali ubahan, C.V = 10% dimasukkan kedalam setiap cerapan yang dijana pada aras-arasbaja tersebut. Analisis statistik untuk mencari nilai-nilai fr YMak, Var 0 dan Var Y^ [~YMjik = ( 2 V P O P .

+ p ) kemudiannya dijalankan ke atas set-setdata tersebut. Hasilnya dimuatkan di dalam Jadual4(a) dan Jadual 4(b)

JADUAL 4 (A)A

Nilai-nilai p dan YMA yang dihasilkan oleh rekabentukdwitujuan DM dan rekabentuk klasik sama ruang DK

Rekabentuk

Penganggar

Kfc

3.908 x

-4.12 x

8.50 x

13,310.77

i o " 2

i o ~:>

i10

4.02x 10"f

-4.11 x 10

8. 11 x 10

13, 386. 05

JADUAL 4(B)Nilai-nilai Var p dan Var YMak yang dihasilkan oleh

rekabentuk dwitujuan DM dan rekabentuk klasik samaruang DK

Rekabentuk

Varian

0.0784

0.6475

0.3565

0.2275

0.5289

0.6649

10.76 x 10 18.72 x 10

Jika diteliti kedua-dua Jadual 4(a) dan Jadual4(b), jelas bahawa untuk menganggar parameterdanjuga meramal hasil maksimum secaraserentakmaka rekabentuk yang dicadangkan mempunyai

kelebihan berbanding dengan rekabentuk klasiksama ruang kerana varians yang sepadan yang di-catat masing-masing didapati lebih kecil. Denganitu rekabentuk dwitujuan boleh dikatakan suatu re-kabentuk yang lebih tinggi darjah kecekapannya.

5. KESIMPULAN

Hasil daripada kajian yang dijalankan jelas menun-jukkan bahawa kriterium majmuk berdaya darabmampu berfungsi sebagai alat dalam menerbitkansuatu rekabentuk unik yang dapat dimanfaatkanbagi memenuhi dua objektif penting iaitu meng-anggar parameter dan meramal sambutan. Disamping itu, dapat juga disimpulkan bahawa kri-terium individu yang membentuk kriteriummajmuk memainkan peranan yang penting dalammenentukan kecekapan rekabentuk dwitujuanDM/D ,yangterjana.

RUJUKAN

ATKINSON, A.C. and D.R. Cox. 1974. Planning Experi-

ments for Discriminating between Models,/f>wrna/of the Royal Statistical Society S*r. B36: 321-348.

Box, G.E.P andJ.S. HUNTER. 1957. Multifactor Experi-mental Designs for Exploring Response Surfaces.Annals of Mathematical Statistics 28: 195-241.

Box, G.E.P and H.L. LUCAS. 1959. Design of Experi-ments in Nonlinear Situations. Biometrika 46: 77-90.

COOK, R.D. and C J. NACHTSHEIM. 1982. Model Robust,Linear-optimal Designs. Technometrics24: 49-54.

HILL, W.J., W.G. HUNTER and D.W. WICHERN. 1968. A

Joint Design Criterion for the Dual Problem ofModel Discrimination and Parameter Estimation.Technometrics 10:145-160.

KASSIM, H. 1989. Optimal Design Spacing for theEstimation of the Quadratic Inverse PolynomialParameters. Pertanika 12(2): 239-244.

LAUTER, E. 1974. Experimental Design in a Class ofModels. Mathematische Operationsforschung undStatistik 5:379-398.

MORRISON,J, M.V.JACKSON and P.E. SPARROW. 1980.

The Response of Perennial Ryegrass to FertiliserNitrogen in Relation to Climate and Soil. Grass-land Research Institute Technical Report 27.

NELDERJ.A. 1966. Inverse Polynomials, a Useful Groupof Multifactor Response Functions. Biometrics 22:128-141.

156 PERTANIKA VOL. 15 NO. 2, 1992

KRITERIUM MAJMUK BAGI PENGANGGARAN PARAMETER DAN PERAMALAN SAMBUTAN

RASCH, D. andG. HERRENDORFER. 1980. Experimental SMITH, J.R. 1987. Design and Experiments for the Pre-

Design and Optimal Decision 11. Estimation of cise Estimation of the Optimum, Economic Opti-the Slope of the Linear Regression. Mathematische mum and Parameters for One Factor Inverse Poly-OperationsforschungundStatisticSer.Stat. 11:125- nomial Model Unpublished Ph.D thesis, University136. of Reading.

(Diterima29Junl989)

PERTANIKA VOL. 15 NO, 2, 1992 157