Osilator harmonikOleh :

Kelompok IV

Anita Dewi (F1B1 14 033) Nurul Iniyah ulfa (F1B1 14 041)

Nurul K Lamela (F1 B1 14 034) Titi Dewi Yanti ( F1B1 14 043 )

Vira Yuniar Rukmana (F1B1 14 036) Agustang (F1B1 14 044)

Fahmi (F1B1 14 037) Sitti Hajayanti (F1B1 14 045)

Dinda Dwi Pinta (F1B1 14 038) Wa Ode Sitti Harni (F1B1 14 046)

Suhar Ziamah Al Aksa. (F1B1 14 039)

Jurusan Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Halu Oleo

Kendari

2016

Tugas Fisika Modern

OSILATOR HARMONIK

Gerak harmonik terjadi jika suatu sistem jenis tertentu bergetar di

sekitar konfigurasi setimbangnya. Sistemnya bisa terdiri dari

benda yang di gantung pada sebuah pegas atau terapung pada zat

cair, molekul deviatom, sebuah atom dalam kisi kristal terdapat

contoh banyak sekali dalam dunia mikroskopik dan juga

makroskopik. Persyaratan supaya gerak harmonik terjadi adalah

terdapatnya gaya pemulih yang beraksi untuk mengembalikan ke

konfigurasi setimbangnya jika sistem itu di ganggu, kelembaman

massa yang bersangkutan menyebabkan benda melampaui

kedududukan setimbangnya, sehingga sistem itu berosilasi terus-

menerus jika tidak terdapat proses desipatif.

• Dalam kasus khusus gerak harmonik sederhana ,gaya pemulih F pada

partikel bermassa m adalah linear ini berarti F berbanding lurus pada

pergeseran partikel x dari kedudukan setimbangnya dan arahnya

berlawanan, sehingga :

Pers.1.1

• Hubungan ini biasanya di sebut hukum hooke. Menurut hukum gerak

kedua F =ma jadi :

Pers.1.2

• Terdapat berbagai cara untuk memecahkan pers. 1.2 salah satu yang

mudah ialah

Pers.1.3

• Dimana

(Frekuensi osilator harmonik) Pers.1.4

• Merupakan frekuensi osilasi, A amplitude, dan harga ɸ, tetapan fase,

bergantung besar harga x pada saat t = 0

• Pentingnya osilator harmonik sederhana dalam fisika klasik dan modern tidak

terletak pada persyaratan ketat bahwa gaya pemulih yang sebenarnya

memenuhi hukum hooke yang jarang di jumpai, tetapi pada kenyataan bahwa

gaya pemulihnya tereduksi menjadi memenuhi hukum hooke untuk

pergeseran yang kecil. Sebagai hasilnya, setiap sistem yang melakukan

getaran kecil terdapat kedudukan setimbangnya berkelakuan seperti osilator

harmonik sederhana. Untuk membuktikan butir penting ini, bahwa setiap

gaya pemulih yang merupakan fungsi x dapat di uraikan menjadi deret

maclaurin di sekitar kedudukan setimbang x = 0 sebagai berikut :

• Pers.1.5

• Karena x = 0 merupakan kedudukan setimbang, Fx =0 = 0 karena untuk

harga x yang kecil x2,x3 ...... menjadi sangat kecil dibandingkan dengan x,

sehingga suku ketiga dan yang selanjutnya dapat diabaikan. Satu-satunya

suku yang penting bila x kecil ialah suku kedua. Jadi:

Pers.1.6

• Yang memenuhi hukum Hooke bila (dF/dx)x=0 negatif, yang selalu dipenuhi

oleh gaya pemulih.

• Kesimpulannya ialah bahwa semua osilator mempunyai karakter harmonik

sederhana jika amplitudonya cukup kecil.

• Fungsi energi potensial V(x) yang bersesuaian dengan hukum gaya Hooke

dapat di peroleh dengan menghitung kerja yang diperlukan untuk

membawa partikel dari x =0 ke x = x terdapat gaya semacam itu. Hasilnya

ialah :

Pers.1.7

• Dan hasil ini di plot dalam gambar 1. kurva V(x) terdapat x merupakan

parabola. Jika energi osilator E partikelnya bergerak bolak-balik antara

x = -A dan x = +A, dengan E dan A berhubungan menurut hubungan

persamaan E = ½ kA2 .

• Gambar 1 Energi potensial sebuah osilator harmonik secara mekanika klasik

• Sebelum melakukan perhitungan terperinci dapat menduga tiga macam

modifikasi mekanika kuantum pada gambaran klasik.

• Tidak terdapat spektrum malar dari energi yang di izinkan, tetapi hanya

terdapat spektrum diskrit terdiri dari harga tertentu saja;

• Energi terendah yang di perbolehkan bukan E = 0, tetapi terdapat harga

minimum E = Eo;

• Terdapat peluang tertentu partikel dapat “menembus” sumur potensial dan

melewati batas –A dan +A

• Persamaan scrodinger untuk osilator harmonik:

• Pers.1.8

• Kuantitas tak berdimensi:

• Pers.1.9

• Persamaan schrodinger dinyatakan dalam y dan ɛ

Pers.1.10

• Menggunakan Asimtot dimana x dan y tidak terbatas

Pers.1.11

• Subtitusi dengan diperoleh

Pers. 1.12

• Subtitusi 1.12 dengan 1.10 diperoleh pola h(y):

Pers.1.13

• Dimana:

•

• Persamaan 1.13 diselesaikan dengan deret

• Per.1.14

• Per.1.15

•

• Pers.1.16

• Subtitusi 1.14, 1.15, dan 1.16 kedalam 1.13 diperoleh

Pers.1.17

• ym mirip deret sehingga memberi hubungan

Pers. 1.18

• Jika m besar maka:

Pers.1.19

• Rasio perbandingan untuk deret dengan m besar:

Pers.1.20

• Pada deret:

Pers.1.21

• Sehingga rasionya:

Pers.1.22

• Sama denga pers 1.20 maka diperoleh:

Pers.1.23

• Sehingga persamaan gelombangnya menjadi :

•

Pers. 1.24

• Y mendekati tak terhingga maka fungsi gelombangnya tidak ternormalisasi

Pers. 1.25

• Persamaan 1.25 digunakan bersama persamaan 1.18

Pers.1.26

• Dengan:

Per.1.27

• atau

Pers.1.28

Gambar 2. sumur potensial dan tingkat energi(a) atom hidrogen,(b) partikel dalam kotak ,(c) osilator harmonik.

• Polynomial hermitte di peroleh dari rodrigue formula :

P Pers.1.29

• Fungsi gelombang dapat dituliskan

Pers.1.30

• Nilai h(y) berbeda bergantung harga n dan faktor normalisasi. Sehinnga

fungsi gelombang dapat ditulis sebagai:

Pers.1.29

Pers.1.31

• Dimana Cn adalah normalisasi dengan normalisasi yang berbeda An dapat

dituliskan dengan Hn dalam polynomial hermitte :

Pers.1.32

• Menggunakan hubungan dan dan pers.1.29 akan

memberikan:

Pers.1.33

sehingga fungsi gelombang osilator harmonic dapat dituliskan dalam

bentuk:

Pers.1.34

Enam elemen polinomial hermitte yang pertama di daftarkan pada tabel 1.1

Tabel 1.1 Polinomial Hermitte

• Fungsi gelombang yang bersesuaian dengan ke enam tingkat energi yangpertama dari sebuah osilator harmonik yang di tunjukkan dalam gambar 3.dalam masing-masing kasus daerah sebuah partikel berosilasi secara klasikdengan energi total En akan terbatas seperti di tunjukkan,bahwa partikel itudapat menerobos ke daerah terlarang secara klasik –dengan perkataan lain,melebihi amplitudo A yang di tentukan oleh energinya-dengan peluang yangmenurun secara eksponensial,sama seperti situasi sebuah parikel dalam kotakdengan tak tegar

• Sangat menarik dan sangat di anjurkan untuk membandingkan kerapatanpeluang sebuah osilator harmonik klasik dan sebuah osilator harmonikmekanika kuantum dengan energi yang sama besar .Kurva atas dalam gambar4 menunjukkan kerapatan peluang untuk osilator klasik : peluang P untukmendapatkan partikel pada suatu kedudukan terbesar pada titik ujung geraktersebut,ketika partikel itu bergerak lambat,dan terkecil dekat kedudukankesetimbangan ( x = 0) ketika partikel itu bergerak cepat.

• Kelakuan yang bertentangan ditunjukkan oleh osilator mekanika kuantumpada energi terendahnya dengan n=0. Seperti telah diperlihatkan kerapatanpeluang mempunyai harga maksimum untuk x=0 dan menurun dikeduasisi titik itu. Namun, ketidakcocokan ini makin pudar ketika n bertambah:grafik yang terbawah dalam gambar 3 bersesuaian dengan n=10 dan jelasbahwa jika dirata-ratakan terhadap x mempunyai sifat umum yang sama denganpeluang klasik P.

• Gambar 3. Fungsi gelombang osilator harmonik yang pertama garis vertikal

menunjukkan batas –A dan +A yang menyatakan batas osilator klasik bergerak jika

energinya sama

• Gambar 4. kerapatan peluang untuk keadaan n = 0 dan n = 10 dari osilator harmonik mekanika kuantum.

• Mungkin ada yang menyatakan keberatan bahwa memang mendekati

p jika dihaluskan, namun berfluktuasi sangat cepat terhadap x,

sedangkan P tidak. Namun, keberatan ini hanya mempunyai arti jika

fluktuasi itu dapat diamati, dan lebih dekat jarak antara puncak dengan

lembah, bertambah sukar pula untuk mengamatinya secara eksperimen.

Ekor eksponensial dari diluar x = ±A juga menurun besarnya dengan

bertambahnya n. Jadi gambaran mekanika klasik dan kuantum jadi saling

menyerupai untuk harga n yang besar bersesuaian dengan prinsip

korespondensi walaupun gambaran itu sangat berbeda untuk n kecil.

Soal:

4.Ulangi soal no 3 untuk tingkat eksistasi pertama n = 2 untuk partikel itu!

Jawab :