LOGIKA MATEMATIKA

Oleh : Hidayati RusnedySMA NEGERI 1 BANGKINANG KOTA

Pengertian PernyataanAdalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah.

Contoh:

- Menara itu tinggi.

- Jumlah hari ada 7.

- Tangkaplah orang itu!

- Berapa Umurmu sekarang?

(Pernyataan)

(Pernyataan)

(Bukan Pernyataan)

(Bukan Pernyataan)

Lambang dan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan

Suatu pernyataan dilambangkan dengan memakai huruf kecil, seperti a, b, c,…,p,q,r,…dan seterusnya.

Contoh:

Pernyataan “4 adalah bilangan genap” dapat dilambangkan dengan memakai huruf p.

Ditulis:

P : 4 adalah bilangan genap.

Lambang

Nilai Kebenaran Suatu PernyataanNilai benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai:

Dasar Empiris:Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari

Contoh:1. “Ibukota jawa Timur adalah Surabaya”, meupakan pernyataan benar.2. “Air adalah benda padat”, merupkana pernyataan salah.

Dasar Tak Empiris:Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika.

Contoh:1. “Akar persamaan 3x – 1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar.2. “Jika x > 1, maka x > 2” merupakan pernyataan salah.

Contoh:

1. τ(p) = B dibaca “niali kebenaran pernyataan p adalah B” atau “pernyataan p mempunyai nilai kebenran B”.

2. q: 10 kurang dari 5, merupakan pernyataan yang salah, ditulis τ(q) = S.

Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai huruf Yunani τ (dibaca: tau)

Sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran s (salah).

Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar),

Ingkaran Atau Negasi Suatu Pernyataan

Adalah pernyataan yang menyangkal atau mengingkari pernyataan awal

Ingkaran suatu pernyatan menyatakan kebalikan dari pernyataan itu sendiri berari nilai kebenarannya adalah terbalik

Jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah

Jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.

p ~p

B S

S B

Dari suatu pernyataan p dapat dibentuk “ingkaran p” atau “negasi p”, dilambangkan oleh ~p, dengan cara menambahkan kalimat “tidak benar bahwa” di depan pernyataan p, atau jika mungkin dengan menyisipkan perkataan “tidak” atau “bukan” di dalam pernyataan p.

Tabel Kebenaran

Contoh:

p : 2 + 3 = 5 (τ (p) = B)~p : 2 + 3 ≠ 5 (τ (~p) = S)

q : Semua bilangan prima adalah ganjil (τ (~q) = S)~q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil (τ (~p) = B)

atau~q : Ada bilangan prima yang tidak ganjil (τ (~q) = B)

Kalimat Terbuka

Adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya ( benar atau salah ). Tetapi apabila variabel diganti nilai tertentu akan menjadi suatu pernyataan.

Contoh: 2x + 3 = 11 (kalimat terbuka)

Y – 3 < 4 (kalimat terbuka)

Perhatikan contoh!!Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”, merupakan pernyataan salah.Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”, merupakan pernyataan benar.

Nilai pengganti x = 4 mengubah kalimat terbuka “2x + 3 = 11” menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 4 disebut penyelesaian dari kalimat terbuka itu.

Kesimpulan:

1. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada himpunan semestanya.

2. Penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.

3. Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu himpunan dengan anggota-anggota merupakan penyelesaian dari terbuka itu.

Contoh:

1. Himpunan penyelesaian persamaan x + 3 = 8 (x peubah pada himpunan bilangan real R) adalah HP = {5}.

2. Himpunan penyelesaian persamaan x2 – 5x + 6 = 0 (x peubah pada himpunan bilangan real R) adalah HP = {2,3}.

Pernyataan Majemuk

- Kebenaran Suatu Pernyataan Majemuk

- Negasi Suatu Pernyataan majemuk

Kebenaran Suatu Pernyataan Majemuk

- Disjungsi

- Konjungsi

- Implikasi

- Biimplikasi

DisjungsiAdalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q dengan kata hubung “atau”.

Notasinya:

p v q

Dibaca: p atau q

Tabel Kebenaran disjungsi

p q p v q

B B B

B S B

S B B

S S S

Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari:

6 adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima.Jawab:

Misal: p : 6 adalah bilangan genap

q : 13 adalah bilanagn prima

p bernilai benar dan q bernilai benar sehingga pernyataan 6 adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima bernilai

benar

Konjungsi Adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q dengan kata hubung “dan”.

Dibaca: p dan q

Tabel kebenaran konjungsi:

Notasinya:

p q p q p q

B B B

B S S

S B S

S S S

Ù

Contoh:

13 bilangan prima dan 132 = 169

Jawab:

Misal: p : 13 bilangan prima

Q : 132 = 169

p bernilai benar dan q bernilai benar sehingga pernyataan 13 bilangan prima dan 132 = 169 berniai

benar.

Implikasi Adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk “jika p, maka q”.

Notasinya:

p qDibaca: Jika p, maka q

Tabel kebenaran implikasi:

p q p qB B B

B S S

S B B

S S B

Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat.

Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut:

Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima

Jawab: Misal: P : 3 + 2 = 5

Q : 5 adalah bilangan prima

Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima

B B

Implikasi ini bernilai benar karena alasan benar dan kesimpulan benar

BiimplikasiAdalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”.

Notasinya:

p q

Dibaca: p jika dan hanya jika q

Tabel kebenaran biimplikasi:

p q p qB B B

B S S

S B S

S S B

Contoh:

161/2 = 4 jika dan hanya jika 16log 4 = 1/2

Jawab:

Misal: p :161/2 = 4

Q : 16log 4 = 1/2

161/2 = 4 jika dan hanya jika 16log 4 = 1/2B B

Merupakan biimplikasi yang benar

Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut:

Negasi Suatu Pernyataan Majemuk

- Negasi Konjungsi

- Negasi Disjungsi

- Negasi Implikasi

- Negasi Biimplikasi

Negasi Konjungsi

Negasi dari pernyataan p q adalah ~p v ~q

Perhatikan contoh konjungsi berikut.

p : saya suka apel.q : saya tidak suka wortel.p q : saya suka apel dan tidak suka wortel.

~( p q) : saya tidak suka apel atau saya suka wortel.

p ~p q ~q p q ~(p q ) ~p v ~q

B S B S B S S

B S S B S B B

S B B S S B B

S B S B S B B

Negasi Disjungsi

Negasi disjungsi dari pernyataan p v q adalah ~p ~q

Perhatikan contoh berikut:p : Andi pergi ke supermarket.q : Andi menonton di bioskop.p v q : Andi pergi ke supermarket atau menonton di bioskop.

~(p v q) : Andi tidak pergi ke supermarket dan tidak menonton di bioskop.

p ~p q ~q ~p v ~q ~(p v q) ~q

B S B S B S S

B S S B B S S

S B B S B S S

S B S B S B B

Negasi Implikasi

p ~p q ~q p q ~( p q) p ~q

B S B S B S S

B S S B S B B

S B B S S S S

S B S B S S S

Negasi pernyataan “p q” adalah “p ~q”

Perhatikan contoh berikut:

p : Nico belajar dengan giat.q : Nico naik kelas.p q : Jika nico belajar dengan giat maka nico naik kelas.~(p q) : Jika Nico belajar dengan giat dan ternyata nico tidak naik kelas.

Negasi Biimplikasi Negasi pernyataan “p q” adalah (p ~q) v (q ~p)

Perhatikan contoh berikut:P : Ulangan dibatalkan

Q : Diadakan kerja bakti

p q : Ulangan dibatalkan jika dan hanya jika diadakan kerja bakti

~(p q ) : Ulangan dibatalkan dan tidak diadakan kerja bakti atau diadakan kerja bakti dan ulangan tidak dibatalkan.

p ~p q ~q p q ~(p q) p ~q q ~p (p ~q) v (q ~p)

B S B S B S S S S

B S S B S B B S B

S B B S S B B B B

S B S B B S S S S

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari suatu implikasi p q dapat dibentuk implikasi lain:

q p, yang disebut konvers dari p q.~p ~q, yang disebut invers dari p q.~q ~p, yang disebut kontraposisi dari p q.

p qp q q pq p

~p ~q~p ~q ~q ~p~q ~p

konverskonvers

konverskonvers

inversinversinversinvers KontraposisiKontraposisi

p ~p q ~q p q q p ~p ~q ~q ~p

B S B S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S B S B B B B B

Contoh:Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi:Jika harga minyak naik, maka harga barang naik.

Konversnya (q p) : jika haga barang naik maka harga minyak naik.Invernya (~p ~q) : jika harga minyak tidak naik mak harga barang tidak naik.Kontraposisi (~q ~p) : jika harga barang tidak naik maka harga minyak tidak naik.

Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

- Kuantor Universal

- Kuantor Eksistensial

Kuantor Universal

Sebuah pernyataan dikatakan menggunakan kuantor universal jika menggunakan kata setiap atau semua atau yang ekuivalen dengan itu.

Contoh:1. Semua siswa kelas XA senang olahraga.

2. Setiap peserta ujian wajib membawa kartu tanda

peserta ujian.

Kuantor Eksistensial

Pernyataan dikatakan menggunakan kuantor eksistensial jika menggunakan kata beberapa atau ada atau yang ekuivalen dengan itu.

Contoh:1. Beberapa siswa kelas XB senang olahraga.

2. Ada siswa yang senang matematika.

Inkaran dari Pernyataan Berkuantor

- Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal

- Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial

Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal

Contoh: p : ”Semua bilangan prima adalah bilngan asli”. Bernilai benar

Tentukan ~ p serta nilai kebenarannya.~ p : ”Tidak semua bilangan prima adalah bilangan asli”, atau~ p : ”Beberapa bilangan prima bukan bilangan asli”.

Jadi, jelas bahwa ~ p bernilai salah.

ingkaran dari pernyataan berkuantor universial adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial

Ingkaran dari semua p adalah q yaitu beberapa p bukan q.

Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial

Ingkaran dari beberapa p adalah q yaitu semua p bukan q.

Contoh:p : ”Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap”

Tentukan ~ p serta nilai kebenarannya

~ p : ”Semua bilangan prima bukan bilangan genap”, atau~ p : ”Tidak ada bilangan prima yang bilangan genap”, atau~ p : ”Jika x adalah bilangan prima, maka x bukan bilangan genap”.

ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor universal

Penarikan Kesimpulan

- Prinsip Modus Ponens

- Prinsip Modus Tolens

- Prinsip Silogisme

Prinsip Modus Ponens

Premis 1 : p qPremis 2 : pKonklusi : q

Contoh:

Premis 1 : Jika Afra kehujanan, maka Afra akan masuk angin.

Premis 2 : Afra kehujanan.

Konklusi : Afra masuk angin.

Misal: p: Afra kehujanan

q: Afra masuk angin

Penarikan kesimpulannya:

p q

p

q

Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip modus ponens, berarti kesimpulan yang ditarik adalah sah.

Prinsip Modus Tolens

Premis 1 : p qPremis 2 : qKonklusi : p

Premis 1 : Jika saya berolahraga teratur, maka saya akan sehat.

Premis 2 : Saya tidak sehat

Konklusi : Saya tidak berolahraga teratur

Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip modus tolens, berarti kesimpulan yang ditarik adalah sah

Misal: p: saya berolahraga teratur

q: saya akan sehat

Penarikan kesimpulannya:

p q

~q

~p

Contoh:

Prinsip SilogismePremis 1 : p q Premis 2 : q rKonklusi : p r

Premis 1 : jika x bilangan ganjil, maka 2x bilangan genap.Premis 2 : jika 2x bilangan genap, amka 2x + 1 bilangan ganjil.

Konklusi : jika x bilangan ganjil, maka 2x + 1 bilangan ganjil.

Misal: p: x bilangan ganjilq: 2x bilangan genapr: 2x + 1 bilangan ganjil

Penarikan kesimpulannya:p qq rp r

Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip silogisme, berarti penarikan kesimpulan ini sah.