GEOMETRI

Oleh Kelompok 6:

1. Ade Kurniawan Prayogi Z. (01)

2. Agnes Ivonne Margaretha (02)

3. Elsofi Alintya (18)

4. Hesti Ningrum Naufal U. (23)

5. Muhamad Noor Fathoni (31)

6. Raffi Fadilla Martiansyah (35)

Kelas: X-MIA 3

Pembagian sudut dalam Geometri dibagi

menjadi 3, yaitu:

1.Sudut antara Dua Garis Bersilangan

Perhatikan gambar di bawah.

Sudut antara garis g dan garis h yang

berpotongan sama dengan sudut lancip

yang dibentuk oleh garis g dan garis h.

Pada gambar di bawah ini.

SUDUT

Sudut(g,h)=Sudut APB

2. Sudut antara Garis dan Bidang

Perhatikan gambar disamping.

Jika garis g tidak tegak lurus pada bidang

α, sudut antara garis g dan bidang α

adalah sudut lancip yang dibentuk oleh

garis g dengan proyeksi garis g pada

bidang α.

Catatan:

a.Jika garis g tegak lurus pada bidang α

maka sudut antara garis g dan bidang α

adalah siku-siku

b.Jika garis g terletak pada bidang α atau

sejajar dengan bidang α maka sudut

antara garis g dan bidang α adalah 00.

Sudut(g, α)=Sudut(g, g’)=θ

3. Sudut antara Dua Bidang

Perhatikan gambar disamping.

Bidang α dan bidang β berpotongan di garis l.Sudut antara bidang α dan bidang β adalah

sudut yang terbentuk oleh garis m pada bidang

α dan garis n pada bidang β yang keduanya

tegak lurus garis l.

Langkah-langkah menentukan sudut antara

bidang α dan β sebagai berikut.

a. Tentukan titik T pada garis l.

b. Pada bidang β dibuat garis n tegak lurus lmelalui T.

c. Pada bidang α dibuat garis m tegak lurus lmelalui T sehingga didapat sudut STQ

yang merupakan sudut antara bidang α dan

β

Sudut STQ=sudut antarabidang α dan β.

1. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm.

a. Tentukan Panjang AG.

b. Tentukan proyeksi AG pada bidang ABCD.

c. Tentukan panjang proyeksi AG pada bidang ABCD.

d. Tentukan kosinus sudut antara garis AG dan bidang ABCD.

Jawaban:

a. Oleh karena AG adalah diagonal ruang, panjang AG adalah

r√3 cm.

b. Proyeksi titik A dan G pada bidang ABCD berturut-turut A

dan ... maka proyeksi AG pada bidang ABCD adalah…..

c. Oleh karena AC diagonal sisi, panjang AC= r√2 cm.

d. Sudut antara garis AG dan bidang ABCD= sudut GAC.

cos sudut GAC = AC = a√2 = ……

…. …….

Pemantapan! (Menentukan besar sudut dalam kubus)

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm.

a. Tentukan perpotongan bidang ABCD dan bidang AFC.

b. Jika P titik tengan AC, tentukan garis pada bidang AFC dan pada

bidang ABCD yang tegak lurus AC di P.

c. Tentukan sinus sudut antara bidang ACF dan ABCD.

Jawaban:

a. Perpotongan bidang ABCD dan bidang AFC adalah garis AC.

b. Garis pada bidang AFC yang tegak lurus AC di P adalah FP.

Garis padda bidang ABCD yang tegak lurus AC di P adalah DB.

c. Perhatikan segitiga FBP.

α = sudut antara bidang ACF dan bidang ABCD

PB = ½BD = ½ …. cm

FP = √PB2 +BF2

= √(½ a√2)2+a2

=√½ a2+a2

= √3/2 a2

=a √3/2 cm

Sin α = BF = a

FP a√3/2

= √2 = 1/3 √6 Cm

√3

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.

Tentukan:

a. Besar sudut antara garis AC dan AD.

b. Besar sudut antara garis DF dan BD.

Jawaban:

a.

Sudut antara garis AC dan garis AD sama dengan sudut CAD. Segitiga

ACD merupakan segitiga siku-siku di D dengan AD=CD, maka besar sudut

CAD = 450

Jadi, besar sudut antara garis AC dan AD adalah 450

Contoh Soal

b.

Sudut antara DF dan BD sama dengan sudut BDF = α.

Panjang rusuk BF = 6 cm .

Panjang diagonal ruang DF = 6√3 cm.

Segituga BDF siku-siku di B, maka:

Sin α = BF = 6 = 1 x √3 = 1 √3

DF 6√3 √3 √3 3

↔ a = arcsin 1 √3 = arcsin 0,5774 = 35,30

3

Jadi, besar sudut antara DF dan BD adalah 35,30.

2. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB= 8 cm, BC= 6 cm, dan

CE= 26 cm.

a. Hitunglah nilai sinus sudut FC dengan bidang ABCD.

b. Hitunglah nilai cosinus sudut antara bidang ABFE dan bidang

ABGH.

Jawaban:

a. Sudut antara FC dan bidang ABCD adalah sudut FCB = α.

AC2 = AB2 + BC2 EA2 = EC2 - AC2

= 82 + 62 = 262 - 102

= 64+36 =676-100

=100 =576

↔AC = 10 cm ↔EA = 24 cm

FC=√FB2 + BC2

=√242 + 62

=√576+36

=√612

=6√17

Sin α = FB

FC

= 24

6√17

= 4

17√17

Jadi, nilai sinus sudut antara FC dan bidang ABCD adalah 4 .

17√17

b. Sudut antara bidang ABFE dan ABGH adalah sudut GBF = β.

Cos β = FB

BG

= 24

6√17

= 4

17√17

Jadi, nilai cosinus sudut antara ABFE dan ABGH adalah 4 .

17√17

3. Rama berdiri di sebelah timur gedung dan sedang melihat puncak

gedung dengan sudut elevasi 360 . Adit berada 40 m di sebelah utara

Rama juga melihat puncak gedung tersebut dengan sudut elevasi 280

.Tentukan jarak Rama dari gedung dan gedung.

Jawaban:

Kedudukan Rama (R) dan Adit (A) terhadap geudng dapat di

gambarkan sebagai berikut.

Segitiga PQR siku-siku di P, maka:

Tan 360 = PQ

PR

↔ PQ=PR tan 360 ……………. (i)

Segitiga APQ siku-siku di P, maka:

Tan 280 = PQ

PA

↔ PQ=PA tan 280 ………………(ii)

Dengan membandingkan nilai PQ pada persamaan (i) dan (ii)

diperoleh:

PR tan 360 = PA tan 280

↔PR x 0,7265 = PA x 0,5317

↔ PA = 0,7265 x PR

0,5317

= 1,3664 PR

Segitiga PRA siku-siku di R, maka:

PR2 + RA2 = PA2

↔ PR2 + 402 = (1,3664 PR) 2

↔ PR2 + 1.600 = 1,6038 PR2

↔ 1,6038 PR2 - PR2 = 1.600

↔ 0,6038 PR2 = 1.600

↔ PR2 = 2.649,8841

↔ PR = 51,4770 m

Dari persamaan (i) diperoleh:

PQ = PR tan 360

= 51,4770 x 0,7265

= 37,3980 m

Jadi, jarak Rama dari gedung sekitar 51 m dan tinggi gedung sekitar

37 m.

1. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan

bidang AFH adalah α. Nilai sin α = ……………

2. Diberikan kubus ABCD.EFGH. Jika α adalah sudut antara bidang

ACF dan alas ABCD, maka sin α – cos α = …………

LATIHAN SOAL!

1.

EO = 2√2 Sin α = EO = 2√2

AO2 = AE2 + EO2 AO 2√6

= 16 + (2√2) 2 √2 x √6

= 16 + 8 √6 √6

= 24 2√3

6

AO = 2√6 1 √3

3

Pembahasan Latihan Soal.

2. Misal rusuk = 2a

↔Lukis segitiga OBF.

α = sudut antara FO

OB = sudut antara ACF dan ABCD

sin α – cos β = 2a - a√2

a√6 a√6

= 2a - a√2

a√6

= 2 - √2 = √2 (√2-1) = √2-1

√6 √2.√3 √3