KD 4 HOMOMORFISMA, ISOMORFISMA,TEOREMA DASAR HOMOMORFISMA

Definisi Pemetaan f dari grup (G,*) ke grup (H,@) disebut homomorfisma jika untuk setiap a,bG, berlaku f(a*b)=f(a)@f(b).

Untuk mengecek apakah f homomorfisma dari G ke H, yang dilakukan:

1. Cek apakah f fungsi/pemetaan dari G ke H 2. Cek apakah berlaku untuk setiap a,bG,

berlaku f(a*b)=f(a)@f(b).

Ingat fungsi? f : A B dikatakan fungsi jika x,y A dengan x=y , maka f(x)=f(y)

f : A B dikatakan fungsi injektif ( satu-satu) jika x,y A, dengan f(x)=f(y) maka x = y

f : A B dikatakan fungsi surjektif atau pada jika y B, x A, f(x) = y

f : A B dikatakan fungsi bijektif jika f merupakan fungsi satu-satu dan pada

Misal G grup himpunan bilangan real terhadap operasi penjumlahan dan H grup bilangan real tak nol dengan operasi perkalian . Definisikan fungsi f : G H, dengan f(a)=2a, untuk setiap aG. Apakah f homomorfisma apakah pada? Apakah satu-satu?

Misal G grup bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian dan H={1,-1} terhadap operasi perkalian. Pemetaan f: G H yang didefinisikan sebagai

x negatif,-

x positif,xf

1

1)( apakah merupakan

homomorfisma? Apakah f isomorfisma? Pada? Satu-satu?

Teorema Misal G grup dan N subgrup normal G. Definisikan pemetaan f dari G ke G/N dengan f(g)=Ng. Maka f merupakan homomorfisma.

Misal G grup bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan untuk suatu bilangan bulat m, H ={km | m bilangan bulat} yang disertai dengan operasi penjumlahan. Didefinisikan pemetaan f dari G ke H dengan f(a)=ma, untuk setiap aG. Apakah f homomorfisma? Satu-satu? Pada?

Definisi Kernel (Inti) Homomorfisma J ika f merupakan homomorfisma dari G ke H, kernel dari f atau Ker(f) adalah himpunan {xG|f(x)=e’ , dengan e’ unsur identitas H}.

Teorema J ika f merupakan homomorfisma dari G ke H, maka

(1) f(e)=e’, jika e dan e’ masing-masing unsur identitas G dan H.

(2) f(x-1)=(f(x))-1 untuk setiap xG.

Teorema J ika f homomorfisma dari G ke H dengan kernel K, maka K merupakan subgrup normal G.

Homomorfisma f: GH merupakan isomorfisma jhj Ker f={e}, e unsur identitas G.

Definisi Isomorfisma Suatu homomorfisma f dari G ke H disebut isomorfisma, jika f merupakan pemetaan satu-satu dan pada.

J ika terdapat isomorfisma dari grup G ke grup H, dikatakan G isomorfik dengan H.

Sifat-sifat Homomorfisma

Misal f suatu homomorfisma dari grup G ke grup G’, H subgrup G dan g ∈ G.

1. f memetakan identitas G ke identitas G’. 2. f(gn)=(f(g))n 3. f(H) merupakan subgrup G’ 4. Jika G grup siklik maka f(G) juga grup siklik 5. Jika G abelian maka f(G) juga abelian 6. Jika H subgrup normal G, maka f(H) juga subgrup normal G 7. Jika f pada dan Ker(f)={e}, e identitas G, maka f merupakan

isomorfisma 8. Ker(f) merupakan subgrup normal dari G.

Teorema Dasar I Misal f: G H homomorfisma grup yang pada dengan Ker f = K, maka G/K isomorfik dengan H Buktikan pemetaan g : G/K H dengan g(Ka) = f(a) untuk setiap Ka G/K merupakan isomorfisma. Sehingga G/K isomorfik dengan H.

f G H g

G/K

Misal H subgrup normal dari G, dan K subgrup normal dari G yang memuat H, maka G/K(G/H)/(K/H).

Bukti: (1) Tunjukkan H subgrup normal K (sehingga

K/H terdefinisi). (2) Tunjukkan K/H subgrup normal G/H (3) Buat pemetaan : G/H G/K dengan

(Hg)=Kg, dan tunjukkan Ker()=K/H. Menurut teorema sebelumnya maka (G/H)/(K/H)G/K.

TEOREMA DASAR II

Teorema J ika K subgrup normal dari G dan H subgrup G, maka berlaku (HK)/KH/(HK)

Buat : H (HK)/K dengan (h)=Kh, tunjukkan ini homomorfisma dengan Ker = HK.