halaman utama

PROJEK E-LEARNING

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Desain Webyang Dibina oleh Bapak Mohamad Yasin, S.Kom, M.Kom,

disusun oleh:

Muhammad Ajrul Mahbub130312615407

UNIVERSITAS NEGERI MALANGFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMJURUSAN MATEMATIKAFebruari 2015Halaman Utama

E-Learning

Tampilan Menu

Menu utama

MatakuliahSemester 1
Semester 2
Semester 3

Menu semester 1

| Landasan matematika
| Matematika dasar 1
| Matematika dasar 2
Semester 2
Semester 3

Menu semester 2

Semester 2
| Teori bilangan
| Metode statistika
Semester 3

Menu semester 3

Semester 2
Semester 3
| Analisis real 1
| Struktur aljabar 1

Header

UNIVERSITAS NEGERI MALANG
E-Learning Jurusan Matematika

Frame ID

copyright M. Ajrul Mahbub
Jurusan Matematika FMIPA
Uiversitas Negeri Malang
Jl. Semarang no 5 Malang

Materi 1. Landasan matematika

LANDASAN MATEMATIKA Himpunan
Logika Matematika
Fungsi
Latihan soal

HimpunanDalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
Notasi Himpunan
Himpunan kosong

Notasi HimpunanBiasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...),

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

Himpunan kosongHimpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Logika MatematikaLogika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.
Hukum logika

Hukum komutatif

p q q p

Hukum asosiatif

(p q) r p (q r)

Hukum distributif

p (q r) (p q) (p r)

Hukum identitas

Hukum ikatan

Hukum negasi

p ~p &equip; S

p ~p &equip; B

Hukum negasi ganda

~(~p) p

Hukum idempoten

Hukum De Morgan

~(p &and q) ~p ~q

~(q q) ~p ~q

Hukum penyerapan

p (p q) p

Negasi B dan s

FungsiFungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti alatnya berfungsi dengan baik. Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.
NotasiUntuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

atau

Sifat-sifat fungsiFungsi injektif
Fungsi f: A B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 A dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

Fungsi surjektif
Fungsi f: A B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi bijektif
Fungsi f: A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif

Soal 1. Landasan matematika

Daftar isi: Soal Himpunan | Soal logika matematika | Soal fungsi

SOAL HIMPUNAN

1.
Anggota dari A' adalah

a. {1,2,3,4,5}
b. {1,2,4,5}
c. {7,8,10,11}
d. {7,8,9,10,11,12}

2.Jika semua anggota himpunan A menjadi anggota himpunan B, maka dikatakan bahwa

a. A B
b. A B
c. A B
d. A B

3.Diketahui A = {2,3,5,7} dan B = {1,2,3,4,5} Anggota dari A - B adalah

a. {7}
b. {1,4}
c. {1,2,3,4,5}
d. {2,3,5,7}

4.Sekelompok siswa terdiri dari 50 orang, setelah di data ternyata 20 orang suka bermain basket, 33 orang suka bermain futsal, dan 5 orang tidak suka bermain kedua-duanya. Banyaknya siswa yang suka bermain basket dan futsal sekaligus adalah

a. 45 orang
b. 25 orang
c. 15 orang
d. 8 orang

5.Diketahui A={1,2,3}, B={2,3,4,5}, C={0,1,2,3,4}, dan D = { }. Diantara pernyataan berikut yang benar adalah

a. D A
b. A B
c. B C
d. C D

6.Manakah diantara himpunan berikut yang merupakan himpunan berhingga?

a. S = {0,1,2,3,...}
b. P = {1,2,3, ... ,110}
c. Q = { ...,-3,-2,-1,0}
d. R = {...,-3,-2,-1,0,1,...}

7.Dalam satu RT terdiri dari 60 warga, 20 warga berlangganan majalah, 35 warga berlangganan koran dan 5 warga berlangganan keduanya. Berapa orang warga yang tidak berlangganan kedua-duanya?

a. 15 warga
b. 30 warga
c. 55 warga
d. 10 warga

8.
Perhatikan diagram venn diatas, anggota dari adalah

a. {1,2,3,4,5,7,8,10}
b. {3,6}
c. {1,2,3,4,5,6,9,12}
d. {7,8,10,11}

9.ika A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d,e}, maka pernyataan yang salah adalah

a. A B = {a,b,c}
b. A B = {a,b,c,d,e}
c. n(A) = 4
d. B - A = {d,e}

|

SOAL LOGIKA MATEMATIKA

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut

1.Hari ini Jakarta banjir.

2.Kambing bisa terbang

3.Didi anak bodoh

4.Siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari

5.Semua dokter memakai baju putih saat bekerja

6.Semua jenis burung bisa terbang

7.Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini

Ingkaran dari pernyataan "Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap" adalah
a. Semua bilangan prima adalah bilangan genap
b. Semua bilangan prima bukan bilangan genap
c. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
d. Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima
e. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima

Diberikan data:
Pernyataan p bernilai salah
Pernyataan q bernilai benar
p q BenarSalah
p ~q Benar Salah
~p q Benar Salah
~p ~q Benar Salah

Diberikan data:
Pernyataan p bernilai benar
Pernyataan q bernilai salah
p q Benar Salah
p ~q Benar Salah
~p q Benar Salah
~p ~q Benar Salah

Negasi dari pernyataan " Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan" adalah
a. Matematika mengasyikkan atau membosankan
b. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan
c. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
d. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan
e. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan
Tentukan negasi dari pernyataan

Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir

Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung

Perhatikan pernyataan berikut
"Jika cuaca mendung maka Charli membawa payung"
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di atas!

|

SOAL FUNGSI

Tentukan dari setiap fungsi berikut Daerah asal dan daerah definisi

2.
Tentukan f(x) bila diketahui

5.
Tentukan fungsi invers dari setiap fungsi berikut

8. periksa apakah fungsi injektif, bijektif atau surjektif

Injektif
bijektif
surjektif

diketahui
dan
tentukan

|

Materi 2. Matematika dasar 1

The Real-Number System
Real Numbers
Interval Notation
Properties of the Real Numbers
Absolute Value
Latihan Soal

Real NumbersIn applications of algebraic concepts, we use real numbers to representquantities such as distance, time, speed, area, profit, loss, and temperature.Some frequently used sets of real numbers and the relationshipsamong them are shown below.

Numbers that can be expressed in the form a/b , where p and q are integersand q 0 , are rational numbers. Decimal notation for rationalnumbers either terminates (ends) or repeats. Each of the following is arational number.

Interval Notation

Properties of the Real Numbers

Absolute Value

Soal 2. Matematika dasar 1

MATEMATIKA DASAR I

Write interval notation. Then graph the interval

Write interval notation for the graph

Name the property illustrated by the sentence

Find the distance between the given pair of points on the number line

Materi 2. Matematika dasar 2

TrigonometriTrigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Daftar isi
Konsep trigonometri
Hubungan
Identitas trigonometri
Rumus jumlah dan selisih sudut
Rumus sudut rangkap dua
Rumus sudut rangkap tiga
Rumus setengah sudut
Latihan soal

Konsep trigonometriDasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama. Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti sebangun.Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang dari nol derajat).
Tabel 1. Sudut istimewa

Gambar 1. Grafik y = sin x

Gambar 2. Grafik y = cos x

Gambar 2. Grafik y = tan x

Gambar 2. Grafik y = cot x

Gambar 2. Grafik y = sec x

Gambar 2. Grafik y = cosec x

Hubungan fungsi trigonometri

Fungsi dasar

Identitas trigonometri

Rumus jumlah dan selisih sudut

Rumus sudut rangkap dua

Rumus sudut rangkap tiga

Rumus setengah sudut

Soal 2. Matematika dasar 2

EXCERSICE

1. Diketahui segitiga ABC lancip dengan , dan . Jika , maka AC =

untuk soal nomor 2 sampai 5, tentukan nilai fungsi trionometri untuk sudut-sudut yang ditunjuk

Find the acute angle , to the nearest tenth of a degree, for the given function value.

Materi 3. Teori bilangan

TEORI BILANGAN

Teori bilangan (number theory) adalah teori yang mendasar dalam memahami algoritma kriptografi. Bilangan yang dimaksudkan adalah bilangan bulat (integer)
Bilangan bulat
Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat
Pembagi Bersama Terbesar
Algoritma Euclidean
Relatif Prima
Aritmetika Modulo
Kongruen
Kekongruenan Lanjar
Bilangan Prima
Fungsi Euler
Latihan soal

Bilangan BulatBilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.

Sifat Pembagian pada Bilangan BulatMisalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a 0. Kita menyatakan bahwa a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.
Notasi: a | b jika b = ac, c Z dan a 0.(Z = himpunan bilangan bulat).
Kadang-kadang pernyataan "a habis membagi b" ditulis juga "b kelipatan a".
Contoh 1: 4 | 12 karena 12/ 4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4 * 3. Tetapi 4 | 13 karena 13 /4 = 3.25 (bukan bilangan bulat).

Teorema 1 (Teorema Euclidean). Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga

dengan

Contoh 2

1987 dibagi dengan 97 memberikan hasil bagi 20 dan sisa 47:

22 dibagi dengan 3 memberikan hasil bagi -8 dan sisa 2:

tetapi -22 = 3(-7) - 1 salah karena r = -1 tidak memenuhi syarat

Pembagi Bersama Terbesar (PBB) Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar (PBB - greatest common divisor atau gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian sehingga d | a dan d | b. Dalam hal ini kita nyatakan bahwa PBB(a, b) = d.

Algoritma EuclideanAlgoritma Euclidean adalah algoritma untuk mencari PBB dari dua buah bilangan bulat. Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m n). Algoritma Euclidean berikut mencari pembagi bersama terbesar dari m dan n.
Relatif PrimaDua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBB(a, b) = 1.
Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga

Aritmetika Modulo Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca "a modulo m") memberikan sisa jika a dibagi dengan m.
Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m
Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, ...,m-1}

Kongruenmisalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka a b(mod m) jika m habis membagi a-b.
jika a tidak kongruen b modulo m maka a / b(mod m)
kekonruenan a b (mod m) dapat ditulis dalam a = b + km untuk suatu bilangan bulat k
Teorema 2. Misalkan m adalah bilangan bulat positif.

jika a b(mod m) dan c sebarang bilangan bulat maka

(a+c) (b+c) mod m

ac bc mod m

ap bp mod m untuk suatu bilangan bulat tidak negatif p

jika a b(mod m) dan c d(mod m) maka

(a+c) (b+d) mod m

ac bd mod m

Kekongruenan LanjarKekongruenan lanjar adalah kongruen yang berbentuk ax b (mod m), dengan m adalah bilangan bulat positif, a dan b sembarang bilangan bulat, dan x adalah peubah bilangan bulat.
Nilai-nilai x dicari sebagai berikut:

yang dapat disusun menjadi

dengan k adalah sembarang bilangan bulat. Cobakan untuk k = 0, 1, 2, ... dan k = -1, -2,... yang menghasilkan x sebagai bilangan bulat.

Teorema 3. (Chinese Remainder Theorem) Misalkan m1,m2,...,mn adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga PBB(mi, mj) = 1 untuk i j. Maka sistem kongruen lanjar
x ax (mod mk)
mempunyai sebuah solusi unik modulo m = m1, m2, ..., mn
Bilangan PrimaBilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p.
Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Misalnya 20 adalah bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.

Teorema 4. (The Fundamental Theorem of Arithmetic). Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

Teorema 5. (Teorema Fermat). Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dengan p, yaitu PBB(a, p) = 1, maka
ap-1 1 (mod p)
Fungsi Euler Fungsi Euler medefinisikan (n) untuk n 1 yang menyatakan jumlah bilangan bulat positif < n yang relatif prima dengan n.

Teorema 5. Jika n = pq adalah bilangan komposit dengan p dan q prima, maka (n) = (p) (q) = (p - 1)(q - 1).

Teorema 6. Jika p bilangan prima dan k > 0, maka (pk) = pk - pk-1 = pk-1(p - 1).

Teorema 7. (Euler's generalization of Fermat theorem)
Jika PBB(a, n) = 1, maka a(n) mod n = 1 (atau a(n) 1 (mod n) )

Soal 3. Teori bilangan

Soal Teori Bilangan ={e, a, a2,..., an-1} and i = aj if and only if n divides i j.

Corollary 1 |a| 5 |< a>|
For any group element a, |a| =|< a>|.

Corollary 2 ak = e Implies That |a| Divides k
Let G be a group and let a be an element of order n in G. If ak = e,then n divides k.

Theorem 4.2
Let a be an element of order n in a group and let k be a positiveinteger. Then and .

Corollary 1 Orders of Elements in Finite Cyclic Groups
In a finite cyclic group, the order of an element divides the orderof the group.

Corollary 2 Criterion for dan
Let img . Then if and only if and if and only if .

Corollary 3 Generators of Finite Cyclic Groups
Let |a| = n. Then < a> = < aj> if and only if gcd(n, j) = 1 and|a| = |< aj>| if and only if gcd(n, j) = 1.

Classification of Subgroupsof Cyclic GroupsTheorem 4.3 Fundamental Theorem of Cyclic Groups
Every subgroup of a cyclic group is cyclic. Moreover, if |< a>| = n,then the order of any subgroup of < a> is a divisor of n; and, for eachpositive divisor k of n, the group < a> has exactly one subgroup oforder k-namely, < an/k>.

Theorem 4.4 Number of Elements of Each Order in a Cyclic Group
If d is a positive divisor of n, the number of elements of order d ina cyclic group of order n is (d).

Sub materi 5. Permutation Groups

Wigner's discovery about the electron permutation group was just thebeginning. He and others found many similar applications and nowadaysgroup theoretical methods-especially those involving characters andrepresentations-pervade all branches of quantum mechanics.
GEORGE MACKEY, Proceedings of theAmerican Philosophical Society

Permutation GroupsDefinition and NotationDefinition Permutation of A, Permutation Group of A
A permutation of a set A is a function from A to A that is both oneto-one and onto. A permutation group of a set A is a set of permutationsof A that forms a group under function composition.

Properties of PermutationsTheorem 5.1 Products of Disjoint Cycles
Every permutation of a finite set can be written as a cycle or as aproduct of disjoint cycles.

Theorem 5.2 Disjoint Cycles Commute
If the pair of cycles = (1, 2, . . . , 1) and = (1,2, . . . , n)have no entries in common, then = .

Theorem 5.3 Order of a Permutation (Ruffini-1799)
The order of a permutation of a finite set written in disjoint cycleform is the least common multiple of the lengths of the cycles.

Theorem 5.4 Product of 2-Cycles
Every permutation in Sn, n > 1, is a product of 2-cycles.

Lemma
If = 1, 2,...,r where the 's are 2-cycles, then r is even.

Theorem 5.5 Always Even or Always Odd
If a permutation a can be expressed as a product of an even (odd)number of 2-cycles, then every decomposition of a into a product of2-cycles must have an even (odd) number of 2-cycles. In symbols, if
= 1, 2,...,r and = 1, 2,...,s
where the 's and the 's are 2-cycles, then r and s are both even orboth odd.

Theorem 5.6 Even and Odd Permutations
A permutation that can be expressed as a product of an even numberof 2-cycles is called an even permutation. A permutation that canbe expressed as a product of an odd number of 2-cycles is called anodd permutation.

Definition Alternating Group of Degree n
The group of even permutations of n symbols is denoted by An and iscalled the alternating group of degree n.
Theorem 5.7
For n > 1, An has order n!/2.

Soal 5. Struktur Aljabar I

LATIHAN SOAL
STRUKTUR ALJABAR 1

Berikan dua alasan mengapa himpunan bilangan ganjil dibawah penjumlahan bukan grup

Tujukan bahwa {1,2,3} dibawah perkalian modulo 4 bukan grup tetapi {1,2,3,4} dibawah perkalian modulo 5 adalah grup

3. tentukan invers dari

dalam GL(2,Z11)

Berikan contoh elemen grup a dan b yang memenuhi sifat a-1ba b

Buktikan bahwa himpunan semua matix dengan entri bilangan real dan dengan bentuk

adalah grup dengan operasi kali matriks

Finite groups; Subgroups

tentukan siklik subgrup dari U(40) dengan orde 4

tentukan nosiklik subgrup dari U(40) dengan orde 4

|

Materi 6. Analisis Real

THE REAL NUMBERS
Algebraic Properties of Real number On the set R of real numbers there are two binaryoperations, denoted by + and . and called addition and multiplication, respectively. Theseoperations satisfy the following properties:
(A1) a + b = b + a for all a, b in R (commutative property of addition);
(A2) (a + b) + c = b + (a + c) for all a, b, c in R (associative property of addition);
(A3) there exists an element 0 in R such that 0 + a = a and a + 0 = a for all a in R (existence of a zero element);
(A4) for each a in R there exists an element -a in R such that a + (-a) = 0 and (-a) + (a) = 0 (existence of negative elements);
(M1) a . b = b . a for all a, b in R (commutative property of multiplication);
(M2) (a . b) . c = a . (b . c) for all a, b, c in R (associative property of multiplication);
(M3) there exists an element 1 in R distinct from 0 such that 1 . a = a and a . 1 = a for all a in R (existence of a unit element);
(M4) for each a 0 in R there exists an element 1 = a in R such that a . (1/a) = 1 and (1/a) . a = 1 (existence of reciprocals);
(D) a . (b + c) = (a . b) + (a . c) and (b + c) . a = (b . a) + ( c . a) for all a, b, c di R (distributive property of multiplication over addition)

halaman utama

Documents