H I M P U N A N

A. Pendahuluan

Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (1845-1918), ahli mtk berkebangsaan

Jerman. Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan, na-

mun th 1920-an menjadi landasan matematika. Kata lain dari himpunan yaitu: set, gugus, kelompok,

kumpulan.

B. Pengertian Himpunan

Dalam matematika, himpunan merupakan pengertian pangkal (tidak didefinisikan, undefined term).

Untuk memahaminya, himpunan sering diartikan sebagai kumpulan objek-objek (abstrak atau kon-

kret) yang didefinisikan dengan jelas (well defined), jadi keanggotaannya harus jelas. Didefinisikan

dengan jelas, berarti himpunan dapat mengklasifikasikan objek kedalam anggota atau bukan

anggota himpunan itu.

Contoh himpunan:

Kumpulan hewan-hewan berkaki empat

Kumpulan bilangan bulat antara 3 dan 8

Kumpulan nama-nama mahasiswa PGSD yang berusia di bawah 3 tahun

Kumpulan berikut ini bukan himpunan:

Kumpulan bunga-bunga yang indah

Kumpulan lukisan yang indah

Kumpulan nama-nama mhs PGSD yang cantik.

C. Deskripsi Himpunan

Nama himpunan ditulis sebagai huruf capital, seperti: A, B, G, H, S, C. Notasi himpunan ditulis se-

bagai kurung kurawal , seperti: W : { d, m, p, t }. Objek yang dibicarakan dalam himpunan, seperti: d,

m, p, t disebut anggota (elemen, unsur) dan ditulis di dalam kurung kurawal tersebut.

D. Keanggotaan Himpunan

Relasi anggota dengan himpunan menggunakan notasi ““ dan yang bukan anggota menggunakan

notasi “”, seperti contoh berikut.

W : { d, m, p, t }

p { d, m, p, t } atau p W

b { d, m, p, t } atau b W

Banyaknya anggota W dinotasikan dengan n(W), jadi n(W) = 4.

E. Menyatakan Himpunan

1. Cara tabulasi (rooster method, pendaftaran), yaitu dengan menuliskan anggotanya satu per satu

di dalam kurung kurawal, seperti contoh berikut.

A : {merah, kuning, hijau}

H : {ayam, itik, bebek, angsa}

Anggota-anggota yang sama dianggap sebagai satu anggota.

{6, 4, 7, 9, 6, 9, 2} = {2, 4, 6, 7, 9}

Himpunan B : {p, c, a, m, p, m, h} memiliki 5 anggota.

2. Cara deskriptif (rule method, cara aturan/metode pembentukan himpunan), yaitu dengan me-

nuliskan aturan atau perumusan tentang sifat keanggotaannya, seperti contoh berikut.

M : {x3 x 16, x bilangan genap}

H : {x x nama-nama hewan berkaki dua}

P : {xx bilangan prima kurang dari 15}.

F. Macam-macam Himpunan

Berikut ini adalah macam-macam himpunan, yaitu:

a) Himpunan kosong

Suatu himpunan H disebut himpunan kosong jika n(H) = 0. Notasi untuk himpunan kosong adalah Ø

atau { }. Berikut adalah contoh himpunan kosong:

Himp nama-nama hewan berkaki tiga

Himp bilangan asli kurang dari satu

Himp bilangan prima genap antara 10 dan 20

Himp nama-nama dosen unila yg berusia lebih dari 500 tahun.

b) Himpunan bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian (Subset) dari himpunan B jika setiap anggota A juga

menjadi anggota B

• Himpunan bagian dari {a, d, t} adalah Ø, {a}, {d}, {t}, {a, d}, {a, t}, {d,t}, dan {a, d, t}. Dengan

demikian terdapat delapan himpunan bagian

• Himpunan bagian sejati dari {a, d, t} adalah Ø, {a}, {d}, {t}, {a, d}, {a, t}, {d,t}.

c) Himpunan semesta

Himpunan semesta S adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan.

Himpunan semesta dari {1,2,3,4,5} antara lain adalah:

{0,1,2,3,4,5,6}

{x|x bilangan asli}

Himpunan bilangan cacah kurang dari 20

d) Himpunan terhinga dan himpunan takhingga

• Himpunan H disebut himpunan terhingga (finite set) jika n(H) = c, c bilangan cacah. Berikut

adalah contoh himpunan terhingga.

G : Himpunan nama-nama hari dalam seminggu

N : {7,8,9,10, …, 2015}

• Himpunan D disebut himpunan takhingga (infinite set, transfinite set) jika n(D) = ~. Berikut

adalah contoh himpunan takhingga.

F = {2, 3, 4, 5, …}

M : {x2 x 4, x bilangan real}.

e) Himpunan terbilang dan himpunan tak terbilang

Himpunan terbilang yaitu himpunan dengan anggota yang dapat ditunjukkan satu per satu,

seperti berikut.

P = {4,5,6, …}

Q = {r, s, t, v, w, k, d, a}

R = {1, 2, 3, …, 138}.

Himpunan tak terbilang yaitu himpunan yang anggotanya tidak dapat ditunjukkan satu per satu

(kontinu), seperti contoh berikut.

D = {x0 x 7, x bilangan rasional}

F = {xx 4, x bilangan real positip}.

Khusus untuk bil real, himpunan tak terbilang (kontinu) bisa dinyatakan dengan interval atau

selang, seperti berikut.

{x | 2 x 7} = (2,7]

{x | 2 x 7} = [2,7)

{x | 2 x 7} = (2,7)

{x | 2 x 7} = [2,7].

f) Himpunan terbatas dan himpunan tak terbatas.

Himpunan terbatas yaitu Himpunan yangg mempunyai batas, seperti contoh berikut:

K = {4, 1, 3, 8, 6}

L = {0 x 7, x bilangan asli}

B = {0 x 7, x bilangan bulat}.

Himpunan terbatas biasanya beranggotakan bilangan. Batas sebelah kiri disebut batas bawah,

dan batas sebelah kanan disebut batas atas. Unsur yang menjadi batas itu tidak harus menjadi

anggota himpunan. Pada himpunan terhingga yang ditulis secara tabulasi, anggota terkecil

menjadi batas bawah, dan anggota terbesar menjadi batas atas.

Himpunan Takterbatas (Unbounded Set) yaitu himpunan yang tidak mempunyai batas di

sebelah kiri maupun kanan

Contoh:

R = {- ~ x + ~, x bilangan real}.

G. Relasi Himpunan

Relasi himpunan meliputi berikut ini.

a) Dua Himpunan Sama

Dua Himpunan, A dan B dikatakan sama jika setiap anggota A adalah anggota B dan setiap

anggota B menjadi aggota A.

A = B AB dan BA

Contoh:

A = {5, 2, 7, 2, 9, 8, 7}

B = {8, 8, 2, 7, 5, 9, 8, 5}

maka A = B.

b) Dua himpunan Saling Lepas (Disjoin)

Dua himpunan dikatakan saling Lepas (Disjoin) jika kedua himpunan itu tidak mempunyai

anggota yang sama.

Contoh:

P = {a,b,c,d}

Q = {e,f,g,h,i,j}

Himpunan P dan Q dikatakan saling lepas

c) Dua himpunan saling berpotongan

Dua himpunan dikatakan saling berpotongan jika antar kedua himpunan itu ada anggota yang

sama dan ada anggota yang berbeda, seperti contoh berikut.

A = {5, 8, 2, 9}

B = {14, 2, 8, 7, 26}

Himpunan A dan B saling berpotongan (saling beririsan)

d) Dua himpunan, yang satu bagian dari himpunan kedua

Himpunan A disebut himpunan bagian (Subset) dari himpunan B jika setiap anggota A juga

menjadi anggota B.

e) Dua himpunan yang Ekivalen.

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B).

Contoh:

A = { 4,6,3,2,2,6}

B = { r, k, d, w}

Maka A~B

H. Operasi Himpunan

a) Union (gabungan) dua himpunan

• AB = {x|xA atau xB}

• Gabungan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota

A atau anggota B.

• Contoh:

A = {a,c,e}

B = {b, c, d}

maka AB = {a, b, c, d, e}

b) Intersection (Irisan) dua himpunan

• AB = {x|xA dan xB}

• Irisan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A dan

sekaligus juga anggota B.

• Contoh:

A = {a,c,d,e}

B = {a, b, e, f, g}

maka A B = {a, e}

c) Pengurangan himpunan

• A – B = {x|xA dan xB}

• A – B berarti suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A tetapi tidak menjadi

anggota B.

• Contoh:

A = {a,c,d,e}

B = {a, b, e, k, g}

A – B = {c, d}

B – A = {b, k, g}

d) Penjumlahan himpunan

• A + B = (A – B) (B – A)

• A + B berarti suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A saja atau anggota B saja.

• Contoh:

A = {a,c,d,e}

B = {a, b, e, k, g}

A + B = {b, c, d, k, g}

B + A = {b, c, d, k, g}

e) Perkalian (persilangan) himpunan

• A X B = {(x,y) | xA dan yB}

• Persilangan dari himpunan A ke B adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah (x,y) di

mana x anggota A dan y anggota B.

• Contoh:

A = {a,b,c}

B = {1, 2}

maka A X B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c, 2)}

B X A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2, c)} .