e f gambar 1 - syarifatun28.files.wordpress.com · prisma tegak jika rusuk-rusuk tegaknya tegal...
TRANSCRIPT
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang
A B
D C
G H
E F
Gambar 1
A B
D C
G H
E F
Gambar 2
BANGUN RUANG
A. Pengertian
1. Kubus
Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam
buah bidang persegi yang kongruen (bentuk dan
besarnya sama).
(Perhatikan Gambar 1)
Kubus mempunyai 6 sisi, 8 titik sudut, dan 12 rusuk.
Semua rusuk sama panjang. Dua sisi yang berhadapan
sejajar adalah sisi ABCD dan sisi EFGH, sisi ABFE dan
sisi DCGH, dan sisi BCGF dan sisi ADHE.
Ada 3 kelompok rusuk yang saling sejajar yaitu:
Rusuk AB, DC, EF, dan HG
Rusuk AD, BC, FG, dan EH, serta
Rusuk AE, BF, CG, dan DH.
Delapan titik sudut adalah A, B, C, D, E, F, G, dan H.
2. Balok
Balok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh
enam buah bidang (sisi) persegi panjang
(Gambar 2).
Setiap dua buah sisi yang berhadapan sejajar dan
kongruen, yaitu sisi ABCD dan sisi EFGH, sisi
ABFE dan sisi DCGH, dan sisi ADHE dan sisi
BCGF.
Ada 3 kelompok rusuk saling sejajar dan sama panjang, yaitu:
Rusuk AB, DC, EF, dan HG
Rusuk AD, BC, FG, dan EH, serta
Rusuk AE, BF, CG, dan DH.
Delapan titik sudut adalah A, B, C, D, E, F, G, dan H.
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang
P r
t
Q
Gambar 3
Gambar 4
T
D
A B
C
t
T1
3. Tabung
Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah
bidang lingkaran yang kongruen dan sebuah bidang lengkung
yang disebut selimut tabung (Gambar 3).
Kedua bidang lingkaran tersebut adalah bidang lingkaran alas
dan bidang lingkaran atas. r adalah jari-jari lingkaran, t
menyatakan tinggi tabung. Garis PQ disebut sumbu tabung.
Rusuk tabung adalah lingkaran alas dan lingkaran atas. Tabung
disebut juga silinder.
4. Limas
Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh
sebuah bidang segi banyak dan bidang-bidang
segitiga. Alas segitiga berimpit dengan sisi segi
banyak dan puncak semua segitiga berimpit
(Gambar 4).
Apabila semua segitiga sama kaki dan rusuk alasnya
sama, maka limas yang terjadi beraturan.
Limas T. ABCD adalah limas segi empat beraturan. Alas ABCD berbentuk
persegi. Limas T. ABCD mempunyai:
Lima buah titik sudut yaitu T, A, B, C, dan D, delapan buah rusuk yaitu TA, TB,
TC, TD, AB, BC, CD, dan DA.
T adalah puncak limas.
TT1 adalah tinggi limas.
TA, TB, TC, dan TD adalah rusuk-rusuk tegak.
AB, BC, CD, dan DA adalah rusuk-rusuk alas.
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang
T
t
A
T1
r
r
Gambar 5
A B P r r
r
5. Kerucut
Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang
lingkaran sebagai alas dan bidang lengkung yang disebut
selimut (Gambar 5).
t adalah tinggi kerucut.
T adalah puncak kerucut.
T1 adalah pusat lingkaran alas.
r adalah jari-jari lingkaran alas.
TT1 adalah sumbu kerucut.
Lingkaran alas merupakan rusuk kerucut.
TA disebut apotema atau garis pelukis kerucut.
6. Bola
Bola adalah bangun ruang yang terjadi apabila
sebuah lingkaran diputar pada sebuah diameter.
Bidang lengkung yang terjadi disebut bola. Setiap
titik pada bola mempunyai jarak yang sama
terhadap sebuah titik yang disebut pusat bola.
Jarak yang sama itu disebut jari-jari bola
(Gambar 6).
P adalah pusat bola, r adalah jari-jari bola.
AB = 2r = d
AB adalah diameter bola.
Bola hanya mempunyai satu sisi yaitu bidang bola, tidak mempunyai rusuk dan
titik sudut.
7. Prisma
Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang segi banyak
yang kongruen dan sejajar, dan bidang jajargenjang sebanyak sisi segi banyak
tersebut. Setiap pasang sisi jajargenjang berimpit dengan sisi-sisi yang seletak
pada kedua segi banyak tersebut. Jadi, prisma merupakan bangun ruang yang
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang
mempunyai sepasang sisi kongruen dan sejajar serta
rusuk-rusuk tegaknya saling sejajar.
Kedua bidang segi banyak yang kongruen dan sejajar,
masing-masing disebut bidang alas atau alas dan bidang
atas,
Bidang-bidang lainnya disebut bidang tegak. Prisma yang
bidang sisi tegaknya berupa jajargenjang disebut prisma
miring atau prisma condong, karena rusuk tegaknya tidak
tegak lurus pada rusuk-rusuk alas. Sedangkan disebut
prisma tegak jika rusuk-rusuk tegaknya tegal lurus pada rusuk-rusuk alas.
Apabila alasnya berupa segi n maka prisma disebut prisma segi n. Prisma tegak
yang alasnya berupa segi n beraturan, disebut prisma segi n beraturan. Prisma
tegak alas dan bidang atas memiliki sudut siku disebut prisma siku-siku.
Gambar 7 adalah prisma tegak segitiga.
Bidang segitiga ABC adalah alas prisma.
Bidang segitiga DEF adalah bidang atas.
Bidang ABED, BCFE, dan ACFD adalah bidang tegak yang berupa persegi
panjang. AB, BC, dan AC adalah rusuk alas. DE, EF, dan FD adalah rusuk atas. AD,
BE, dan CF adalah rusuk tegak yang juga menyatakan tinggi prisma tegak. A, B, C,
D, E, dan F adalah titik-titik sudut.
Jadi, prisma tegak segitiga mempunyai lima bidang sisi, sembilan rusuk, dan
enam titik sudut.
A
B
C
F
D
Gambar 7
E
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang
s
s
s
p
l
t
B. Volume Bangun Ruang
1. Volume balok dan kubus
Perhatikan Gambar 8 !
Rumus volume untuk balok dan kubus sebagai berikut.
2. Volume prisma dan tabung
Perhatikan Gambar 9 !
Gambar (i) adalah prisma yang ke empat bidang sisi tegaknya berupa
jajargenjang. Prisma yang demikian disebut prisma miring atau prisma condong,
karena rusuk tegaknya tidak tegak lurus pada rusuk-rusuk alas. Gambar (ii),
(iii), dan (iv) adalah prisma tegak, karena rusuk-rusuk tegaknya tegak lurus
pada rusuk-rusuk alas. Gambar (ii) adalah prisma tegak segi empat yang bidang
Gambar 8
𝑖 𝑉𝑏𝑎𝑙𝑜𝑘 = 𝑝. 𝑙. 𝑡
𝑖𝑖 𝑉𝑘𝑢𝑏𝑢𝑠 = 𝑠3
t t t
t
(i) (ii) (iii) (iv)
Gambar 9
(i) (ii)
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang
alas dan bidang atasnya berbentuk persegi panjang. Prisma yang demikian
disebut prisma siku-siku atau balok.
Apabila prisma Gambar 9 (ii) dibelah dua menurut salah satu bidang diagonal,
maka akan menjadi dua prisma tegak segitiga yang kongruen (Gambar 10 (i)).
Kedua prisma tegak segitiga tersebut dapat digabungkan lagi menjadi prisma
tegak segitiga yang lebih besar (Gambar 10 (ii)).
Volume balok (Gambar 10 (ii)) adalah V = L. t.
Setelah dibelah dua (Gambar 10 (i)), masing-masing volumenya
. . .
Dan setelah digabung lagi menjadi prisma tegak segitiga (Gambar 10 (ii)), maka
volumenya
= .
Jadi, volume prisma tegak segitiga (Gambar 10 (ii)) adalah V = L. t sama dengan
volume balok (Gambar 9 (ii)).
Dengan demikian volume prisma tegak segitiga (Gambar 9
(iii)) adalah V = L. t.
Prisma tegak segi enam beraturan (Gambar 9 (iv)) dapat
dibelah menurut tiga bidang diagonal sehingga menjadi enam
buah prisma tegak segitiga yang kongruen (Gambar 11).
Apabila luas segi enam beraturan (alas prisma) L, maka luas
alas sama dengan
. Masing-masing prisma tegak segitiga volumenya
. .
t
t
Gambar 10
(i) (ii)
Gambar 11
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang
T
D
A B
C
t
Jadi, volume prisma tegak segi enam beraturan =
. = . .
Jika diperhatikan, tabung adalah bentuk prisma istimewa, dengan alas dan atas
segi-n beraturan dengan n tak terhingga banyaknya sehingga alas dan atas
berbentuk lingkaran. Karena tabung berupa prisma, maka volume tabung
rumusnya sama dengan volume prisma:
V = Lt
Perlu diketahui luas alas lingkaran rumusnya adalah L = r2 atau L =
.
(d = 2r; d = diameter, r = jari-jari)
Jadi, volume tabung:
Atau =
satuan volume
3. Volume limas dan kerucut
Kubus ABCD.EFGH dengan diagonal-diagonal ruang AG, HB, CE, dan DF
berpotongan di titik T (Gambar 12 (i)).
Oleh ke empat diagonal ruang, kubus terbagi menjadi enam buah limas segi
empat beraturan yang kongruen yaitu: T.ABCD, T.EFGH, T.ABFE, T.CDHG,
T.ADHE, dan T.BCGF.
Volume Prisma = L. t
Volume Tabung = L. t → 𝑉 = 𝜋𝑟 𝑡 satuan volume
A B
D C
G H
E F
T
Gambar 12
(i) (ii)
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang
r
r
r
r
Salah satu dari ke enam limas tersebut yaitu T.ABCD dapat dilihat pada Gambar
12 (ii). Volume kubus ABCD.EFGH adalah V = Lt.
Jadi, volume limas T.ABCD adalah:
=
=
=
Karena kerucut dapat dianggap sebagai limas segi-n beraturan, dengan n tak
terhingga, maka volume kerucut mempunyai rumus sama dengan rumus volume
limas.
Jadi, rumus volume kerucut:
4. Volume bola
Gambar belahan bola (setengah bola) dengan jari-jari r (Gambar 13 (i)).
Gambar kerucut dengan lingkaran alas dan tinggi kerucut r (Gambar 13 (ii).
Belahan bola dan kerucut dapat diisi dengan air.
Untuk mengisi air hingga penuh ke dalam belahan bola, diperlukan dua kali
menuang air dengan kerucut penuh. Hal ini berarti volume balahan bola dua kali
volume kerucut dengan jari-jari lingkaran yang sama.
Volume kerucut =
3 =
3 =
3 3
Volume belahan bola = .
3 3 =
3 3
Jadi, volume bola = .
3 3
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑙𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑉 =
𝐿𝑡
𝑉 =
𝐿𝑡
(i) (ii)
Gambar 13
𝑉 =4
𝜋𝑟3
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang
A B
D C
G H
E F
t
l p
Gambar 15
A B
D C
G H
E F
s
s s
Gambar 14
A
B
C
F
D
Gambar 16
t t
a
t
b
c
E
C. Luas Sisi Bangun Ruang
Bangun ruang dibatasi oleh bidang-bidang sisi baik yang berupa bidang datar
maupun bidang lengkung. Bidang-bidang datar tersebut berupa persegi, persegi
panjang, segitiga, atau lingkaran masing-masing mempunyai luas tertentu. Jumlah
luas bidang sisi suatu bangun ruang disebut luas sisi bangun ruang.
1. Kubus
Luas sisi kubus =
=
=
Apabila rusuk kubus s, luas sisi kubus:
2. Balok
=
=
=
=
Jadi, luas sisi balok
3. Prisma
=
=
=
=
Jadi, luas sisi setiap prisma tegak dapat dihitung dengan
rumus:
𝐿𝑘𝑢𝑏𝑢𝑠 = 𝑠2
𝐿𝑏𝑎𝑙𝑜𝑘 = 𝑝𝑙+𝑝𝑡+𝑙𝑡
𝐿𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘 = 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 𝐾𝑎𝑙𝑎𝑠𝑡
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang
T
D
A B
C
t
S
s
R
T
D R A
4. Tabung
Tabung terjadi dari prisma segi banyak beraturan yang rusuk alasnya tak
terhingga banyaknya. Oleh sebab itu, rumus untuk menghitung luas sisi tabung
sama dengan rumus untuk menghitung luas sisi prisma tegak, yaitu:
Apabila jari-jari tabung ditentukan r, maka rumus luas tabung menjadi:
=
=
Jadi, luas tabung
5. Limas
Limas segi empat beraturan T. ABCD. Luas sisi limas:
= 4
Segitiga TAD sama kaki, TA = TD
=
=
Dari segitiga TRS yang siku-siku di S berlaku teorema Pythagoras:
=
= (
)
=
4
𝐿𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔 = 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 𝐾𝑎𝑙𝑎𝑠𝑡
𝐿𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔 = 𝜋𝑟 𝑟 𝑡
Gambar 17
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang
= √
4
= √4
4
=
√4
=
.
=
.
√4
=
4 √4
Jadi, luas sisi limas:
= 4
= 4.
4 √4
= √4
Untuk limas segi n beraturan luas permukaannya dapat dihitung dengan rumus
sebagai berikut.
6. Kerucut
Luas kerucut yang tingginya t dan jari-jari lingkaran alas r dapat dihitung
sebagai berikut.
Alas kerucut berbentuk lingkaran yang berjari-jari r.
Jadi,
Selimut kerucut berupa juring lingkaran yang berjari-jari s. Panjang busur juring
sama dengan keliling lingkaran alas K = 2r.
𝐿𝑙𝑖𝑚𝑎𝑠 = 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑛. 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎
𝐿𝑘𝑒𝑟𝑢𝑐𝑢𝑡 = 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 𝐿𝑠𝑒𝑙𝑖𝑚𝑢𝑡
𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 = 𝜋𝑟
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang
=
=
=
=
.
=
=
=
=
Jadi, luas kerucut
s = garis pelukis
7. Bola
Bola berjari-jari r. Jika luas lingkaran yang berjari-jari r adalah , maka luas
bidang bola empat kali luas lingkaran tersebut.
Jadi, luas bidang bola: Karena =
, maka:
Ref. (Matematika 3 Kurikulum SLTP 1994)
𝐿𝑘𝑒𝑟𝑢𝑐𝑢𝑡 = 𝜋𝑟 𝑟 𝑠
𝐿𝑏𝑜𝑙𝑎 = 4𝜋𝑟 𝐿𝑏𝑜𝑙𝑎 = 𝜋𝑑
Pada kerucut, garis yang menghubungkan titik puncak dengan setiap titik pada
lingkaran alas disebut garis pelukis.
Jarak titik puncak ke tiap-tiap titik lingkaran alas disebut apotema.
http://www.syarifatun28.wordpress.com | Bangun Ruang