10/09/09 MEKANIKA 1 1.2 DINAMIKA PARTIKEL n HUKUM-HUKUM TENTANG GERAK n APA YANG MEMBUAT BENDA BERGERAK * Aristotle : gaya, tarik atau dorong diperlukan untuk menjaga sesuatu bergerak * Galileo Galilei : benda bergerak mempunyai kuantitas gerak secara intrinsik * Issac Newton : konsep massa (m), gaya (F) dan momentum (p) p = m v

10/09/09 MEKANIKA 2 HUKUM NEWTON n Hukum I : Benda bergerak lurus beraturan akan tetap bergerak lurus beraturan, atau benda diam akan tetap diam, selama tidak ada tambahan gaya luar baru yang bekerja. n Hukum II : Laju perubahan momentum suatu benda sama dengan gaya total yang bekerja pada benda tersebut F = dp/dt = m a n Hukum III : Setiap aksi selalu mendapatkan reaksi sebanding. SF=0

10/09/09 MEKANIKA 3 PEMAKAIAN HUKUM NEWTON n LANGKAH PENYELESAIAN MASALAH MEKANIKA 1. Identifikasi benda yang menjadi pusat perhatian 2. Gambar gaya-gaya yang bekerja pada benda secara vektor 3. Pilih sistem koordinat pada benda dan proyeksikan gaya-gayanya komponen x : Fx = F cos q = m ax komponen y : Fy = m ay F sin q + N - mg = m ay m q N W F F cos q x N W=mg FF sin q y

10/09/09 MEKANIKA 4 GAYA GESEK Gaya gesek adalah gaya yang terjadi antara dua permukaan yangbergerak relatif be rlawanan F = 0 diam F1fs fs > F1 fs F2 fs = F2 fs F3 fs < F3 Gaya gesek statik adalah gaya terkecil yang dibutuhkan agar benda mulai bergerak. Gaya statik maksimum sebanding dengan gaya normal N fs ms N Benda mulai bergerak saat F = F3 Gaya gesek selama benda bergerak disebut gaya gesek kinetik fk fk = mk N

10/09/09 MEKANIKA 5 Contoh Analisa Mekanika (Bidang Miring) Diambil sumbu x berimpit dengan bidang miring dan sumbu y tegak lurus terhadapnya, sehingga: nSumbu x: SFx = m.a F fk = m.a nSumbu y: SFy = m.a N = m.g cos q FN fk mg q

10/09/09 MEKANIKA 6 DINAMIKA GERAK MELINGKAR n GAYA SENTRIPETAL n Suatu partikel bergerak melingkar dengan kecepatan konstan akan mengalami percepatan (sentripetal) a = v2 / r n Benda akan bekerja gaya yang arahnya ke pusat disebut gaya sentripetal r a w T w T

10/09/09 MEKANIKA 7 1.3 USAHA, TENAGA DAN DAYA USAHA / Usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya konstan / Usaha yang dilakukan oleh gaya tidak konstan (gaya pegas) d F q W = F cos q d : skalar W = F . d : vektor Satuan : 1 N / 1 m = 1 Joule = 107 erg 1 eV = 1,60 x 10 -19 Joule Usaha oleh gaya sentripetal dan gaya normal adalah nol ! F(x) x x1 x2.x DW = F(x) Dx W = F(x) Dx x2 W = Lim F(x) Dx = F(x) dx Dx-->0 x1 2 dim dan 3 dim ---> dr

10/09/09 MEKANIKA 8 TENAGA KINETIK Gaya yang bekerja pada sebuah benda dengan massa konstan F = m a = m dv/dt Usaha yang dilakukan W = 1/2 m v2 2 -1/2 m v1 2 = K2 -K1 = D K dimana K adalah energi kinetik DAYA n Daya dinyatakan sebagai laju kerja yang dilakukan. Jika jumlah kerja Dw dilakukan dalam waktu Dt n Daya rata-rata P = Dw / Dt n karena Dw = F . Dr, maka daya, maka P = Fv x2 x2 x2 v2 W = F(x) dx = m dv/dt dx = m dx/dt dv = m v dv x1 x1 x1 v1

10/09/09 MEKANIKA 9 1.4. KEKEKALAN TENAGA n 1. GAYA KONSERVATIF Gaya konservatif adalah gaya yang dapat menerima kembali usaha yang telah dilakukan n Misalkan orang yang memanjat tebing, ada usaha yang melawan yaitu gaya gravitasi n Gaya non konservatif adalah gaya yang tidak memenuhi kondisi tsb, misalkan gaya gesek ( usaha tidak tergantung pada lintasan) h Usaha yang dilakukan : W = F cos q d = -m g h Jika tergelincir : W = F cos q d = m g h Saat tiba dibawah : W = -mgh + mgh = 0 Dalam lintasan tertutup : F . dr = 0

10/09/09 MEKANIKA 10 2. TENAGA POTENSIAL n Usaha yang dilakukan untuk melawan gaya gravitasi disimpan dalam bentuk tenaga potensial D U = -W = -F . dr W = DK D U = -DK --------> D U + DK = 0 n Usaha hanya bergantung pada posisi partikel, maka n U + K = Konstan = E (tenaga mekanik kekal/konstan) n Contoh : Tenaga Potensial Gravitasi : D U = mgh2 -mgh1, U = mgh Tenaga Potensial Pegas : D U = 1/2 k x2 2 -1/2 k x1 2 , U = 1/2 kx2 h1 h2 F = - mg x F = - kx

10/09/09 MEKANIKA 11 3. KEKEKALAN TENAGA n Bila dalam suatu benda bekerja beberapa gaya, usaha yang dilakukan n Wf + Wc + Wnc = DK n dimana : n Wf = Usaha oleh adanya gaya gesek (Wf = -Uint ) n Wc = Usaha oleh adanya gaya konservatif ( Wc = - DU) n Wnc= Usaha oleh perubahan tenaga bentuk lain ( Wnc = -UL) n Tenaga Total Sistem : DK + DU + Uint + UL = 0 n Tenaga dapat beralih ragam tetapi tidak dapat dimusnahkan/diciptakan n Tenaga total sistem selalu konstan.

10/09/09 MEKANIKA 12 1.5 PUSAT MASSA n Pusat massa adalah suatu titik pada benda yang bergerak seperti gerak partikel (translasi, rotasi dan vibrasi) n Koordinat Pusat Massa m1 m2 F21 F12 F1 F2 Hukum Newton II : m1 a1 = F1 + F21 m2 a2 = F2 + F12 m1 a1 + m2 a2 = F1 + F2 + F12 + F21 = F1 + F2 = Feks Percepatan efektifm1 a1 + m2 a2 a = m1 + m2 Maka : M apm = Feks m1 x1 + m2 x2 mi xi X = = m1 + m2 mi m1 y1 + m2 y2 mi yi Y = = m1 + m2 mi

10/09/09 MEKANIKA 13 1.6. MOMENTUM LINEAR n Tinjau sebuah partikel, mempunyai momentum p n p = m v ( m = massa; v = kecepatan ) n Untuk n partikel, mempunyai momentum total P n P = p1 + p2 + + pn = m1 v1 + m2 v2 + + mn vn * Momentum Total n P = M vpm ---> dp/dt = M (dvpm/dt) = M apm = Feks * Kekekalan Momentum Linear n Jika selang waktu Dt kecepatan sistem berubah, maka momentum berubah n Jika dibagi dengan Dt dan nilainya cukup kecil n Dp/Dt = Fex ; Dp = 0, jika tidak ada gaya luar, momentum sistem kekal p = p1 + p2 = m1 v1 + m2 v2 p = p1 + p2 = m1 v1 + m2 v2 Dp = p - p = m1 Dv1 + m2 Dv2

10/09/09 MEKANIKA 14 IMPULS DAN MOMENTUM n Dalam suatu tumbukan antara dua benda akan terjadi gaya impulsif dalam waktu relatif singkat. Dari Hukum Newton II diperoleh F = dp/dt (gaya impulsif tidak konstan) * IMPULS n Pendekatan bahwa gaya konstan (gaya rata-rata Fr) : n I = Fr Dt = Dp -------> Fr = I/ Dt = Dp / Dt n Impuls sebuah gaya sama dengan perubahan momentum partikel tf pf I = F dt = dp = Dp ti pi Dt Fr t F(t)

10/09/09 MEKANIKA 15 KEKEKALAN MOMENTUM n Dua partikel saling bertumbukan n Perubahan momentum pada partikel 1 : n Perubahan momentum pada partikel 2 : n Jika tidak ada gaya eksternal, momentum total sistem tidak berubah n DP = Dp1 + Dp2 = 0 ------> aksi = reaksi, Dp1 = Dp2 F12 F21 m1 m2 Gaya aksi -reaksi : F21 = -F12 tf Dp1 = F12 dt = Fr12 Dt ti tf Dp2 = F21 dt = Fr21 Dt ti

10/09/09 MEKANIKA 16 TUMBUKAN n TUMBUKAN ELASTIK : Bila tenaga kinetiknya kekal Dari kekekalan momentum : m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2 Dari kekekalan tenaga kinetik : .m1v1 2 + .m2v2 2 = .m1v1 2 + .m2v2 2 Dan diperoleh : v1 v2 = v2 v1 ; e = 1 (koefisien elastisitas) n TUMBUKAN TIDAK ELASTIK :Bila tenaga kinetiknya tidak kekal v1 v2 > v2 v1 atau v2 v1 e = < 1 ; 0 < e < 1 v1 v2 n Bila setelah tumbukan kedua benda menempel dan bergerak bersama-sama, tumbukannya tidak elastik sempurna, e v1 = v2 v1 ; e = 0 m1 m2 m1 m2 v2 V1 V2 v1

10/09/09 MEKANIKA 17 TUMBUKAN DUA DIMENSI n Hukum kekekalan momentum Komponen gerak arah sumbu X : m1 v1 = m1 v1 cos q1 + m2 v2 cos q2 Komponen gerak arah sumbu Y : 0 = m1 v1 sin q1 -m2 v2 sin q2 Jika tumbukan elastis/lenting : m1v1 2 + m2 v2 2 = m1v1 2 + m2 v2 2 Y X m1 V1 V1 V2 m2 q2 q1

10/09/09 MEKANIKA 18 1.7. GERAK ROTASI KECEPATAN DAN PERCEPATAN SUDUT n Partikel bergerak dari q = 0 ke titik P dan menempuh lintasan sejauh panjang busur s, dimana : s = r q ---> q = s/r n Besaran q dalam radian ( 2.rad = 3600 atau 1 rad @ 57,30 ) n Kecepatan sudut rata-rata partikel : n Kecepatan sudut sesaat : _ q2 -q1 Dq w = --------- = ----t2 -t1 Dt w = lim Dq/Dt = dq/dt Dt 0 xP(t1) Q(t2)y o Dq

10/09/09 MEKANIKA 19 n Jika kecepatan sudut sesaat benda berubah dari w1 ke w2 dalam selang waktu Dt * Percepatan sudut rata-rata : * Percepatan sudut sesaat : n Catatan : Rotasi benda tegar pada sumbu tetap, mempunyai kecepatan sudut sama dan percepatan sudut yang sama. Arah w dicari dengan aturan arah maju skrup putar kanan, sedangkan arah a sama dengan arah dw/dt yang sama dengan w bila dipercepat dan berlawanan dengan arah w bila diperlambat. _ w2 -w1 Dw a = --------- = ----t2 - t1 Dt a = lim Dw/Dt = dw/dt Dt 0

10/09/09 MEKANIKA 20 Gerak Rotasi dengan percepatan sudut tetap n Persamaan gerak rotasi " w = wo + a t " q = qo + (w + wo ) t " q = qo + wo t + a t2 " w2 = wo 2 + 2 a (q -qo ) .Hubungan kinematika linier dengan kinematika sudut s = qr q ; dinyatakan dalam radian v = wt aT = ar ; percepatan tangensial aR = w2 r ; percepatan radial

10/09/09 MEKANIKA 21 1.8. GERAK OSILASI .Gerak periodik: gerak berulang dengan perioda sama .Gerak osilasi: gerak periodik melalui lintasan tetap. .Periode (T): waktu tempuh satu lintasan/putaran. .Frekuensi (f): getaran atau putaran tiap satuan waktu f = 1/T .Partikel bergerak periodik/bolak-balik dengan pergeseran (x), kecepatan (v) dan percepatan (a) yang berubah secara periodik. .Maka, gaya yang bekerja pada sembarang titik dapat dinyatakan dengan fungsi tenaga potensial yaitu : F = -dU/dx .Gaya ini disebut gaya pemulih karena ia selalu mengarah ke titik seimbangnya. .Tenaga total partikel yang berosilasi : E = K + U

10/09/09 MEKANIKA 22 1. Osilasi Harmonik Sederhana .Osilator harmonik sederhana mempunyai fungsi potensial U(x) = kx2, dan gaya pemulihnya adalah F(x) = -kx .Jika partikel bermassa m bergerak dengan percepatan a, menurut Hukum II Newton F = ma = m d2x/dt2 sehingga d2x/dt2 + (k/m)x = 0 .Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah x = A cos (wt + j) dengan w2 = k/m Periodanya : T = 2p (m/k) Frekuensinnya : f = 1/2p (k/m) Kecepatannya : v = -wA sin (wt + j) Percepatannya : a = -w2A cos (wt + j) Energi Potensial : U = 1/2 k A2 cos2 (wt + j) Energi Kinetiknya : K = 1/2 k A2 sin2 (wt + j) Tenaga Totalnya : E = 1/2 k A2

10/09/09 MEKANIKA 23 2. Gerak Harmonik Teredam .Gerak harmonik teredam terjadi bila amplitudo osilasi berkurang sedikit demi sedikit sampai akhirnya menjadi nol. Persamaannya: F = ma -kx -b dx/dt = m d2x/dt2 atau m d2x/dt2 + b dx/dt +kx = 0 dengan -b dx/dt = gaya redaman b konstanta positif. Solusi dari persamaan tersebut adalah : x = Ae-bt/2m cos (w t + j) 3. Osilasi Paksa dan Resonansi .Osilasi paksa terjadi bila ada gaya eksternal yang berpengaruh sehingga frekuensi osilasinya dipengaruhi osilasi gaya eksternal dan bukan osilasi alamiahnya.

10/09/09 MEKANIKA 24 m d2x/dt2 + b dx/dt +kx = Fm cos w t Fm cos w t merupakan gaya eksternal .Solusinya : x = (Fm/G) sin (w t -j) dengan G = [m2 (w 2 -w2)2 + b2 w 2]1/2 dan j = cos-1(b w )/G .Untuk osilasi teredam ada suatu harga karakteristik frekuensi pemacu w yang memberikan amplitudo osilasi maskimum. Keadaan ini disebut resonansi dan frekuensinya disebut frekuensi resonansi. F = ma .Persamaannya adalah sebagai berikut :