BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI

(Jangka waktu : 9 sesi)

Sesi 1

Sudut Positif dan Sudut Negatif

Contoh

Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu

berada.

(a) 30˚ (c) 590˚

(b) 3

4𝜋 rad. (d) −

7

3𝜋 rad.

Penyelesaian

(a)

(b)

y

x 30°

y

x

3

4𝜋

(c)

(d)

Sinus, Kosinus, dan Tangen

y

x

590°

y

x

−7

3𝜋

c b

a

𝜃

sin 𝜃 =𝑏

𝑐

kos 𝜃 =𝑎

𝑐

tan 𝜃 =sin 𝜃

kos 𝜃=

𝑏

𝑎

Contoh

Jika tan 𝜃 =12

5, dengan 180° < 𝜃 < 360°, tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai sin 𝜃 dan

kos 𝜃.

Penyelesaian

Sesi 2

Sekan, Kosekan, dan Kotangen

c b

a

𝜃

sek 𝜃 =1

kos 𝜃=

𝑐

𝑎

kosek 𝜃 =1

sin 𝜃=

𝑐

𝑏

kot 𝜃 =1

tan 𝜃=

𝑎

𝑏

Contoh

Diberi 𝜃 ialah sudut refleks dengan sek 𝜃 =5

4. Tanpa menggunakan jadual atau kalkulator,

nilaikan

(a) kot 𝜃

(b) kosek θ

(c) sin 𝜃 + kos 𝜃

Penyelesaian

(a) kot 𝜃 =

(b) kosek 𝜃 =

(c) sin 𝜃 + kos 𝜃

=

SUDUT PELENGKAP

sin 𝜃 = kos(90 − 𝜃)

kos 𝜃 = sin(90 − 𝜃)

tan 𝜃 = kot(90 − 𝜃)

sek 𝜃 = kosek(90 − 𝜃)

kosek 𝜃 = sek(90 − 𝜃)

kot 𝜃 = tan(90 − 𝜃)

SUDUT NEGATIF

sin(−𝜃) = − sin 𝜃

kos(−𝜃) = kos 𝜃

tan(−𝜃) = − tan 𝜃

SUKUAN SETARA

[Sukuan II]

sin 𝜃 = sin(180° − 𝜃)

kos 𝜃 = − kos(180° − 𝜃)

tan 𝜃 = − tan(180° − 𝜃)

[Sukuan III]

sin 𝜃 = −sin(𝜃 − 180°)

kos 𝜃 = − kos(𝜃 − 180°)

tan 𝜃 = tan(𝜃 − 180°)

[Sukuan IV]

sin 𝜃 = −sin(360° − 𝜃)

kos 𝜃 = kos(360° − 𝜃)

tan 𝜃 = − tan(360° − 𝜃)

Sesi 3

Sudut-Sudut Khas 𝟑𝟎°, 𝟒𝟓° 𝐝𝐚𝐧 𝟔𝟎°

Contoh

Tanpa menggunakan buku sifir atau kalkulator, cari nilai bagi

(a) sin 225°

(b) sek 660°

(c) sin 150° + kot(−150°)

2

1

ξ3

30°

60°

ξ2

45°

1

1

sin 30° =1

2 sin 60° =

ξ3

2

kos 30° =ξ3

2 kos 30° =

1

2

tan 30° =1

ξ3 tan 60° = ξ3

sin 45° =1

ξ2

kos 45° =1

ξ2

tan 45° = 1

Penyelesaian

(a) sin 225° = − sin 45°

= −1

ξ2

(b) sek 660°

=

(c) sin 150° + kot(−150°)

=

225°

Sesi 4

Menyelesaikan persamaan trigonometri

Contoh 1

Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.

(a) kos 𝑥 = −0.9063

(b) sin 2𝑥 = 0.6691

(c) ξ2 sin 𝑥 = 1

(d) kosek𝑥

2=

2

ξ3

(e) 2 tan (1

2𝑥 + 60°) + 3 = 1

Penyelesaian

(a) kos 𝑥 = −0.9063

0° ≤ 𝑥 ≤ 360°

𝑥 = 155°, 205°

(b) sin 2𝑥 = 0.6691

(c) ξ2 sin 𝑥 = 1

25°

(d) kosek𝑥

2=

2

ξ3

(e) 2 tan (1

2𝑥 + 60°) + 3 = 1

Contoh 2

Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°.

(a) 3 sin 𝜃 kos 𝜃 = sin 𝜃

(b) 2 kot 𝜃 = − tan(−𝜃)

(c) 4 tan 𝜃 − kot 𝜃 + 3 = 0

Penyelesaian

(a) 3 sin 𝜃 kos 𝜃 = sin 𝜃

(b) 2 kot θ = −tan (−θ)

(c) 4 tan 𝜃 − kot 𝜃 + 3 = 0

Sesi 5

Melakar graf fungsi trigonometri

𝑦 = sin 𝑥

𝑦 = sin 𝑥 ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau 2𝜋 radian.

Nilai maksimum bagi sin 𝑥 ialah 1 apabila 𝑥 = . . . , −270° , 90° , 450°, …

Nilai minimum bagi sin 𝑥 ialah -1 apabila 𝑥 = . . . , −450°, −90°, 270°, …

Amplitud = 1

𝑦 = kos 𝑥

𝑦 = kos 𝑥 ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau 2𝜋 radian.

Nilai maksimum bagi kos 𝑥 ialah 1 apabila 𝑥 = . . . , −369° , 0° , 360°, …

Nilai minimum bagi sin 𝑥 ialah -1 apabila 𝑥 = . . . , −180°, 180°, 540°, …

Amplitud = 1

Amplitud

Kala

𝑦 = sin 𝑥

-2

-1

0

1

2

-450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360 450

Kala

Amplitud𝑦 = kos 𝑥

𝑦 = tan 𝑥

𝑦 = tan 𝑥 ialah satu fungsi berkala dengan kala 180° atau 𝜋 radian.

𝑦 = tan 𝑥 adalah tak tertakrif apabila 𝑥 = . . . , −270°, −90°, 90°, 270°, … Maka, 𝑦 = tan 𝑥

tidak mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum.

Graf bagi 𝑦 = tan 𝑥 menghampiri garis-garis menegak 𝑥 = −270° , 𝑥 = −90°, 𝑥 = 90°, 𝑥 =

270° dan sebagainya. Garis-garis menegak iu dikenali sebagai asimptot.

Contoh 1

Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut bagi 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.

(a) 𝑦 = 3 sin 2𝑥

(b) 𝑦 = 3 kos 𝑥 + 1

(c) 𝑦 = |kos 2𝑥|

Penyelesaian

(a) 𝑦 = 3 sin 2𝑥

Kala =2𝜋

2= 𝜋

Asimptot

Kala

𝑦 = tan 𝑥

−360° −180° 360° 180° 0

y

x

(b) 𝑦 = 3 kos 𝑥 + 1

Kala =

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

𝑦 = 3 sin 2𝑥

𝑦 = sin 2𝑥

(c) 𝑦 = |kos 2𝑥|

Kala =

Contoh 2

Lakarkan graf bagi 𝑦 = −2 tan 𝑥 bagi 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.

Penyelesaian

Contoh 3

Lakarkan graf bagi 𝑦 = 2 |sin3

2𝑥| bagi 0° ≤ 𝑥 ≤ 𝜋.

Penyelesaian

Kala =

Sesi 6

Bilangan penyelesaian persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf

Contoh (SPM 2011)

(a) Lakarkan graf bagi 𝑦 = −3 sin3

2𝑥 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 [4 markah]

(b) Seterusnya< dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi 𝜋

𝑥+ 3 sin

3

2𝑥 = 0 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋. Nyatakan bilangan

penyelesaian itu. [3 markah]

Penyelesaian

(a) 𝑦 = −3 sin3

2𝑥

Kala =

(b)

Identiti Asas

Pembuktian

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

(÷ 𝑐2): (𝑎

𝑐)

2

+ (𝑏

𝑐)

2

= 1

kos2𝜃 + sin2𝜃 = 1

÷ sin2𝜃 ∶

kos2𝜃

sin2𝜃+

sin2𝜃

sin2𝜃=

1

sin2𝜃

kot2𝜃 + 1 = kosek2𝜃

÷ kos2𝜃 ∶ 1 + tan2𝜃 = sek2𝜃

Contoh

Buktikan

(a) tan 𝑥

sin 𝑥= sek 𝑥

(b) sin 𝑦 kos 𝑦 tan 𝑦 = 1 − kos2𝑦

(c) tan 𝜃 + kot θ = sek 𝜃 kosek 𝜃

Penyelesaian

(a) tan 𝑥

sin 𝑥=

b c

a

𝜃

sin2 𝐴 + kos 2A = 1

1 + kot2A = kosek2𝐴

1+tan2𝐴 = sek2𝐴

1

1

1

(b) sin 𝑦 kos 𝑦 tan 𝑦 =

(c) tan 𝜃 + kot θ

=

Sesi 7

Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas

Contoh 1

Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua sudut antara 0° dan 360° .

(a) tan2 𝑥 + sek2𝑥 = 3 tan 𝑥

(b) 2kosek2𝑦 = kot 𝑦 + 3

(c) 3 sin2 𝜃 + 5kos 𝜃 + 5 = 0

Penyelesaian

(a) tan2 𝑥 + sek2𝑥 = 3 tan 𝑥

(b) 2kosek2𝑦 = kot 𝑦 + 3

(c) 3 sin2 𝜃 + 5kos 𝜃 + 5 = 0

Contoh 2

Tunjukkan bahawa 2sek2𝐴 =1

1−sin 𝐴+

1

1+sin 𝐴.

Seterusnya, tanpa menggunakan jadual matematik atau kalkulator, selesaiakan persamaan

trigonometri 1

1−sin 𝐴+

1

1+sin 𝐴= 4 , untuk 0 < 𝐴 < 2𝜋.

Penyelesaian

Rumus penambahan

sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 kos 𝐵 + sin 𝐵 kos 𝐴

sin(𝐴 − 𝐵) = sin 𝐴 kos 𝐵 − sin 𝐵 kos 𝐴

kos(𝐴 + 𝐵) = kos 𝐴 kos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵

kos(𝐴 − 𝐵) = kos 𝐴 kos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵

tan(𝐴 + 𝐵) =tan 𝐴 + tan 𝐵

1 − tan 𝐴 tan 𝐵

tan(𝐴 − 𝐵) =tan 𝐴 − tan 𝐵

1 + tan 𝐴 tan 𝐵

Contoh

Tanpa menggunakan sifir matematik atau kalkulator, tunjukkan

(a) sin 255° =−ξ2(ξ3+1)

4

(b) (b)tan 15° =ξ3−1

ξ3+1

(c) sin(𝑥 − 60°) + kos(𝑥 + 60°) =1−ξ3

2(sin 𝑥 + kos 𝑥)

Penyelesaian

(a) sin 255° =

(b) tan 15° =

(c) sin(𝑥 − 60°) + kos(𝑥 + 60°)

=

Sesi 8

Rumus Sudut Berganda

sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 kos 𝐴

kos 2𝐴 = kos2𝐴 − sin2 𝐴

= 2kos2𝐴 − 1

= 1 − 2 sin2 𝐴

tan 2𝐴 =2 tan 𝐴

1 − tan2 𝐴

Rumus Sudut Separuh

sin 𝐴 = 2 sin1

2𝐴 kos

1

2𝐴

kos 𝐴 = kos21

2𝐴 − sin2

1

2𝐴

= 2kos21

2𝐴 − 1

= 1 − 2 sin21

2𝐴

tan 2𝐴 =2 tan

12 𝐴

1 − tan2 12 𝐴

Contoh 1

Diberi kos 𝜃 = −4

5 dan 𝜃 ialah sudut cakah. Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator,cari nilai

(a) sin 2𝜃 (c) tan 2𝜃 (e)kos1

2𝜃

(b) kos 2𝜃 (d)kos 4𝜃

Penyelesaian

(a) sin 2𝜃 =

(b) kos 2𝜃 =

(c) tan 2𝜃 =

(d) kos 4𝜃 =

3 5

-4

𝜃

(e) kos 𝜃 =

Contoh 2

Diberi tan 𝑥 = 𝑝 dan x ialah sudut tirus. Cari kos 2x.

Penyelesaian

Contoh 3

Tunjukkan bahawa sin 2𝐴

1+kos 2𝐴= tan 𝐴.

Penyelesaian

Contoh 4

Buktikan sin 𝜃+kos 𝜃+1

sin 𝜃−kos 𝜃+1= kot

1

2𝜃.

Penyelesaian

Sesi 9

Menyelesaikan persamaan trigonometri

Contoh 1

Selesaikan setiap yang berikut untuk semua sudut diantara 0° dan 360°, termasuk kedua-duanya

(a) 5 sin 𝑥 kos 𝑥 + 2 = 0

(b) kos 2𝑦 − sin 𝑦 = 0

(c) tan 2𝜃 = 3 tan 𝜃

Penyelesaian

(a) 5 sin 𝑥 kos 𝑥 + 2 = 0

(b) kos 2𝑦 − sin 𝑦 = 0

(c) tan 2𝜃 = 3 tan 𝜃

Contoh 2

Diberi sin(𝐵 − 𝐴) =1

2 dan sin(𝐴 + 𝐵) =

1

4, tunjukkan bahawa sin 𝐴 kos 𝐵 = −

1

8 dan

kos 𝐴 sin 𝐵 =3

8. Seterusnya, buktikan bahawa 3 tan 𝐴 kot 𝐵 + 1 = 0.

Penyelesaian