bilangan titik-kambang (floating-point)

BILANGAN TITIK-KAMBANG (FLOATING-POINT)

Angka Signifikan (AS)

0,000123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)0,00123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)1,23 x 104 mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) 1,230 x 104 mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)1,2300 x 104 mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

Representasi Bil. Real/Riil dalam Komputer

1. Bilangan Titik-tetap (fixed-point)– Setiap bilangan riirl disajikan dengan sejumlah desimal

tetap.– Contoh: 62.358

0.013

1.000

2. Bilangan Titik-kambang (floating-point)– Setiap bilangan riil disajikan dengan jumlah angka

signifikan yang sudah tetap– Contoh: 0.6238X103

0.1714X103

• Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka signifikan

• Bilangan riil yang jumlah angka signifikan-nya melebihi jumlah angka signifikan komputer akan disimpan dalam sejumlah angka signifikan komputer tersebut

• Pengabaian angka signifikan sisanya, menimbulkan error pembulatan

Bilangan Titik-kambang (Floating Point)

• Bilangan riil dalam komputer umumnya disajikan dalam format floating-point

• Penulisan floating-point:

a = m X BP = 0.d1d2d3d4d5…dn X BP

Keterangan:

m = mantisa (riil), d1d2d3d4d5…dn adalah digit mantisa

B = basis sistem bilangan yang dipakai (2,8,10, dsb)

P = pangkat (berupa bil. bulat), dari –Pmin sampai +Pmaks

• Contoh:

245.7549 0.2457549X103

Bilangan Titik-kambang (Floating Point) Ternormalisasi

• Syarat bilangan titik-kambang (Floating-point) ternomalisasi:

digit mantisa yang pertama tidak boleh 0

a = m X BP = 0.d1d2d3d4d5…dn X BP

1 ≤ d1 ≤ B-1 dan 0 ≤ dk ≤ B-1 untuk k 1

• Pada sistem bil. desimal

1 ≤ d1 ≤ 9 dan 0 ≤ dk ≤ 9

• Pada sistem bil. biner

d1 = 1 dan 0 ≤ dk ≤ 1

• Contoh: 0.0563X10-3 0.563X10-4

0.00023270X106 0.23270X103

Pembulatan Pada Bilangan Titik-kambang (Floating-point)

• Bil. riil dalam komputer memiliki rentang terbatas• Floating-point yang tidak cocok salah satu dari nilai-nilai

dalam rentang nilai yang tersedia akan dibulatkan ke salah satu nilai dalam rentang

• Error yang muncul akibat penghampiran di atas disebut galat pembulatan

• Teknik pembulatan yang umumnya dipakai komputer, yaitu:– Pemenggalan (Chooping)– Pembulatan ke digit terdekat (In-rounding)


• Pemenggalan (Chopping)– Misal diketahui: a = 0.d1d2d3…dndn+1…X10P

flchop(a) = 0.d1d2d3…dndn+1…X10P

• Contoh pemenggalannya:

= 0.31459265358…X101

flchop () = 0.314592X101 (6 digit mantis)

Error = 0.00000065…x101


• Pembulatan ke digit terdekat (In-rounding)– Misal diketahui: a = 0.d1d2d3…dndn+1…X10P

Pnround Xddddafl 10....0)(^

321

nd^

1

1

n

n

n

n

d

d

d

d , jika < 51nd

, jika > 51nd

, jika = 5 dan n genap1nd

, jika = 5 dan n ganjil1nd


• Pembulatan ke digit terdekat (In-rounding)Contoh 1:

= 0.31459265358…X101

dalam komputer 6 digit, pembulatan menjadi

flround() = 0.314593X101

dengan error = 0.00000034642…X101

Pembulatan ke digit terdekat menghasilkan error yang lebih kecil dari pada pemenggalan


• Pembulatan ke digit terdekat (In-rounding)Contoh 2: a = 0.568278571528X10-4

1.dalam komputer 7 digit, pembulatan menjadi flround(a) = 0.5682786X10-4

2.dalam komputer 8 digit, pembulatan menjadi flround(a) = 0.56827857X10-4

Aritmatika Bil. Titik-kambang (Floating-point)

• Permasalahan 1:

Penjumlahan& pengurangan bilangan yang sangat kecil ke/dari bilangan yang lebih besar menyebabkan error

• Contoh:

Digunakan komputer dengan mantis/riil 4 digit (basis 10), maka hitunglah:

1.557 + 0.04381

disamakan bentuknya 0.1557X101 + 0.4381X10-1


• Penyelesaian Permasalahan 1:– Samakan pangkat basisnya

0.1557X101 = 0.1557 X101

0.4381X10-1= 0.004381X101 +

= 0.160081X101 Chopping 0.1600X101

In-rounding 0.1601X101

Error Pemenggalan= |(0.160081X101 ) – (0.1600X101 )|

= 0.000081

Error Pembulatan = |(0.160081X101 ) – (0.1601X101 )|

= 0.000019


• Permasalahan 2:

0.56780X105 – 0.56430X105 (5 AS)

• Penyelesaian Permasalahan 1:

0.56780X105

0.56430X105 -

0.00350X105 normalisasi: 0.350X103 (3 AS)

Chopping 0.350X103

In-rounding 0.350X103

hasil akhir hanya memiliki 3 AS (kehilangan 2 AS)


Cara komputasi yang lebih baik dengan menghilangkan tanda pengurangan.Cara:

• Mengalikan bilangan/variabel yang mengandung tanda pengurangan dengan 1

• Dimana 1 diperoleh dari kebalikan bilangan/variabel yang mengandung pengurangan

• Variabel yang mengandung pengurangan adalah • maka harus dikalikan dengan 1 yang diperoleh dari

)1()( xxxxf

)1( xx

)1(

)1(

xx

xx

)1(

)1(

xx

xx


)1()( xxxxf )1(

)1(

xx

xx

)1()(

)1(

)1(

)1(

)1(

))()1()1()1(( 22

xx

xxp

xx

x

xx

xxx

xx

xxxxxxx

1748,113607,223830,22

500

5001500

500)500(

p


• Perkalian– tidak perlu menyamakan pangkat– memisahkan operasi pada mantis dan pangkat– mantis dilakukan operasi perkalian biasa– dilakukan operasi penambahan pada pangkat

• Pembagian– tidak perlu menyamakan pangkat– memisahkan operasi pada mantis dan pangkat– mantis dilakukan operasi pembagian biasa– dilakukan operasi pengurangan pada pangkat


• Perkalian– Hitung perkalian 0,4652X104 dengan 0,1456X10-1 (4

angka signifikan)• Penyelesaian:

Kalikan matriks: 0,4652 Jumlahkan pangkat: 4

0,1456 x -1 +

0,06773312 3

Hasil: 0,06773312X103 Normalisasi: 0,6773312X102

Chooping 0,6773X102

In-rounding 0,6773X102


• Pembagian– Hitung pembagian 0,8675X10-4 dengan 0,2543X10-2

(4 angka signifikan)• Penyelesaian:

Kalikan matriks: 0,8675 Jumlahkan pangkat: -4

0,2543 : -2 -

3,4113252 -2

Hasil: 3,4113252X10-2 Normalisasi: 0,34113252X10--1

Chooping: 0,3411X10-1

In-rounding: 0,3411X10-1

Aritmatika Bil. Titik-kambang (Floating-point)• Contoh: menghitung akar-akar polinom x2 – 40x + 2 = 0 sampai (4

angka signifikan)• Penyelesaian:

rumusan y = ax2 – bx + c

gunakan rumus:

x1 = 20 + 19.95 39.95 (4 AS)

x2 = 20 - 19.95 0.05 (1 AS) kurang akurat (kehilangan 3 AS)

untuk menentukan x2 yg akurat, maka gunakan rumusan x1 x2 = c/a

39.95 x2 = 2/1 x2 = 2/39.95 x2 = 0.0500625….

Chopping x2 = 0.05006 (4 AS)

In-rounding x2 = 0.05006 (4AS)

2

42

2,1

acbbx

Kondisi buruk (ill conditioned)

Kondisi buruk (ill conditioned)• Contoh mencari solusi sistem persamaan non-linear :

Latihan1. Diberikan beberapa bil. titik-kambang (floating-point) sbb:

a = 0.4523123X10-4

b = 0.2365401X101

c = 0.4520156X10-4

Bila mesin operasi aritmatika memiliki 7 angka signifikan, hitunglah komputasi yg diberikan mesin tsb (dalam bentuk ternomalisasi):

o a – co a + b + co a * co a / b

2. Carilah akar persamaan kuadrat x2 – 10.1x + 1 = 0, dengan rumus abc yg setiap kali perhitungan antara maupun hasil akhir dibulatkan dengan teknik:

a. Chopping

b. In-rounding

3. Lakukan perhitungan langsung pada . Kemudian lakukan perhitungan yang lebih baik!

101,10

bilangan titik-kambang (floating-point)

Documents