Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 1

CATATAN KULIAH MATEMATIKA TERAPAN 1

Disusun oleh: YULI KUSUMAWATI, S.T., M.T.

Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 2

3. BARISAN DAN DERET BILANGAN

3.1. Barisan Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Bentuk umum barisan bilangan adalah a1, a2, a3, a4, …, an. Setiap unsur pada barisan bilangan disebut suku barisan. Suku ke-n dari suatu barisan disimbolkan dengan Un. Dengan demikian, suku pertama atau U1 = a1, suku kedua atau U2 =

a2, suku ke-n atau Un = an. Berdasarkan polanya barisan bilangan dibagi menjadi dua, yaitu barisan aritmatika (barisan hitung) dan barisan geometri (barisan ukur). 3.1.1. Barisan Aritmetika Barisan aritmetika (barisan hitung) adalah barisan yang mempunyai selisih atau beda (dilambangkan dengan b) tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Beda pada barisan aritmetika ditentukan oleh penjumlahan atau pengurangan oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya. Jika b > 0, maka barisan aritmatika itu disebut barisan aritmatika naik (bilangan-bilangannya semakin naik). Sebaliknya, jika b < 0, maka barisan aritmatika itu disebut barisan aritmatika turun (bilangan-bilangannya semakin turun). Beda (b) dari suatu barisan aritmetika dapat dicarikan dengan rumus:

b = Un - Un-1 Suku ke-n (Un) dari suatu barisan aritmetika dapat dihitung dengan rumus:

Un = Un-1 + b atau Un = a + (n-1)b (a adalah suku pertama barisan dan n adalah nomor suku) Barisan aritmetika yang mempunyai suku ganjil (n = ganjil), maka suku yang terletak di tengah barisan aritmetika itu disebut suku tengah. Suku tengah (Ut) dari suatu barisan aritmetika dapat dihitung dengan rumus:

Ut = ½ (U1 + U2) Contoh 3.1: Tentukan suku ke-10 dari deret aritmetika berikut: 3, 6, 9, 12,... Jawab: Beda (b) = Un - Un-1 = 6 – 3 = 3 Suku ke-n (Un) = a + (n-1)b U10 = 3 + (10-1) 3 = 3 + (9) 3 = 30

Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 3

3.1.2. Barisan Geometri Barisan geometri (barisan ukur) adalah barisan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Rasio (dilambangkan dengan r) ditentukan oleh perkalian atau pembagian oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya. Rasio (r) dari suatu barisan geometri dapat dihitungkan dengan rumus:

r =Un

Un−1

Suku ke-n (Un) dari suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus:

Un = Un-1 . r atau Un = a . r(n-1) (a adalah suku pertama barisan dan n adalah nomor suku). Contoh 3.2: Tentukan suku ke-5 dari deret geometri berikut: 3, 6, 12,... Jawab:

rasio =Un

Un−1

=6

3

= 2 Suku ke-n (Un) = a . r(n-1) U5 = 3. 2(5-1) = 3. 24 = 3. 16 = 48

3.2. Deret Bilangan Secara umum, deret bilangan adalah jumlah dari suku-suku suatu barisan bilangan.

Sn = U1 + U2 + ... + Un Deret dengan banyaknya suku berhingga disebut deret berhingga (disimbolkan dengan Sn), sedangkan deret dengan banyaknya suku tidak berhingga disebut deret tidak berhingga (disimbolkan dengan S∞). 3.2.1. Deret Aritmetika Deret aritmetika (deret hitung) adalah suatu deret yang diperoleh dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika dapat dihitung dengan rumus:

Sn = 𝑛

2 (a + Un) atau Sn =

𝑛

2 (2a + (n-1)b)

Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 4

Sehingga suku ke –n dari suatu deret aritmetika dapat dihitung dengan rumus: Un = Sn - Sn-1

Contoh 3.3: Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret aritmetika berikut: 3 + 6 + 9 + 12 + ... Jawab: Beda (b) = Un - Un-1 = 6 – 3 = 3

Sn = 𝑛

2 (2a + (n-1)b)

S5 = 5

2 (2.(3) + (5-1) (3))

= 5

2 (6 + 12)

= 45 Contoh 3.4: Suku ke-2 dari barisan aritmetika adalah 6. Jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah 30. Tentukan suku ke-10 dari barisan aritmetika tersebut. Jawab: U2 = 6, berarti a + b = 6 (1) U4 + U6 = 30, berarti: (a + 3b) + (a + 5b) = 30 (a + b + 2b) + (a + b + 4b) = 30 (2) Substitusikan (1) ke (2): (6 + 2b) + (6 + 4b) = 30 12 + 6b = 30 6b = 18 b = 3 (3) Substitusikan (3) ke (1): a + 3 = 6 a = 3 Suku ke-10 dari deret aritmetika tersebut adalah: Un = a + (n-1)b U10 = 3 + (10 - 1)3 = 3 + (9).3 = 30 3.2.2. Deret Geometri Deret geometri (deret ukur) adalah suatu deret yang diperoleh dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan geometri. Jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri dapat dihitung dengan rumus:

𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛−1)

𝑟−1 jika │r│> 1 dan 𝑆𝑛 =

𝑎(1−𝑟𝑛)

1−𝑟 jika │r│< 1

Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 5

Contoh 3.5: Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret geometri berikut: 3 + 6 + 12 + ... Jawab:

𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜 =𝑈𝑛

𝑈𝑛−1

=6

3

= 2

𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛 − 1)

𝑟 − 1

𝑆5 =3(25 − 1)

2 − 1

=3(32 − 1)

1

= 93 Contoh 3.6: Suku ke-2 dari barisan geometri adalah 6 dan suku ke-5 adalah 48. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret geometri tersebut. Jawab: U2 = 6, berarti a.r = 6 (1) U5 = 48, berarti: a.r4 = 48 a.r.r3 = 48 (2) Substitusikan (1) ke (2): 6.r3 = 48 r3 = 8 r = 2 (3) Substitusikan (3) ke (1): a . 2 = 6 a = 3 Jumlah 5 suku pertama dari deret geometri tersebut adalah:

𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛 − 1)

𝑟 − 1

𝑆5 =3(25 − 1)

2 − 1

=3(32 − 1)

1

= 93

Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 6

3.3. Sigma Jumlah dari n suku pertama dari suatu barisan dapat ditulis secara ringkas dengan notasi

sigma (). Beberapa sifat notasi sigma sebagai berikut:

Jika m dan n adalah bilangan asli dengan m ≤ n dan c R, maka

a. ∑ ai

n

i=1

= a1 + a2 + a3 + ⋯ + an

b. ∑(ai

n

i=m

+ bi) = ∑ ai

n

i=m

+ ∑ bi

n

i=m

c. ∑ c. ai

n

i=m

= c ∑ ai

n

i=m

d. ∑ ai

n

i=m

= ∑ ai − p

n+p

i=m+p

e. ∑ c

n

i=m

= (n − m + 1)c

f. ∑ ai

p−1

i=m

+ ∑ ai

n

i=p

= ∑ ai

n

i=m

g. ∑(ai + bi)2

n

i=m

= ∑ ai2

n

i=m

+ 2 ∑ ai

n

i=m

. bi ∑ bi2

n

i=m

3.4. Aplikasi Baris dan Deret Contoh 3.7: Harga suatu komoditas tambang saat ini adalah $1.800/kg. Karena permintaan yang tinggi, harga komoditas tersebut setiap bulan naik $250/kg. Berapa harga komoditas tersebut pada 9 bulan yang akan datang? Jawab: Harga saat ini (P) = $ 1.800/kg Kenaikan harga per bulan (b) = $ 250/kg. Periode kajian (n) = 9 bulan Harga komoditas pada bulan ke-9 adalah: Suku ke-n (Un) = a + (n-1)b U9 = $1.800 + (9-1) $250 = $1.800 + (8) $250 = $3.800

Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 7

Contoh 3.8: Suatu perusahaan bermaksud membeli sebuah mobil seharga Rp 300 juta. Berdasarkan spesifikasi, harga mobil tersebut akan mengalami penyusutan sebesar 10%/tahun. Berapa nilai jual mobil tersebut pada akhir tahun ke-9? Jawab: Harga beli (P) = Rp 300 juta Tingkat penyusutan (d) = 10% / th. Periode kajian (n) = 9 tahun Harga jual mobil pada akhir tahun ke-9 adalah: F = P (1-d)n = 300.000.000 ( 1 – 0,1)9 = 300.000.000 (0,387) = 116.100.000 Contoh 3.9: Seorang ayah mendepositokan uang sebesar Rp 20 juta di bank untuk persiapan biaya kuliah anaknya. Bank tersebut memberikan bunga 5%/tahun dengan sistem perhitungan bunga majemuk. Berapa uang yang diterima ayah pada akhir tahun ke-2? Jawab: Setoran awal (P) = Rp 20 juta Bunga (i) = 5% / th. Periode kajian (n) = 2 tahun Uang yang diperoleh pada akhir tahun ke-2 adalah: F = P (1+i)n = 20.000.000 ( 1+0,05)2 = 20.000.000 (1,1025) = 22.050.000