BAHAN AJAR

METODE NUMERIK

D6114006

Disusun Oleh:

Zaenal Abidin, S.Si., M.Cs.

JURUSAN ILMU KOMPUTER

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2

BAB 1

PENGANTAR METODE NUMERIK

Metode Numerik Secara Umum

Model matematika fisika, kimia, ekonomi, teknik, dsb Seringkali model matematika tidak ideal / rumit Model matematika rumit tidak dapat diselesaikan dengan Metode Analitik untuk

mendapatkan solusi eksak.

Metode analitik metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim).

Contoh ilustrasi :

1. Tentukan akar-akar persamaan polinom:

2. Tentukan harga x yang memnuhi persamaan:

Soal (1) tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom. Solusi untuk (1) memanipulasi polinom, misalnya memfaktorkan (atau menguraikan)

polinom menjadi perkalian beberapa suku.

Kendala: semakin tinggi derajat polinom, semakin sukar memfaktorkannya. Soal (2) masih sejenis dengan soal (1) yaitu menentukan nilai x yang memenuhi kedua

persamaan.

Metode Analitik VS Metode Numerik

Metode analitik memberi solusi eksak, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol.

Metode analitik hanya dapat digunakan pada kasus-kasus tertentu. Nilai praktis penyelesaian metode analitik, terbatas. Metode Numerik teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik

sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmatika biasa.

Secara harfiah, metode numerik cara berhitung dengan menggunakan angka-angka.

3

Perbedaan antara metode numeriK dan metode analitik adalah :

Metode Numerik Metode Analitik

Solusi selalu berbentuk angka Solusi dalam bentuk fungsi matematika

Solusi berupa hampiran atau pendekatan Solusi eksak

Terdapat galat (error) Tidak ada galat (galat=0)

Metode Numerik dalam Bidang Rekayasa

Dalam bidang rekayasa, kebutuhan menemukan solusi persoalan secara praktis adalah jelas.

Masih banyak cara penyelesaian persoalan matematis yang dirasa terlalu sulit atau dalam bentuk kurang kongkrit.

Penyelesaian analitik, kurang berguna bagi rekayasawan. Banyak persoalan matematika dalam bidang rekayasa yang hanya dapat dipecahkan

secara hampiran.

Contoh kasus :

Sebuah bola logam dipanaskan sampai pada suhu 100oC. Kemudian, pada saat t = 0, bola

dimasukkan ke dalam air yang bersuhu 30oC. Setelah 3 menit, suhu bola berkurang menjadi

70oC. Tentukan suhu bola setelah 22,78 menit. Diketahui tetapan pendingin bola logam itu

adalah 0,1865.

Jawab:

Dengan menggunakan Hukum Pendingin Newton

k = tetapan pendingan bola logam = 0,1865

Untuk menentukan suhu bola pada t = 22,78 menit, persamaan differensial harus diselesaikan

agar suhu T sebagai fungsi dari waktu t ditemukan.

Persamaan differensial metode kalkulus diferensial (cari sendiri???). Solusi umumnya adalah:

T(t)=ce-kt + 30

Nilai awal yang diberikan T(0) = 100

4

T(t)=70e-0,1865t+30

Dengan memasukkan t=22,78 ke dalam persamaan T, diperoleh T= 31oC.

Bagi rekayasawan, solusi persamaan differensial yang berbentuk fungsi kontinu, tidak terlalu

penting. Dalam praktik di lapangan, rekayasawan hanya ingin mengetahui berapa suhu bola

logam setelah t tertentu. Rekayasawan cukup memodelkan sistem ke dalam persamaan

differensial, lalu solusi untuk t dicari secara numerik.

Apakah Metode Numerik Hanya untuk Persoalan Matematika Rumit Saja?

Metode numerik berlaku umum, yakni dapat diterapkan untuk menyelesaikan persoalan

matematika sederhana (yang juga dapat diselesaikan dengan metode analitik), maupun

persoalan matematika yang rumit.

Peranan Komputer dalam Metode Numerik

Perhitungan dengan metode numerik adalah berupa operasi aritmatika. Dalam operasinya, terkadang butuh suatu pengulangan, sehingga perhitungan manual terkesan

menjemukan.

Komputer berperan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan. Penggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk membuat program.

Langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi program komputer yang dapat membantu mencari alternatif solusi, akibat perubahan beberapa parameter serta

dapat meningkatkan tingkat ketelitian dengan mengubah-ubah nilai parameter.

Jelas bahwa kecepatan tinggi, kehandalan, dan flesibikitas komputer memberikan akses untuk menyelesaikan masalah-masalah di dunia nyata.

Contoh: solusi sistem persamaan linier yang besar menjadi lebih mudah dan cepat diselesaikan dengan komputer.

Alasan Mempelajari Metode Numerik

Sebagai alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh, seperti mampu menangani sistem persamaan linear, ketidaklinearan dan geometri yang rumit, yang

dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan secara analitis.

Mengetahui secara singkat dan jelas teori matematika yang mendasari paket program. Mampu merancang program sendiri sesuai persalahan yang dihadapi pada masalah

rekayasa.

5

Metode numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan dan keterbatasan komputer dalam menangani masalah rekayasa yang tidak dapat ditangani secara analitis.

Menangani galat suatu nilai hampirandari masalah rekayasa yang merupakan bagian dari paket program yang berskala besar.

Menyediakan sarana memperkuat pengetahuan matematika, karena salah satu kegunaannya adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi-

operasi matematika yang mendasar.

Tahap Pemecahan Secara Numeris

Pemodelan Penyederhanan Model Formulasi Numerik

o menentukan metode numerik yang akan dipakai, bersama dengan analisis error awal.

o Pertimbangan pemilihan metode

Apakah metode tersebut teliti? Apakah metode mudah diprogram, dan waktu pelaksanaannya cepat? Apakah metode tersebut peka terhadap ukuran data.

o Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.

Pemrograman (translate algoritma program komputer) Operasional pengujian program dengan data uji Evaluasi intepretasi output, penaksiran kualitas solusi numerik, pengambilan

keputusan untuk menjalankan program guna memperoleh hasil yang lebih baik.

Peran Ahli Informatika dalam Metode Numerik

Tahap 1, dan 2 melibatkan para pakar di bidang persoalan yang bersangkutan. Dimana peran orang informatika? Infromataikawan berperan dalam tahap 3, 4, dan 5. Agar lebih memahami dan menghayati persoalan, sebaiknya orang informatika juga ikut

dilibatkan dalam memodelkan.

Tahap 6 memerlukan kerjasama informatikawan dengan para pakar di bidang yang bersangkutan. Bersama-sama pakar, informatikawan mendiskusikan hasil numerik yang

diperoleh.

6

Turunan )()( 11 xxmyy

1

1

xx

yym

ax

xfy

xfy

xfm

1

11 )(

)(

)('

))((')()(

)()()('

)()()('

1

1

axafafxpax

afxpaf

ax

afxfxf

x

x

exf

exf

)('

)(

Log(x)natural logaritmic(ln(x))

Misal: 0,)( aexf x ))((')()(1 axafafxP

xx

xee

axee aa

1)(11

)0(

)(00

Selesaikan !

1. d(x) = 2. d(1+x-2x) = 3.

( 11) =

= ( ) ( ())() . () = ( ) = ( )

=

() 4.

( 1+) =

(+ ) = (+ )(+) . (+) = ( + ) =

( + ) = +

7

5. ( (1+25)10 ) =

( (+)) = ( ( +)) (+) . (+)

= ( + ) ()

6. ( 1

2+5) =

( +) = () .(+) (+) .()(+)

= + ()

(+)

7. 21 (234) =

= () = u'v + v'u

= () (2-) + () ( )

= 2x(2-) + ( )

=+ +=+ +

8. cos 2 =

=

= =

9. ln =

10. ln 1 =

. = =

11. ( 23)23 =

(( ) . =

8

12. 12+1 =

= + = ()

+ (+) () (+)

= ) + +

= () +

= + = +

=+ (+) = (+)

=(+) + = (+)

13. 3 12 =

= ( ()(

= 3 = -6x

9

BAB 2

DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

Polinomial Taylor

Umumnya fungsi f(x) yang ada di matematika tidak dapat dikerjakan secara eksak

dengan cara yang sederhana.Sebagai contoh untuk menentukan nilai f(x) = cos(x) , atau tanpa menggunakan alat bantu adalah hal yang sangat susah.Salah satu cara yang digunakan untuk mencari nilai f(x) adalah dengan menggunakan fungsi pendekatan yaitu

polinomial. Diantara polinomial-polinomial yang banyak digunakan adalah polinomial taylor.

Rumus umum dari polinomial taylor adalah sbb:

Pn(x) = f(a) + (x a) f(a) + ()22!

f(a)+. .. +

() ! () = ! =0 dengan 0 =

Contoh 1 :

Misalkan = = 0 maka = , (0) = 1, j 0 = 0 + 0 0 + 0 2

2! + + 0 ! 0

= 1 + .1 + 22!

.1 + + ! .1 = 1 + + 2

2!+ + !

Kasus khusus bila fungsi polinomial taylor diperluas disekitar a=0 maka dinamakan deret

Maclaurin.

Contoh 2 :

Diketahui = sin dan = 0 Carilah deret Maclaurin dari fungsi f tersebut !

Penyelesaian : = cos = cos() = cos() = sin() 4 = sin()

10

= 0 + 0 0 + ( 0)22!

0 + ( 0)33!

0 + 0 44!

4 0 + 0 5

5! 5 0 +

= 0 + . 1 + 22!

.0 +33!

1 + 44!

0 + 55! 1

= 33!

+55!

77!

+99!

+

Latihan Soal

Carilah deret Maclaurin dari

1. = cos 2. = ln + 1 3. = 1

1 4. = 1 +

Penyelesaian

1. = sin() = sin() 5 = sin() = cos() 4 = cos() = 0 + 0 0 + 0 2

2! 0 + 0 3

3! 0

+ 0 4

4! 4 0 + 0 5

5! 5 0 +

= 1 + + 22! 1 +

3!

3

. 0 +44!

. 1 +55!

. 0

= 1 22!

+44!

2. = 1+1 = + 1 2 = 1 +1 2 = 2 + 1 3 = 2 + 1 3 = 0 + 0 0 + 0 2

2! 0 + 0 3

3! 0

= 0 + . 1 + 22! 1 + 3

3! 2 +

11

= 22!

+233!

+ = 2

2+22

+33 4

4+55

+ 3. = 1 2 = 1 1 2 = 2 1 3 = 2 1 3 = 6 1 4 = 6 1 4 = 0 + 0 0 + 0 2

2! 0 + 0 2

3! 0

= 1 + 1 + 22!

2 + 33!

6 = 1 + 2 3 + 4. = 1 2 1 + 1 2 = 12 1+ 1 2 = 1

4 1 + 3 2 = 1

4 1+ 3 2 = 3

8 1 + 5 2 = 3

8 1+ 3 2 = 0 + 0 0 + 0 22!

0 + 0 33!

0 = 1 + . 1

2+

22! 1

4+

33!

.3

8

= 1 +1

2 2

8!+

3216!

+

Galat Pada Polinomial Taylor

Diasumsikan bahwa () mempunyai n+1 turunan kontinu pada interval , misalkan titik berada pada interval tersebut maka () disebut remainder atau galat atau sisa/residu.

Dirumuskan : = () Dengan () adalah Polinomial Taylor = +1 +1 ! +1 () , Dengan adalah sebuah titik yang berada diantara a dan x. Suku-suku deret Taylor biasanya di tuliskan tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan

praktis, deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu.

12

Deret Taylor yang dipotong sampai orde ke-n disebut deret taylor terpotong. Deret Taylor

yang dipotong sampai suku ke-n bisa dituliskan : = + () Contoh :

Misalkan = sin , hampirilah deret taylor orde 4 disekitar a=1. = + + ( )22! "() + + ( )44! 4() Diketahui : = sin , hampirilah deret taylor orde 4 di a=1. Penyelesaian : = sin 1 + 1 cos 1 + 1 22! sin 1 + 1 33! cos 1 + 1 44! sin(1) 5 = 1 55! cos() = + = sin 1 + 1 cos 1 + 1 2

2! sin 1 + 1 3

3! cos 1 + 1 4

4!sin 1 +

1 5

5!cos()

dengan 5 = 1 55! cos , 1 Deret taylor terpotong di daerah a = 0 disebut deret Maclaurin terpotong.

Contoh : = 1 + + 22!

+ + ! + +1 + 1 !

Galat

Didalam metode numerik selalu digunakan nilai hampiran untuk mencari nilai atau solusi

numerik. Nnilai hampiran inilah yang memunculkan galat atau error.

Error atau galat terjadi karena beberapa sebab :

1. dari pengamatan

2. dari pengabaian sesuatu

3. dari alat yang digunakan

4. dari metode numeris yang digunakan

Galat didefinisikan sebagai : =

13

Keterangan: : dibaca epsilon : galat/error : nilai sejati(true value) : nilai hampiran (approximation value)

Galat Relatif yaitu ukuran galat terhadap nilai sejatinya. = atau = 100% Keterangan : : galat relatif : galat : nilai sejati Contoh :

Dipunyai nilai = 3,14159265...

Nilai hampiran = 22/7 = 3,1428571...

Sehingga galatnya adalah :

= 3,14159265 - 3,1428571

= - 0,00126

= =

0,001263,14159265

= -0,000402

Galat relatif hampiran yaitu : ukuran galat terhadap nilai hampirannya.

RA =

Macam-macam galat dalam penghitungan numerik :

1. Galat Pemotongan (Truncation Error)

Galat ini mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagai

pengganti solusi eksak. Galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yang

digunakan, sehingga galat ini juga disebut galat metode.

14

contoh :

cos(x) = 1- 22!

+ 44!

- 66!

+ 88!

- 1010!

Nilai hampiran galat pemotongan

pemotongan

2. Galat Pembulatan

Galat yang ditimbulkan dari keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan real.

contoh :

1

6 = 0,1666...

Komputer tidak dapat menyatakan secara tepat jumlah dari digit 6. Komputer hanya

mampu mempresentasikan sejumlah digit atau bit (1 byte = 8 bit)

3. Galat total

Atau galat akhir pada solusi numerik. Merupakan jumlah galat pemotongan dan galat

pembulatan.

Contoh :

cos(0,5) 1- 0,52

2! +

0,54

4! 0,877604...

galat pemotongan galat pembulatan

contoh :

1. Hitunglah error, relative error, dan digit yang signifikan dibawah ini dengan perkiraan = a) Xt = 28,254, XA= 28,271 R =

= 1728,254 = -0,000601684717 Jawab :

= a-

= 28,354-28,271

= -17

b) Xt = 0,028254, XA = 0,028271 R = = 0,0000170,028254 = -0,0006016847

Jawab :

= a-

= 0,028254 - 0,028271

15

= -,000017

c) Xt = e, XA = 19

7 R=

= 0,003996113714 32,178281828 = 0,0014700880803 Jawab :

= a-

= 2,178281828 2,7142857142857

= 0,0039961137143

d) Xt = 2, XA = 1,414 R = = 0,00021356237311,4142135623731 = 0,0001510114022 Jawab :

= a-

= 1,4142135623731 1,414

= 0,0002135623731

Bilangan Titik Kambang

Format bilangan real di komputer berbeda-beda bergantung pada perangkat keras dan

penerjemah bahasa pemrograman. Bilangan real di dalam komputer umumnya disajikan

dalam format bilangan titik kambang = Keterangan:

m = mantis (rill)

B = basis sistem bilangan yang di pakai (2, 8, 10, dst)

P = pangkat (berupa bilangan bulat)

Contoh:

Bilangan rill 245,7654 dinyatakan sebagai 0,2457654 x 103 atau bisa juga ditulis

0,2457654E03

Bilangan Titik Kambang Ternormalisasi

Represensitatif bilangan titik kambang bisa beragam sebagai contoh kita dapat menuliskan

sebagai =

16

Misalnya 245,7654 dapat dituliskan sebagai 0,2457654 x 103 atau 2,457654 x 102 atau

0,02457654 x 104 dst.

Agar bilangan titik kambang dapat disajikan seragam, maka digit pertama mantis tidak boleh

0. Bilangan titik kambang yang di normalisasi ditulis sebagai: = = 0 1,2,3 Dimana d1, d2 ,d3 ... dn adalah digit matriks terhadap syarat 1 d1 b-1, dan 0 dk b-1

untuk k>1

Pada syarat desimal: 1 d 9 dan 0 dx 9 Pada sistem biner: d = 1 dan 0 dx 1

Contoh:

1. 0,0563 x 10-3 dinormalisasi menjadi 0,563 x 10-4

2. 0,00023270 x 106 dinormalisasikan menjadi 0,23270 x 103

17

BAB 3

PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER

Dalam matematika terapan kita sering mencari penyelesaian persamaan untuk f(x)=0, yakni

bilangan-bilangan x=1 sedemikian hingga f(x)=0 sehingga f(r)=0; f adalah fungsi tak linier

dan r yang memenuhi disebut akar persamaan atau titik 0 fungsi tersebut.

1. Persamaan Aljabar

Contoh:

1) Persamaan Polinom Berordo > 2 + 11 + + 2 + + = 0 Dengan 0, > 0

2) Persamaan Rasional = ( + ) Dengan P, R, T, A, v konstanta

2. Persamaan Transenden, adalah persamaan yang mengandung fungsi-fungsi

trigonometri algoritma atau eksponen.

Contoh:

1) e-x + sin(x) = 0

2) hx 2 = 0

3. Persamaan Campuran, mengandung baik persamaan polinom maupun persamaan

transenden.

Contoh:

1) x2 sin x + 3 = 0

2) x3 + ln x = 0

Dari contoh di atas tentukan bahwa rumus-rumus yang memberikan nilai eksak dari

penyelesaian secara eksplisit hanya akan ada untuk kasus-kasus yang sederhana. Dalam

banyak hal kita harus menggunakan metode-metode hampiran khususnya metode-metode

iterasi.

Metode iterasi numeris adalah metode dimana kita memilih sesuatu (x0) sebagai tebakan awal

dan secara beruntun menghitung barisan nilai hampiran nilai (x0)(x1) dan seterusnya secara

reprosif dari relasi berbentuk xn+1=g(xn); n=0,1,3 dengan g didefinisikan dalam selang yang

18

memuat (x0) dan rentan g terletak dalam selang tersebut,jadi secara ebruntun kita

menghitung.

Dari runtunan di atas diinginkan bahwa hampiran tersebut membentuk suatu barisan yang

konvergen. Metode iterasi secara khas cocok untuk komputer karena metode ini melibatkan

suatu proses. Ada 4 metode dasar untuk memecahkan persamaan non linier yang

dikelompokan atas metode terbuka(selalu konvergen) dan metode-metode terututup(tidak

selalu konvergen).

Keempat metode ini adalah:

1) Metode Bagi Dua ( Bisection Method)

2) Metode Posisis Palsu ( Regula Falsi)

3) Metode Newton-rhapson

4) Metode secant

1. Metode Biseksi (Metode Bagi Dua)

Pencarian lokasi akar

( i ) Grafik Tunggal ( ii ) Grafik Ganda

(iii) Tabulasi

F(x)=x ln (x) 1 x f(x)

0,5 -1,34

1 -1

1,5 -0,39

2 0,38

2,5 1,29

a[ ]b

akar

y

x

akar

x

y

f2 f1

19

Untuk mencari akar persamaan linier dengan menggunakan metode bagi dua yaitu harus

dilakukan pertama kali adalah memperkirakan sebuah selang yang didalamnya mengandung

solusi akar.

Langkah Algoritma

Misalnya: f(x) kontinu pada interval (a, b)

Algoritma:

1. Definisikan c = +

2

2. Jika | b c | , maka c akar persamaan selesai

3. Jika f(b) f(c) 0 maka a = c lainnya b = c

Contoh:

Carilah akar persamaan dari x = e dengan = 0,001

Penyelesaian:

f(x) = e-x x

Ambil sembarang selang (-1, 1)

f(-1) = e + 1 = 3,718

f(1) = e-1 1 = 0,632

f = x6 x 1 = 0

diambil selang (1, 2)

f(1) = 16 1 1 = -1

f(2) = 26 2 1 = 61

n a b c b - c f(c)

1 -1 1 0 1 0

2 0 1 0,5 0,5 0,1065

3 0,5 1 0,75 0,25 -0,2776

4 0,5 0,75 0,75 0,75 -0,897

Untuk menentukan jumlah literasi untuk mencari akar-akar ln ( )ln (2)

f(x) = x6 x 1 = 0

20

= 0,001 pada selang (1, 2), banyak iterasi yang diperlukan untuk mencari akar adalah ln ( 0,001 )ln ()

n 9,97 10 iterasi.

2. Metode Regula-Falsi (Metode Posisi Palsu)

Meskipun metode dibagi 2 ( Bisection ) selalu berhasil dalam menemukan akar tetapi

kecepatan konvergensinya sangat lambat. Kecepatan konvergensinya dapat di tingkatkan bila

nilai f(a) dan f(b) juga diperhitun gkan. Metode yang memanfaatkan nilai f(a) dan f(b) disebut

metode Regulasi-Falsi. Atau metode posisi palsu ( False Position Method). Dengan metode

Regulasi-Falsi dibuat garis lurus yang menghubungkan titik ( a, f(a) ) dan ( b, f(b) ).

Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x merupakan taksiran akar yang diperbaiki. Garis

lurus tersebut seolah-olah berlaku menggantikan kurva f(x) dan memberikan posisi palsu dari

akar.

y , = (x) = 0 = () () (c,0) = () () a c b x

A

, Algoritma

Misalkan dipunyai sebuah interfal [a, b] yang memenuhi () < 0 dan sebuah toleransi galat maka Regulasi-Falsi dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Definisikan = 2. Jika maka c adalah akar dan proses selesai. 3. Jika .() 0 maka a adalah ( a=c ). Untuk kondisi yang lain (jika kondisi itu

tidak terpenuhi) b adalah akar ( b=c ).

21

Contoh

Diketahui : = 6 1 = 0 dengan = 0,001 pada selang 1,2 Iterasi a B c f(a) f(b) f(c) b-c

1 1 2 1,02 -1 61 0,89 0,98

2 1,02 2 1,04 -0,94 61 -0,77 0,96

3 1,04 2 1,06 -0,77 61 -0,64 0,94

4 1,06 2 1,07 -0,64 61 -0,56 0,93

5 1,07 2 1,08 -0,56 61 -0,49 0,92

6 1,08 2 1,09 -0,49 61 0,91

7 1,09 2

dst

e

2

2

2 0,983870967

1,016129032

Metode Terbuka

Metode Terbuka dibagi menjadi 3 yaitu:

1. Metode Iterasi Titik Tetap

2. Metode Newton Rhapson

3. Metode Secant

1. Metode Iterasi Titik Tetap

Metode iterasi titik tetap disebut juga metode iterasi sederhana, metode langsung, atau

metode substitusi beruntun.

Jika dipunyai persamaan secara aljabar dapat dibentuk menjadi . Maka

prosedur iterasi yang berpadanan adalah .

22

Selanjutnya membuat nilai awal , kemudian menghitung nilai sedemikian

hingga

konvergen ke akar sejati agar memenuhi dan .

Iterasi akan berhenti jika :

< atau < dengan dan telah ditetapkan sebelumnya Contoh :

Carilah akar persamaan gunakan metode iteresi titik tetap dengan

=0,000001 Penyelesaian :

Diket :

Ditanya : akar persamaan ?

(i).

prosedur iterasi yang bersesuaian

Untuk mencari

=

23

=3,31662479

:

=0,68337

r

0 4 -

1 3,316625 0,683375

2 3.103748 0,212877

3 3.034385 0,069362

4 3,011440 0,022945

5 3,00,3811 0,007629

6 3, 001270 0,002541

7 3, 000423 0,000847

8 3, 000141 0,000282

9 3, 000047 0,000094

10 3,000016 0,000031

11 3,000005 0,000010

12 3,000002 0,000003

13 3,000001 0,000001

14 3,000000 0,000000

Hampiran akar = 3 (konvergen monoton)

(ii).

prosedur iterasi yang bersesuaian

24

Tebakan awal

r

0 4.000000 -

1 1.500000 2,500000

2 -6.000000 7,500000

3 -0,375000 5,625000

4 -1,263158 0,888158

5 -0,919355 0,343803

6 -1,027624 0,108269

7 -0,990876 0,036748

8 -1,003051 0,012175

9 -0,998984 0,004066

10 -1,000339 0,001355

11 -0,999887 0,000452

12 -0,000038 0,000151

13 -0,999987 0,000050

14 -1,000004 0,000017

15 -0,999999 0,000006

16 -1,000000 0,000002

17 -1,000000 0,000001

Hampiran akar = -1,00000 (konvergen berosilasi)

(iii).

prosedur iterasi yang bersesuaian

r

0 4,000000 -

1 6.500000 2.500000

25

2 19.625000 13.125000

3 191.070313 171.445312

4 18252.432159 18061.361847

..dst..

Notasi divergen (nilai semakin membesar)

Teorema Kekonvergenan

Misalkan adalah solusi dari dan andaikan mempunyai turunan kontinue

dalam selang yang memuat

Maka jika dalam selang tersebut , proses iterasi yang didefinisikan

akan konvergen ke Sebaliknya jika dalam selang tersebut ,

maka iterasi akan divergen dari

Jika terdapat selang dengan sebagai titik tetap, maka berlaku :

(i) . Iterasi konvergen monoton.

(ii) . Iterasi konvergen berosilasi.

(iii). Iterasi divergen monoton.

(iv) . Iterasi divergen berosilasi.

Contoh :

a. =

26

Karena maka iterasi konvergen monoton

b. Tentukan selang agar konvergen ?

Penyelesaian :

Syarat konvergen

Untuk ( tidak mungkin)

Untuk

Jadi iterasi akan konvergen

27

2. Metode Newton-Rhapson

Y

Y=f(x)

)(,( 00 XfX

1X 0X X

Perhatikan grafik )(xfy di atas! Akar terjadi ketika grafik memotong sumbu x,estimasi untuk digunakan garis singgung yang menyinggung garfik )(xfy di 0x . Gradien garis singgung dapat dicari dengan turunan pertama fungsi )(xf . Dari gambar tersebut gradien garis singgungnya adalah:

Gradien garis singgung ))(,( oo xfx dan )0,( 1x

12

12

xxyy

m )(' xfm

10

00

0)()('

xxxf

xf

)(')(

0

010 xf

xfxx

)(')(

0

001 xf

xfxx ..(*)

Secara umum,bentuk rumus (*) bisa digeneralisasi menjadi:

0)('...,4,3,2,1,0;)(')(

1 xfnxfxf

xxn

nnn . . . (**)

Formula atau rumus (**) digunakan untuk prosedur iterasi metode Newton-Rhapson.

Iterasi Newton-Rhapson akan berhenti pada kondisi:

1

1

n

nn

xxx

dengan dan adalah toleransi galat yang diinginkan. Catatan:

1. Jika 0)(' nxf , ulangi kembali hitungan iterasi dengan 0x yang lain. 2. Jika persamaan 0)( xf memiliki lebih dari satu akar pemilihan 0x yang berbeda-

beda dapat menemukan akar yang lain.

28

3. Dapat terjadi iterasi konvergen keakar yang berbeda dari yang diharapkan.

Contoh:

Carilah akar dari 1)( 6 xxxf dengan menggunakan metode Newton-Rhapson. Untuk menyelesaikan soal diatas maka terlebih dahulu mencari selang yang

mengandung akar. Batas atas dan batas bawah selang sebaiknya menghasilkan nilai

dengan perubahan tanda ketika dimasukkan kedalam fungsi tersebut.

Selanjutnya,pilih satu nilai didalam selang tersebut.

)(')(

1n

nnn xf

xfxx

161

16)('

5,1;1)(

5

6

1

5

06

xxx

xx

xxf

xxxxf

nnnn

Jadi akar dari persamaan diatas adalah 1,134724

Tentukan hampiran akar untuk persamaan berikut:

1. 3)( 3 xxxf Dengan tebakan awal )1,1(0 x 2. 342)( 34 xxxxf Dengan tebakan awal 30 x

Penyelesaian:

1. 3)( 3 xxxf 13)(' 2 xxf

n xn f(xn) f'(x n) xn-xn-1

0 1.1 -0.569 4.63

1 1.222894 0.051696 5.48641 0.122894

2 1.213472 0.000325 5.41754 -0.00942

3 1.213412 1.31E-08 5.417104 -6E-05

4 1.213412 0 5.417104 -2.4E-09

5 1.213412 0 5.417104 0

6 1.213412 0 5.417104 0

Jadi akar persamaannya adalah=1,213412

2. 342)(34 xxxxf

234)(' 23 xxxf

29

n xn f(xn) f'(x n) xn-xn-1

0 3 14 79

1 2.822785 1.353001 64.06474 -0.17722

2 2.801666 0.01745 62.4168 -0.02112

3 2.801386 3.02E-06 62.39517 -0.00028

4 2.801386 9.24E-14 62.39516 -4.8E-08

5 2.801386 0 62.39516 0

6 2.801386 0 62.39516 0

Jadi akar persamaannya adalah=2,801386

Kriteria Konvergen Newton Raphson.

Untuk memperoleh iterasi konvergen maka harus memenuhi harga mutlak g(x) < 1 Karena metode Newton Raphson adalah metode terbuka maka dapat dirumuskan

g(x) maka turunan pertama g(x)adalah :

g(x)=1-

=

g(x)=

karena syarat konvergensi g(x) < 1

maka

30

Prosedur iterasi Newton Rhapson memerlukan perhitungan turunan fungsi,sayangnya,tidak

semua fungsi mudah dicari turunanya terutama fungsi yang bentukya rumit.Turunan fungsi

dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen.modifikasi

metode Newton Rhapson dinamakan metode secant.

Diamsumsikan terdapat 2 nilai tebakan awal yaitu dan x1. 2 titik (x0,f(x0)) dan (x1 ,f(x1))

pada kurva y =f(x) dibuat garis lurus,yang disebut garis secant.formmula untuk metode

secant dapat dicari dengan menggunakan metode Newton Rapshon dengan menyamakan

gradient yang ditentukan oleh :

{(x 0,f(x0));(x1,f(x1))} dan {(x1,f(x1)),(x2,0)}

F(X1)-f(x0) = 0-f(x1)

X1-x0 x2-x1

X2-x1=-

X2=x1- f(x1)(x1-x0)

f(x1)-f(x0) (*)

secara umum formula( *) dapat digeneralisasi menjadi:

xn+1 = xn-f(xn)(xn-xn-1)

f(xn)-f(xn-1)

31

akar persamaan f(x)=x6 x -1 dengan x0=2,x1=1

n xn f(xn) Xn-xn-1

0 2 61

1 1 -1 -1

2 1,016129 -0,91537 0,06129

3 1,190578 0,657466 0,174449

4 1,117656 -0,16849 -0,07291

5 1,132532 -0,02244 0,014876

32

BAB 4

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINIER

a. Metode Iterasi Jacobi

Tinjau kembali sistem persamaan linier 111 + 122 + 133 + + 1 = 1 211 + 222 + 233 + + 2 = 2

.

.

. 11 + 22 + 33 + + =

Dengan syarat 0, k =1, 2, ..., n. Misalkan diberikan tebakan awalnya 1(0), 2(0), 3(0), , (0). Maka lelalaran pertamanya adalah :

1(1) = 1 122(0) 133(0) 1(0)11 2(1) = 2 211(0) 233(0) 2(0)21

(1) = 11(0) 22(0) 11(0)1 Lelaran kedua

1(2) = 1 122(1) 133(1) 1(1)11 2(2) = 2 211(1) 233(1) 2(1)22

(2) = 11(1) 22(1) 11(1)

33

Secara umum :

(+1) = ()=1, = 0,1,2 b. Metode Iterasi Gauss-Seidel

Lelaran pertama :

1(1) = 1 122(0) 133(0)11 2(1) = 2 211(1) 233(0)22 3(1) = 311(1) 322(1)

Jadi hasil yang telah diperoleh langsung digunakan pada perhitungan berikutnya.

C. Latihan

Tentukan solusi SPL 4x - y + z = 7

4x - 8y + z = -21 -2x + y + 5z = 15

dengan nilai awal P0 = (x0, y0, z0) = (1, 2, 2)

34

BAB 5

INTERPOLASI

a. Pencocokan Kurva

Pencocokan Kurva adalah sebuah metode yang mencocokkan titik data dengan sebuah kurva

(curve fitting) fungsi.

Pencocokan kurva dibedakan menjadi dua metode:

1. Regresi

Data memuat galat yang cukup berarti Kurva cocokan mewakili kecenderungan titik data (tidak perlu melalui semua titik)

sehingga selisih antara titik data dan titik hampiran sekecil mungkin

2. Interpolasi

Data dengan ketelitian tinggi Kurva cocokan melalui setiap titik data

35

Interpolasi

Tujuan: Mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya

Fungsi cocokan berupa polinom: Interpolasi Polinom

Polinom berbentuk:

b. Interpolasi dengan Polinom Linear dan Kuadrat

Interpolasi dengan Polinom Linear

Diketahui data: (x0,y0), (x1,y1)

Polinom yang menginterpolasi:

Interpolasi dengan Polinom Kuadrat

Diketahui data: (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)

Polinom yang menginterpolasi:

P2(x)=a0 + a1x + a2x2 (*)

a0 dan a1 telah diketahui dari polinom linear

Menentukan a2 : Substitusi (xi,yi) ke (*)

011

1)( axaxaxaxPn

nn

nn

36

a0 + a1x0 + a2x02 = y0 (1)

a0 + a1x1 + a2x12 = y1 (2)

a0 + a1x2 + a2x22 = y1 (3)

Dengan cara eliminasi diperoleh:

c. Interpolasi dengan polinom Newton

a0=y0 ,a1=f[x1,x0], a2=f[x2,x1,x0],

an=f[xn,xn-1,,x1,x0]

Contoh:

Nilai Viskositas air dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut ini: T(C) (10-3 Ns/m2)

0 1,792

10 1,308

30 0,801

50 0,549

70 0,406

90 0,317

100 0,284

Perkirakan harga viskositas air pada temperatur tertentu

37

Jawab:

Nilai untuk T=400 Jika digunakan titik [30,50,70]: P2(40)=0.6613750000

Jika digunakan titik [10,30,50]: 0.643125000

Jika digunakan titik [0,10,30,50]: P3(40)=0.67010000

Jika digunakan titik [10,30,50,70]: P3(40)=0.652250001

Polinom Lagrange

Polinom linear:

Dapat disusun kembali menjadi:

Polinom kuadrat dapat pula disusun menjadi:

Atau:

Dengan memakai fungsi Lagrange

Dimana syarat interpolasi harus dipenuhi

))...()...()...()((

))...()...()...()((

)(

)(

01110

1110

0 niiiiii

niin

ij

j ji

ji xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xx

xxL

nn

n

iiin LyLyLyLyxP 11000)(

nnnnn yxPyxPyxP )(,.....,)(,)( 1100

38

d. Interpolasi Dengan Polinom Newton Gregory

Polinom Newton Gregory Maju

Diketahui titik-titik berjarak sama: x0, x1= x0+h, x2= x0+2h,

Didefinisikan:

Sehingga

Misal nilai yang akan diinterpolasi: x = x0+sh

1. Polinom Newton Gregory Maju:

2. Polinom Newton Gregory Mundur

Diketahui titik-titik berjarak sama: x0, x-1= x0-h, x-2= x0 -2h,

Didefinisikan:

39

Polinom Newton dapat ditulis:

Misal nilai yang akan diinterpolasi: x = x0+sh

Diperoleh Polinom Newton Gregory Mundur:

C. Latihan

1. Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga tertentu. Tabel berikut menguraikan

perkiraaan uang deposito pada masa yang akan datang, berupa nilai uang pada 20 tahun

mendatang dibandingkan dengan nilai sekarang.

Tingkat suku bunga F/P (n = 20 tahun)

15 16,366

20 38,337

25 86,736

30 190,050

Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang dengan suku bunga 23,6%, berapa nilai

uang tersebut pada 20 tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi Newton Lagrange

dan Newton maju, Kemudian bandingkan hasil perhitungan ketiga metode tersebut.

2. Misal diberikan sekumpulan titik data. Bila di dalam tabel selisih maju ditemukan k bernilai hampir konstan (0) maka polinom yang tepat menginterpolasi titik-titik itu adalah polinom derajat k. Berikut ini diberikan pasangan nilai x dan f(x)

40

x 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3

f(x) 0.003 0.067 0.148 0.248 0.370 0.518 0.697

a. Berapa derajat polinom yang terbaik untuk menginterpolasi ketujuh titik data di atas?

b. Dengan derajat terbaik dari jawaban a) tentukan nilaiu fungsi di x = 0.58 dengan

polinom interpolasi Newton Gregory maju

3. You are given some data: (0,f(0)), (h,f(h)), (2h,f(2h)) and (3h,f(3h)). Find )( 25

3hP with

Lagrange polynomial

4. Jika sejumlah uang didepositokan dengan suatu kurs bunga tertentu maka tabel di bawah

ini dapat digunakan untuk menentukan jumlah uang yang terakumulasi setelah 20 tahun

Kurs bunga (%) 15 20 25 30 35

F/P 20,1114 20,4445 20,7777 21,222 21,8884

F/P adalah perbandingan dari keuntungan nanti terhadap nilai sekarang. Misalnya jika p

= 1.000.000 didepositokan, maka setelah 20 tahun dengan bunga 32% jumlah uangnya

menjadi: F = (F/P).P = 20,4445 x 1.000.000 = 20.444.500.

a. Tentukan derajat polinom yang terbaik untuk menginterpolasi ke-enam titik di atas

b. Dengan derajat terbaik pada jawaban a), tentukan jumlah uang setelah 20 tahun dari

Rp.30.000.000 yang didepositokan dengan bunga 32%. (Gunakan polinom interpolasi

Newton Gregory maju)

5. Sebuah daerah dijangkiti oleh epidemi demam berdarah. Misal f(t) menyatakan

banyaknya orang yang terjangkiti demam berdarah setelah t minggu. Seorang petugas

mencatat data sebagai berikut

t (minggu) 1 2 4 5 7

f(t) 3 8 15 25 40

a. Tentukan fungsi yang menghampiri data di atas dengan polinom Lagrange

b. Gunakan hasil pada a) untuk menaksir banyak orang yang terjangkiti demam berdarah

setelah 6 minggu

c. Tentukan t jika banyaknya orang yang terjangkiti demam berdarah mencapai 20 orang

41

6. Buktikan bahwa: 40

4

01234 !.4],,,,[

h

fxxxxxf

42

BAB 6

INTEGRASI NUMERIK

Integral:

Jika f(x)>0, tafsiran geometrik: luas daerah

Jika fungsi primitif F(x) yaitu diketahui , maka

Jika tidak diketahui maka diselesaikan dengan Pengintegralan Numerik

a. Metode Newton-Cotes

Ide: Penggantian fungi yang rumit atau data yang ditabulasikan ke fungsi aproksimasi yang

mudah diintegrasikan

Jika fungsi aproksimasi adalah polinomial berorde n, maka metode ini disebut metode

integrasi Newton-Cotes

Kaidah Segiempat

Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi tangga (fungsi

x

xFxf

d

)(d)(

)()(d)( aFbFxxfIb

a

)(d)(d)()( fIxxfxxffI nb

a

n

b

a

43

konstan sepotong-potong)

Kaidah Trapesium

Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi linier sepotong-potong

a). Satu pias

)]()()([)()( 1100 nxfxfxfhfIfI

)]()()([)()( 210 nxfxfxfhfIfI

2

)()()()()( 10011

xfxfxxfIfI

301 )()(12

1xxfEt

44

Kesalahan:

b). Banyak pias

Kesalahan:

Kaidah Simpson 1/3

Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi kuadratik sepotong-potong

a) Satu pias

Kesalahan:

1

10

01 )(2)()(2

)()()(

n

iin

nm xfxfxfn

xxfIfI

n

int fxxfn

E1

302

)( dimana,)(12

1

6

)()(4)()()()( 2002

xfxfxfxxfIfI in

)(2880

)( )4(5

0 fxxE nt

45

b) Banyak Pias:

Kesalahan:

b. Metode kuadratur Gauss

Rumusan yang paling akurat untuk integrasi numerik Tinjauan Gauss dalam perhitungan integral F(x) dx berdasarkan nilai f(x) dalam sub interval yang tidak berjarak sama, melainkan

simetris terhadap titik tengah interval

I = f(x) dx

= (a-b) [R1 (U1 ) + R2 (u2) + + Rn (Un)]

U1,U2,,Un adalah titik dalam interval [-1/2,1/2]

(U) = f(x) = f[(b-a)u + ]

X = (b-a)u +

(Tersedia tabel nilai numerik parameter U dan R)

Latihan

Tentkan luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4, dengan kaidah

segiempat dan trapesium dan simpson 1/3

Penyelesaian

1

5,3,1

2

6,4,20

02 )(2)(4)()(3

)()()(

n

i

n

iiin

nm xfxfxfxfn

xxpIfI

)4(4

50

180

)(f

n

xxE nt

ba

2

ba

2

ba

46

a). Dengan kaidah segiempat

Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 bagian sama panjang, n = 4 h = (4 - 0)/4 = 1 Luas persegi panjang P1 = 1 * f(1) = 1 * 1 = 1 P2 = 1 * f(2) = 1 * 4 = 4

P3 = 1 * f(3) = 1 * 9 = 9

P4 = 1 * f(4) = 1 * 16 = 16

Luas Total = 30

Penyimpangannya = 30 21.33 = 8.66

Jika interval (0, 4) dibagi menjadi 8 sub-interval, n = 8 h = (4 - 0)/8 = 0.5 Luas persegi panjang P1 = 1 * f(0.5) = 1 * 1 = 0.125 P2 = 1 * f(1.0) = 1 * 4 = 1

P3 = 1 * f(1.5) = 1 * 9 = 1.125

P4 = 1 * f(2.0) = 1 * 16 = 2

P5 = 1 * f(2.5) = 1 * 4 = 3.125

P6 = 1 * f(3.0) = 1 * 9 = 4.5

P7 = 1 * f(3.5) = 1 * 16 = 6.125

P8 = 1 * f(4.0) = 1 * 16 = 8

Luas Total = 26

Penyimpangannya = 26 21.33 = 4.67

Jika banyaknya sub-interval diperbanyak lagi, misal n = 40, diperoleh L = 22.14, dan untuk n = 100 diperoleh L = 21.6544

Jika diambil tinggi adalah nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval Luas P1 = 0.5 * f(0.0) = 0.5 * 0 = 0 P2 = 0.5 * f(0.5) = 0.5 * 0.25 = 0.125

P3 = 0.5 * f(1.0) = 0.5 * 1 = 1

P4 = 0.5 * f(1.5) = 0.5 * 2.25 = 1.125

P5 = 0.5 * f(2.0) = 0.5 * 4 = 2

P6 = 0.5 * f(2.5) = 0.5 * 6.25 = 3.125

P7 = 0.5 * f(3.0) = 0.5 * 9 = 4.5

P8 = 0.5 * f(3.5) = 0.5 * 12.25 = 6.125

Luas Total = 18

Jika tinggi sama dengan titik tengah interval, diperoleh:

47

Luas P1 = 0.5 * f(0.25) = 0.03125 P2 = 0.5 * f(0.75) = 0.28125

P3 = 0.5 * f(1.25) = 0.78125

P4 = 0.5 * f(1.75) = 1.53125

P5 = 0.5 * f(2.25) = 2.53125

P6 = 0.5 * f(2.75) = 3.78125

P7 = 0.5 * f(3.25) = 5.23125

P8 = 0.5 * f(3.75) = 7.03125

Luas Total = 21.2000

Perhatikan bahwa hasil terakhir ini adalah yang terbaik.

b). Dengan kaidah trapesium

Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 sub-interval, n = 4 h = (4 - 0)/4 = 1

Luas total

D. Lembar kegiatan:

Soal tes formatif dikerjakan oleh tiap mahasiswa untuk tugas rumah dan dikumpulakan pada pertemuan berikutnya

E. Tes Formatif

1. Volume suatu daerah yang dibatasi oleh grafik f(x), axb yang diputar terhadap

sumbu x dapat ditentukan dengan rumus dxxfvb

a 2))(( .

Hampiri volume daerah yang dibatasi oleh grafik 1ln)( xxf , 0x1 yang diputar terhadap sumbu x dengan metode Kuadratur Gauss 2 titik

xk 0 1 2 3 4

f(xk) 0 1 4 9 16

)f(x )f(x 2 )f(x 23

14k0

k

h 22 16 9)4(1 2 0 2

1

48

2. The region D is bounded by curve 2)sin(cos)( xxxf ,

2

3,

2

3x .

The volume of the solid generated by revolving about X-axis the region D is given by

ba

dxxfV 2)( , 2

3,

2

3 ba . Find the volume V with 2 point-Gauss Legendre method

3. Hitunglah 5.25.1

22 )cos(xx dt dengan aturan Gauss Legendre 3 titik

4. Tentukan n sehingga dxx10

)sin( jika diselesaikan dengan metode Simpson 1/3 galatnya kurang dari -10-4

49

DAFTAR PUSTAKA

Chapra, S. C. and Canale, R. P. 1991. Metode Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta.

Conte, S. D. and de Boor, C. 1993. Dasar-Dasar Analisis Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta.

Hanselman, D. and Littlefield, B. 1997. Matlab Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi, Yogyakarta.

Atkinson, K.E, 1989. An Introduction to Numerical Analysis, 2nd Edition. Wiley. New York.

Munir, R. 2003. Metode Numerik. Penerbit Informatika: Bandung.

Scheid, F. 1983. Numerical Analysis, McGraw-Hill International Editions, Singapore.