bab ii landasan teori a. segitiga datar 1. pengertian segitigarepository.ump.ac.id/6284/3/bab...

5

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Segitiga Datar

1. Pengertian Segitiga

Diberikan tiga buah titik A, B, dan C yang tidak segaris. Titik A

dihubungkan dengan titik B, titik B dihubungkan dengan titik C, dan

titik C dihubungkan dengan titik A. Bangun yang terbentuk disebut

segitiga.

AB , BC , dan AC disebut sisi segitiga ABC. Titik A, B, dan C

disebut titik sudut. Ketiga sisi segitiga saling berpotongan dan

membentuk sudut, yaitu A , B , dan C . Jadi, sebuah segitiga

memiliki tiga titik sudut, tiga sisi dan tiga sudut.

2. Jenis Segitiga

Bentuk segitiga ditentukan oleh panjang sisi dan besar sudut

yang dimiliki, sebagai berikut :

A B

C

Gambar 1 : Segitiga ABC

Aplikasi Perhitungan Segitiga..., Atika Septiani Putri Zumaroh

6

a. Jenis segitiga ditinjau dari besar sudut-sudutnya

Ditinjau dari besar sudut-sudutnya, segitiga dibedakan

menjadi tiga yaitu :

1) Segitiga lancip yaitu segitiga yang besar tiap sudutnya

kurang dari 90º.

2) Segitiga tumpul yaitu segitiga yang besar salah satu

sudutnya lebih dari 90º.

3) Segitiga siku-siku yaitu segitiga yang besar salah satu

sudutnya 90º.

b. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya

Ditinjau dari panjang sisi-sisinya, segitiga dibedakan

menjadi tiga yaitu :

1) Segitiga sama sisi yaitu segitiga yang ketiga sisinya sama

panjang.

2) Segitiga sama kaki yaitu segitiga yang mempunyai dua

sisi sama panjang.

3) Segitiga sembarang yaitu segitiga yang ketiga sisinya

tidak sama panjang satu sama lain.

Segitiga Lancip Segitiga Tumpul Segitiga Siku-Siku

Gambar 2 : Jenis Segitiga menurut besar sudut-sudutnya


7

3. Aturan Cosinus

Aturan cosinus dalam trigonometri adalah aturan yang

memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu

antara panjang sisi-sisi segitiga dan cosinus dari salah satu

sudut dalam segitiga tersebut. (Wikipedia, 2011)

Aturan kosinus menyatakan bahwa :

cos..2222 qppqr

dengan adalah sudut yang dibentuk oleh sisi q dan sisi p, dan

r adalah sisi yang berhadapan dengan sudut .

Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi q dan sisi p :

cos..2222 prrpq

cos..2222 qrrqp

Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan

sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui maka dapat

Gambar 3 : Jenis Segitiga menurut Panjang Sisi-sisinya

Gambar 4 : Segitiga Sembarang

Segitiga Sama Sisi Segitiga Sembarang Segitiga Sama Kaki

P R

r

q

p

α

β

γ

Q


8

ditentukan panjang sisi yang lain. Jika panjang ketiga sisi

diketahui, dapat ditentukan besar sudut dalam segitiga tersebut.

Dari aturan kosinus dapat diperoleh :

i. cos..2222 qppqr

222cos..2 rpqqp

qp

rpq

.2cos

222

ii. cos..2222 prrpq

222cos..2 qrppr

pr

qrp

.2cos

222

iii. cos..2222 qrrqp

222cos..2 prqqr

qr

prq

.2cos

222

Aturan kosinus :

cos..2222 qrrqp

cos..2222 prrpq

cos..2222 qppqr


9

B. Bola

Tempat kedudukan titik – titik yang berjarak r dari titik tetap P

dinamakan permukaan bola atau bola. Lihat gambar 1, P adalah pusat

bola dan r adalah jari – jari bola.

Misalkan titik A pada permukaan bola. Garis yang

menghubungkan A dengan P, lanjutannya akan memotong permukaan

bola pada titik A1. Titik A1 dinamakan titik lawan dari A, sebaliknya

titik A dinamakan titik lawan dari A1.

• P

Gambar 5

P = Pusat bola ; r = jari – jari bola

r

A1

A

• P

Gambar 6

A1 = titik lawan A

A = titik lawan A1


10

Irisan permukaan bola dengan bidang datar yang melalui pusat

bola, dinamakan lingkaran besar.

Irisan permukaan bola dengan bidang yang berjarak dari pusat bola

lebih kecil dari jari – jari bola, dinamakan lingkaran kecil.

C. Segitiga Bola

Segitiga bola terjadi jika tiga buah lingkaran besar pada permukaan

sebuah bola saling berpotongan. Ketiga titik potong merupakan titik-

titik sudut dengan sisinya yang berhadapan dengan sudut-sudut

segitiga bola tersebut. Dari sudut-sudut dan sisi-sisi segitiga bola dapat

P •

L

Gambar 7

L = Lingkaran besar

•

P

LI

Gambar 8

LI = Lingkaran kecil


11

ditentukan penurunan rumus-rumus pokok untuk suatu segitiga bola

yang menunjukkan unsur-unsur yang terdapat pada segitiga bola. (Ali,

1997)

Sisi-sisi p, q, r dan sudut – sudut P, Q, R satuannya adalah derajat.

Dalam segitiga bola bila diketahui 3 hal maka 3 lainnya dapat dicari

dengan rumus-rumus segitiga bola.

1. Aturan Sinus

Jika sebuah segitiga bola dengan sisi-sisi p, q, r dan sudut-

sudut P, Q, R seperti pada gambar berikut :

P

Q

R

O

r

q

p

P

Q

R

p

r

q

Gambar 9 : Segitiga Bola

r

q

R

P

Q

p


12

Maka dalam segitiga bola PQR akan berlaku hubungan :

r

R

q

Q

p

P

sin

sin

sin

sin

sin

sin

Pada segitiga TUW :

TW = TU sin P ....................................................... (1)

Pada segitiga TVW :

TW = TV sin Q ........................................................ (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

TU sin = TV sin Q ............................................. (3)

Pada segitiga OTU :

TU = OT sin q ........................................................ (4)

Pada segitiga TVO :

TV = OT sin p ........................................................ (5)

Dari persamaan (3), (4) dan (5) diperoleh :

TU sin = TV sin Q

OT sin q . sin P = OT sin p . sin Q

sin q . sin P = sin p . sin Q

Gambar 10 : Segitiga Bola

P

R

O

U W

T

V

p

r

q

Q


13

q

Q

p

P

sin

sin

sin

sin ................................................... (6)

Melalui cara yang sama, maka dapat dibuktikan :

r

R

p

P

sin

sin

sin

sin .................................................... (7)

Dari persamaan (6) dan (7) terbukti bahwa :

r

R

q

Q

p

P

sin

sin

sin

sin

sin

sin

(Hanafiah dkk, 1992)

2. Aturan Cosinus

Berikut ini ditunjukkan pembuktian rumus-rumus pokok untuk

suatu segitiga bola PQR. Rumus-rumus ini menunjukkan hubungan

antara unsur-unsur yang terdapat pada segitiga bola.

(1) Rumus Cosinus untuk sisi – sisi segitiga bola.

cos p = cos q . cos r + sin q sin r . cos P

cos q = cos p . cos r + sin p sin r . cos Q

cos r = cos p . cos q + sin p sin q . cos R

(2) Rumus Cosinus untuk sudut – sudut segitiga bola.

cos P = cos Q . cos R + sin Q sin R . cos p

cos Q = cos P . cos R + sin P sin R . cos q

cos R = cos P . cos Q + sin P sin Q . cos r

(Smart, 1980)


14

Pada gambar diatas (segitiga bola PQR), kedudukan segitiga bola

PQR dibuat sedemikian rupa, sehingga busur QR, busur PR dan

busur PQ masing-masing dinyatakan sebagai sisi p, q, r. Pada titik

P dibuat garis singgung, masing-masing untuk sisi q dan sisi r,

yang digambarkan oleh garis PS dan garis PT. Garis OS dan OT

masing-masing merupakan garis yang melewati bola di Q dan di R.

Besar sudut SOT sama dengan panjang sisi p, besar sudut POT

sama dengan panjang sisi q dan besar sudut POS sama dengan

panjang sisi r. Dari gambar segitiga bola diatas, diperoleh :

Gambar 11 : Segitiga Bola PQR

O

T

S

P

R

Q

q

p

r


15

POS = sisi r

tan r = OP

PS

PS = OP tan r

cos r = OS

OP

sec r = OP

OS

OS = OP sec r ......................................................... (1)

Gambar 12 :Segitiga SOP

Gambar 13 : Segitiga TOP

O

P S

r

O

P

T

q


16

POT = sisi q

tan q = OP

PT

PT = OP tan q

cos q = OT

OP

sec q = OP

OT

OT = OP sec q ........................................................ (1)

Dari segitiga SPT diperoleh :

SPTPTPSPTPSST cos.2222 ..................... (3)

))(costan)(tan(2)tan()tan( 222 PqOPrOPqOPrOPST

))(costan)(tan(2tantan 2222 PqOPrOPqOPrOP

PqrOPqOPrOP cos.tantan.2tantan 22222

)cos.tantan.2tan(tan 222 PqrqrOP

Dari segitiga SOT diperoleh :

SOTOTOSOTOSST cos.2222 ................... (4)

))(cossec)(sec(2)sec()sec( 222 pqOPrOPqOPrOPST

))(cossec)(sec(2secsec 2222 pqOPrOPqOPrOP

pqrOPqOPrOP cos.secsec.2secsec 22222

)cos.secsec.2sec(sec 222 pqrqrOP

Maka dari persamaan (3) dan (4) diperoleh :

2ST = 2ST


17

)cos.tantan.2tan(tan 222 PqrqrOP

)cos.secsec.2sec(sec 222 pqrqrOP

Pqrqr cos.tantan.2tantan 22

pqrqr cos.secsec.2secsec 22

Karena r2sec = 1 + r2tan dan q2sec = 1 + q2tan , maka :

Pqrqr cos.tantan.2tantan 22

pqrqr cos.secsec.2) tan+ 1() tan+ 1( 22

Pqrqr cos.tantan.2)tan(tan 22

pqrqr cos.secsec.2) tan+ tan(2 22

Pqrqrqr cos.tantan.2)tan(tan)tan(tan 2222

pqr cos.secsec.22

pqrPqr cos.secsec.22cos.tantan.2

)cos.secsec1(2cos.tantan.2 pqrPqr

pqrPqr cos.secsec1cos.tantan

pqr

Pq

q

r

rcos

cos

1

cos

11cos

cos

sin

cos

sin

qr

pP

q

q

r

r

cos.cos

cos1cos

cos

sin

cos

sin

qr

p

qr

qr

qr

Pqr

cos.cos

cos

cos.cos

cos.cos

cos.cos

cos.sin.sin

qr

pqr

qr

Pqr

cos.cos

coscos.cos

cos.cos

cos.sin.sin

pqrPqr coscos.coscos.sin.sin


18

Pqrqrp cos.sin.sincos.coscos (Terbukti)

Langkah lebih lanjut dengan cara yang sama seperti yan

diuraikan diatas dan menggilir kedudukan P,Q dan R. Sehingga

diperoleh persamaan-persamaan serupa diatas.

D. Sistem Koordinat

Letak suatu benda pada suatu bidang datar dapat ditentukan

dengan dua garis lurus yakni menggunakan kordinat x dan kordinat y.

Akan tetapi pada permukaan yang tidak datar seperti pada bola langit

tentu tidak dapat ditentukan dengan dua garis lurus, melainkan dengan

garis lengkung (busur) sesuai dengan bentuk bola langit (Azhari,

2004). Dibawah ini akan diuraikan mengenai cara menentukan letak di

bola langit, yakni :

1. Sistem Koordinat Ekuator

Gambar 14 : Sistem Koordinat Ekuator

Ekuator b’’ γ

P

α

B

δ

KLU

KLS


19

Jika khatulistiwa di bumi atau bidang ekuator bumi

diperpanjang, maka akan memotong bola langit sehingga menjadi

lingkaran khatulistiwa langit, yang bisa disebut ekuator langit. Setiap

titik pada ekuator langit berjarak 90° dari kedua kutub langit (Salam,

2001).

Bola langit dengan ekuator langit dan bujur sehingga melalui

(titik Aries) disebut sistem koordinat ekuator. Titik Aries adalah titik

perpotongan antara lingkaran ekliptika dengan lingkaran ekuator

langit (Shadiq, 1994).

2. Sistem Koordinat Ekliptika

Dalam sistem koordinat ekliptika, lingkaran ekliptika menjadi

lingkaran dasar utama, sedangkan titik asalnya adalah titik Aries

seperti yang digunakan dalam sistem koordinat ekuator (Azhari,

2004).

Gambar 15 : Sistem Koordinat Ekliptika

KLU

KLS

Ekliptika

B

b’ β λ

γ

P


20

Lingkaran ekliptika adalah lingkaran semu tahunan matahari

(Shadiq, 1994). Kemiringan sudut ekliptika terhadap bidang ekuator

sebesar 23,5º (Ali, 1997). Titik Aries adalah titik perpotongan antara

lingkaran ekliptika dengan lingkaran ekuator langit (Shadiq, 1994).

3. Sistem Koordinat Horizon

Dalam sistem koordinat horizon, lingkaran horizon merupakan

dasar utama. Lingkaran horizon adalah hasil perpotongan bidang

horizon dengan bola langit. Titik kutub pada sistem koordinat

horizon adalah zenith (Z) dan nadir (N). Posisi benda langit pada

sistem ini ditentukan oleh azimuth dan altitude/tinggi.

E. Deklinasi Matahari

Deklinasi matahari merupakan data yang cukup penting selain

lintang dan bujur tempat. Deklinasi matahari adalah jarak matahari

Gambar 16 : Sistem Koordinat Horizon

Z

S

N

U

B

b’

h

Horizon

Az


21

dengan equator langit diukur sepanjang lingkaran deklinasi. Lingkaran

waktu deklinasi biasanya diberi tanda huruf Yunani δ (delta).

Deklinasi sebelah utara equator diberi tanda positif ( + ) dan sebelah

selatan equator diberi tanda negatif ( + ).

Harga deklinasi Titik Kutub Langit Selatan adalah – 90o dan titik

Kutub Langit Utara adalah 90o. Lambang deklinasi adalah : (baca

:delta) (Salam, 2001: 9). Deklinasi matahari berubah sewaktu – waktu

selama satu tahun, tetapi pada tanggal – tanggal yang sama, bilangan

deklinasi itu kira – kira sama pula. (Ali, 1997)

F. Edaran Harian Matahari

Matahari merupakan sebuah bintang putih kekuning-kuningan

dengan diameter 1.390.000 km dan berada pada jarak 150.000.000 km

dari bumi (Anonim, 2007)

Edaran harian matahari terdiri dari gerak harian dan tempuan

harian, yang dijelaskan sebagai berikut :

1. Gerak harian

Setiap hari matahari terbit di sebelah timur, lalu bergerak

semakin lama semakin tinggi, hingga akhirnya tengah hari

mencapai tempat kedudukannya yang paling tinggi pada hari

itu.Titik tertinggi yang dicapai matahari dalam perjalanannya

dinamakan titik kulminasi. Waktu itu matahari sedang

berkulminasi (Ali, 1997).


22

2. Tempuan harian

Perjalanan matahari menurut arah timur barat bukanlah

suatu gerak yang sesungguhnya, tetapi disebabkan oleh perputaran

bumi sekeliling porosnya yang berlaku dalam waktu 24 jam

menurut arah barat – timur. Karena perputaran sekeliling poros itu,

gerak setiap titik diatas bumi berlaku didalam suatu bidang yang

tegak lurus pada poros bumi (Ali,1997).

3. Tinggi Matahari

Yang dimaksud tinggi matahari adalah ketinggian posisi

”matahari yang terlihat” pada awal atau akhir waktu shalat diukur

dari horizon. Tinggi matahari biasanya diberi tanda “hΘ ” atau

hanya ditulis “h” saja, singkatan dari “high”, yang berarti

ketinggian, sedangkan “Θ” adalah tanda matahari (Shadiq, 1994)

Selisih antar ketinggian yang tampak oleh pengamat dan

ketinggian yang sebenarnya disebut “sudut refraksi”.Besarnya

refraksi itu tergantung pada ketinggian benda langit, keadaan suhu

dan tekanan udara. Pada ketinggan yang lebih kecil (makin dekat

horizon) harga refraksi makin besar (Depag RI, 1983). Nilai yang

terbesar adalah 34,5 menit busur, yakni pada saat benda langit itu

berada pada garis horizon, sedang nilai yang terkecil adalah nol,

yakni pada saat benda langit itu berada pada titik zenit (Depag RI,

1983).


23

Berikut ini disajikan gambaran mengenai edaran harian matahari.

Keterangan :

A : Posisi matahari terbit

B : Posisi matahari berkulminasi (berada di titik zenith)

C : Posisi matahari terbenam

Gambar 17 : perjalanan matahari dari terbit

hingga terbenam tepat di equator langit ( = 0)

KLS KLU

Timur

Barat Lingkaran ufuk

Matahari berkulminasi

Zenith

Nadir

A

B

C


24

G. Posisi Matahari dengan Segitiga Bola

Keterangan :

M = Matahari

m = Bayangan matahari

Ts = Timur sesungguhnya

Bs = Barat sesungguhnya

t = Sudut Waktu

h = Tinggi

δ = Deklinasi

φ = Lintang

Gambar 18 : Gambar Posisi Matahari

dengan Segitiga Bola

Z

N

S U

KLU

KLS

Horizon

Ekuator Bs

m

Ts

M

90º - φ

90º - h

90º - δ

t

h


25

H. Aplikasi Rumus Segitiga Bola dalam Edaran Harian Matahari

Dari turunan rumus segitiga bola maka akan diperoleh aplikasi

rumus segitiga bola dalam edaran harian matahari, yaitu :

1. Sudut waktu benda langit

Bahwa yang dimaksud dengan sudut waktu benda langit

adalah jarak antara suatu benda langit dengan titik

kulminasinya .

(Shadiq, 1994)

Rumus sudut waktu benda langit :

cos.cos

sintan.tan cos

ht

Gambar 19 : Aplikasi rumus segitiga Bola

dalam Edaran harian matahari

U S

Q

E Z

N

KLU

KLS

P Horizon

Bs

Ts

Edaran Harian

Matahari

M

Θ

p

hΘ

p

tΘ

M'

M''

Sudut waktu

matahari


26

2. Tinggi benda langit

Bahwa yang dimaksud dengan tinggi benda langit adalah

busur pada lingkaran vertikal yang diukur dari titik

perpotongan antara lingkaran horizon dengan lingkaran vertikal

ke arah objek (benda langit). (Azhari,2004)

Rumus tinggi benda langit :

ths cos.cos.cossin.sinin


bab ii landasan teori a. segitiga datar 1. pengertian segitigarepository.ump.ac.id/6284/3/bab...

Documents