MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

BAB 6

ALJABAR BOOLE

1. Definisi Dasar

Himpunan dan proposisi mempunyai sifat yang serupa yaitu memenuhi hukum identitas.

Hukum ini digunakan untuk mendefinisikan struktur matematika abstrak yang disebut

ALJABAR BOOLE. Nama tersebut diambil dari nama seorang matematikawan bernama

George Boole (1813 – 1864).

Secara umum, aljabar boole didefinisikan sebagai suatu himpunan dengan operasi ˄, ˅,

¬(atau „), serta elemen 0 dan 1 ditulis sebagai ⟨ ⟩ atau ⟨ ⟩

1. Hukum Komutatif

a. x ˅ y = y ˅ x

b. x ˄ y = y ˄ x

2. Hukum Asosiatif

a. (x ˅ y) ˅ z = x ˅(y ˅z)

b. (x ˄ y) ˄ z = x ˄ (y ˄ z)

3. Hukum Distributif

a. x ˅ (y ˄ z) = (x ˅ y) ˄ (x ˅ z)

b. x ˄ (y ˅ z) = (x ˄ y) ˅ (x ˄ z)

4. Hukum Identitas

a. x ˅ 0 = x

b. x ˄ 1 = x

5. Hukum Negasi (komplemen)

a. x ˅ x‟ = 1

b. x ˄ x‟ = 0

Untuk lebih menyerupai operasi-operasi aritmatika, kadang-kadang simbol ˅ dituliskan

dengan + dan ˄ dituliskan dengan *, atau tidak ditulis sama sekali.

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Dalam aljabar Boole dikenal prinsip dualitas. Jika penghubung ˄ ditukarkan dengan ˅ dan

0 ditukarkan dengan 1 diseluruh aturan dalam aljabar Boole, maka hasilnya juga berlaku

sebagai suatu aljabar Boole.

Ada beberapa teorema yang dapat diturunkan dari aturan-aturan aljabar Boole :

Teorema 1

Misalnya, diketahui aljabar Boole ⟨ ⟩ dan x, y, x‟, y‟ Є B, maka hukum-hukum

inilah yang berlaku :

1. Hukum Idempoten

a. x ˅ x = x

b. x ˄ x = x

2. Hukum Ikatan

a. x ˅ 1 = 1

b. x ˄ 0 = 0

3. Hukum Absorbsi

a. (x ˄ y) ˅ x = x

b. (x ˅ y) ˄ x = x

4. Hukum De Morgan

a. (x ˅ y)‟ = x‟ ˄ y‟

b. (x ˄ y)‟ = x‟ ˅ y‟

Bukti :

(1a) x ˅ x = (x ˅ x) ˄ 1 hukum Identitas (b)

= (x ˅ x) ˄ (x ˅ x‟) hukum Negasi (a)

= x ˅ (x ˄ x‟) hukum Distributif (a)

= x ˅ 0 hukum Negasi (b)

= x hukum Identitas (a)

Latihan Soal :

Buktikan masing-masing teorema!

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Teorema 2

Dalam suatu aljabar Boole ⟨ ⟩, elemen 0 dan 1 adalah tunggal.

Bukti :

Misalkan ada 2 buah elemen 0 dalam ⟨ ⟩, sebut 01 dan 02. Akan dibuktikan

bahwa pastilah 01 = 02 .

Menurut hukum identitas, untuk sembarang ai dan a2 berlakulah persamaan

a1 ˅ 01 = a1 dan a2 ˅ 02 = a2

Substitusi a1 = 02 dan a2 = 01. Dengan demikian, didapatkan 02 ˅ 01 = 02 dan 01 ˅ 02 = 01

Dalam aljabar Boole berlaku hukum komutatif sehingga :

02 ˅ 01 = 01 ˅ 02

02 = 01

Terbukti bahwa 02 = 01 atu elemen 0 tunggal.

Latihan Soal :

Buktikan untuk 2 buah elemen 1 adalah tunggal!

Teorema 3

Untuk setiap elemen x Є ⟨ ⟩ terdapatlah dengan tunggal x‟ yang memenuhi

hukum negasi.

Bukti :

Misal x memiliki 2 komplemen, yaitu x1‟ dan x2‟. Akan dibuktikan bahwa pastilah x1‟ = x2‟.

Oleh karena x1‟ dan x2‟ merupakan komplemen dari x, maka berlakulah hukum negasi.

x ˅ x1‟ = 1 dan x ˄ x1‟ = 0

x ˅ x2‟ = 1 dan x ˄ x2‟ = 0

Padahal :

x1‟ = x1‟ ˄ 1 hukum identitas (b)

= x1‟ ˄(x ˅ x2‟) hukum negasi (b) dan karena x2‟ adalah komplemen x

= (x1‟ ˄ x) ˅ (x1‟ ˄ x2‟) hukum distributif (b) dan komutatif

= 0 ˅ (x1‟ ˄ x2‟) hukum negasi (b)

= (x ˄ x2‟) ˅ (x1‟ ˄ x2‟) hukum negasi (b)

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

= (x ˄ x1‟) ˄ x2‟ hukum distributif

= 1 ˄ x2‟ hukum negasi

= x2‟ hukum identitas

Terbukti bahwa x1‟ = x2‟, atau terdapatlah dengan tunggal x‟ yang memenuhi hukum negasi.

2. Fungsi Boolean

Misal B = ⟨ ⟩ adalah aljabar Boole.

Suatu fungsi Boolean variabel adalah fungsi f : Bn → B

Fungsi Boolean sederhana adalah jika B = {0,1}. Jadi, f : {0,1}n → {0,1}.

Masukannya adalah {0,1}n dan keluaran fungsi adalah {0,1}

Operasi Not, And (dan), Or(atau) dalam logika dapat dipandang sebagai fungsi Boolean dari

{0,1}2 → {0,1}

Fungsi Not : {0,1} → {0,1} didefinisikan sebagai :

Not (x) = {

Fungsi itu biasanya ditulis ¬(x)

Fungsi And : {0,1}2 → {0,1} didefinisikan sebagai :

And (x,y) = {

Fungsi Or : {0,1}2 → {0,1} didefinisikan sebagai :

Or (x,y) = {

Contoh :

1. Nyatakan penghubung XOR (eksklusif Or) dalam fungsi {0,1}2 → {0,1}

Penyelesaian :

Penghubung XOR (simbol ⊕) mirip dengan “atau” (˅). Akan tetapi jika kedua kalimat

penyusunnya benar, maka hasilnya salah. Nilai kebenaran penghubung (⊕) dan ˅ dapat

dilihat pada tabel berikut :

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

p q p ˅ q p ⊕ q

T T T F

T F T T

F T T T

F F F F

Jika T dinyatakan dengan 1 dan F dinyatakan dengan 0, maka ⊕ dapat dinyatakan

dengan tabel masukan/keluaran dalam tabel berikut :

p q p ⊕ q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

p ⊕ q berharga 0 jika p = q dan berharga 1 jika p ≠ q

Jika XOR dinyatakan dengan fungsi {0,1}2 → {0,1}, maka : XOR {0,1}2 → {0,1}

didefinisikan sebagai XOR (p,q) = {

2. Perhatikan fungsi Boole f = {0,1}3 → {0,1} yang didefinisikan dengan aturan :

f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3) mod 2

Nyatakan f menggunakan tabel masukan/keluaran!

Penyelesaian :

F(1,1,1) = (1+1+1) mod 2 = 3 mod 2 = 1

F(1,1,0) = (1+1+0) mod 2 = 2 mod 2 = 0

Dst

Didapat tabel masukan/keluaran yang dinyatakan pada tabel berikut :

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Masukan Keluaran

x1 x2 x3 (x1 + x2 + x3) mod 2

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 0

Latihan Soal :

Diketahui fungsi Boole f = {0,1}3 → {0,1} yang didefinisikan sebagai

f(x1, x2, x3) = (x1‟x2)‟ (x1˅ x2). Tulislah tabel nilai fungsi untuk semua harga x1, x2, x3 yang

mungkin.

3. Ekspresi Boole

Ekspresi Boole dalam n buah variabel x1, x2, …, xn didefinisikan secara rekursif sebagai

berikut :

1. 0 dan 1 adalah ekspresi boole

2. x1, x2, …, xn masing-masing adalah ekspresi boole

3. Jika E1 dan E2 adalah ekspresi boole, maka E1 ˄ E2, E1 ˅ E2, E1‟ adalah ekspresi boole

Contoh :

1. Apakah ekspresi berikut merupakan ekspresi Boole dalam variabel x, y, z?

a. z

b. x ˅ y

c. (x ˄ y)‟ ˅ (z‟ ˄ x)

d. (x ˅ y) ˄ ( x‟ ˅ z) ˄ 1

Penyelesaian :

a. Menurut definisi (2), jelas bahwa z sendiri merupakan ekspresi Boole

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

b. Menurut definisi (2), x dan y merupakan ekspresi Boole. Oleh karena x dan y

masing-masing merupakan ekspresi Boole, maka menurut (3), x ˅ y juga merupakan

ekspresi Boole (definisi 3)

c. X dan y merupakan ekspresi Boole (definisi 2), maka (x ˄ y) merupakan ekspresi

Boole (definisi 3) sehingga (x ˄ y)‟ merupakan ekspresi Boole.

Selanjutnya x, y dan z merupakan ekspresi Boole (definisi 2), maka z‟ merupakan

ekspresi Boole (definisi 3) sehingga z‟ ˄ x merupakan ekspresi Boole.

Oleh karena (x ˄ y)‟ dan (z‟ ˄ x) masing-masing ekspresi Boole, maka (x ˄ y)‟ ˅ (z‟ ˄

x) merupakan ekspresi Boole juga.

d. (x ˅ y) ˄ ( x‟ ˅ z) ˄ 1 merupakan ekspresi Boole karena x, y,z dan 1 masing-masing

merupakan ekspresi Boole.

Dalam praktek, ekspresi Boole ˄ diganti dengan (.) atau dihilangkan sama sekali, jadi

notasi (c) dan (d) berbentuk (xy)‟ ˅ (z‟x) dan (x ˅ y)( x‟ ˅ z)1

2. Telitilah apakah kedua ekspresi Boole di bawah ini ekuivalen

E1 = xy ˅ xyz ˅ z dan E2 = xy ˅ z

Penyelesaian :

xy ˅ xyz ˅ z = xy (1 ˅ z) ˅ z hukum distributif

= xy.1 ˅ z hukum ikatan

= xy ˅ z hukum identitas

Oleh karena E2 bisa didapatkan dari E1, maka disimpulkan bahwa E1 = E2

Tabel masukan dan keluaran E1 dan E2 dapat diihat pada tabel berikut :

x y z xy xyz E1 = xy ˅ xyz ˅ z E2 = xy ˅ z

1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 1 1

1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Dalam tabel diatas tampak bahwa semua nilai fungsi E1 dan E2 sama. Itu berarti E1 = E2

Latihan Soal :

Diketahui ekspresi Boole dalam 3 variabel x, y, z sebagai E = x ˅ yz. Buatlah tabel fungsi

Boole yang sesuai dengan ekspresi E.

4. Bentuk Normal Disjunctive

Ekspresi Boole yang hanya terdiri dari satu variabel (atau komplemennya) disebut Literal.

Setengah dari nilai fungsi ekspresi yang berbentuk Literal akan bernilai 1 dan setengah

yang lain bernilai 0.

Contoh :

Buatlah tabel masukan/keluaran fungsi Literal f : {0,1}2 → {0,1} yang didefinisikan f(x,y)=y‟

Penyelesaian :

x y y‟

1 1 0

1 0 1

0 1 0

0 0 1

Dalam tabel diatas tampak bahwa setengah dari nilai fungsi (2 buah) berharga = 1 dan

setengah yang lain berharga = 0

Ekspresi Boole n variabel x1, … xn yang merupakan gabungan dari beberapa Literal yang

dihubungkan dengan “˄” disebut Minterm. Jadi, Minterm berbentuk :

dengan ai berharga 0 atau 1

adalah xi dan

Contoh :

Tentukan apakah ekspresi-ekspresi berikut merupakan minterm dalam 3 variabel x, y, z

a. xy‟z‟

b. xz‟

c. xyx‟z

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Penyelesaian :

a. Merupakan minterm dalam x, y, dan z karena memuat Literal x, y, dan z

b. Bukan minterm dalam x, y, dan z karena tidak memuat Literal y. Perhatikan bahwa xz‟

merupakan miterm dalam 2 variabel x dan z.

c. Bukan minterm karena x muncul dalam 2 literal

Gabungan minterm yang ekuivalen dengan suatu ekspresi Boole E dinamakan Bentuk

Normal Disjungtif (DNF = Disjunctive Normal Form). Kadang-kadang bentuk tersebut

dinamakan Bentuk Kanonik Minterm untuk E.

Contoh :

Buatlah tabel untuk ekspresi Boole E dalam 3 variabel x, y, z.

E = x‟yz‟ ˅ xy‟z‟ ˅ xy‟z ˅ xyz‟

Penyelesaian :

x y z x‟yz‟ xy‟z‟ xy‟z xyz‟ E

1 1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 1 0 1

1 0 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

E merupakan gabungan dari 4 minterm, masing-masing x‟yz‟, xy‟z‟, xy‟z dan xyz‟. Setiap

minterm (kolom) hanya memiliki tepat satu keluaran bernilai 1. Untuk minterm yang

berbeda, posisi nilai 1 tersebut juga pasti akan terletak pada baris yang berbeda. Oleh

karena E merupakan gabungan dari ke-4 minterm yang dihubungkan dengan “˅”, maka E

akan bernilai = 1 pada baris dimana salah satu minterm bernilai = 1.

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Latihan Soal :

1. Carilah ekspresi Boole dalam 3 variabel x, y, z yang memiliki tabel kebenaran yang

dinyatakan alam tabel berikut :

x y Z E

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

0 1 1 1

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 0

2. Jadikan ekspresi E = (x ˅ yz‟)(yz)‟ dalam bentuk DNF.

5. Rancangan Rangkaian Saklar

Misal A, B, … menyatakan saklar listrik dan misal A dan A‟ menyatakan saklar dengan

memberikan nilai 1 jika hidup dan nilai 0 dalam hal lain, juga sebaliknya. 2 buah saklar,

sebut A dan B dapat dihubungkan dengan kawat secara kombinasi seri atau paralel yang

hubungannyadapat dilihat pada gambar berikut.

A˄B menyatakan A dan B dihubungkan secara seri, sedangkan A˅B menyatakan A dan B

dihubungkan secara paralel.

Suatu rancangan rangkaian Boole berarti susunan dari kawat dan saklar dapat dibentuk

dengan pengulangan menggunalkan kombinasi seri dan paralel. Jadi dapat dinyatakan

dengan menggunakan hubungan ˄ dan ˅.

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Dalam rangkaian saklar, kita dapat memisalkan 1 dan 0 masing-masing menyatakan saklar

atau rangkaian hidup dan mati. Tabel berikut menyatakan keadaan rangkaian seri A˄B dan

rangkaian paralel A˅B

Contoh:

Rangkaian (1) pada gambar berikut dapat dituliskan dengan A˄(B˅A‟) dan rangkaian (2)

dengan (A˄B‟)˅((A‟˅C)˄B)

Misal rangkaian (1) pada gambar di atas sudah kita ketahui suatu rangkaian hidup, jika ada

aliran listrik dan mati jika tidak terdapat aliran listrik. Tabel kebenaran yang dibentuk untuk

A˄(B˅A‟) adalah sebagai berikut:

Jadi akan terdapat aliran listrik hanya jika A dan B hidup.

Latihan soal:

1. Tentukan tabel kebenaran yang dibentuk untuk (A˄B‟)˅((A‟˅C)˄B)

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

2. Tentukan pernyataan Boolean untuk tiap-tiap rangakaian pada gambar berikut:

3. Bentuk suatu rangakain utuk masing-masing pernyataan Boole berikut:

a. (A˄B)˅(A‟˄(B‟˅A˅B))

b. (A˅B)˄C˄(A‟˅B‟˅C‟)