BAB 11

GEOMETRI

DI BIDANG DAN RUANG

11.1 Koordinat Kartesius di Ruang

Koordinat Kartesius di Ruang

Sistem koordinat 3

dimensi dengan

sumbu− 𝑥, 𝑦, 𝑧.

Setiap titik dalam

bentuk (𝑥, 𝑦, 𝑧).

Bidang dan Oktan

Rumus Jarak

Pandang dua titik 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan

𝑃2 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 .

Jarak antara 𝑃 dan 𝑄 adalah

𝑃𝑄 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2 + 𝑧2 − 𝑧12

Bola adalah himpunan semua titik di ruang

yang memiliki jarak konstan (jari-jari) ke suatu

titik tertentu yang disebut pusat.

𝑥 − 𝑥12 + 𝑦 − 𝑦1

2 + 𝑧 − 𝑧12 = 𝑟2

11.2 Vektor

Vektor

Suatu vektor 𝑢 memiliki besar (panjang) 𝑢 dan arah.

Titik awal suatu vector biasa disebut ekor, sedangkan titik akhir disebut

kepala.

Vektor di bidang dituliskan sebagai 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2 , dengan 𝑢 = 𝑢12 + 𝑢22

dan di ruang sebagai 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 , dengan 𝑢 = 𝑢12 + 𝑢2

2 + 𝑢32.

Operasi pada Vektor: Jumlah

Misalkan 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 dan

Ԧ𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 .

Maka

𝑢 + Ԧ𝑣= 𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2, 𝑢3 + 𝑣3

Operasi pada Vektor:

Perkalian Skalar

Misalkan 𝑢 =𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 dan 𝑐

suatu konstanta real.

Maka

𝑐𝑢 = 𝑐𝑢1, 𝑐𝑢2, 𝑐𝑢3

Contoh

1. Jika 𝐴𝐵 =2

3𝐴𝐶 , nyatakan 𝑚 dalam 𝑢 dan Ԧ𝑣.

2. Tentukan tekanan di setiap tali.

Sifat Penjumlahan dan

Perkalian SkalarMisalkan 𝑢, Ԧ𝑣, 𝑤 tiga buah vektor dan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, maka:

1. 𝑢 + Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣 + 𝑢 (komutatif)

2. (𝑢 + Ԧ𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + ( Ԧ𝑣 + 𝑤) (asosiatif)

3. 𝑢 + 0 = 𝑢 dengan 0 =< 0, 0 >

4. 𝑢 + (−𝑢) = 0

5. 𝑎(𝑏𝑢) = (𝑎𝑏)𝑢 = 𝑏(𝑎𝑢)

6. 𝑎(𝑢 + Ԧ𝑣) = 𝑎𝑢 + 𝑎 Ԧ𝑣 (distributif)

7. (𝑎 + 𝑏)𝑢 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑢 (distributif)

8. 1𝑢 = 𝑢

Vektor Satuan dan Vektor Basis

Vektor dengan panjang 1 disebut vector satuan.

Jika Ԧ𝑠 adalah vector satuan dari 𝑢 maka Ԧ𝑠 =𝑢

𝑢.

Vektor satuan yang standar disebut vektor basis:

Di bidang: Ԧ𝑖 =< 1,0 >, Ԧ𝑗 =< 0,1 >

Di ruang: Ԧ𝑖 =< 1,0,0 >, Ԧ𝑗 =< 0,1,0 >, 𝑘 =< 0,0,1 >

Semua vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

dari vektor basis.

Di bidang:< 𝑢1, 𝑢2 >= 𝑢1Ԧ𝑖 + 𝑢2Ԧ𝑗

Di ruang:< 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 >= 𝑢1Ԧ𝑖 + 𝑢2Ԧ𝑗 + 𝑢3𝑘

11.3 Hasil Kali Titik

Hasil Kali Titik

Hasil kali titik adalah hasil kali dua vektor dengan

hasil skalar (BUKAN vektor).

Misalkan 𝑢 dan Ԧ𝑣 dua vektor.

Di bidang:

𝑢 =< 𝑢1, 𝑢2 > dan Ԧ𝑣 = < 𝑣1, 𝑣2 >𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2Di ruang:

𝑢 =< 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 > dan Ԧ𝑣 = < 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 >𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3

Sifat Hasil Kali Titik

Misalkan 𝑢, Ԧ𝑣, 𝑤 tiga buah vektor dan 𝑐 ∈ 𝑅, maka:

1. 𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣 ∙ 𝑢 (komutatif)

2. 𝑢 ∙ ( Ԧ𝑣 + 𝑤) = (𝑢 ∙ Ԧ𝑣) + (𝑢 ∙ 𝑤) (distributif)

3. c(𝑢 ∙ Ԧ𝑣) = (c𝑢) ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢 ∙ (𝑐 Ԧ𝑣)

4. 0 ∙ 𝑢 = 0

5. 𝑢 ∙ 𝑢 = 𝑢 2

6. 𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃, dengan 𝜃 sudut terkecil di antara

𝑢 dan Ԧ𝑣.

Dua vektor dikatakan saling tegak lurus (ortogonal), jika

sudut di antara mereka adalah𝜋

2.

7. 𝑢 ⊥ Ԧ𝑣 ↔ 𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 0

Vektor Proyeksi dari 𝑢 pada Ԧ𝑣

Vektor proyeksi dari 𝑢 pada Ԧ𝑣, pr𝑣𝑢, adalah

vektor 𝑤.

pr𝑣𝑢 =𝑢 ∙ Ԧ𝑣

Ԧ𝑣 2Ԧ𝑣

Contoh

1. Tentukan 𝑏 sehingga 8,6 dan 3, 𝑏 saling

tegak lurus.

2. Jika 𝐴 = (4,3), 𝐵 = (1,−1), 𝐶 = (6,−4), gunakan konsep vektor untuk menentukan

sudut 𝐴𝐵𝐶.

3. Cari vektor proyeksi 𝑢 =< −1, 5 > pada Ԧ𝑣 =< 3, 3 >.

4. Cari vektor proyeksi 𝑢 =< 4,5,3 > pada Ԧ𝑣 =< 2, 2, −6 >.

Persamaan Bidang di Ruang

Titik 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) terletak pada

bidang 𝑣.

Vektor 𝑛 =< 𝐴, 𝐵, 𝐶 > tegak lurus

terhadap bidang 𝑣 dan biasa

disebut sebagai vektor normal.

Apakah persamaan untuk bidang 𝑣?𝐴 𝑥 − 𝑥0 + 𝐵 𝑦 − 𝑦0 + 𝐶 𝑧 − 𝑧0 = 0

Contoh

1. Misalkan 𝑃 = (1, 2, 3) dan 𝑄 = (4, 4, −2). Tentukan persamaan bidang yang melalui titik

𝑃 dan tegak lurus terhadap vektor 𝑃𝑄.

2. Tentukan sudut antara bidang 3𝑥 − 4𝑦 + 7𝑧 = 5dan bidang 2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 8.

3. Buktikan jarak dari titik (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ke bidang

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝐷 adalah|𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝑧0−𝐷|

𝐴2+𝐵2+𝐶2.

11.4 Hasil Kali Silang

Hasil Kali Silang

Hasil kali silang dari 𝑢 dan Ԧ𝑣 didefinisikan sebagai:

𝑢 × Ԧ𝑣 = (𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2)Ԧ𝑖 − (𝑢1𝑣3 − 𝑢3𝑣1)Ԧ𝑗 + (𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1)𝑘

Sifat Hasil Kali Silang

Misalkan 𝑢 dan Ԧ𝑣 vektor di ruang dan 𝜃 sudut

terkecil di antara 𝑢 dan Ԧ𝑣. Maka:

1. (𝑢 × Ԧ𝑣) ⊥ 𝑢 dan (𝑢 × Ԧ𝑣) ⊥ Ԧ𝑣

2. 𝑢, Ԧ𝑣, dan (𝑢 × Ԧ𝑣) membentuk ”right handed

triple”

3. 𝑢 × Ԧ𝑣 = 𝑢 Ԧ𝑣 sin 𝜃

4. 𝑢 sejajar dengan Ԧ𝑣 ↔ 𝑢 × Ԧ𝑣 = 0

Sifat Aljabar Hasil Kali Silang

Misalkan 𝑢, Ԧ𝑣, 𝑤 tiga buah vektor dan 𝑐 ∈ 𝑅,

maka:

1. 𝑢 × Ԧ𝑣 = −( Ԧ𝑣 × 𝑢)

2. 𝑢 × ( Ԧ𝑣 + 𝑤) = (𝑢 × Ԧ𝑣) + (𝑢 × 𝑤)(distributif)

3. c(𝑢 × Ԧ𝑣) = (c𝑢) × Ԧ𝑣 = 𝑢 × (𝑐 Ԧ𝑣)

4. 0 × 𝑢 = 𝑢 × 0 = 0

5. 𝑢 × 𝑢 = 0

Contoh

1. Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik (1, −2, 3), (4, 1, −2), dan (−2,−3, 0).

2. Bagaimana cara memeriksa bahwa tiga vektor 𝑢, Ԧ𝑣, 𝑤terletak di bidang yang sama?

3. Tunjukkan bahwa 𝑢 × Ԧ𝑣 adalah luas jajar genjang berikut.

4. Tunjukkan bahwa |𝑤 ∙ 𝑢 × Ԧ𝑣 | adalah volume

”parallelepiped” berikut.

11.5 Fungsi Bernilai Vektor

dan Gerak Sepanjang Kurva

Gerak Sepanjang Kurva

Sebuah titik 𝑃 yang bergerak di

ruang sepanjang kurva. Posisi titik 𝑃pada saat 𝑡 dinyatakan oleh vektor

yang berekor di titik asal dan

berkepala di titik 𝑃.

Posisi tersebut dapat ditulis sebagai

Ԧ𝑟 𝑡 =< 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 >.

Ԧ𝑟 merupakan fungsi dengan variabel

𝑡 dan bernilai vektor.

Fungsi demikian disebut fungsi

bernilai vektor.

Fungsi Bernilai Vektor

Secara umum, fungsi bernilai vektor adalah:

Di bidang: Ԧ𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑡 Ԧ𝑖 + 𝑔 𝑡 Ԧ𝑗 =< 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 > dengan 𝑡 ∈ 𝑅

Di ruang: Ԧ𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑡 Ԧ𝑖 + 𝑔 𝑡 Ԧ𝑗 + ℎ 𝑡 𝑘 =< 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 >dengan 𝑡 ∈ 𝑅

Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor

Misalkan Ԧ𝐹 𝑡 =< 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 >.

Maka lim𝑡→𝑐

Ԧ𝐹 𝑡 =< lim𝑡→𝑐

𝑓 𝑡 , lim𝑡→𝑐

𝑔 𝑡 , lim𝑡→𝑐

ℎ 𝑡 >

Ԧ𝐹′ 𝑡 = limΔ𝑡→0

Ԧ𝐹 𝑡 + Δ𝑡 − Ԧ𝐹 𝑡

Δ𝑡.

Ԧ𝐹′ 𝑡 =< 𝑓′ 𝑡 , 𝑔′ 𝑡 , ℎ′ 𝑡 >.

Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡 =< 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 , 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 , ℎ 𝑡 𝑑𝑡 >.

Aturan Turunan

Misalkan Ԧ𝐹 𝑡 , Ԧ𝐺 𝑡 fungsi bernilai vektor, ℎ(𝑡)fungsi bernilai real, dan 𝑐 ∈ 𝑅, maka:

1. 𝐷𝑡[ Ԧ𝐹 𝑡 + Ԧ𝐺 𝑡 ] = Ԧ𝐹′ 𝑡 + Ԧ𝐺′ 𝑡

2. 𝐷𝑡[𝑐 Ԧ𝐹 𝑡 ] = 𝑐 Ԧ𝐹′ 𝑡

3. 𝐷𝑡[ℎ(𝑡) Ԧ𝐹 𝑡 ] = ℎ(𝑡) Ԧ𝐹′ 𝑡 + ℎ′(𝑡) Ԧ𝐹 𝑡

4. 𝐷𝑡[ Ԧ𝐹 𝑡 ∙ Ԧ𝐺 𝑡 ] = Ԧ𝐹′ 𝑡 ∙ Ԧ𝐺 𝑡 + Ԧ𝐹 𝑡 ∙ Ԧ𝐺′ 𝑡

5. 𝐷𝑡[ Ԧ𝐹 ℎ(𝑡) ] = Ԧ𝐹′ ℎ(𝑡) ℎ′(𝑡) (Aturan Rantai)

Contoh

Diberikan Ԧ𝐹 𝑡 = 𝑡2 + 𝑡 Ԧ𝑖 + 𝑒𝑡 Ԧ𝑗

a) Tentukan Ԧ𝐹′ 𝑡 dan Ԧ𝐹" 𝑡

b) Tentukan sudut di antara Ԧ𝐹′ 0 dan Ԧ𝐹" 0 .

c) Tentukan 𝐷𝑡 𝑡3 Ԧ𝐹 𝑡

d) Tentukan 01 Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡.

Gerak Sepanjang Kurva

Misalkan 𝑡 menyatakan waktu dan

titik 𝑃 memiliki koordinat 𝑥 = 𝑓 𝑡 ,

𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑧 = ℎ(𝑡).

Vektor posisi:

Ԧ𝑟 𝑡 =< 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 >

Vektor kecepatan:

Ԧ𝑣 𝑡 = Ԧ𝑟′ 𝑡 =< 𝑓′ 𝑡 , 𝑔′ 𝑡 , ℎ′ 𝑡 >

Laju:

Ԧ𝑣 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 2 + 𝑔′ 𝑡 2 + ℎ′ 𝑡 2

Vektor percepatan:

Ԧ𝑎 𝑡 = Ԧ𝑟" 𝑡 =< 𝑓" 𝑡 , 𝑔" 𝑡 , ℎ" 𝑡 >

Contoh

1. Sebuah titik 𝑃 bergerak berlawanan arah jarum jam

sepanjang lingkaran berjari-jari 𝑟 dengan laju 𝜔 rad/detik.

Bila kedudukan awalnya di (𝑟, 0), tentukan dan sketsa

kecepatan dan percepatan titik pada saat 𝑡 = 0,5.

2. Sebuah titik 𝑃 bergerak dengan posisi setiap saat (𝑥, 𝑦) =(3 cos 𝑡, 2 sin 𝑡).

a) Gambarkan grafik lintasan titik 𝑃 dan arahnya.

b) Tentukan kecepatan, laju, dan percepatan titik.

c) Tentukan saat di mana laju titik maksimum dan laju

pada saat tersebut.

d) Tunjukkan bahwa vektor percepatan titik selalu

menuju titik asal.

Contoh (2)

3. Sebuah titik 𝑃 bergerak sepanjang kurva yang

didefinisikan melalui persamaan parameter 𝑥 =

cos 𝑡, 𝑦 = sin 𝑡, 𝑧 =𝑡

𝜋untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.

a) Sketsalah lintasan pergerakan titik.

b) Tentukan kecepatan, laju, dan percepatan titik

pada saat 𝑡.

11.6 Garis di Ruang

Persamaan Garis di Ruang

Diberikan titik 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) dan vektor

Ԧ𝑣 =< 𝑎, 𝑏, 𝑐 > yang biasa disebut vektor

arah.

Apakah persamaan garis yang melalui titik

𝑃 dan sejajar dengan vektor Ԧ𝑣?

Persamaan parameter:

𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡, 𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡, 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅

Persamaan simetrik:𝑥 − 𝑥0𝑎

=𝑦 − 𝑦0𝑏

=𝑧 − 𝑧0𝑐

Contoh

1. Cari persamaan simetrik dari garis yang melalui titik

(2, 5, −1) dan sejajar vektor < 4,−3, 2 >.

2. Cari persamaan garis yang tegak lurus bidang 4𝑥 +5𝑦 + 4𝑧 = 28 dan melalui titik (0, 0,0).

3. Cari persamaan garis yang merupakan perpotongan

antara dua bidang:

2𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = −14 dan 4𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 28.

4. Diberikan sebuah kurva di ruang dengan persamaan

Ԧ𝑟 𝑡 =< 𝑡,𝑡2

2,𝑡3

3>. Carilah persamaan garis singgung

pada kurva pada saat 𝑡 = 2.

11.8 Permukaan di Ruang

Permukaan di Ruang

Grafik persamaan dalam 3 variabel

biasanya merupakan suatu permukaan.

Suatu permukaan dapat disketsa dengan

menggambarkan irisan dengan ketiga

bidang koordinat terlebih dahulu.