Minggu 9MA2151 Simulasi dan Komputasi Matematika

Model SIR

Merupakan model penyebaran penyakit yang diperkenalkan olehKermack dan McKendrick pada 1927.

Terdapat 3 populasi dalam model ini:

Susceptible (S) yang tidak imun terhadap penyakit.

Infected (I) yang memiliki penyakit dan dapat menyebarkannya padaorang lain.

Recovered (R) yang telah sembuh dari penyakit dan kemudian imunterhadap penyakit tersebut.

Influenza dalam Lingkungan Tertutup

Pandang penyebaran penyakit dalam lingkungan tertutup, di mana tidak ada kelahiran, kematian, imigrasi, atau emigrasi.

Dalam British Medical Journal 1978, sebuah artikel memberikan suatucontoh kasus: influenza pada suatu sekolah berasrama. Pada 22 Januari, seorang siswa terkena flu, yang siswa lainnya belum pernahterkena. Pada akhir wabah di 4 Februari, 512 dari 763 siswa di sekolahtersebut telah tertular flu.

Model SIR untuk R

Akan dicari persamaan diferensial untuk laju perubahan setiap populasiSIR.

Asumsikan bahwa setelah waktu tertentu, individu yang memiliki flu akan sembuh. Dengan demikian, laju perubahan banyaknya recovered sebanding dengan banyaknya infected.

Dengan konstanta pembanding: laju kesembuhan (a), konstruksipersamaan diferensial banyaknya recovered.

Dalam model SIR, laju kesembuhan = 1/(hari terinfeksi).

Model SIR untuk S

Siswa susceptible akan terinfeksi influenza dengan melakukan kontak terhadapsiswa infected.

Banyaknya kemungkinan kontak adalah hasil kali ukuran kedua populasi, SI.

Karena tidak ada siswa baru, banyaknya susceptible akan berkurang.

Laju perubahan banyaknya susceptible sebanding dengan SI.

Apakah laju perubahan S positif, nol, atau negatif?

Dengan r > 0 konstanta pembanding (sering disebut konstanta transmisi), berikanpersamaan diferensial untuk laju perubahan S.

Model SIR untuk I

Hanya susceptible bisa menjadi infected, dan infected akhirnya akansembuh. I memperoleh apa yang hilang dari S; dan yang hilang dari I, akan ditambahkan pada R.

Akibatnya, persamaan diferensial untuk laju perubahan banyaknyainfected adalah:

𝑑𝐼

𝑑𝑡= −

𝑑𝑆

𝑑𝑡−𝑑𝑅

𝑑𝑡

Berikan persamaan diferensial untuk laju perubahan banyaknyainfected dalam S, I, R, konstanta transmisi (r), dan laju kesembuhan (a).

Model SIR

susceptibles(0) = 762

transmission_constant = 0.00218

get_sick = transmission_constant * susceptibles * infecteds

infecteds(0) = 1

recovery_rate = 0.5

recover = recovery_rate * infecteds

recovereds(0) = 0

Hasil Simulasi

Model SARS

Marc Lipsitch membangun model penyebaran severe acute respiratory syndrome (SARS) dan menggunakanmodel tersebut untuk melihat efek usaha mereduksi penyebaran SARS.

Usaha yang dilakukan meliputi karantina individu exposed dari populasi susceptible dan and isolasi individuyang terinfeksi SARS.

Model Lipsitch merupakan perluasan dari model SEIR (susceptible-exposed-infected-recovered) yang memilikipopulasi exposed (E): individu yang terinfeksi penyakit, namun belum dalam tahap menularkan.

Model Lipsitch memodifikasi SEIR dengan memasukkan unsur karantina, isolasi, and kematian.

Beberapa asumsi yang menyederhanakan:

1. Tidak ada kelahiran.

2. Kematian hanya terjadi oleh SARS.

3. Banyaknya kontak dari individu infected dengan individu susceptible kontan dan tidak tergantung padakepadatan populasi.

4. Untuk individu susceptible yang terekspos dengan penyakit, konstanta karantina (q) sama baik untuk individunon-infected dan infected.

5. Karantina dan isolasi efektif. Seseorang dalam karantina atau isolasi tidak dapat menyebarkan penyakit atautidak dapat terkena penyakit.

Populasi dalam Model Lipsitch

• susceptible (S) do not have but can catch SARS from infectious individuals.

• susceptible_quarantined (SQ) do not have SARS, quarantined because of exposure,so cannot catch SARS.

• exposed (E) have SARS, no symptoms, not yet infectious.

• exposed_quarantined (EQ) have SARS, no symptoms, not yet infectious, quarantinedbecause of exposure.

• infectious_undetected (IU) have undetected SARS, infectious.

• infectious_quarantined (IQ) have SARS, infectious, quarantined, cannottransmit.

• infectious_isolated (ID) have SARS, infectious, isolated, cannot transmit.

• SARS_death (D) are dead due to SARS.

• recovered_immune have recovered from SARS, immune to further infection.

Diagram Model Lipsitch

Beberapa Pertanyaan

Manakah situasi yang mungkin terjadi

a. Seseorang yang susceptible meninggal karena SARS.

b. Seseorang yang mengidap SARS namun undetected dapat sembuhtanpa menjadi infectious.

c. Seseorang dalam karantina dan didiagnosa mengidap SARS sembuhtanpa mengalami isolasi.

d. Seseorang yang telah sembuh dari SARS kembali menjadi infected.

e. Seseorang ditransfer dari isolasi ke karantina.

Parameter Model Lipsitchb probability that a contact between person in infectious_undetected (IU) and someone in susceptible (S) results in transmission of SARS.

k mean number of contacts per day someone from infectious_undetected (IU) has. By assumption, the value does not depend on population density.

m per capita death rate.

N0 initial number of people in the population.

p fraction per day of exposed people who become infectious; this fraction applies to the transitions from exposed (E) to infectious_undetected (IU) and from exposed_quarantined (EQ) to infectious_quarantined (IQ). Thus, 1/p is the number of days in the early stages of SARS for a person to be infected but not infectious.

q fraction per day of individuals in susceptible (S) who have had exposure to SARS that go into quarantine, either to category susceptible_quarantined (SQ) or to exposed_quarantined (EQ).

u fraction per day of those in susceptible_quarantined (SQ) who are allowed to leave quarantine, returning to the susceptible (S) category; thus, 1/u is the number of days for a susceptible person to be in quarantine.

v per capita recovery rate; this rate is the same for the transition from category infectious_undetected (IU), infectious_isolated (ID), or infectious_quarantined(IQ) to category recovered_immune.

w fraction per day of those in infectious_undetected (IU) who are detected and isolated and thus transferred to category infectious_isolated (ID).

Menghitung Parameter

a. Suppose it takes an average of 5 days for someone who has SARS but is not infectious to progress to the infectious stage. Give the value of p along with its units.

b. Give the formula for the rate of change of exposed individuals who are not quarantined to move into the phase of being infectious and undetected, from E to IU.

c. Give the formula for the rate of change of exposed individuals who are quarantined to move into the phase of being infectious and quarantined, from EQ to IQ.

d. Suppose 10% of the people who have been in quarantine but who do not have SARS are allowed to leave quarantine each day. Give u and the average number of days for a susceptible person to be in quarantine.

e. Suppose the duration of quarantine is 16 days. If someone has not developed symptoms of SARS during that time period, he or she may leave quarantine. Give the corresponding parameter and its value.

f. Give the formula for the rate of change of susceptible, quarantined individuals leaving quarantine, from SQ to S.

Parameter dan Model Seseorang dapat meninggalkan infectious_undetected (IU) ke

• recovered_immune dengan laju v,

• SARS_death dengan laju m, atau

• infectious_isolated (ID) dengan laju w.

Total laju perubahan untuk meninggalkaninfectious_undetected (IU) adalah (v + m + w)/day.

Diasumsikan bahwa k banyaknya kontak yang dilakukanseorang undetected infectious, tanpa memandang kepadatanpopulasi.

Jike N0 adalah ukuran populasi awal, k/N0 adalah rasio kontakper hari. Karena b adalah peluang penyebaran penyakit, (k/N0)b merupakan konstanta transmisi.

Seperti dalam Model SIR model, IUS merupakan banyaknyakontak yang mungkin. Akibatnya, (k/N0)b IUS = kbIUS / N0adalah banyaknya kasus SARS baru setiap harinya.

Dari kasus baru tersebut, q akan masuk keexposed_quarantined (EQ), dan sisanya, (1 – q), ke exposed (E).

Bilangan Reproduktif

Model Lipsitch bertujuan untuk mengevaluasi keefektifan karantina dan isolasi.

Untuk itu didefinisikan bilangan reproduktif R, yang merupakan ekspetasi dari kasusinfeksi sekunder yang terjadi dari kasus infeksi rata-rata pada saat wabah terjadi.

Bilangan reproduktif dasar, R0, adalah bilangan reproduktif awal pada saat hanya ada1 orang terinfeksi dan yang lain susceptible.

Contoh.

R0 = 3 bermakna bahwa 1 orang yang terinfeksi akan mengakibatkan 3 orang terinfeksi. Bilangan ini mengakibatkan pertumbuhan secara eksponensial dari banyak orang terinfeksi.

Amat penting untuk menjaga R < 1, karena tidak akan ada wabah. Untuk R > 1, akanterjadi wabah.

Bilangan Reproduktif

Seseorang yang undetected infectious memiliki kontak dengan k orang per hari. Dengan peluang transmisi b, terdapat kb kasus seunder per hari sebagai akibat dariorang pertama yang terinfeksi.

Jadi, untuk durasi D hari, bilangan reproduksi dasar, R0, adalah kbD.

Karena rata-rata durasi seseorang terinfeksi adalah 1/(v + m + w) hari, tanpakarantina, seseorang yang terinfeksi akan mengakibatkan kasus sekunder sebanyakR0 = kb/(v + m + w).

Namun demikian, ketika q bagian dari populasi masuk karantina dan (1 - q) tidakmasuk karantina, bilangan reproduktif menjadi

Semakin besar q, R0 akan semakin kecil, demikian juga efek penyakit..