Minggu 11MA2151 Simulasi dan Komputasi Matematika

Model Berdasarkan Data

Model Berdasarkan Data

Kadangkala kita dituntut untuk membangun suatumodel berdasarkan data (yang terbatas).

Untuk melakukan ini, perlu diketahui beberapa fungsiyang sering digunakan untuk membangun model.

Fungsi Linear

x

y

x

yb

m: gradien

b: titik potong dengan sumbu y

Merupakan model paling sederhana

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Fungsi Kuadrat

x

y

merupakan kasus khusus dari…

01

2

2)( axaxaxf

Fungsi Polinom

x

y=f(x)

n: derajat01

1

1 ...)( axaxaxaxf n

n

n

n

y

Fungsi Akar

x

y=f(x)

Misalnya digunakan

dalam menentukan

jarak antara 2 titik

(x1,y1 ) and (x2,y2 ):

2

21

2

21 )()( yyxx

y

Fungsi Eksponensial

t

y=P(t)

rtkaPtP 0)(

y

Fungsi Logaritmik

x

y

Biasanya digunakan

untuk data yang

bertumbuh secara

eksponensial.

Misalnya, skala Richter

untuk gempa.

Fungsi Logistik

t

P(t)

00

0

)()(

PePM

MPtP

rt

PM

Pr

dt

dP

1

Fungsi Trigonometri

• Digunakan untuk memodelkandata yang periodik

• Misal: suhu laut, kadar guladarah

• Biasanya digunakan fungsi cos, karena

sin 𝜃 = cos 𝜃 −𝜋

2

Model Empirik

Model empirik dibuat hanya berdasarkan data, dan digunakan untukmeramalkan, bukan menjelaskan, suatu sistem.

Model empirik memuat suatu fungsi yang menangkap trend dari data.

Peramalan dengan Model Empirik

Kita dapat menggunakan model empirik untuk meramalkan perilakudi mana data tidak ada. Namun, model empirik tidak dapatdiaplikasikan di luar selang data yang dimiliki.

Data membangun model. Akibatnya di luar selang data, kita tidakdapat memastikan bahwa data akan berperilaku serupa dengan hasilobservasi dalam selang data.

Regresi Linear

Regresi Linear

Regresi linear juga disebutlinear least squares

Untuk memperoleh parameter m dan b dalam y = ax + b,

diminimumkan perbedaan antara model dengan data yang

diamati.

x

y

(x1, y1)

(x2, y2)

(x3, y3)

Linear Least Squares: Solusi Numerik

Kalkulus akan memberikan:

22 )( ii

iiii

xxn

yxyxnm

22

2

)( ii

iiiii

xxn

xyxyxb

Contoh

Model Empirik Linear

ai disebut parameter dari model.

Model yang tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk ini disebutnonlinear.

nnxaxaxay ...2211

Model Non-linear (1 Suku)

Transformasi Himpunan Data

Untuk mengubah dari grafik cekung ke atas ke garis lurus:

1. Lakukan operasi pada x untuk memperoleh nilai yang lebihbesar, dan efeknya lebih banyak pada nilai x yang lebih besar, atau

2. Lakukan operasi pada y yang menghasilkan nilai yang lebihkecil, dan efeknya lebih banyak pada nilai y yang lebih besar.

Plot himpunan data dengan tranformasi x x2

Plot himpunan data dengan tranformasi x x3

Plot himpunan data dengan tranformasi x x4

Plot himpunan data dengan tranformasi x x3.5

5.3988186.0393131.0 xy

Barisan Transformasi untuk z>1

:

-1/z2

-1/z

-1/z

ln(z)

z

z

z2

z3

:

Transformasi untuk y pada Model 1 Suku

Transformasi himpunan data

Dari cekung ke bawah ke garis lurus:

1. Lakukan operasi pada x untuk memperoleh nilai yang lebih kecil, dan efeknya lebih banyak pada nilai x yang lebih besar, atau

2. Lakukan operasi pada y yang menghasilkan nilai yang lebih besar, dan efeknya lebih banyak pada nilai y yang lebih besar.

u = -5.46747 + 0.267834 z y = (–5.48629 + 0.267869x)5/6

Galat Komputasional

Kesalahan Data

Data dapat kita gunakan sebagai dasar pembuatan model maupun untukmemverifikasi model yang telah kita buat.Namun demikian, terdapat berbagai sumber terjadinya kesalahan dalamdata.Beberapa contoh:• Sensor yang mengalami malfungsi sehingga memberikan data yang tidak

valid. • Keakuratan sensor tidak cukup baik untuk model.• Alat pengukur yang tidak dikalibrasi.• Kesalahan pembacaan hasil pengukuran.• Kesalahan pencatatan hasil pengukuran.

Kesalahan Model

Peneliti dapat melakukan kesalahan dalam memformulasikan suatumodel:

• Asumsi yang terlalu menyederhanakan.

• Kesalahan penentuan persamaan/pertidaksamaan.

• Tidak memahami faktor penting dalam fenomena yang dimodelkan.

Hal tersebut mengakibatkan hasil pemodelan amat jauh berbedadengan kenyataan yang terjadi.

Kesalahan Implementasi

Dapat terjadi kesalahan logika dalam mengimplementasikan model kedalam program komputer.

Pada tahun 1999, pesawat luar angkasa Mars Climate Orbiter hilangkarena Lockheed Martin Corp. membangun badan pesawat dan memprogram sistem pengontrol badan pesawat dengan menggunakansatuan Inggris seperti pon dan kaki, sementara jet pendorong yang diproduksi NASA dibangun dengan menggunakan satuan metrikseperti Newton dan meter.

Bilangan Floating Point dan Notasi EksponensialBilangan real biasa disebut floating-point dan diekspresikan dengan ekspansidesimal.

Notasi eksponensial merepresentasikan bilangan floating-point sebagai hasilkali dengan pangkat 10. Dengan a bilangan desimal dan n bilangan bulat, aenmerepresentasikan a × 10n. Bilangan bulat yang diperoleh dengan titikdecimal dari a disebut significand atau mantissa, dan n disebut eksponen.

Contoh:

9.843600e02 bermakna 9.843600 × 102 = 984.36 = 0.98436 × 103. Dengandemikian significand adalah 98436 dan eksponen adalah 3.

Selain itu, biasa digunakan 0 atau 1 merepresentasikan tanda + atau –.

Digit Significant

Bilangan dalam notasi eksponensial yang dinormalisasi memiliki titikdesimal tepat sebelum digit tak nol pertama.

Digit significant dari suatu bilangan adalah semua digit tak nol setelahtitik decimal dalam notasi eksponensial yang dinormalisasi.

Contoh:

Dalam 0.98436 × 103 digit significant adalah 9, 8, 4, 3, dan 6.

Dalam 003,704,000 = 0.3704 × 107 digit significant adalah 3, 7, 0, dan 4.

Presisi

Presisi dari suatu bilangan adalah banyaknya digit significant pada saat bilangandiekspresikan dalam notasi eksponensial dinormalisasi.

Magnitude dari suatu bilangan adalah 10n pada saat bilangan diekspresikan dalamnotasi eksponensial dinormalisasi.

Contoh:

0.3704 × 107 memiliki presisi 4 dan magnitude 107.

Dalam C and C++, presisi dari bilangan bertipe float (sering disebut single-precision number) adalah 6 atau 7 digit, dengan magnitude di antara 10–38 sampai 1038. Sedangkan bilangan bertipe double (double-precision number) memiliki presisi 14 atau 15 dan magnitude dari 10–308 sampai 10308.

Namun demikian, tipe data double memakan memori dua kali lipat tipe data float.

Galat Mutlak dan Relatif

Contoh

Misalkan suatu komputer memiliki presisi 3 dan akan melakukan truncates(memotong) significand ke hanya 3 digit.

Pandang (0.356 × 108)(0.228 × 10–3) = (0.356)(0.228)(108)(10–3)

= 0.081168 × 105

Dinormalisasi, kita peroleh correct = 0.81168 × 104.

Karena presisi adalah 3, result = 0.811 × 104.

Galat mutlak adalah:

|correct – result| = |0.81168 × 104 – 0.811 × 104 | = 0.00068 × 104 = 6.8

Galat relative adalah:

(0.00068 × 104)/(0.81168 × 104) = 0.0008378 = 0.08378%

Galat Pembulatan

Contoh:Misalkan presisi 3.0.81168 × 104 and 0.81158 × 104 dibulatkan ke atas ke 0.812 × 104

0.81138 × 104 dibulatkan ke bawah ke 0.811 × 104.

Assignment

variable = expression

Contoh:

x = 1.0/3.0;

Galat pembulatan terjadi karena kurangnya bits untuk menyimpan keseluruhan bilanganfloating point sehingga result diaproksimasi ke bilangan terdekat yang dapatdirepresentasikan.

Overflow terjadi karena kurangnya bits untuk mengekspresikan suatu nilai dalamkomputer.

Underflow terjadi karena hasil komputasi terlalu kecil bagi komputer untukdirepresentasikan.

Galat Aritmetika

Bagaimana dengan perkalian dan pembagian?