1

ANALISIS LANGKAH PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN

ALJABAR

Oleh:

Ninik Supriyati, S.Si., M.Pd.

Widyaiswara Muda BDK Surabaya

ABSTRAK

Kesalahan dalam menyelesaikan Pertidaksamaan Aljabar banyak terjadi

terkait dengan objek matematika meliputi fakta, konsep, prinsip, dan operasi.

Untuk itu peserta diklat yang terdiri dari guru matematika perlu memahami materi

pertidaksamaan Aljabar serta langkah penyelesaiannya. Langkah-langkah

penyelesaian yang diberikan dalam tulisan ini diharapkan dapat memberikan

wawasan kepada guru matematika dalam menyelesaikan pertidaksamaan Aljabar.

Kesalahan yang sering terjadi karena kurang teliti dalam mencermati soal

sehingga tidak menuliskan fakta secara lengkap yang berakibat pada kesalahan

berikutnya yaitu pada konsep, prinsip, dan operasi. Kesalahan yang dilakukan

peserta diklat dapat diminimalisir dengan melakukan diklat atau pembinaan yang

intensif melalui KKG/MGMP. Hal ini dapat dilakukan bila ada dukungan penuh

dari institusi.

Kata Kunci: Pertidaksamaan Aljabar, kesalahan, langkah penyelesaian.

Pendahuluan

Pembahasan tentang Pertidaksamaan Aljabar sebenarnya bukan hal yang baru,

namun dari penelitian yang penulis lakukan sebelumnya (Analisis Kesalahan

Pertidaksamaan Aljabar, 2010) terhadap peserta Diklat Guru Matematika

Madrasah Aliyah dan alumninya yang tinggal di Surabaya, para guru melakukan

kesalahan dalam menyelesaikan Pertidaksamaan Aljabar. Kesalahan tersebut

banyak terjadi pada konsep, prinsip, dan operasi. Faktor penyebab kesalahan

antara lain pada fakta, konsep, dan prinsip. Faktor penyebab kesalahan karena

lupa, lemah dalam memahami konsep terutama soal pertidaksamaan aljabar terkait

dengan nilai mutlak, semesta himpunan, dan deret.

Kesalahan ini diharapkan dapat diminimalisir dengan cara melakukan

pelatihan-pelatihan dan pendampingan untuk guru dalam upaya untuk

peningkatan kompetensi materi substansi matematika. Adanya sertifikasi guru,

2

pemerintah berharap guru menjadi lebih profesional. Salah satu ciri guru

profesional selain mampu dalam strategi pembelajarannya juga terkait dengan

penguasaan materi substantif matematika meliputi penguasaan terhadap objek-

objek matematika. Objek matematika menurut Soedjadi (2000: 13) ada 4 (empat),

yaitu: fakta, konsep, operasi, dan prinsip. Keempat objek ini seharusnya dipahami

setiap guru sehingga dapat mengidentifikasi soal atau permasalahan. Dapatkah

Anda membedakan dan yang hasilnya sama, yaitu 1?

Pemahaman guru yang salah terhadap konsep matematika kemudian

diajarkannya kepada peserta didik akan terbawa oleh siswa sampai ke jenjang

pendidikan berikutnya, dan akan lebih fatal lagi kalau siswa itu nantinya

berprofesi sebagai guru. Akibatnya kesalahan yang sama akan terulang kembali.

Oleh karena itu, guru perlu didorong untuk meningkatkan kompetensinya dengan

memperbaiki kesalahan konsep yang dimilikinya.

Permasalahan yang diangkat dalam penulisan ini tentang bagaimana

penyelesaian pertidaksamaan Aljabar. Diharapkan dalam pembahasan ini dapat

memberikan kontribusi tentang langkah praktis penyelesaian Pertidaksamaan

Aljabar sehingga kesalahan dalam penyelesaian soal dapat dihindari.

Bentuk Pertidaksamaan Aljabar

Pertidaksamaan Aljabar sangat mudah dikenali dengan melihat tanda

atau . Permasalahan sering terjadi ketika pernyataan berbentuk kalimat yang

menarasikan pertidaksamaan aljabar dan biasanya disajikan dalam soal cerita,

contohnya: jumlah dua bilangan real yang tidak lebih dari 20. Cara menuliskan

dalam kalimat matematika , dengan .

Sifat Umum pertidaksamaan Aljabar:

a. Jika a > b dan c suatu konstanta, maka a ± c > b ± c;

b. Jika a > b dan c > 0, maka a . c > b . c dan

;

c. Jika a > b dan c < 0, maka a . c < b . c dan

;

3

d. Jika a < b < 0, maka untuk bilangan bulat genap positif;

e. Jika a > b > 0, maka untuk bilangan bulat genap positif;

f. Jika a > b, maka untuk bilangan bulat genap positif.

Bentuk pertidaksamaan Aljabar kadang-kadang terdiri dari varibel dalam

nilai mutlak. Contoh: |

| < 1 , .

Objek Dasar Matematika

Pemahaman tentang objek-objek matematika sangat diperlukan agar guru dapat

mengidentifikasi materi yang akan disampaikan ke peserta didik. Soedjadi (2000:

13) menjelaskan bahwa objek dasar yang dipelajari dalam matematika adalah

abstrak, sering juga disebut objek mental. Objek-objek itu merupakan objek

pikiran. objek dasar itu meliputi (1) fakta, (2) konsep, (3) operasi ataupun relasi

dan (4) prinsip. Suatu pola dan struktur matematika pun tersusun atas objek dasar

itu. Penjelasan objek dasar di atas sebagai berikut:

1. Fakta adalah suatu konvensi atau kesepakatan berupa kata-kata maupun

simbol-simbol tertentu. Fakta sebagai objek matematika sebagai sesuai yang

mudah menerimanya, ada dalam benak, seperti lambang bilangan, sudut, dan

notasi-notasi matematika lainnya. Contoh: Dalam matematika “7” merupakan

simbol yang dihubungkan dengan perkataan “tujuh” simbol “+” adalah simbol

yang dihubungkan dengan operasi penjumlahan dan “∆” dipahami sebagai

simbol segitiga;

2. Konsep adalah ide abstrak yang dibentuk oleh fakta dan dapat digunakan untuk

menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek sebagai contoh dan

bukan contoh. “Lingkaran” adalah nama suatu konsep abstrak. Dengan konsep

4

itu sekumpulan objek dapat digolongkan sebagai contoh lingkaran atau bukan

lingkaran;

3. Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan

matematika yang lain (Soedjadi, 2000: 15). Contoh operasi : “penjumlahan”,

“pengurangan”, “perkalian” dan “pembagian”. Operasi dalam matematika pada

dasarnya merupakan suatu aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu

elemen atau lebih elemen yang diketahui. Elemen tunggal yang dimaksud

adalah hasil operasi, sedangkan satu elemen atau lebih elemen yang diketahui

adalah objek yang dioperasikan. Dalam matematika dikenal macam-macam

operasi, yaitu : operasi unair, operasi biner, operasi ternier dan sebagainya

tergantung dari banyaknya elemen yang dioperasikan. Penjumlahan termasuk

operasi biner, karena ada dua elemen yang dioperasikan;

4. Prinsip adalah suatu hubungan antara dua atau lebih objek-objek matematika.

Objek-objek matematika yang dihubungkan itu mungkin terdiri dari beberapa

fakta, beberapa konsep yang dikaitkan dengan suatu relasi ataupun operasi.

Prinsip dapat berupa “aksioma”, “teorema”, “sifat” dan sebagainya.

Langkah-langkah Menyelesaikan Soal Matematika

Menurut Polya (1957), langkah-langkah menyelesaikan soal sebagai berikut:

1. Memahami Masalah (Understanding the Problem)

Pada langkah ini diawali dengan pengenalan terhadap apa yang tidak diketahui

atau apa yang ingin didapatkan. Selanjutnya pemahaman apa yang diketahui

termasuk data apa yang tersedia, kemudian melihat apakah data yang tersedia

5

mencukupi untuk menentukan apa yang ingin didapatkan. Memahami masalah

berarti mampu menuliskan apa yang diketahui serta apa yang ditanyakan oleh

soal;

2. Merencanakan Penyelesaian (Devising a Plan)

Rencana pemecahan masalah dapat disusun ketika seseorang memiliki

kemampuan untuk melihat hubungan antara data yang tersedia dengan data

yang tidak diketahui atau yang dicari. Selanjutnya menyusun sebuah rencana

pemecahan masalah dengan memperhatikan atau mengingat kembali

pengalaman sebelumnya tentang masalah-masalah yang berhubungan. Pada

langkah ini diharapkan dapat membuat suatu model matematika untuk

selanjutnya dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan-aturan matematika;

3. Menyelesaikan Masalah Sesuai Rencana (Carrying Out The Plan)

Rencana penyelesaian yang telah dibuat sebelumnya, kemudian dilaksanakan

secara cermat pada setiap langkah. Rencana penyelesaian soal yang telah

dibuat pada langkah sebelumnya, diharapkan memperhatikan prinsip-

prinsip/aturan-aturan pengerjaan yang ada untuk mendapatkan hasil

penyelesaian yang benar. Kesalahan jawaban model dapat mengakibatkan

kesalahan dalam menjawab permasalahan soal. Untuk itu, pengecekan pada

setiap langkah penyelesaian harus selalu dilakukan untuk memastikan

kebenaran jawaban tersebut;

4. Mengecek Kembali Hasil Penyelesaian (Looking Back)

6

Hasil penyelesaian soal perlu diperiksa kembali untuk memastikan apakah

penyelesaikan tersebut sesuai dengan yang diinginkan dalam soal atau tidak.

Apabila hasil yang didapat tidak sesuai dengan yang diminta, maka perlu

pemeriksaan kembali atas setiap langkah yang telah dilakukan untuk

mendapatkan hasil sesuai dengan masalahnya, dan melihat kemungkinan lain

yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan soal tersebut. Dari pemeriksaan

tersebut maka berbagai kesalahan dapat dikoreksi kembali sehingga mendapat

jawaban yang benar sesuai dengan soal yang diberikan.

Oleh sebab itu, dalam menyelesaikan soal khususnya yang berbentuk

uraian dapat ditempuh langkah-langkah sebagai berikut:

1. Membaca soal dengan cermat;

2. Memisalkan dan mengungkapkan: apa yang diketahui dalam soal, apa yang

ditanya, operasi apa yang diperlukan, dan bagaimana langkah-langkah

pengerjaannya;

3. Membuat model matematika dari soal (khususnya bila dalam bentuk soal

cerita); dan

4. Menyelesaikan soal.

Berkaitan dengan soal cerita pertidaksamaan aljabar, Soedjadi (1995)

menyusun tahap-tahap yang harus dikerjakan dalam menyelesaikan soal cerita,

yaitu:

1. Memisalkan sesuatu yang belum diketahui;

2. Menentukan kalimat matematika yang cocok;

3. Menyelesaikan model;

4. Menyelesaikan soal aslinya.

Berdasarkan uraian di atas, untuk menganalisis jawaban subjek dalam

menyelesaikan soal cerita yang terkait dengan petidaksamaan aljabar dapat

7

dilakukan dengan cara menganalisis langkah-langkah penyelesaian soal cerita

yang dikerjakan oleh subjek.

Hudoyo (1985:2) menyatakan bahwa memahami/mengerti masalah berarti

mengerti: 1) apa yang diketahui/ditanyakan; 2) apa data yang diketahui; 3)

bagaimana syarat-syarat. Memahami soal/masalah berarti siswa mengerti isi serta

makna kata-kata, istilah/simbol, kalimat yang ada dalam soal cerita tersebut.

Pemahaman subjek terhadap soal dapat ditunjukkan melalui kemampuan dalam

menentukan apa yang diketahui dalam soal, dan menentukan apa yang ditanyakan

atau dicari dalam soal. Kesalahan atau kekuranglengkapan dalam mengidentifikasi

hal yang diketahui dan ditanyakan dalam soal dapat menyebabkan kesulitan dalam

membuat model matematika.

Meyer (1985:2) menyatakan bahwa model matematika adalah suatu model

yang bagian-bagiannya adalah konsep-konsep matematika seperti konstanta,

variabel, pertidaksamaan dan lain-lain. Pembuatan model matematika sangat

ditentukan kemampuan dalam melakukan abstraksi, yaitu suatu kegiatan mental

yang membuat sadar tentang kesamaan antara pengalaman yang pernah dimiliki

(Skemp, 1982:22). Dalam kegiatan abstraksi, kemampuan menentukan konsep,

prinsip serta operasi yang diperlukan, serta menentukan hubungan antara

bilangan-bilangan yang ada dalam soal. Jadi, pembuatan model matematika

merupakan suatu usaha untuk menggambarkan situasi nyata ke dalam istilah

matematika dengan tujuan untuk memudahkan penyelesaian masalah tersebut.

8

Kemampuan menyelesaikan model ditentukan oleh kemampuan subjek

dalam menggunakan aturan-aturan matematika. Penelitian ini kemampuan guru

dalam menyelesaikan pertidaksamaan aljabar menentukan kemampuan guru

dalam menyelesaikan model. Kesalahan dalam menyelesaikan model akan

mengakibatkan kesalahan dalam menentukan jawab model dan pada akhirnya

menyebabkan kesalahan dalam menjawab permasalahan situasi nyata dalam soal

cerita.

Jawab akhir dari soal merupakan hasil penafsiran dari jawab model yang

berfungsi memberikan jawaban dari permasalahan dalam soal cerita yang terkait

dengan pertidaksamaan aljabar. Jawab akhir ini tentu saja harus sesuai dengan

ketentuan soal.

Langkah-langkah Menyelesaikan Soal Pertidaksamaan Aljabar

Langkah penyelesaian tergantung pada bentuk pertidaksamaan Aljabar, antara

lain:

a. Pertidaksamaan kuadrat

Langkah penyelesaian :

jadikan nol ruas kanan pertidaksamaan

faktorkan dalam faktor-faktor linier

buat garis bilangan untuk menentukan penyelesaian

b. Pertidaksamaan nilai mutlak

Misal: | | < a

Langkah penyelesaian :

9

ubah dalam bentuk atau

ubah menjadi : (1) ; (2)

jadikan nol ruas kanan pertidaksamaan

faktorkan dalam faktor-faktor linier ( jika berbentuk pertidaksamaan

kuadrat )

buat garis bilangan untuk menentukan penyelesaian

c. Pertidaksamaan pecahan

Langkah penyelesaian:

o jadikan nol ruas kanan pertidaksamaan

o faktorkan pembilang dan penyebut dalam faktor-faktor linier

atau kalikan kedua ruas dengan kuadrat penyebut sehingga tidak

merubah tanda pertidaksamaan, contoh:

< 2 dengan mengalikan kedua ruas dengan ,

diperoleh:

atau

o buat garis bilangan untuk menentukan penyelesaian .

Analisis Penyelesaian Pertidaksamaan Aljabar

Kajian terhadap materi matematika perlu memperhatikan karakteristik

matematika, karena materi sebelumnya (prior knowledge) menjadi landasan bagi

materi selanjutnya (Arends, 1997). Penyelesaian pertidaksamaan Aljabar berbeda

dengan penyelesaian persamaan Aljabar. Hal ini sangat erat kaitannya dengan

10

objek matematika. Kejelian dalam membaca soal agar tidak salah salah dalam

menuliskan dan memahami fakta, memahami konsep, mencari prinsip dan operasi

untuk menentukan penyelesaian soal. Melakukan pemanggilan kembali terhadap

materi sebelumnya yang terkait dengan soal sangat diperlukan untuk mencari

penyelesaian soal secara tepat.

Misal ada soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari |

| < 1 ,

Sebagai alternatif penyelesaian langkah pertama yang harus kita proses dalam

mental pikiran kita adalah mengkaitkannya dengan konsep nilai mutlak dan

prosedur penyelesaian pertidaksamaan Aljabar. Sehingga, soal tersebut dinyatakan

dalam bentuk lain: (|

|)2 < 12

Langkah berikutnya:

⟺ <

⟺ < 0

⟺

⟺

⟺

Untuk memudahkan penyelesaian pertidaksamaan di atas dengan menggunakan

garis bilangan, yakni terlebih dulu menentukan pembuat nol dari ,

yaitu -2 dan 0 yang digambarkan sebagai berikut:

-2 0

+ + + - - - - - -

11

Jadi, Himpunan Penyelesaian =

Akan tetapi, ada peserta yang menyelsaikan soal sebagai berikut:

Bagian kiri;

Pada langkah pertama benar, karena menuliskan (|

|)

2 < 1

2, akan tetapi pada

langkah selanjutnya peserta menghilangkan kuadrat pada ruas kiri kemudian

mengalikan silang antara penyebut pada ruas kiri dengan pembilang pada ruas

kanan tanpa memberikan keterangan, misalnya: karena definit positif

maka . Sedangkan tambahan syarat: , peserta tidak

memberikan penjelasan dari mana asalnya karena pada soal yang ditulis ulang

tidak disebutkan adanya syarat .

Pada bagian kanan:

12

Kesalahan yang tampak pada jawaban tersebut yaitu dalam menentukan

daerah negatif pada garis bilangan untuk Hasil pekerjaan alumni peserta

diklat di atas perlu ditidaklanjuti tentang mengapa terjadi kesalahan, sehingga

perlu ditentukan strategi apa yang bisa dilakukan mengatasi permasalahan serupa,

yakni kesalahan konsep terkait dengan pemahaman konsep matematika khususnya

pertidaksamaan Aljabar.

Penutup

Kesalahan yang dilakukan peserta diklat/guru matematika perlu ditindaklanjuti

dengan melakukan penelitian sehingga dapat menentukan strategi apa yang dapat

diambil untuk mengurangi terjadinya kesalahan guru dalam menyelesaikan soal.

Daftar Pustaka

Arends, Richard I. 1997. Classroom Instructional and Management. United States

of Amarica. The McGraw-Hill Companies, Inc.

G. Polya, 1957. How to Solve it. 2nd., Princeton University Press. ISBN 0-691-

08097-6. (on line) (http://www.math.utah.edu/∞pa/math/polya.html)

Hudojo, Herman. 1988. Mengajar Belajar Matematik. Jakarta: Departemen

Pendidikan dan Kebudayaan Dirjen DIKTI-P2LPTK

Hudojo, Herman. 1998. Pembelajaran Matematika Menurut Pandangan

Konstruktivis. Makalah disajikan dalam Seminar Nasional Pendidikan

Matematika, Program Pasca Sarjana IKIP Malang, Malang 4 April 1998

Soedjadi, R. 2000. Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia. Surabaya : Vera