analisa fungsi energi dan fungsi gelombang dari...

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW

Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

226

ANALISA FUNGSI ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG DARI

POTENSIAL ECKART PLUS HULTHEN DIMENSI-D DENGAN

METODE NIKIFOROVUVAROV

Luqman Hakim

1, Cari

2, Suparmi

2

1Mahasiswa Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret, Surakarta

23Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret, Surakarta

Email: [email protected]

ABSTRAK

Telah dilakukan analisis pendekatan persamaan Schrodinger dimensi-D pada potensial Eckart plus Hulthen

dengan metode NikiforovUvarav (NU). Metode NU didasari oleh pereduksian persamaan diferensial orde dua

menjadi persamaan umum diferensial orde dua tipe hipergeometrik.Pendekatan analisis dengan metode NU

digunakan untuk memperoleh fungsi energi dan fungsi gelombang dari potensial uji. Pendekatan fungsi gelombang

diekspresikan dalam bentuk polinomial Jacobi.

Kata kunci:Dimensi-D;Eckart plus Hulthen; Metode Nikiforov-Uvarov;Polinomial Jacobi

PENDAHULUAN

Pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20,

semakin jelas bahwa fisika (konsep-konsep fisika)

klasik memerlukan revisi atau penyempurnaan.

Hal ini disebabkan semakin banyaknya hasil-hasil

eksperimen dan gejala-gejala fisika yang tidak bisa

dijelaskan dengan konsep-konsep fisika yang telah

dikuasai pada saat itu (fisika klasik), sekalipun

dengan pendekatan. Masalah-masalah yang telah

berkembang terutama pada obyek-obyek fisis yang

berukuran mikroskopik, seperti partikel-partikel

elementer dan atom serta interaksinya dengan

radiasi atau medan elektromagnetik.Mekanika

kuantummerupakan dasar untuk pemahaman

tentang fenomena fisik pada skala mikroskopik.

Sifat-sifat material dapat ditinjau dari gerakan

partikel dan tingkat energi eigen terkait [1].

Persamaan gerak partikel dapat diselesaikan

mengunakan persamaan Schrodinger, persamaan

KleinGordon dan persamaan Dirac [2].

Persamaan Schrödinger merupakan hal mendasar

dalam mekanika kuantum, yang mendeskripsikan

bagaimana keadaan kuantum (quantum state)

suatu sistem fisika yang berubah terhadap waktu

[3].

Penyelesaian persamaan Schrödinger secara eksak

hanya mungkin ketika bilangan orbital 0l ,

sedangkan ketika 0l , persamaan Schrödinger

hanya bisa diselesaikan dengan pendekatan

subtitusi yang sesuai [4]. Beberapa metode yang

digunakan antara lain: metode polinomial

Romanovsky [5], metode confluent

hypergeometric [6,7], dan metode NU [8]. Salah

satu metode yang sering digunakan saat ini adalah

metode NU. Metode NU merupakan persamaan

diferensial hipergeometrik yang memiliki bentuk

penyelesaian yang paling umum karena persamaan

diferensial fungsi lain dapat direduksimenjadi

persamaan diferensial hipergeometrik. Beberapa

penelitian yang menggunakan persamaan

Schrodinger dimensi-D antara lain: pendekatan

persamaan Schrodinger dimensi-D untuk potensial

scarf hyperbolic dengan metode NU [9],solusi

persamaan Schrodinger dimensi-D untuk energi

yang bergantung potensial dengan metode NU

[10], solusi pendekatan analisis scattering dari

potensial Hulthen dimensi-D [11], dan solusi

eksak dari potensial Kratzer termodifikasi plus

potensial ring-shaped dalam persamaan

Schrodinegr dimensi-D dengan metode NU [12].

Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan

fungsi gelombang dari potensial Eckart plus

mailto:[email protected]



227

Hulthendimensi-D. Potensial Eckart sering

digunakan untuk memperkirakan koreksi tunneling

mekanika kuantum untuk konstanta laju kimia

teoritis yang ditentukan [13]. Potensial Hulthen

merupakan potensial berjangkauan pendek yang

berperilaku seperti potensial Coulomb untuk nilai

rkecil dan menurun secara eksponesial untuk r

besar. Potensial Hulthen sering digunakan dalam

fisika nuklir dan partikel, fisika atom, fisika zat

padat, dan lain sebagainya [14]. Kombinasi kedua

potensial diatas menjadi potensial Eckart plus

Hulthen, secara matematis dituliskan sebagai [3]:

(1)

dengan , , dan bernilai

konstan positif.

Persamaan Schrodinger dimensi-D didasari

dengan penggunaan koordinat polar D-dimensi

dengan hypersperical coordinates dan dalam

dimensi-D. Persamaan Schrodinger dalam

dimensi-D dituliskan sebagai [16]:

(2)

dengan merupakan operator Laplace dalam

dimensi-D, yaitu

(3)

Nilai merupakan operator

momentum anguler dimensi-D, yaitu:

(4)

Penyelesaian persamaan Schrodinger dimensi-D

dengan melakukan separasi variabel dengan

memisalkan

, (5)

dengan adalah bagian radial dari persamaan

dan adalah bagian sudutnya. Persamaan

Schrodinger dimensi-D bagian sudut harus

memenuhi persamaan nilai eigen:

(6)

Dengan mensubsitusikan persamaan nilai eigen (6)

dalam persamaan operator Laplace (3) dan

persamaan Schrodinger dimensi-D (2), maka

diperoleh

(7)

Persamaan (7) merupakan persamaan Schrodinger

dimensi-D untuk bagian radial. Tujuan dari

penelitian ini adalah untuk memperoleh fungsi

energi dan fungsi gelombang radial dari potensial

Eckart plus Hulthen.

BAHAN DAN METODE

Bahan

Penelitian ini merupakan penelitian analisis

dengan bahan berupa potensial uji, yaitu potensial

Eckart plus Hulthen di persamaan (1).

Metode

Metode dalam penelitian ini adalah metode NU.

Metode NU ini didasari oleh pereduksian

persamaan diferensial orde dua menjadi

persamaan umum diferensial orde dua tipe

hipergeometrik. Persamaan deferensial

hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan

metode NU memiliki bentuk [8]

(8)

dimana dan merupakan polinomial

berderajat dua dan merupakan polinomial

berderajat satu. Persamaan (8) dapat diselesaikan

dengan pemisahan variabel, yaitu

(9)

Persamaan (9) dapat direduksi dengan

mensubsitusikan persamaan (8), sehingga

diperoleh

(10)

Persamaan (10) merupakan persamaan (8).

Parameter-parameter dalam metode NU, dan

didefinisikan sebagai



228

(11)

(12)

Harga pada persamaan (11) dapat diperoleh dari

kondisi bahwa pernyataan kuadrat di bawah akar

merupakan kuadrat sempurna dari polinomial

derajat satu, sehingga diskriminan di bawah akar

harus nol. Persamaan tingkat energi dapat

diperoleh dari persamaan (12) dengan hubungan

dan ditentukan dengan persamaan

(13)

(14)

Untuk mendapatkan tingkat energi dan fungsi

gelombang yang terkait, diperlukan kondisi

. Solusi bagian pertama dari fungsi

gelombang dengan persamaan

(15)

Solusi bagian kedua fungsi gelombang yang

bersesuaian dengan relasi Rodrigues ditunjukan

oleh persamaan berikut:

(16)

dimana Cn merupakan konstanta normalisasi yang

diperoleh berdasarkan orthogonal fungsi

gelombang dan fungsi bobot harus

tergantung pada kondisi

(17)

HASIL DAN DISKUSI

Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh fungsi

energi dan fungsi gelombang dari potensial Eckart

plus Hulthen. Setelah dilakukan substitusi

potensial Eckart plus Hulthen dalam persamaan

Schrodinger dimensi-D dan dilakukan pemisahan

variable diperoleh persamaan

(18)

Untuk memperoleh penyelesaikan persamaan (18),

dilakukan pemisalan

sehingga diperoleh

(19)

Dengan fungsi hiperbolik bahwa nilai

dan

, maka persamaan

(19) dapat ditulis sebagai

(20)

(21)

Untuk , maka

dimana . Persamaan diferensial orde dua

diperoleh dengan memisalkan pada

persamaan (21), sehingga diperoleh

(22)

Persamaan (22) merupakan persamaan diferensial

orde dua hipergeometrik yang ditunjukkan oleh

persamaan (8), sehingga diperoleh hubungan



229

, (23)

, maka , (24)

, (25)

Untuk memperoleh nilai , maka dilakukan

subsitusi persamaan (23), persamaan (24) dan

persamaan (25) ke persamaan (11), sehingga

diperoleh

(26)

Harga pada persamaan (26) dapat diperoleh

dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat di bawah

akar merupakan kuadrat sempurna dari polinomial

derajat satu sehingga determinan dari persamaan

dibawah akar sama dengan nol, sehingga

. (27)

Dengan

memisalkan

, maka

agar diperoleh makna fisis, nilai adalah

(28)

dan nilai adalah

. (29)

Nilai diperoleh sebesar

. (30)

Energi nilai eigen dan fungsi eigen dapat

diperoleh kondisi bahwa , sehingga nilai

diambil negatif.

(31)

(32)

Kemudian dilakukan penghitungan untuk

menentukan nilai dan pada kondisi umum

dengan mengambil nilai negatif (keadaan bound

state).

. (33)

Tingkat energi diperoleh dengan menyamakan

nilai eigen dengan nilai eigen baru , dengan

menyamakan persamaan (30) dan persamaan (32),

yaitu

(34)

. (35)

Berdasarkan persamaan (35), dengan mengambil

tanda akar yang sama, maka diperoleh

. (36)

Untuk memperoleh energi nilai eigen, maka

dilakukan dengan menyamakan persamaan (28)

dan persamaan (36), sehingga diperoleh

. (37)



230

Dengan mengembalikan bahwa nilai

, diperoleh nilai energi dari potensial

Eckart plus Hulthen dimensi-D, yaitu

. (38)

Pada kondisi khusus , maka

diperoleh

(39)

Berdasarkan persamaan (39), dengan mengambil

tanda akar yang berbeda, maka diperoleh

. (40)

Langkah selanjutnya untuk menentukan nilai

energi adalah dengan menyamakan persamaan

(28) dengan persamaan (40), sehingga diperoleh

. (41)

Dengan mengembalikan bahwa nilai

, diperoleh nilai energi dari potensial

Eckart plus Hulthen dimensi-D, yaitu

. (42)

Pada kondisi khusus , maka

diperoleh

. (43)

Berdasar persamaan (39) dan persamaan (42) nilai

spektrum energi untuk potensial Eckart plus

Hulten sesuai dengan penelitian terdahulu adalah

persamaan (39), sehingga nilai spektrum energi

untuk potensial Eckart plus Hulten dimensi-D

adalah persamaan (38), yaitu[3]

. (44)

Untuk menentukan fungsi gelombang pada

potensial Eckart plus Hulthen dimensi-D, langkah

pertama adalah menentukan fungsi gelombang

bagian pertama yang diperoleh dari persamaan

(24) dan persamaan (29) yang diselesaikan dengan




231

(45)

. (46)

Persamaan (46) digunakan untuk menggambarkan

sebaran atau distribusi elektron (probabilitas

ditemukannya elektron) jika dikombinasikan

dengan persamaan fungsi gelombang radial bagian

kedua.Fungsi gelombang sudut bagian kedua dari

potensial Eckart plus Hulthen ditentukan dengan

mengetahui fungsi bobot terlebih dahulu. Fungsi

bobot diperoleh dengan mensubsitusikan

persamaan (24) dan persamaan (33) ke persamaan

(17), sehingga diperoleh

(47)

dan diperoleh fungsi bobot sebesar

(48)

Solusi bagian kedua fungsi gelombang yang

bersesuaian dengan relasi Rodrigues ditunjukan

oleh persamaan (16) dengan fungsi bobot pada


. (49)

Persamaan (49) merupakan polinomial Jacobi

dalam bentuk

(50)

Nilai dapat ditulis sebagai

, (51)

dengan

(52)

dan

. (53)

Fungsi gelombang lengkap pada potensial Eckart

plus Hulthen dimensi-D adalah dengan

mengalikan bagian pertama dan bagian kedua.

. (54)

Karena dan ,

maka

, (55)

dengan merupakan konstanta normalisasi.

KESIMPULAN

1. Fungsi energi dari potensial Eckart plus

Hulthen dimensi-D dapat diselesaikan dengan

metode NU.

2. Fungsi gelombang dari potensial Eckart plus

Hulthen dimensi-D dapat diselesaikan dengan

metode NU.

3. Analisis fungsi energi dan fungsi gelombang

dari potensial Eckart plus Hulthen dapat

dilakukan dengan metode yang lainnya.

UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Rektor

Universitas Palangkaraya dan Direktorat Jendral

DIKTI atas pemberian beasiswa BPPDN dan

Dikti nomer kontrak 351/UN 27.11/PN 2014.

DAFTAR PUSTAKA

[1] M.O.Tjia dan Sutjahja,Orbital Kuantum

Pengantar Teori dan Contoh Aplikasinya.

Bandung: Karya Putra Darwati, 2012.

[2] A. A. Rajabi dan M. Hamzavi, “A new

Coulomb Ring-shaped Potential via

Generalized Parametric Nikiforov–Uvarov



232

Method”. Journal of Theoretical and

Applied Physics, 2013.

[3] Cari dan Suparmi,“Approximate Solution of

Schrodinger Equation for Hulthen Potential

plus Eckart Potential with Centrifugal Term

in terms of Finite Romanovski

Polynomials”. International Journal of

Applied Physics and Mathematics, vol. 2,

no. 3, 2012.

[4] A. D. Antia, A. N. Ikot, danL. E. Akpabio,

“Exact Solutions of The Schrödinger

Equation with Manning-Rosen Potential

Plus A Ring-Shaped Like Potential by

Nikiforov–Uvarov Method”. European

Journal of Scientific Research, vol. 46, pp.

107–118, 2010.

[5] V. G. Romanovski dan D. S. Shafer, The

Center and Cyclicity Problems: A

Computational Algebra Approach.

Birkhauser, Bassel, 2008.

[6] G. N. Georgiev dan M. N. Grosse,“The

Kummer Confluent Hypergeometric

Function and Some of Its Applications in

The Theory of Azimuthally Magnetized

Circular Ferrite Waveguides”. Journal of

Telecommunications and Information

Technology, vol. 3, 2005.

[7] H. Nagoya, “Hypergeometric Solutions to

Schrodinger Equations for The Quantum

Painlev´e Equations”.Journal of Math

Physics, vol.52, 2011.

[8] A. V. Nikiforov dan V. B. Uvarov, Special

Functions of Mathematical Physics.

Birkhauser, Bassel, 1998.

[9] U. A. Deta, Suparmi, dan Cari.

“Approximate Solution of Schrödinger

Equation in D-Dimensions for Scarf

Hyperbolic Potential Using Nikiforov–

Uvarov Method”. Adv. Studies Theor. Phys.,

vol. 7, no. 13, pp. 647–656, 2013.

[10] H. Hassanabadi, L. L. Lu, S. Zarrinkamar,

G. H. Liu, dan H. Rahimov, “Approximate

Solutions of Schrodinger Equation under

Manning–Rosen Potential in Arbitrary

Dimension via SUSYQM”. ACTA PHYS

POLONICAA,vol.122, no.4, 2012.

[11] C. C. Yuan, S. D. Sheng, L. C. Lin, dan L.

F. Lin. “Approximate Analytical Solutions

for Scattering States of D-dimensional

Hulthen Potential”. Communications

inTheory. Physics,vol. 55, pp. 399–404,

2011.

[12] S. M. Ikhdair danR. Sever,“Exact Solutions

of The Modified Kratzer Potential Plus

Ring-shaped Potential in The D-dimensional

Schrodinger Equation by The Nikiforov–

Uvarov Method”. Journal of Quantum

Physics, vol.1, 2007.

[13] V. Vahidi dan H. Gourdarzi,

“Supersymmetric Approach for Eckart

Potential Using the NU Method”.Adv.

Studies Theor. Phys., vol. 5, no. 10, pp. 469–

476, 2011.

[14] A. K. Roy,“The Generalized Pseudospectral

Approach to The Bound States of The

Hulthen and The Yukawa Potentials”.

Pramana-Journal of Physics,vol. 65, no.1,

pp. 1–15, 2005.

[15] S. M. Ikhdair dan R. Sever, “Approximate l-

state Solutions of The D-dimensional

Schrodinger Equation for Manning–Rosen

Potential”. Journal of Quantum

Physics,vol.1, 2008.

analisa fungsi energi dan fungsi gelombang dari...

Documents