ukuran pemusatan dan penyebaran

Ukuran Pemusatan dan Penyebaran

Oleh :Ratih Ramadhani ( 06081281419027 )

Diora Kapisas ( 06081281419081 )R. A. Fitria Fadhilah ( 06081281419042 )

Pendidikan Matematika FKIP UNSRI Kampus Palembang

STATISTIKA DASAR

Ukuran Pemusatan

Ukuran Penyebaran

Ukuran

Pemusa

tan

Mean

Median

Modus

Nilai Rata – Rata

Ukur

Nilai Rata – Rata

Harmonis

Ukuran

Penyebaran

Kuartil

DesilPersentil

Ukuran Pemusatan

Menurut Ronald E Walpole, ukuran pemusatan adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang

terbesar sampai yang terkecil.

Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua ( populasi) atau contoh, karena sangat sulit

untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing anggota populasi atau masing-masing anggota data contoh. Nilai

ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.

Mean adalah rata – rata atau rerata. Menurut KBBI online, rerata adalah statistik yg menunjukkan nilai yg paling umum atau

pertengahan di antara nilai-nilai variabel acak yg telah diukur.

Ukuran Pemusatan

Mean

Ukuran Pemusatan Mean

Data Tunggal Data Kelompok

𝒙 =𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 +⋯+ 𝒙𝒏

𝒏

𝑥 : rata-rata hitung (mean);

n : jumlah sampel; dan

𝑥𝑛: data ke-n.

𝒙 = 𝒙𝒊. 𝒇𝒊

𝑭

𝑥 = rata – rata

𝑥𝑖 = nilai tengah data ke – i

𝑓𝑖 = frekuensi data ke – i

F = frekuensi total

Tabel berikut ini menunjukkan jumlah kegiatan demonstrasi (unjuk rasa)

mahasiswa selama 4 bulan di tahun 2009

Ukuran Pemusatan Mean

Bulan Juni Juli Agustus September

Jumlah

Demo15 9 6 6

Jawaban :

𝑥 =15 + 9 + 6 + 6

4

Jadi rata-rata pendemo ditahun 2009 di mulai dari bulan juli sampei

September adalah 9 kali per bulan

Ukuran Pemusatan Mean

Ukuran PemusatanNilai Rata Rata

Ukur

Rata-rata ukur (geometrik) adalah rata-rata yang diperoleh

dengan mengalikan semua data dalam suatu kelompok

sampel, kemudian diakarpangkatkan dengan jumlah data

sampel tersebut. Secara matematis rata-rata ukur

(geometrik) dirumuskan seperti berikut ini.G = 𝒏 𝒙𝟏. 𝒙𝟐. 𝒙𝟑. . . 𝒙𝒏

𝑳𝒐𝒈 𝑮 = 𝒊=𝟏𝒏 𝒙𝒊𝒏

G = rata-rata ukur (geometrik) ; n = jumlah sampel ; X = nilai data

Contoh :

Hitung nilai rata-rata dari 8, 17, 33, 67

Jawab : Diketahui data 8, 17, 33, 67

Jadi , U =48 × 17 × 33 × 67

U =23,42

Ukuran PemusatanNilai Rata Rata

Ukur

Ukuran Pemusatan Nilai Rata Rata

Harmonis

Rata-rata harmonik (harmonic average) adalah rata-

rata yang dihitung dengan cara mengubah semua data

menjadi pecahan, dimana nilai data dijadikan sebagai

penyebut dan pembilangnya adalah satu, kemudian

semua pecahan tersebut dijumlahkan dan selanjutnya

dijadikan sebagai pembagi jumlah data.

𝑅𝐻 =𝑛

𝑖=1𝑛 1

𝑥𝑖

RH = rata-rata harmonik ; n = jumlah data sampel ; xi = nilai data ke-i

Contoh :

Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan

dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam.

Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?

Jawab:

Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan

kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam! Apabila kita gunakan perhitungan

rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!

Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:

𝑥 =2

110

+120

=40

3= 13,5

Ukuran Pemusatan Nilai Rata Rata

Harmonis

Ukuran Pemusatan Median

Median adalah nilai yang tepat berada di tengah sekumpulan data.

Data Tunggal

genap

𝑴𝒆 =𝟏

𝟐𝒙𝒏𝟐+ 𝒙𝒏

𝟐 +𝟏

ganjil

𝑴𝒆 =𝟏

𝟐

𝒏 + 𝟏

𝟐

Me = Median ; n = jumlah data ; x = nilai data

Ukuran Pemusatan Median

Data Kelompok

𝑴𝒆 = 𝑻𝒃 + 𝒑 .

𝒏𝟐− 𝒇𝒌

𝒇𝒎𝒆𝒅

Me = median

Tb = batas bawah median

n = jumlah data

fk = frekuensi kumulatif data di bawah

kelas median

fmed = frekuensi data pada kelas median

p = panjang interval kelas

No Urut Kelas

Interval

F Fk

1 15-17 19 19

2 18-20 20 39

3 21-23 13 52

4 24-26 8 60

JUMLAH 60

CONTOH :

Dari data berikut tentukan median nya !

Jawab :

Diket : 1

2𝑛 =

1

260 , terletak di kelas interval 18 - 20

Bb = 17,5 , fm = 20

P=3 , F=19, n=60

Dit : Me?

Dij :

Me=17,5+ 3 ×30−19

20

Me=17,5+33

20

Me=19,15

Ukuran Pemusatan Median

Ukuran Pemusatan Modus

Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam sekumpulan

data, atau nilai yang memiliki frekuensi tertinggi.

Modus terbagi menjadi tiga macam, yaitu unimodus ( hanya

terdapat satu buah nilai modus), bimodus ( terdapat dua buah nilai

modus ), dan multimodus ( terdapat lebih dari dua nilai modus ).

Ukuran Pemusatan Modus

𝑴𝒐 = 𝑻𝒃 + 𝒑.𝒔𝟏

𝒔𝟏 + 𝒔𝟐

Data Kelompok Tb = Tepi bawah kelas yang mengandung modus

P = Panjang Kelas

s1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan sebelumnyas2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan setelahnya

No Urut Kelas Interval F

1 15-17 19

2 18-20 20

3 21-23 13

4 24-26 8

JUMLAH 60

Tentukan nilai modus !

Frekuensi tertinggi data tersebut adalah 20

dan terletak di kelas interval 18 – 20.

Bb = 17,5 , b1 = 20-19=1 ,

b2= 20-13= 7 , P = 3

𝑀𝑜𝑑𝑢𝑠 = 17,5 + 3 ×1

1+7

𝑀𝑜𝑑𝑢𝑠 = 17,5 +3

8= 17,85

Ukuran Pemusatan Modus

Ukuran Penyebaran

Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran baik parameter atau statistik untukmengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-ratahitungnya.

Mengapa kita mempelajari ukuran penyebaran tersebut? Karena kita merasabahwa mengetahui nilai tengah saja kurang cukup, tanpa disertai denganpengetahuan tentang seberapa besar data tersebut menyebar disekitar nilaitengahnya. Dengan memahami unsur penyebaran data diharapkan kita tidakmenarik kesimpulan yang salah.

Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi segugus

pengamatan menjadi 4 bagian sama besar. Nilai-nilai itu

yg dilambangkan dengan Q1, Q2 dan Q3 mempunyai sifat

bahwa 25 % data berada di bawah Q1, 50% data jatuh di

bawah Q2 dan 75% data jatuh di bawah Q3

Ukuran Penyebaran Kuartil

Ukuran Penyebaran Kuartil

Kuartil

untuk

jumlah

data (n)

ganjil dan

jika n dita

mbah 1,

hasilnya

habis

dibagi 4.

Kuartil untuk

jumlah data

(n) ganjil dan

jika n ditamb

ah 1,

hasilnya tidak

habis dibagi

4.

GanjilData Tunggal

Ukuran Penyebaran Kuartil

Kuartil

untuk

jumlah data

(n) genap

dan habis

dibagi 4.

Kuartil

untuk

jumlah

data (n)

genap dan

tidak habis

dibagi 4.

GenapData Tunggal

Ukuran Penyebaran Kuartil

Data Berkelompok

𝑸𝒊 = 𝑻𝒃 + 𝒑.

𝒊𝟒𝒏 − 𝒇𝒌

𝑭𝒒

Tb = Batas bawah kelas interval yang mengandung Ki

P = Panjang kelas interval

n = Banyak Data

fk = Frekuensi kumulatif sebelum Ki

Fq = Frekuensi kelas interval yang mengandung Ki

i = 1 , 2 , atau 3

Tentukanlah nilai k1, dengan sekelompok data 2, 5, 7, 7, 9 !

Jawab :

n = 5

Letak k1 = ¼ ( 5+1) = 1½

Artinya nilai k1 terletak antara data ke-1 dan data ke-2.

Besarnya = nilai data ke 1 + ½ (nilai data ke-2 – nilai data ke-1)

= 2 + ½ (5-2) = 3½

Ukuran Penyebaran Kuartil

Ukuran Penyebaran Desil

Data Tunggal

𝑫𝒊 =𝒊 (𝒏 + 𝟏)

𝟏𝟎

i = antara 1 dan 9

𝑫𝒊 = 𝑻𝒃 + 𝒑.

𝒊𝟏𝟎𝒏 − 𝒇𝒌

𝑭𝒅

Tb = Batas bawah kelas interval yang mengandung Di

P = Panjang kelas interval

n = Banyak Data

fk = Frekuensi kumulatif sebelum Di

Fq = Frekuensi kelas interval yang mengandung Di

Data Berkelompok

Contoh :

Tentukan nilai D6 dari data tersebar dibawah ini adalah : 9, 9, 10, 13, 14, 17,

19, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 29,33, 35, 35, 39, 43, 47.

Jawab :

n = 20

Letak D6 = 6/10 ( 20+1) = 12,6

Artinya nilai D6 terletak antara data ke-12 dan data ke-13. Nilai D6 = nilai

data ke 12 + 0,6 (nilai data ke-13 – nilai data ke-12)= 25 + 0,6 (27-25) =

26,2

Ukuran Penyebaran Desil

Ukuran Penyebaran Persentil

Data Tunggal Data Berkelompok

P𝒊 =𝒊 (𝒏+𝟏)

𝟏𝟎𝟎 𝑷𝒊 = 𝑻𝒃 + 𝒑.

𝒊𝟏𝟎𝟎𝒏 − 𝒇𝒌

𝑭𝒑

i = antara 1 dan 99

Tb = Batas bawah kelas interval yang mengandung Pi

P = Panjang kelas interval

n = Banyak Data

fk = Frekuensi kumulatif sebelum Pi

Fq = Frekuensi kelas interval yang mengandung Pi

Tentukan nilai P38 dari data tersebar dibawah ini adalah : 9, 9, 10, 13, 14, 17,

19, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 29,33, 35, 35, 39, 43, 47.

Jawab :

n = 20

Letak P38 =38

100( 20+1) = 7,98

Artinya nilai P38 terletak antara data ke-7 dan data ke-8.

Nilai P38 = nilai data ke 7 + 0,98 (nilai data ke-8 – nilai data ke-7) =

Nilai P38 = 19 + 0,98 (20-19) = 19,98.

Ukuran Penyebaran Persentil

Jazakumullah Khairan Katsiran