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Algebra LinealEvaluación

1er. Parcial 10pts2do. Parcial 20ptsTareas 20pts

50ptsEx. Final 50pts

100pts

•Algebra Lineal Stanley & Grossman 5ta. Edición

Ing. Oscar Castillo 

ContenidoMatrices y Vectores Matrices (Definición) Operaciones Básicas (Sumas / Restas) Matriz Identidad Matriz Cuadrada Multiplicación de Matrices Sistemas Lineales

Método de GaussMétodo de Gauss – Jordan

Inversa de una matriz por método de Gauss Adjunta y transpuesta de matrices Inversa por método de cofactores Tipos de Matrices

Triangular SuperiorTriangular Inferior

La resolución de Sistemas lineales por método de la inversaDeterminantes Det. 2*2 Det. 3*3 Det. n*n Resolución de sistemas lineales por método de krammer Resolución de Problemas de Aplicación

Vectores Vectores en lR² (Dos dimensiones)

MagnitudDirecciónSentido

Vectores Ortogonales Vectores Paralelos Producto Punto Escalar Producto Cruz o Vectorial Vectores en lR³ (Tres dimensiones) (lo mismo que en lR²) Rectas y planos en lR³ Ec. Recta Ec. Paramétricas Ec. Simétricas Ec. VectorialPlanos Gráfica Paralelogramos Paralelepípedo Ortogonales Paralelos

MatricesLas matrices son arreglos compuestos por filas y columnas

las cualespueden contener elementos numéricos o alfabéticos.Para nuestro estudio, en el curso de algebra lineal, se

consideraúnicamente el estudio con elementos numéricosOperaciones Elementales de Matrices

Para realizar operaciones de sumas o restas con matrices es necesario que tengan las mismas dimensiones, por

ejemplo: Si se va a sumar una matriz A, A2*3 (2 filas y 3 columnas)

con una B, esta deberá poner también 2 filas y 3 columnas

Ejemplos:Si

A = B = & C = D =

1) 3A – B 3A + ( - B)2) B – 2A3) A – D4) D – A5) C + A

1) 3A = + ( -B) = =

-2 3

8 0

4 -2

0 -5

4102

2 -1

0 1

-6 9

24 0

-4 2

0 5

-10 11

24 5

2) B = + ( -2A ) = =

3) A = + (-D) = =

4) D = + (-A) = =

5) C = + A = = No se puede resolver porque C y A no tienen la misma alineación.

4 -2

0 -5

4 -6

-16 0

8 -8

-16 -5

-2 3

8 0

-2 1

0 -1

-4 4

8 -1

2 -1

0 1

2 -3

-8 0

4 -4

-8 14

102

-2 3

8 0

Si

W - A = A – W = ¿?

A - W =

-7 -2

4 3 7 2

-4 -3

Multiplicación de MatricesPara multiplicar dos matrices debe tomarse en cuenta las siguientes propiedades si la multiplicación es A * B debe considerarse que la misma cantidad de columnas de la matriz sea igual al número de filasde la matriz B. Si lo anterior se cumple se puede multiplicar la matriz A por B.

A2*3 = B3*2 =

Ejemplos:

-1 2 3

4 0 1

-1 2 0 1 0 3

A2*3 * B3*2 = C2*2 =• Fila Columna

C =

C11 C12

C21 C22C11 = 1 + 0 + 0

= 1C12 = -2 + 2 + 9 = 9C21 = -4 + 0 + 0 = -4C22 = 8 + 0 + 3 = 11

1 9

-4 11

I = Identidad porque sus valores son el 0 y 1 y está en forma diagonal

A2*3 * I3*3 = C2*3 =

A * I = C C =

1 0 0

0 1 0

0 0 1 C11 C12

C13

C21 C22 C23

-1 2 3

4 0 1

A2*3 * B3*2 =

B3*2 * A2*3 =

1 9

-4 11

C11 = 1 + 8 = 9C12 = -2 + 0 = -2C13 = -3 + 2 = -1

9 -2 -1

4 0 1

12 0 3 C21 = 0 + 4 =

4C22 = 0 + 0 = 0C23 = 0 + 1 = 1

C31 = 0 +12 = 12C32 = 0 + 0 = 0C33 = 0 + 3 = 3

Tarea:

A = B = D = E3*2 =

F4*2 =

1) 2E – F2) E * F3) F * E4) E * B5) 5E * 2A

-1 2

3 4

6 1

0 2

-1 2

4 3

1 2-1 4 0 1 1

0-1 3 6 2 1 0

Hoja de Trabajo① A = ¿? A =

B = C = A * B = C

② Si A = B = C =

Determine:2.1 ( -2A ) * ( -3C )

2.2 -2A + B + C =

a b

c d2

3

1 2

1 0

0 1

2 1 0 1-1 2

-1 0-1 2-7 -9

-4 0 0 0 0 -1 -2 0

0 00 0 0 0

③ A – B = B – A = ¿?

④ Sea B = será B² =

⑤ Sea C = & R = I C – R = ¿?

-8 2

4 5

-7 2 -1

2 -3 0

0 0 0 0

64 4

16 25

⑥ A = * I2*2 =

⑦ B = C = A + B + C = I

A = ¿?

-1 -1

-2 -2

-2 4

5 6

-2 -3

4 10

1 0

0 1

Resolución de Sistema Lineales

El método de Gauss consiste en reducir filas y columnas a 0 en una

Matriz con el objetivo de resolver un sistema lineal por medio del

método de sustitución hacia atrás. La resolución de filas y columnas a

ceros tienen que ir apegado a las reglas siguientes:

El Método de Gauss

1. Cualquier fila del Sistema puede ser intercambiada una con otra sin cambiar el valor de las variables.

2. Cualquier fila podrá ser multiplicado por un número diferente de 0, esto tampoco alteraría el valor de la variable

3. Se pueden sumar filas o restar filas entre si.4. Si se van a reducir a ceros elementos de la columna uno,

la fila pivote será la fila uno, si se van a reducir a ceros elementos de la columna dos, la fila pivote será la fila dos, así sucesivamente.

Pivote

Pivote

Ejemplo:Resuelva el siguiente Sistema a través del método de Gauss.

2x + y + z = 0- x – y + z = 1

x – 2y + 3z = 5

2 1 1 0 F2 = F2 + F1-1 -1 1 1 F3 = F3 – 2F1 1 -2 3 5

F3 F1

1 -2 3 5-1 -1 1 1 2 1 1 0

Pivote

Pivote

Pivote

Pivote

1 -2 3 5 0 -3 4 6 F2 = 5F2 0 5 -5 -10 F3 = 3F3

1 -2 3 5 0 -15 20 30 0 15 -15 -30

1 -2 3 5 0 -15 20 30 0 0 5 0 F3 = F3 + F2

x – 2y + 3z = 5 x – 2(-2) + 3(0) = 5 y = 30 - 15y + 20z = 30 x + 4 = 5 -15

5z = 0 x = 5 – 4 y = - 2

z = 0 x = 1

Tarea:2x – y + z = 11-x – 3y + 2z = 9-4x – 2y + z = -4

Ejercicios:① w – 2x + 3y – z = 4

-2w – 7y + z = -1 – x + 3z = 5 -7w + y – 2 z = -9

② x1 – 2x2 + 3x3 = 11 4x1 + x2 – x3 = 4 2x1 – x2 + 3x3 = 10

15x1 + 2x2 = 69 x2 – 3x3 = 10 4x2 + 30x3 = 5

15 2 0 69 0 1 -3 10 F3 = F3 – 4F2 0 4 30 5

15 2 0 69 15x1 + 2x2 = 69 x2 – 3x3 = 10 0 1 -3 10 x2 – 3x3 = 10 x2 – 3(-5/6) = 10 0 0 42 -35 42x3 = -35 x2 = 10 – 15/6

x3 = -35/42 x2 = 15/2 15x1 + 2x2 = 69 x3 = -5/6 15x1 + 2(15/2) = 69 15x1 = 69 – 15 15x1 = 54 x1 = 18/5

3x1 + 6x2 – 6x3 = 9 3x1 + 6x2 – 6x3 = 9 2x1 – 5x2 + 4x3 = 6 - 27x2 + 24x3 = 0 -x1 + 16x2 – 14x3 = -3

-27x2 = -24x3 3 6 -6 9 x2 = -24/-27x3 2 -5 4 6 F2 = 3F2 – 2F1 x2 = 8/9 x3 -1 16 -14 -3 F3 = 3F3 + F1

3 6 -6 9 E1 = E1/3 0 -27 24 0 0 54 -48 0 F3 = F3 + 2F2 x1 + 2x2 – 2x3 = 3

x1 + 2( 8/9 x3 ) – 2x3 = 3 3 6 -6 9 x1 + 16/9 x3 – 2x3 = 3 0 -54 48 0 x1 – 2/9x3 = 3 0 0 0 0 x1 = 3 + 2/9 x3

Sol.

x3 = 0x2 = 0x1 = 3

3 + 2 x3 , 8 x3 , x3 9 9

x1 x2 x3

3x1 – 2x2 + 6x3 = 10 -4x1 + x2 – 8x3 = 5 2x1 – 2x2 + 4x3 = 8

3 -2 6 10 -4 1 -8 5 F2 = 3F2 + 4F1 2 -2 4 8 F3 = 3F3 – 2F1

3 -2 6 10 0 -5 0 55 0 -2 0 4 F3 = 5F3 – 2F2

3 -2 6 10 Sol. 0 -5 0 55 0 0 0 -90

No tiene solución

5x1 – 3x2 + 5x3 = 15 5x1 – 3x2 + 5x3 = 15

-x1 + x2 – 2x3 = -10 + 2x2 – 5x3 = -35 10x1 – 6x2 + 10x3 = 30

2x2 – 5x3 = -35 5 -3 5 15 2x2 = - 35 + 5x3

-1 1 -2 -10 F2 = 5F2 + F1 x2 = - 35 + 5x3 10 -6 10 30 F3 = F3 – 2F1 2

5 -3 5 15 0 2 -5 -35 5x1 – 3x2 + 5x3 = 15 0 0 0 0 5x1 – 3 - 35 + 5 x3 + 5x3 = 15

2 5x1 + 105 – 15x3 + 5x3 = 15 2 2 5x1 – 5x3 = 15 – 105 2 2 5x1 – 5x3 = – 75 2 2

5x1 = - 75 + 5x3 2 2

x1 = - 75 + 5x3 10

x1 = - 15 + 1x3 2 2

Sol. - 15 , - 35 , 0 2 2 x1 x2 x3

Resolver el sistema:

x1 – 3x2 + x3 = 18 -2x1 + 4x2 – 2x3 = 12

1 -3 1 18 X1 – 3X2 + X3 = 18

-2 4 -2 12 F2 = F2 + F1 X1 – 3( -24) + X3 = 18

X1 + 72 + X3 = 18 1 -3 1 18 X1 + X3 = 18 –

72 0 -1 0 24 X1 = -54 – X3

X1 – 3X2 + X3 = 18 – X2 = 24 Sol.

- X2 = 24 X2 = -24

-54 , -24 , 0x1 x2 x3

-x1 + x2 - x3 = 0 x1 – 2x2 + x3 = 0 4x1 + 2x2 + 3x3 = 0

-1 1 -1 0 -x1 + x2 – x3 = 0 1 -2 1 0 F2 = F2 + F1 – x2 = 0 4 2 3 0 F3 = F3 + 4F1 – x3 = 0

Sol. -1 1 -1 0 0 -1 0 0 0 6 -1 0 F3 = F3 + 6F1 X3 = 0

x2 = 0 -1 1 -1 0 x1 = 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0

0 , 0 , 0

Sistema Homogéneo

Tarea:① -3x1 + 5x2 – 6x3 = 12

2x1 + 7x2 + 4x3 = -28 - x1 + 9x2 – 2x3 = 18

② 2x1 – 3x2 + 3x3 = -21-2x1 + 3x2 – x3 = -2

③ -x1 + 3x2 + 2x3 = 0-6x1 + 4x2 – 5x3 = 0-2x1 + 6x2 + 4x3 = 0

④ -x1 + 2x2 – 4x3 = 10-7x1 – 3x2 + 5x3 = 20 4x1 – 2x2 + 6x3 = 5

Ejercicios:① x1 + x2 + x3 = 2

2x1 – x2 + 2x3 = 4

② x1 + x2 + x3 = 0 2x1 – x2 + 2x3 = 0

③ 2x1 + x2 – 3x3 = 0

4x1 – x2 + x3 = 0

④A = B =

⑤

A = B =

1 0 3 -1 5

2 1 6 2 5

7 1

2 3

-1 0 5 6 2 3

1 -1 33 5 62 4 -1

213

Transpuesta de una MatrizPara la calcular la transpuesta de una matriz todas las filas se convierten en columnas.

A = B =

A་ = B་ =

Ejemplos:-2 4 3

2 1 4

Una matriz es simétrica si AT = A, una matriz es antisimétrica si AT = -A

Propiedades

1 0 2-1 4 87 6 4-2 -2

4 1 3 4

1 -1 7 0 4 6 2 8 4

①A = A ་ =

R// No es simétrica ni anti simétrica porque sus dimensiones no son iguales,

A = 2*3 no es igual a A ་ = 3*2

②A = A ་ =

R// Si es simétrica porque sus dimensiones son A = 2*2 y A ་ = 2*2 y también

porque tienen los mismos elementos.

③A = A ་ =

R// Si es simétrica porque sus dimensiones son A = 3*3 y A ་ = 3*3 y también

porque tienen los mismos elementos.

2 3 1

-1 0 2

2 -13 01 2

4 6

6 4

4 6

6 4

2 3 13 -6 -51 -5 9

2 3 13 -6 -51 -5 9

④A = A ་ =

R// No es simétrica ni anti simétrica porque A no tiene los mismo elementos

que A ་ ⑤

A = A ་ =

R// Si es simétrica porque sus dimensiones son A = 4*4 y A ་ = 4*4 y también

porque tienen los mismos elementos.

⑥A = A ་ =

R// No es simétrica ni anti simétrica porque A no tiene los mismo elementos que A ་.

0 5 6-5 0 4-6 -4 0

1 -1 4 6 -1 2 5 7 4 5 3 -8 6 7 -8 9

0 -5 -6 5 0 -4 6 4 0

1 -1 4 6 -1 2 5 7 4 5 3 -8 6 7 -8 9

0 1 -1 1 -1 0 1 -2 1 1 0 1 1 -2 -1 0

0 -1 1 1 1 0 1 -2-1 1 0 -1 1 -2 1 0

Inversa de una MatrizLa inversa consiste en encontrar una matriz tal que al

multiplicarse con la matriz original tiene que dar por resultado la matriz

identidad. Se utilizará el método de reducción de reglones (Gauss) para

la resolución de matrices inversas.Ejemplo:

2 3 1 0-1 4 0 1 F2 = 2F2 + F1

2 3 1 0 F1 = 11F1 - 3F20 11 1 2

22 0 8 -6 F1 = F1 / 22 0 11 1 2 F2 = F2 / 11

1 0 4/11 -3/110 1 1/11 2/11

4/11 -3/11A་ =

1/11 2/11

Tarea:En los ejercicios 1 al 14 encuentre las soluciones (si existe) a los sistemas dados.

⑤ x1 + x2 + x3 = 0 2x1 – x2 + 2x3 = 0-3x1 + 2x2 + 3x3 = 0

⑥ x1 + x2 + x3 = 2 2x1 – x2 + 2x3 = 4 -x1 + 4x2 + x3 = 2

⑫ x1 + x2 + x3 + x4 = 4 2x1 – 3x2 - x3 + 4x4 = 7 -2x1 + 4x2 + x3 – 2x4= 1 5x1 – x2 + 2x3 + x4 = -1

En los ejercicios 15 al 22 realice los cálculos indicados.

⑮ - 2 1 - 6 3( 3 ) 0 4 0 12

2 3 6 9

⑯ 1 0 3 2 0 4 +

2 -1 6 - 2 5 8

⑰ 2 1 3 - 2 1 4 ( 5 ) - 1 2 4 ( - 3 ) 5 0 7

- 6 1 5 2 - 1 3

⑱ 2 3 5 - 1

- 1 4 2 7

⑲ 2 3 1 5 5 7 12 0 31 0 0

0 6 2 4 0 5 6

⑳ 2 3 5 0 - 1 2- 1 6 4 3 1 2 1 0 6 - 7 3 5

En los ejercicios 29 al 33 calcule la forma escalonada por renglones y

La inversa (si existe) de la matriz dada.

29. 2 3 1 0

- 1 4 0 1

30. - 1 2 1 0

2 - 4 0 1

31. 1 2 0 1 0 0 2 1 - 1 0 1 0 3 1 1 0 0 1

32. - 1 2 0 1 0 0 4 1 - 3 0 1 0 2 5 - 3 0 0 1

33. 2 0 4 1 0 0 - 1 3 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1

InversaDetermine la inversa, si es que existe por el método de

Gauss.- 1 2 1

A = 0 1 2- 1 - 1 1

- 1 2 1 1 0 0 0 1 2 0 1 0 -1 - 1 1 0 0 1 F3 = F3 – F1

- 1 2 1 1 0 0 0 1 2 0 1 0 0 - 3 0 - 1 0 1 F3 = F3 + 3F2

- 1 2 1 1 0 0 F1 = F1 – 2F2 0 1 2 0 1 0 0 0 6 - 1 3 1

- 1 0 - 3 1 - 2 0 F1 = 2F1 + F3 0 1 2 0 1 0 F2 = 3F2 - F3 0 0 6 - 1 3 1

- 2 0 0 1 - 1 1 F1 = - F1/2 0 3 0 1 0 - 1 F2 = F2/3 0 0 6 - 1 3 1 F3 = F3/6

1 0 0 -½ ½ -½ -½ ½ -½ 0 1 0 1/3 0 -1/3 A⁻¹ = 1/3 0 -1/3 0 0 1 -1/6 ½ 1/6 -1/6 ½ 1/6

DeterminantesLas determinantes son valores que vienen de una matriz que

serviránmás adelante para el calculo de la inversa y también para la

solución de sistemas lineales.Para la resolución de las determinantes existen varios

métodos para su resolución que varían según la dimensión de la matriz.

Determinantes (Matrices 2*2)

Dada la matriz A =

l A l = Determinante de Al A l = a * d – c * b .

a b

c d

Calcule l B l , Si B =

l B l = ( -1 )( -4 ) – ( 3 )( 4 ) l B l = 4 – 12l B l = - 8

F2 = F2 + F1 B =

l B l = -8

F1 = F1 + F2 B =

l B l = -12 + 4 = -8

Ejemplo:-1 3

4 -4

-1 3

3 -1

3 -1

4 -4

F2 = 4F1 + F2 B =

l B l = -8

B = l B l = 8

B = l B l = 8

C = C1 + C2 B = l B l = 8

-1 3

0 8

4 -4

-1 3 3 -1

-4 4 2

3

0 -4

F1 = 9F1 B =

l B l = 36 – 108 = -72

F2 = F1 B =

l B l = -3 + 3 = 0

F2 = 2F1 B =

l B l = 0

-9 27

4 -4

-1 3

-1 3

-1 3

-2 6

A =

- - -

l A l =

+ + +l A l = 0 + 48 + 3 + 0 + 8 – 8 l A l = 51

Determinantes (Matriz 3*3)

Ejemplo: “Método de Flechas”

-2 4 3 1 0 4 3 1 2 -2 4 3 -2

4 1 0 4 1 0 3 1 2 3 1

B =

- - -

l B l =

+ + +l B l = - 8 – 30 + 0 + 8 + 30 + 0l B l = 0

-1 3 4 0 1 5-2 6 8 -1 3 4 -1

3 0 1 5 0 1-2 6 8 -2 6

Desarrollo de Laplace (Mat. n*n)Para utilizar el método de Laplace se debe identificar la fila o

la columna que más ceros tenga y esas se trabaja elemento por elemento.

A =

4 3 -2 4(-1)²⁺¹(1) + (-1)²⁺³(4) 1 2 3 1

(-1)(8 – 3) + (-4) (-2 – 12) = 51

4 3 -2 3 -2 4(-1)³⁺¹(3) + (-1)³⁺²(1) + (-1)³⁺³(2) 0 4 1 4 1 0

(3)(16 – 0) + (-1) (-8 – 3) + (2)(0 – 4) 48 + 11 – 8 = 51

-2 4 3 1 0 4 3 1 2

C =

- - -

l C l =

+ + +l C l = 5 + 60 + 0 – 75 + 0 – 8 l C l = - 18

-1 -2 -3-4 -5 -6 5 0 1 -1 -2 -3 -1 -

3-4 -5 -6 -4 -6 5 0 1 5 1

Resuelva a través del método de Laplace la determinante.

A =

- - - -

l A l =

+ + + +l A l = 30 – 8 + 0 + 12 – 24 + 0 + 8 – 20 l A l = 38

{ No se puede con el método de las flechas porque es de 4*4}

1 -1 2 34 5 2

05 1 3

22 4 1

21 -1 2 3 1 -1 24 5 2 0 4 5

25 1 3 2 1 1

32 4 1 2 2 4

1

F1 = F1 + F3A = F2 = F2 – 5F3

F4 = F4 – 4F3

A =

- - -

l A l = (-1)³⁺²(1) =

+ + +l A l = (-1)(156 + 100 + 55 – 130 – 220 – 30) = (-1)(-69) = 69

1 -1 2 3

4 5 2 0

5 1 3 2

2 4 1 2

2 0 5 5

-1 0 -13 -10

1 1 3 2

-2 0 -11 -6 2 5 5 2

5 -1 -13 -10 -1 -

13 -2 -11 -6 -2 -

11

F2 = F2 – 4F1A = F3 = F3 – F1

F4 = F4 – 2F1

A =

A = F3 = 3F3 – 2F2 F4 = F4 – 2F2

A = F4 = 7F4 + F3

A = = 483 / 7 = 69

1 -1 2 3

4 5 2 0

5 1 3 2

2 4 1 2

1 -1 2 3

0 9 -6 -12

0 2 1 -1

0 6 -3 -4

1 -1 2 3

0 3 -2 -4

0 2 1 -1

0 6 -3 -4

1 -1 2 3

0 3 -2 -4

0 2 1 -1

0 6 -3 -4

1 -1 2 3

0 3 -2 -4

0 0 7 5

0 0 0 23

A = l A l = 32

l A l = (-1)¹⁺¹(2) =

l A l = (-1)²(2)(16) = (1)(32) = 32

2 4 3 0 8 1 0 0 2

8 1

0 2

Resuelva a través del Método de Laplace la determinante.

F1 = 2F1 + F2B = F3 = 2F3 + F2 F4 = F4 + 0F2

B =

- - -

l B l = (-1)²⁺¹(1/2) =

+ + +l B l = (-1)(1/2)(12 + 0 + 10 – 48 + 0 – 80) = (-1)(1/2)(-106) = 53

-1 1 3 2

2 -1 2 -2

-1 3 2 1

0 4 1 2

0 1 8 2

2 -1 2 -2

0 5 6 0

0 4 1 2

1 8 2 1 8

5 6 0 5 6

4 1 2 4 1

F2 = F2 + 2F1 B = F3 = F3 – F1

F3 = F3 – 2F2B = F4 = F4 – 4F2

B = F4 = 17F4 – 31F3

B = = 53

-1 1 3 2

2 -1 2 -2

-1 3 2 1

0 4 1 2

-1 1 3 2

0 1 8 2

0 2 -1 -1

0 4 1 2

-1 1 3 2

0 1 8 2

0 0 -17 -5

0 0 -31 -6

-1 1 3 2

0 1 8 2

0 0 -17 -5

0 0 0 -6