sudah diedit

PENENTUAN NILAI OPTIMUM (MEMAKSIMALKAN/MEMINIMUMKAN) DARI MASALAH

PROGRAM LINIER

KELOMPOK 3 – XII IPA 1Adirogo Nurkusumo || Anjelia Defani M. || Fachrul

Rafiana H. || Galuh Estya || Ishlah Billy || Mu’minah Mustaqimah || Shafira Aghy || Vani Safira Mohani ||

Widya Ayu Anindita|| Syarif Wulffrat

• Dalam pembahasan “Program Linear: Model Matematika” telah dibahas bagaimana memodelkan suatu permasalahan ke dalam model matematika. Dalam pembahasan tersebut diperoleh pemodelan sebagai berikut.

• x + y ≤ 600,6.000x + 5.000y ≤ 600.000,Untuk x, y anggota bilangan cacah, x ≥ 0, y ≥ 0

• Dari sistem pertidaksamaan tersebut akan dicari nilai-nilai x dan y yang menyebabkan fungsi f(x,y) = 500x + 600y bernilai maksimum.

• Bentuk umum dari fungsi tersebut adalahf(x, y) = ax + by.

• Fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum) ini kemudian disebut fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimum tersebut, dapat digunakan metode uji titik pojok dan garis selidik.

NILAI OPTIMUM SUATU FUNGSI

• Nilai Optimum suatu Fungsi ialah Nilai yang ingin dicari untuk memecahkan model matematika yang ada

• Ada 2 cara untuk mecari Nilai Optimum suatu Fungsi :

Metode Uji Titik Pojok

Metode Garis Selidik

• Sebelum membahas metode uji titik pojok, sebaiknya kalian tahu mengenai nilai optimum.

• Nilai optimum dapat berupa nilai maksimum atau minimum, tergantung dari permintaan soal. Pada permasalahan ini yang diminta adalah nilai maksimum, sehingga kita akan mencari nilai-nilai x dan y yang menyebabkan fungsi objektif bernilai maksimum.

METODE UJI TITIK POJOK

• Untuk menentukan nilai optimum dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukan langkah-langkah berikut.

1. Tentukan kendala-kendala dari permasalahan program linear yang dimaksud.

2. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.

3. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.

4. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.

5. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y).

CONTOH SOAL

• Ling ling membeli 240 ton beras untuk dijual lagi. Ia menyewa dua jenis truk untuk mengangkut beras tersebut. Truk jenis A memiliki kapasitas 6 ton dan truk jenis B memiliki kapasitas 4 ton. Sewa tiap truk jenis A adalah Rp 100.000,00 sekali jalan dan truk jenis B adalah Rp 50.000,00 sekali jalan. Maka Ling ling menyewa truk itu sekurang-kurangnya 48 buah. Berapa banyak jenis truk A dan B yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum?

PEMBAHASAN SOAL

Langkah pertama • Tentukan kendala-kendala dari

permasalahan program linear yang dimaksud oleh soal.

• Untuk mengetahui kendala-kendalanya, sebaiknya kita ubah soal tersebut ke dalam tabel sebagai berikut.

• Sehingga, kendala-kendalanya dapat dituliskan sebagai berikut

• Dengan fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 100.000x + 50.000y.

x + y ≥ 48,6x + 4y ≥ 240,

x ≥ 0, y ≥ 0, x, y anggota bilangan cacah

Langkah kedua. • Gambarkan daerah penyelesaian dari

kendala-kendala di atas. Gambar dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas adalah sebagai berikut

• Langkah ketiga. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu. Titik pojok dari daerah penyelesaian di atas adalah titik potong garis x + y = 48 dengan sumbu-y, titik potong garis 6x + 4y = 240 dengan sumbu-x, dan titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x+ 4y = 240.

• Titik potong garis x + y = 48 dengan sumbu-y adalah titik (0, 48). Titik potong garis 6x + 4y = 240 dengan sumbu-x adalah titik (40, 0). Sedangkan titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y = 240 dapat dicari dengan menggunakan cara eliminasi berikut ini.

• Diperoleh, titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y = 240 adalah pada titik (24, 24).

Langkah keempat• Substitusikan koordinat setiap titik

pojok itu ke dalam fungsi objektif.

Langkah kelima• Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif

tersebut. Dari ketiga hasil tersebut, dapat diperoleh bahwa agar biaya yang dikeluarkan minimum, Ling ling harus menyewa 48 truk jenis B dan tidak menyewa truk jenis A.

CONTOH SOAL

Seorang pedagang di ITC akan membeli baju dan celana. Harga sepasang baju Rp 15.000,00 dan harga sepasang celana Rp 30.000,00. Modal yang ia miliki Rp 600.000,00. Kiosnya hanya cukup menampung 30 pasang baju dan celana. Jika keuntungan sepasang baju Rp 4.000,00 dan celana Rp 5.000,00 maka tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Titik (x, y) f(x, y)= 4.000x + 5.000y

(0, 0) 0

(30, 0) 120.000

(20, 10) 130.000

(0, 20) 100.000

Maka dapat dilihat dari tabel bahwa Pedagang mendapatkan keuntungan maksimum ketika dia menjual 20 baju dan 10 celana

X

Y

30

20

4030

HP

(20, 10)

PEMBAHASAN SOAL

Model matematika x + 2y < 40x + y < 30x > 0, y > 0Fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x + 5.000y

CONTOH SOAL

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Y-Values

Y-Values

Nilai Minimum f(x,y) = 4x + 5y – 8 untuk x, y di daerah yang diarsir adalah...

PEMBAHASAN SOAL

1. Tentukan titik-titik perpotongannya

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

1

2

3

4

5

Y-Values

Y-Values (0,4)(5,5)(2,2)

2. Masukkan angka-angka dari titik perpotongan diatas ke persamaan f(x,y) = 4x + 5y – 8

(0,4) 4(0)+5(4)-8 = 12

(5,5) 4(5)+5(5)-8 = 37

(2,2) 4(2)+5(2)-8 = 10

3. Karena yang diminta adalah NILAI MINIMUM, berarti:

(0,4) = 12 (5,5) = 37 (2,2) = 10

JAWABAN

METODE GARIS SELIDIK

• Langkah langkah yang dilakukan untuk mencari nilai optimum dari fungsi objektif menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut.

1. Buatlah garis acuan ax+by=k2. Buatlah gari garis sejajar ax+by=k

dengan cara mengambil nilai k yang berbeda atau menggeser garis ax+by=k ke kiri atau ke kanan

(i) jika ax+by=k1 adalah garis paling kiri yang melalui titik (x1,y1) pada daerah penyelesaian maka k1=ax1+by1 merupakan nilai minimum

(ii) Jika ax+by=k2 adalah garis yang paling kanan yang melalui titik (x2,y2) pada daerah penyelesaian maka k2=ax2+by2 merupakan nilai maksimum fungsi objektif

CONTOH SOAL

Tentukan nilai maksimum dari z = x + 3y pada daerah yang diarsir berikut

x + y = 77x + 2y = 14

2x - 5y = 0

y = x + 1

X

Y

Maksimumy = x + 1

x + y = 7

PEMBAHASAN SOAL

• Garis selidik x + 3y = 0 melalui titik (0, 0) dan (3, -1)

• Diperoleh x = 3 dan y = 4 sehingga nilai maksimum

Z = 3 + 3(4) = 15

CONTOH SOAL

• Luas daerah parkir 1.760 m 2 . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2 . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parker mobil kecil Rp. 1000/jam dan mobil besar Rp.2000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan dating, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah:

A. Rp.176.000,- C. Rp.260.000,- E. Rp.340.000,-B. Rp. 200.000,- D. Rp. 300.000,-

PEMBAHASAN SOAL

• Dibuat persamaan-persamaannya terlebih dahulu:

• Misal mobil kecil = x dan mobil besar = y 4 x + 20 y ≤ 1760x + 5y ≤ 440 …..(1)x + y ≤ 200 ….(2)nilai maksimum 1000x + 2000y = ?

• buat sketsa grafiknya

• Dari grafik didapatkan tiga titik ekstrim yaitu: (0,88), (200,0) dan titik A

Titik A adalah perpotongan dari dua grafik:x + 5y = 440x + y = 200 -4y = 240y = 60

x + y = 200x = 200 – y

= 200 – 60

= 140titik A = (140, 60)

Buat tabelnya

Didapat nilai maksimumnya adalah Rp.260.000Jawabannya adalah C

CONTOH SOAL

• Seorang tukang roti mempunyai bahan A,B dan C masing-masing sebanyak 160 kg, 110 kg dan 150 kg. Roti I memerlukan 2 kg bahan A, 1 kg bahan B dan 1 Kg bahan C. Roti II memerlukan 1 kg bahan A, 2 kg bahan B dan 3 Kg bahan C. Sebuah roti I dijual dengan harga Rp.30.000 dan sebuah roti II dijual dengan harga Rp.50.000, pendapatan maksimum yang dpat diperoleh tukang roti tersebut adalah…

A. Rp. 8000.000,- C. Rp. 3900.000,- E. 2900.000,-B. Rp. 4500.000,- D. Rp. 3100.000,-

PEMBAHASAN SOAL

Buat persamaan : Misal roti I = x dan roti II = y didapat persamaan sbb:2x + y ≤ 160 …..(1)

x + 2y ≤ 110 …..(2)x + 3y ≤ 150 …..(3)

• Buat sketsa grafiknya:

• Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian dari tiga grafik tsb. Didapat 4 titik ekstrim yaitu (0,50), (80,0), titik A dan titik B

• perpotongan (1) dan (2) titik B2x + y = 160 |x1| ⇒ 2x + y = 160

x + 2y = 110 |x2|⇒ 2x +4y = 220 - - 3y = -60

y = 20

titik B = (70,20)

2x + y = 1602x = 160 – 20x = 140/2

= 70

perpotongan (2) dan (3) titik Ax + 2y = 110x + 3y = 150 -

- y = -40 y = 40

titik A = (30,40)• Yang ditanyakan adalah nilai

maksimum dari 30.000 x + 50.000 y

x + 2y = 110x = 110 – 2.40x = 30

Buat tabel :

Didapat nilai maksimumnya adalah Rp. 3100.000

Jawabannya adalah D

CONTOH SOAL

• Nilai minimum fungsi objektif 5x + 10y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah berarsir seperti gambar di samping adalah..A. 410 B. 320 C. 240 D. 200 E. 160

PEMBAHASAN SOAL

Tentukan titik ekstrim terlebih dahulu:Terdapat 4 titik ekstrim, yang sudah diketahui 2 titik yaitu titik a (0,32) dan titik d (48,0), tinggal mencari posisi 2 titik ekstrim yang lain. Tentukan persamaan garis:

1. Persamaan garis melalui titik (0,24) dan (36,0) ( 0,a) dan (b,0)

2. Persamaan garis melalui titik (0,32) dan (16,0) ( 0,a) dan (b,0)

3. Persamaan garis melaluititik (0,16) dan (48,0)

( 0,a) (b,0)titik b didapat dari perpotongan grafik (1) dengan (2)2x + 3y = 722x + y = 32 -2 y = 40 y = 20

• Titik c didapat dari perpotongan grafik (1) dan (3)

2x + 3y = 72x + 3y = 48-

x = 24

x + 3y = 48 3y = 48 - x 3y = 48 – 24

y = 24/3 = 8

titik c = (24,8)

Buat tabel

Dari tabel terlihat bahwa nilai minimum adalah nilai yang terkecil yaitu 200.Jawabannya adalah D

4.

Jawaban :

5.

SOAL LATIHAN

1. Nilai maksimum f(x,y) = 8x + 6y pada daerah yang diarsir adalah …a. 11b.16c. 20d.22e.24

2. Fungsi f(x,y) = 2x + 2y – 5 yang didefinisikan pada daerah yang diarsir mencapai maksimum pada…a. {(x,y) | x = 1, y = 3 }b. {(x,y) | x = 2, y = 3 }c. {(x,y) | x = 0, y = 2 }d. {(x,y) | y – x = 2 }e. {(x,y) | y + x = 4 }

3.Fungsi sasaran 8x + 2y dengan daerah penyelesaian yang diarsir di atas, mempunyai nilai maksimum sama dengan..a. 36b. 38c. 40d. 46e. 50

4. Fungsi f(x, y) = 2x + 3y – 4 yang didefinisikan pada daerah yang diarsir, mencapai maksimum dengan nilai…a. 9b. 8c. 7d. 6e. 5

ESSAY

5. Diketahui fungsi f(x, y) = 2x + 2y -5 didefinisikan pada yang diarsir berikut. Tentukan nilai maksimum..

SUMBER

• Kasmina, Suhendra,dkk (2008).  Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian untuk SMK dan MAK kelas X, Jakarta: Penerbit Erlangga.

• Program Linear oleh Santosa S.P

TERIMA KASIH